Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Существование стационарных и нестационарных решений системы интегродифференциальных уравнений власова-максвелла
1. Нестационарная n-компонентная система уравнений Власова-Максвелла. Краткий обзор исследований и постановка задачи 27
2. Существование стационарных решений п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла 41
3. Существование решений краевой задачи Дирихле для системы нелинейных эллиптических уравнений на скалярный и векторный потенциалы 56
4. Специальные классы точных решений стационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла 64
5. Редукция нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла к нелинейному гиперболическому уравнению 78
6. Исследование нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла с внешними источниками 87
ГЛАВА II. Существование точных неотрицательных решений одномерного уравнения нелинейной теплопроводности
1. Преобразования Беклунда, связывающие решения одномерного уравнения нелинейной теплопроводности с родственными уравнениями. 91
2. Уравнения нелинейной диффузии без источника (стока) 101
3. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком), зависящим от температуры 108
4. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) специального вида 112
ГЛАВА III. Существование точных неотрицательных решений многомерного уравнения нелинейной теплопроводности с конечной скоростью распространения возмущений
1. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности без источника (стока) 121
2. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (частный случай) 124
3. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (общий случай) 136
4. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности с источником (стоком) 143
ГЛАВА IV. Существование и качественный анализ точных неавтомодельных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии
1. Представление многомерного уравнения нелинейной диффузии в виде переопределенной системы и исследование ее совместности 157
2. Конечномерная разрешающая система для многомерного уравнения нелинейной диффузии 164
3. Редукция разрешающей системы к переопределенной системе алгебро-дифференциальных уравнений (существование решения, частный случай). Качественный анализ решений задачи Коши для вспомогательного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения 168
4. Разрешимость задачи Коши для матрично-векторно-скалярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 176
5. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай рфі) 188
6. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р = 2) 198
7. Некоторые обобщения, замечания, комментарии и примеры 207
Заключение 220
Список литературы 222
- Существование стационарных решений п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла
- Редукция нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла к нелинейному гиперболическому уравнению
- Уравнения нелинейной диффузии без источника (стока)
- Исследование совместности переопределенной системы уравнений (частный случай)
Введение к работе
Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС) - проблема формирования, нагрева и удержания высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля заряженных частиц. Составной частью этой проблемы является задача формирования и транспортировки мощных потоков (пучков) заряженных частиц, имеющая многочисленные приложения. Эта и многие другие задачи математического моделирования в физике плазмы приводят к необходимости исследования нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с частными производными. В настоящей работе исследуются система интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950] и нелинейное параболическое уравнение второго порядка с неявным вырождением [Калашников, 1987], связанные с задачами математического моделирования в физике плазмы и описывающие соответственно динамику заряженной плазмы в кинетическом приближении [Девидсон, 1978] и ее диффузию поперек магнитного поля [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986].
Действительно, в течение длительного времени, в связи с созданием сильноточных ускорителей и проблемой УТС, продолжают оставаться актуальными задачи математического моделирования в физике плазмы, связанные с формированием, удержанием, подавлением диффузии, фокусировкой и транспортировкой взаимодействующих пучков (ансамблей) заряженных частиц [Днестровский, Костомаров, 1982; Дривотин, Овсянников, 2001; Чихачев, 2001].
Одной из математических моделей, описывающих бесстолкновитель-ный ансамбль п Є N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц qi, q i,..., qn Є М\{0}, каждый из которых характеризуется функцией распределения fa{r, У, t) 0 по координатам г = (x,y,z) Є Q, С Ш3 и скоростей v = {vx,vy,vz) Є R3, является система уравнений Власова-Максвелла (ВМ)
JU + v • Vrfa + {E+\xB)- Vvfa = 0, (0.1) at та с д —Е = cV х В - 4тг7, V • Е = 4тг/0, -5 = -cVx, V-B = 0, (0.2) Р(Г, t) = 22 Яа I fadv, j(r, t) = 2 Qa I vfadv. (0.3)
Здесь ЄЕ+-время;Е+ = (0, +oo); {r,v,t) Є Е3хЕ3хЁ+; E(r,t),B(r,t) - напряженность электрического поля и магнитная индукция; Е, В : Е3 х Ё+ - Е3; fQ : Е3 х Е3 х Ё+ - Ё+; p(r,t), j(r,t) - плотности заряда и тока; та, qa - масса и заряд частиц сорта а.; с - скорость света.
Отметим, что наиболее полное описание бесстолкновительной заряженной плазмы, в частности, высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля п Є N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц, дается именно кинетическим приближением (0.1)-(0.3), в котором плазма исследуется на основе уравнений Власова (0.1) и системы уравнений Максвелла (0.2), (0.3) с самосогласованным электромагнитным полем. Под этим подразумевается, что для решения кинетических уравнений Власова (0.1) относительно функций распределения fa(r,v,t) необходимо знать электромагнитные поля JE?(r, t), В (г, t), которые, в свою очередь, определяются из системы уравнений Максвелла (0.2), (0.3), содержащих моменты функций распределения: плотность пространственного заряда p(r,t) и плотность тока j{r,t). Иначе, электромагнитные поля E(r,t),B(r,t), определяемые согласно (0.2), (0.3), являются самосогласованными, поскольку из уравнений Власова (0.1) определяются такие распределения fa(r,v,t), которые вызывают появление электромагнитных полей E(r,t),B(r,t), поддерживающих эти распределения.
Таким образом, система (0.1)-(0.3) описывает коллективные взаимодействия п Є N различных сортов заряженных частиц и называется п-компонентной системой уравнений ВМ. Система ВМ является, в общем случае, существенно нелинейной системой интегродифференциаль-ных уравнений, имеет с математической точки зрения ряд особенностей [Самарский, 1980], не относится ни к одному из известных типов уравнений и не поддается до конца аналитическому исследованию [Batt, 1998].
Однако, в настоящей работе, при определенных предположениях относительно функций распределения /а(г, v,), удалось продвинуться и в этом направлении. В частности, предложен анзатц, сводящий систему ВМ (0.1)-(0.3) к нелинейному гиперболическому уравнению и доказано, что каждому решению этого уравнения соответствует семейство самосогласованных распределений fa(r,v,t) и электромагнитных полей E(r,t),B(r,t) исходной задачи (0.1)-(0.3). Кроме того, в этой работе ис следуется задача о существовании решений стационарной п-компонентной системы уравнений ВМ v • Vr/a + (Е + -vxB)- Vvfa = 0, (0.4) п „ V-E = 4ir 2qaJ fadv, Vx = 0, (0.5) a=1 КЗ V В = -jj qa J vfadv, V-B = 0, (0.6) а=1 R3 описывающей кинетическое равновесие плазмы в бесстолкновительном приближении, где fa(г, v) функция распределения частиц сорта а в расширенном фазовом пространстве (г, v) Є IR6; G13- вектор напряженности электрического поля; В Є R3 - вектор магнитной индукции; та, qa - масса и заряд частицы сорта а.
Описание заряженной плазмы на основе кинетического приближения (0.1)-(0.3) характерно тем, что знание функций распределения fa(r,v,t) позволяет получить полную информацию о макроскопических величинах, характеризующих плазму, например, таких, как плотность Na(r,t), средняя скорость Va(r,t) и температура Ta(r,t) частиц сорта а, определяемых формулами Na= fadv, Va = — I vfadv, Ta = - (v - Va)2fadv. R3 R3 R3 В прикладных исследованиях часто пренебрегают влиянием магнитного поля и рассматривают нестационарную предельную систему Власова- Пуассона (ВП) rJa + V- Vrfa + — Vr • Vvfa = 0, at ma n Д(/ (г, t) = 4тг ]Г fe J fadv, (0.7) или ее стационарный аналог п г vVrfa + - VripVvfa = 0, A p(r) = 4тг V qa / fadv. (0.8) Здесь t Є Й+; г Є СІ С М3; г Є Ж3 , p(r, t) - скалярный потенциал электрического поля E(r,t), удовлетворяющий уравнению Пуассона; E(r,t) = Vr(p(r,t). При решении системы ВП (0.8) ее обычно сводят либо к интегральному уравнению [Власов, 1950, 1966], либо, задавая вид функций распределения /а(г, г ), к нелинейным дифференциальным уравнениям [Власов, 1966; Gogny, Lions, 1989]. Причем при сведении к интегральному уравнению в одномерном случае удается явно построить точные решения [Власов, 1950] системы (0.8). В работе [Gogny, Lions, 1989] функция распределения f(r,v) для одного сорта частиц (электронов) задавалась в виде ( jYi \ 3/2 / TTllfl \ ЪМТ) ЄХР \ШГ + (Ф(Г) V) + (Г)J (0 9) с условием нормировки // f(r,v)drdv = 1, (0.10) R3 Q где Т Є К+ - температура электронов; к Є JR+ - постоянная Больцмана; /?(г),Ф(г) - функции, определенные в области ПсМ3и принимающие значения соответственно в R, Е3;г Є Сі С М3. Далее с учетом условий (0.9), (0.10) было показано, что система ВП (0.8) сводится к нелинейному эллиптическому уравнению -Аи = 4тг ехр [— и) I / е Р {— ги) dr I f{r) = u{r) + Л, Ф(г) EO.AGR, для г Є fl; где е - заряд электрона. В случае, когда плазма состоит из П\+ щ сортов частиц с различными массами и зарядами, то потенциал и = и(г) удовлетворяет нелинейному эллиптическому уравнению Пуассона-Больцмана і Аи = J2 е и ( / ехР (-№) dr ] - (0.11) =х \п -і П2 2_2VjeWlU I / ехр(UJJU) dr 1 , г Є Q, Xi, Vj Є R+, Hi,Uj Є ;1 \п + где г Є П с Ш3;и : О С I3 -» R. Задавая значение потенциала на границе и(г)=щ(г), г Є Oft, (0.12) краевая задача (0.11), (0.12) решалась в работе [Gogny, Lions, 1989] вариационным методом с использованием потенциальности уравнения (0.11). Существование и единственность классического решения краевой задачи (0.11), (0.12) с однородным граничным условием доказывалась [Krzywicki, Nadzieja, 1991] на основе техники априорных оценок с использованием теоремы Лере-Шаудера [Хатсон, Пим, 1983] о неподвижной точке.
Точные предельные свойства решения уравнения Пуассона - Больцма-на изучались в работе [Rubinstein, 1986]. Краевая задача (0.8) с условием р(г) =0 для г Є дії рассматривалась в [Веденяпин, 1986].
В настоящее время наиболее изученными установками, с точки зрения поведения плазмы, являются тороидальные магнитные ловушки (тока-маки) [Кадомцев, Сагдеев, Шафранов, 1985]. Такие установки предназначены для нагрева и достаточно длительного удержания высокотемпературной заряженной плазмы в квазистационарном состоянии, за счет того, что внешние и генерируемые токами плазмы магнитные поля не дают разлететься и остыть нагретой плазме.
В работе [Днестровский, Костомаров, 1982] показано, что при определенных предположениях равновесные конфигурации в плазме токамака описываются задачей на собственные значения для полулинейного эллиптического уравнения Аи + А/(г,и) = 0, и = и(х), x=(r,z)elcR2, (0.13) и 0, х є Q, и = 0, х Є Ш, где О - область сечения проводящего кожуха токамака в плоскости (г, z); dQ - граница области fi;/:Rx R+ —» R; А Є R - параметр, пропорциональный полному продольному току в плазме токамака. Причем граница dQ проводящего кожуха является магнитной поверхностью.
Вопросам несуществования, существования одного и разветвляющихся решений задачи (0.13) непосредственно посвящены работы [Похожаев, 1965; Gough, 1994] и примыкают исследования [Lions, 1982; Giacomoni, 1998]. Обобщение двумерной краевой задачи (0.13) на систему п Є N эллиптических интегродифференциальных уравнений и ее разрешимость (существование и единственность классического решения) будут проведены в этой работе.
Теперь кратко остановимся на задачах физики плазмы, при математическом моделировании которых возникает нелинейное вырождающееся параболическое уравнение второго порядка [Калашников, 1987].
Известно [Днестровский, Костомаров, 1982], что один из дополнительных методов нагрева плазмы токамака до термоядерных температур и, тем самым, увеличения ее макроскопических характеристик связан с инжекцией, поперек магнитного поля, пучка нейтральных частиц высокой энергии. Нейтральные частицы не отклоняются магнитным полем и поэтому их пучок легко проникает в плазму токамака. В плазме нейтральные частицы ионизируются, образовавшиеся в результате этого высокоэнергетичные ионы захватываются магнитным полем и за счет кулоновского механизма столкновений передают свою энергию электронам и ионам плазмы. Для медленных процессов эволюции в токамаке при классическом (кулоновском) переносе плазмы преобладающей является ее диффузия поперек магнитного поля [Днестровский, Костомаров, 1982]. Диффузия плазмы в аксиально-симметричных конфигурациях возникает только за счет перекрестных столкновений между электронами и ионами. Тем самым, в результате столкновений между собой, электроны и ионы будут диффундировать поперек магнитного поля.
Диффузия плазмы через магнитное поле изучалась в работах [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986; Kwong, 1988; Bertsch, Kamin, 1990} и описывается, в общем случае, нелинейными вырождающимися параболическими уравнениями второго порядка [Калашников, 1987] вида щ = Ад(и) + /(А, и), (t, x)Gt+x П, (0.14) и = 0, (t,x) еШ+ хдП, и = щ, {t,x) Є {0} х Г2.
Здесь R+ = (0,оо);17 СІ"- открытое ограниченное подмножество с границей класса С2+а;а Є (0,1); : Ё+ — Ш+ - непрерывная возрастающая функция; д(0) = 0;/:МхІ+- 1- непрерывная функция; д(-), /(А, •) - локально непрерывны по Липшицу; /(А, 0) = 0 для А Є R. Если д 1 непрерывна по Гельдеру, тогда v = д(и) Є C2+a(Q) - классическое решение краевой задачи
-Av = /i(A, и), а;€О,и = 0,хЕ ffi, (0.14) где h : R х R+ -+ R; h(\,v) = /{Х,д г{у)).
Основными инструментами исследования уравнения (0.14) являются [Похожаев, 1980,1991; Митидиери, Похожаев, 1998] метод обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационные методы, метод верхних и нижних решений, априорные оценки и, так называемый, метод теорем типа Лиувилля. Уравнение (0.14) эквивалентно уравнению ut = V- {K{u)Vu) + Q(A,w), и = u{x,t), х є Rn, (0.15) и К (и) = д (и), д(и) = J К($ Ц, и 0, о где К (и) коэффициент нелинейной теплопроводности, зависящий от температуры и — u(x,t) 0;Q(\,u) - функция, описывающая процесс тепловыделения или горения в среде с нелинейной теплопроводностью, если Q(A, и) 0 при и 0 и процесс поглощения тепла, если Q(A, и) 0.
В настоящее время имеется значительное число публикаций, посвященных исследованию уравнения (0.15). Приведем, например, обзорные статьи [Aronson, 1986; Калашников, 1987; Галактионов, Дородницын, Еле нин, Курдюмов, Самарский, 1987] и монографию [Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987]. В работах [Aronson, Peletier, 1981; Bertsh, 1982] для обобщенных решений начально-краевой задачи (0.14) в области Q с Ш1, а также [De Mottoni, Schiaffino, Tesei, 1984; Aronson, Crandall, Peletier, 1982] была построена качественная теория, аналогичная той, что развита в исследованиях [Белоносов, Зеленяк, 1975; Зеленяк, 1977] для равномерно параболических уравнений.
Уравнения (0.14), (0.15) описывают различные процессы нелинейной теплопроводности с источником (стоком) и одновременно протекающие процессы диффузии и, в частности, процесс диффузии тепла и горения нелинейной диссипативной среды с объемным энерговыделением при, так называемом, лазерном термоядерном синтезе [Самарский, Михайлов, 1997]. При этом процесс горения может осуществляться в виде сложных диссипативных структур [Самарский, Еленин, Змитриенко, Курдюмов, Михайлов, 1977; Самарский, 1980; Курдюмов, 1982], а распространение выделяющейся при этом энергии происходит в результате теплопередачи и описывается, в частности, задачей Коши щ = (К(и)их)х + Q(u), и(х,0) = щ(х), (0.16) где и = u(x,t); t Є М+; х Є R; K(u) = k0ua; Q{u) = q0uP; &o, 7o,cr Є R+; (3 1. В этих исследованиях показано, что, в зависимости от значений параметров а,/3, существуют различные режимы горения нелинейной среды. Например, при /3 1 может развиваться, так называемый, режим горения с обострением, когда температура u(x,t), по крайней мере, в одной из точек пространства обращается в бесконечность за конечное время. Иначе, существует г Є Ш.+ (t = т - момент обострения) такое, что решение и(х, t) 0 определено на (0, т) х R и lim sup u(x,t) = +00,
то есть задача Коши (0.16) не имеет глобального по времени решения. Неограниченные решения, или режимы с обострением, приводят к локализации в пространстве областей высокой температуры и к образованию пространственно-временных (нестационарных) диссипативных структур. Тем самым, локализация тепла и горения дает, в частности, возможность сконцентрировать любое количество энергии в ограниченных областях нелинейной среды, удерживать это тепло и горение в течение конечного времени практически без распространения из зоны локализации [Галактионов, Курдюмов, Михайлов, Самарский, 1980]. Следует отметить, что одним из примеров нестационарных диссипативных структур является эффект Т-слоя [Самарский, Дородницын, Курдюмов, Попов, 1974] в плазме. Суть этого эффекта состоит в том, что в замагниченной плазме при определенных условиях самопроизвольно могут возникать области относительно высокой температуры. Эти области, или Т-слои, обладают повышенной проводимостью. Тем самым, в них концентрируется основная часть плазменного тока, разогревающего плазму и поддерживающего в нем высокую температуру.
В настоящее время работы, посвященные исследованию системы (0.1)-(0.3) и уравнения (0.14), можно условно разделить на две большие группы, отличающиеся как используемыми методами, так и кругом рассматриваемых задач. Дадим очень краткий обзор1, выделяя в каждой группе работ лишь некоторые, наиболее близкие, на взгляд автора, к данной работе публикации.
Первую группу составляют исследования, связанные с доказательством теорем существования и единственности решений задач Коши, краевых и начально-краевых задач, а также с изучением различных динамических свойств решений, таких, как устойчивость, асимптотическое поведение [Poupaud, 1992; Braasch, 1996, 1997; Guo, 1997; Batt, 1998; Самарский, 1980; Калашников, 1987; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987].
Вторую группу составляют работы, посвященные методам построения точных, либо приближенных решений в том или ином явном виде [Mahajan, 1989; Марков, 1992; Batt, Fabian, 1993; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Galaktionov, 1991, 1995; Пухначев, 1995; Капцов, 1998]. К этой группе работ примыкают исследования [Batt, Berestycki, Degond, Perthame, 1988; Degond, 1990; Галактионов, Посашков, 1989; Galaktionov, 1990; Семенов, 2000], основанные на анзатце, позволяющим свести систему (0.1)-(0.3) или уравнение (0.14) к некоторой системе, соответственно, уравнению, которые поддаются разрешимости.
Нет смысла противопоставлять эти две группы работ. Обе они важны как для понимания особенностей поведения решений исследуемых задач (0.1)-(0.3), (0.14), так и для определения области их применимости при математическом моделировании тех или иных процессов в физике плазмы. Это замечание можно отнести ко всем нелинейным уравнениям математической физики.
Частные точные и приближенные решения дают достаточно полное представление о поведении макроскопических характеристик плазмы, таких, как плотность NQ, средняя скорость Va, температура TQ, в некоторых, представляющих интерес с физической точки зрения, ситуациях. Это, в свою очередь, подтверждает правильность выбора математической модели, основанной на системе (0.1)-(0.3) или уравнении (0.14). С другой стороны, строгие результаты, полученные в первой группе работ, позволяют судить о том, насколько исключительны частные точные решения, насколько они отражают общую ситуацию, существуют ли решения в целом или неограниченные решения (режимы с обострением) задач (0.1)-(0.3), (0.14).
Результаты, изложенные в диссертации, примыкают как к первой, так и ко второй группам работ.
Уравнению Власова (0.1) соответствует характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (0.17) г = «, i) = —[E + -vxB та \ с описывающая движение заряженных частиц в электромагнитном поле. Известно [Власов, 1966], что решением системы уравнений ВМ (0.1)-(0.3) являются произвольные функции вида /а = /а(Яв1,...,#ы), а = 1,2,...,п, (0.18) где Наъ • •, Hai - первые интегралы системы ОДУ (0.17). Кроме того, каждая из функций распределения fa(r, v, t) сама является первым интегралом системы (0.17), то есть -/о(г,,, ) = - + гг + г, = 0. (0.19) Уравнение (0.19) называется уравнением Лиувилля [Немыцкий, Степанов, 1949; Kaplan, 1953] относительно функции распределения fa(r:v,t) частиц сорта а для системы ОДУ (0.17). Причем вдоль решения характеристической системы (0.17) функция распределения fa(r,v,t) является постоянной и определяет классическое решение уравнения Власова (0.1) [Rein, 1990; Horst, 1990]. Этот результат есть не что иное, как классическая теорема Лиувилля об инвариантной мере [Арнольд, Козлов, Ней-штадт, 1985] (см. также формулы (1.9) главы I). Аналогично метод построения стационарных решений системы (0.4)-(0.6) состоит во введении анзатца fa{r v) = (pa(Iai,...Jai), а = 1,2, ...,п, (0.20) где lai = Iaii v); г Є Q С Е3; v Є Е3; ра : К — Е - некоторые фиксированные функции своих аргументов; Іаі, , Iai • xR3 —» E -первые интегралы уравнения Власова (0.4); (ра, Iai,..., Iai непрерывно дифференцируемые функции. Причем анзатц (0.20) редуцирует стационарную систему уравнений ВМ (0.4)-(0.6) к нелинейной системе эллиптических уравнений. Действительно (см. раздел 2 главы I), если отыскивать стационарные распределения вида Mr,v) = }г(-оц\у\2 + (pi, (t , ck) + ФІ) = /І(Я, G), (0.20) щ = pi(r) : E3 - E, фі = фі(г) : E3 -+ R, r Є П С E3; v Є E3; a{ Є E+, di Є E3 (г = 1, 2,... ,n), и соответствующие им самосогласованные электромагнитные поля Е(г), В (г), удовлетворяющие (0.4)-(0.6), тогда приходим к совместному исследованию системы нелинейных эллиптических уравнений Аср = fi 2Як / fkdv, Ai) = v 2qk(v,d)fkdv, (0.21) в области fi СІ2. Здесь ai:di: \сЦ\ Ф 0 - свободные параметры; д = 87raq/m; v = -47г#/(тс2); а = оц; q = q\\ т = т d = d\. Далее рассматривается редукция системы (0.21) к одному нелинейному эллиптическому уравнению. Конкретизируя вид функций распределения (0.20), представляющих интерес в теории высокотемпературной плазмы [Ладиков, 1978], fi = ехр(-сф2 + (v, dk) + k p + кгф + 7г) (г = 1, 2,..., п), (0.22) и полагая, что fi удовлетворяют условию нормировки (0.10), система (0.21) запишется д = ,j, J2 qie +k I [ ехр(1цр + ki\l))dx г=1 -1 А = Р1Ь qjebv+W) I J exp(li p + kn/ )dx J , (0.23) где tf = /?(#), ф — ф{х) - потенциалы электрического и магнитного полей; я € П С R2. В работе [Марков, Рудых, Сидоров, Синицын, 1989] система (0.23) исследовалась в двух предельных случаях и сводилась к одному уравнению вида (0.11). Причем, зная решение уравнения (0.11) и граничное значение потенциала у?ап, можно определить искомые электромагнитные поля. Далее (см. раздел 3 главы I) рассматривается общий случай, когда систему (0.23) нельзя свести к одному уравнению эллиптического вида. В этом случае доказывается разрешимость (существование и единственность классического решения) задачи Дирихле для системы (0.23). Причем в случае одного уравнения вида (0.11) при нарушении условий ХІ, І/І Є К+ (г = 1,2,... ,п) свойство единственности решения может теряться. Например, этот факт следует из анализа упрощенного уравнения Аи + Хе2и I j exp(2u)dx ) = 0, х Є Q С R2, с однородным условием Дирихле, которое допускает разветвляющиеся решения [Hesse, Schinder, 1986]. Существование разветвляющихся реше ний задачи Дирихле для уравнения Лиувилля Аи + еехри = 0, є Є R+, рассмотрено в [Dancer, 1988]. Теперь кратко остановимся на некоторых аспектах теоремы и уравнения Лиувилля для системы обыкновенных дифференциальных уравне ний(ОДУ) х = Х(х, t), x(t0) = х° € Rn, (0.24) где х Є Rn; J = {t : t0 t +00}; Xi(x,t) Є С Д)(С); G = fix J; Q С Rn - область (открытое связное множество). При выполнении этих условий через каждую точку х° М.п в любой момент времени to проходит единственное решение x(t) = x(x°,to,t) задачи Коши (0.24). Известно, что системе ОДУ (0.24) соответствует уравнение Лиувилля [Немыцкий, Степанов, 1949; Kaplan, 1953] -f(x, t) = Cf{x, t), /(x, t0) = /0(x). (0.25) Здесь П о • = - 2 я №(х )•] = -div[X(x, t)-]- (0.26) г=і x% оператор Лиувилля, относительно которого, исходя из специфики функции f(x,t) Є L2(Rn), t Є J, будем предполагать, что С действует согласно формуле С : C0°°(Rn) - L2(Mn), (0.27) fo(x) - функция, обладающая свойствами /о( ) 0, /oWeCS°(Rn), Jf0(x)dx = l, (0.28) xfait) = divX(x,t) -дивергенция векторного поля системы ОДУ (0.24); D(x(x°, to, t)t) = det gj0,t - якобиан отображения x° — x(x(x°, t0,t)] S(x,t) = det x Q - якобиан отображения x(x°, to,t) — x°; X{x(x°,to,t),t) - дивергенция векторного поля системы ОДУ (0.24), вычисленная вдоль ее решения x(t) = x(x°,to,t).
Ансамблем Гиббса [Гиббс, 1946] системы уравнений (0.24) назовем множество идентичных систем вида (0.24) с одинаковыми правыми частями и отличающимися друг от друга лишь начальными состояниями. Если систему ОДУ (0.24) трактовать как закон движения изображающей точки х в Rn, то ансамблю Гиббса системы уравнений (0.24) будет соответствовать в IRn ансамбль изображающих точек. Пусть flt0 с fl - компактное множество меры Лебега mesf 0, занимаемое ансамблем изображающих точек Гиббса системы (0.24) в момент времени t = to. Каждая из изображающих точек х° Є flt0, двигаясь по траекториям системы ОДУ (0.24), переместится за время от to ДО t в новое состояние х(х°, t0,t) = T(t,t0)x° Є fit С fl, где T(t,to) -оператор сдвига [Красносельский, 1966] вдоль траекторий системы (0.24); flt = {x(x°,to,t) = T(t,to)x° : х° Є flto} - образ множества flto в силу системы ОДУ (0.24). Итак, имеем flt = T(t,to)flt0- Пусть mesQf - мера Лебега множества fit Cfln. Функцию /о(ж) со свойствами (0.28) будем трактовать как плотность вероятности распределения ансамбля изображающих точек Гиббса системы (0.24), принадлежащего множеству flto. Текущее значение функции плотности вероятности распределения f(x,t) Є L2(MTi),t Є J, определяется из задачи Коши (0.25), (0.26) и характеризует состояние ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ (0.24) в образе fit множества flt0. Будем говорить, что для системы уравнений (0.24) выполняется предположение А, если для всех изображающих точек х° С flt0 решение x{t) = x(x°,to,t) последней нелокально продолжимо [Красносельский, 1966] на J и остается в fl при всех t to- Под классическим решением задачи Коши (0.25) с оператором (0.26), действующим согласно (0.27), будем понимать функцию f(x,t) € Zf2(Kn), которая, будучи подставленной в уравнение Лиувилля (0.25), обращает последнее в тождество. Тогда имеет место следующий результат [Рудых, 1987].
Теорема 0.1. Пусть для системы ОДУ (0.24) выполняется предположение А и ансамбль изображающих точек Гиббса последней характеризуется в компактном множестве flt0 С fl начальной функцией плотности вероятности распределения fo(x) со свойствами (0.28) Пусть ftt = {x(x°,to,t) = T(t,to)x° : х° Є flt0} - образ множества flt0 в силу системы (0.24) и D(x(x°,to,t),t) ф 0. Тогда оператор сдвига T(t,to) вдоль траекторий системы ОДУ (0.24) определяет гомеоморфизм множества flt0 С Г2 в множество fit С fl и для всех t Є J существует единственное классическое решение задачи Коши (0.25)-(0.27), обладающее свойствами
f(x, t) 0, /(rr, t) €Е С§°(КП), J f(x, t)dx = 1, (0.29) f(x{x°,t0,t),t) = f0(x°) exp[- Jх(Ф°,«o, )»0 d l = (0-30) to = fo(xQ)/D(x(x0,t°,t),t), t /(M) = /o(p(z,Mo))exp[- / х(яЫ ,Мо), о,т),т)с1т] = (0.31} = fo(p(x,t,to))S(x,i). Помимо этого, справедливы соотношения -\rLD(x(x0,to,t):t) = x{x{x0,to,t),t),D(x(x0,t0,t),t)\t=;to = 1, (0.32) = CS{x,t), S(x, )U = 1, (0.33) t mesQt = / exp [ / x(a;(x0, 0, ), 0 dt]dx°, (0.34) mesf = I x(xir)dxdr+ mesQtQ, (0.35) fit где - оператор Лиувилля (0.26); p(x,t,to) = Т г(Ь о)х = x°.
В работах [Немыцкий, Степанов, 1949; Зубов, 1982] функция p(x,t), удовлетворяющая уравнению Лиувилля (0.25),(0.26), трактовалась как ядро или плотность интегрального инварианта. Разрешая п соотношений х = x(x°,t0,t) относительно п начальных состояний х° (что возможно, так как отображение, осуществляемое оператором сдвига T(t, to), является гомеоморфным, более того, выполняются условия теоремы о неявной функции), имеем х° = T-l(t,t0)=p(x,t,t0), (0.36) где р(х, t, to) - функции, являющиеся п независимыми первыми интегралами системы ОДУ (0.24).
Теорема 0.2 [Зубов, 1982]. Пусть (1) решение х = x(x°,to,t) системы (0.24) существует при t Є (—со,+оо), to Є (—со,+со),а;0 Є W1; (2) векторная функция (0.36) существует при t Є (—оо,-foo),o Є (—со, +оо),а: є Шп. Тогда каждой неотрицательной функции ро{х) ф 0, заданной при х Є Rn, непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам, отвечает единственное неотрицательное решение р(х, t) уравнения Mj + v.[X(x,t)p(x,t)]=Q, такое, что p(x,t) = Ро(х) при t = to. При этом p(x,t) является ядром интегрального инварианта системы (0.24).
Формулировку знаменитой теоремы Лиувилля, помимо его оригинальной работы [Liouville, 1838], можно найти в трудах Якоби, Больцмана,. Пуанкаре, различные ее аспекты изложены в курсе математического анализа [Гурса, 1936] и в более поздних публикациях [Соболев, 1962; Fronteau, 1965; Guiasu, 1967; Арнольд, 1974, 1975; Федорюк, 1985]. Переход от детерминированного описания динамических систем к вероятностному обсуждался в отечественной и зарубежной литературе неоднократно и связан с, так называемой, проблемой обоснования статистики [Хинчин, 1943; Крылов, 1950; Боголюбов, 1946, 1954, 1969, 1970], заключающейся в установлении связи между вероятностным и детерминированным описаниями динамических систем [Митропольский, Боголюбов, Прикарпатский, Самойленко, 1987]. По-видимому, в работах Н.М. Крылова, Н.Н.Боголюбова (см. избранные труды [Боголюбов, 1969, с.480-497; 1970, с.5-76]) впервые использовалось классическое уравнение Лиувилля frf( l,P,t) = [H(q,p,t),f(q,p,t)], f(q p,t0) = f0(q,p), для вероятностного описания системы канонических уравнений Гамильтона д д ft=o—#(g,p,i), Pi = —zrH{q,p,t), qi(t0) = qi, p»( o)=P?, dpi oqi п , г=1 со случайными начальными состояниями, распределенными в фазовом пространстве R2n. Здесь q,p Є Rn - вектор обобщенных координат и сопряженный вектор обобщенных импульсов; to t +оо); H(q,p,t) Є С°°(Ш2п+1) - функция Гамильтона; дН д]_ _ dHdf dqidpi dpidqi - скобка Пуассона; fo(q,p), f(q,P,t) - начальная и текущая функции плотности вероятности распределения ансамбля изображающих точек Гиббса [Гиббс, 1946] системы канонических уравнений в Ш2п со свойствами Мя,Р) 0, / f0(q:p)dqdp = 1, / f(q,p,t)dqdp = 1.
Теорема и уравнение Лиувилля являются эффективным инструментом и широко используются при доказательстве теорем существования [Повзнер, 1964], синтезе оптимальных управлений пучками траекторий [Овсянников, 1980; Рудых, 1982], исследовании устойчивости [Fronteau, 1965; Рудых 1982, 1983, 1984; Жуков, 1992], анализе различных динамических свойств [Misra, 1978; Steeb, 1979; Рудых 1982, 1987], качественном изучении [Fronteau, 1979; Рудых 1982; Жуков, 1992] систем обыкновенных дифференциальных уравнений, динамических систем [Корнфельд, Синай, Фомин, 1980] и, наконец, при выявлении стохастических режимов [Синай, 1979] последних.
Кроме того, теорема и уравнение Лиувилля играют весьма важную роль в статистической механике [Хинчин, 1943; Крылов, 1950; Боголюбов, 1946, 1954; Пригожий, 1964] не только в связи с проблемой обоснования статистики, но и с выяснением структуры состояния системы многих тел и процессов стремления ее к равновесию. Теорема Лиувилля об инвариантной мере [Арнольд, Козлов, Нейштадт, 1985] является основой качественных методов в исследовании проблемы п- тел в классической механике [Хильми, 1951, 1958] и звездной динамике [Батт, 1986; Guo, Rein, 1998]. Помимо этого, уравнение Лиувилля является отправной точкой как для эргодической теории [Корнфельд, Синай, Фомин, 1980], так и для кинетической теории необратимых процессов, например, для вывода системы интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950, 1966]. В самом деле, из работ [Власов, 1950, 1966] следует, что уравнение Власова может быть получено из уравнения Лиувилля для функции распределения всех заряженных частиц данного сорта а, если пренебречь корреляциями частиц и предположить, что многочастичная функция распределения является произведением одно-частичных функций распределения. Использование теоремы Лиувилля в исследовании системы уравнений ВМ можно найти в работах [Мас-лов, Федорюк, 1985; Schwarz, 1986; Lewis, Barnes, Melendez, 1987; Horst, 1990; Rein, 1990]. Бесконечномерный гамильтонов формализм для бесконечномерной системы ВМ развит в работах [Morrison, 1980; Weinstein, Morrison, 1981; Marsden, 1982]. В этих публикациях вводится техника вычисления скобок Пуассона для системы уравнений ВМ и показано, что
последняя является бесконечномерной гамильтоновой системой, то есть допускает представление в виде уравнения Лиувилля.
Наконец, в исследованиях [Fronteau, Combis, 1984; Chaljub-Simon, Fro-nteau, 1986] применялась теорема Лиувилля, а в работах [Рудых, Семенов, 1990, 1991, 1993, 1995, 1997, 1998, 2000; Рудых, 1998, 2000; Rudykh, Semenov, 1990, 1991] - уравнение Лиувилля для построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений. Большинство из построенных на основе уравнения Лиувилля точных решений нелинейных эволюционных уравнений не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда [Овсянников, 1978; Ибрагимов, 1983]. Построению точных неотрицательных решений квазилинейных параболических уравнений нелинейной теплопроводности посвящено большое число публикаций. Укажем лишь наиболее близкие исследования [Баренблатт, 1952, 1956; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Галактионов, Посашков, 1988, 1989, 1994; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1994, 1995; Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983; Кершнер, 1978; Косыгина, 1994, 1995; Мартинсон, 1979, 1982, 1986; Овсянников, 1959; Пухначев, 1987, 1994, 1995; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987; Свирщевский, 1995; Аристов, 1999; Сидоров, 1985; Титов, 1988, 1996; Титов, Устинов, 1985; Фущич, Штелень, Серов, 1989; Bertsch, Kersner, Peletier, 1985; Galaktionov, 1990, 1991, 1995; Herrero, 1989; King, 1993; Meirmanov, Pukhnachev, Shmarev, 1997; Olver, 1991, 1994; Peletier, Zhang, 1995], в которых можно найти ссылки на другие исследования.
Точные решения нелинейных дифференциальных и интегродиффе-ренциальных уравнений с частными производными, задача построения которых является сама по себе самостоятельной математической проблемой [Калоджеро, Дегасперис, 1985], играют весьма важную роль практически во всех областях современной математической физики. Дело в том, что при математическом моделировании [Самарский, Михайлов, 1997] исследуемого физического явления (объекта) наиболее интересные закономерности, как правило, обусловлены его нелинейным поведением. С другой стороны, математическая модель в первую очередь отражает наиболее общие закономерности исследуемого объекта, такие, как законы сохранения, правила отбора и т.п., являющиеся следствием его симмет-рийных свойств, исследованию которых посвящена обширная литература. За последние три десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении и исследовании точных решений широкого класса нелиней ных дифференциальных и интегродифференциальных (например, система Бенни) уравнений с частными производными. Используемые при этом алгеброгеометрический и аналитический подходы в основном связаны с методом обратной задачи рассеяния [Лаке, 1969; Захаров, Шабат, 1974, 1979; Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский, 1980]. Однако [Маслов, Данилов, Волосов, 1987] к полулинейным, а тем более к нелинейным параболическим уравнениям второго порядка неприменим метод обратной задачи рассеяния. В связи с этим, в работе [Маслов, Данилов, Волосов, 1987, с. 177-209], прямым методом [Хирота, 1983], с небольшими модификациями и с использованием Паде-аппроксимации, построены точные одно и двухфазные решения широкого класса одномерных полулинейных параболических уравнений.
Возникает естественный вопрос, для чего нам нужны точные аналитические решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Дело в том, что точные решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными служат прекрасными тестами для приближенных методов их интегрирования, дают представление о структуре решения и позволяют провести его качественный анализ. Хорошо известно, что метод дифференциальных связей [ Сидоров, Шапеев, Яненко, 1984; Андреев, Капцов, Пухначев, Родионов, 1994; Кап-цов, 1998] является одним из эффективных методов выделения классов точных решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными и содержит в качестве частных случаев методы построения промежуточных интегралов, функционально-инвариантных и автомодельных решений.
Итак, точные решения квазилинейных параболических уравнений наглядно демонстрируют и позволяют разобраться в механизме таких важных физических явлений, как неограниченные решения, или режимы с обострением, эффекты локализации режимов с обострением, приводящих к образованию нестационарных диссипативных структур, асимптотическое поведение положительных решений, множественность или отсутствие стационарных состояний и т.п.[Самарский, Галактионов, Кур-дюмов, Михайлов, 1987; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Ахромеева, Курдюмов, Малинецкий, Самарский, 1992].
Следует отметить, что даже частные точные решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, играют важную роль тестовых примеров при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и при ближенных аналитических методов. С другой стороны, так как исследуемые уравнения являются нелинейными и построить их общее решение из частного нельзя, то наборы частных точных решений последних служат своего рода ориентирами или границами среди множества всех возможных решений. В связи с этим, частные точные (в частности, автомодельные) решения нашли широкое применение [Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987] в принципе максимума и теоремах сравнения, когда исследование многих важных аспектов качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными опирается на специальное сравнение с пространственно временной структурой построенного точного решения. Тем самым, принцип максимума и теоремы сравнения позволяют сопоставить различные решения исследуемого нелинейного параболического уравнения и дают возможность с помощью какого-то одного фиксированного (точного) решения описать и изучить свойства широкого класса других решений.
Задача нахождения в замкнутом виде точных решений нелинейных уравнений математической физики является очень трудной и порой непреодолимой. Сложность обусловлена, главным образом, либо нелинейностью уравнений, либо большим числом переменных. Поэтому получили широкое распространение исследования (см. работы [Galaktionov, 1991; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1995; Свирщевский, 1995] и цитируемую в них литературу), связанные с проблемой отыскания конечномерных линейных пространств, инвариантных относительно заданного оператора. Показано, что изучаемая проблема, в общем случае, сводится к некоторой нелинейной задаче на собственные значения.
С другой стороны, многие важные нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными обладают некоторой внутренней структурой, знание которой позволяет отыскивать точные решения, исходя из соображений симметрии. Одним из таких уравнений является уравнение нелинейной теплопроводности с источником (стоком) вида (0.15).
Для уравнения (0.16) в исследовании [Овсянников, 1959] впервые решена задача групповой классификации в одномерном случае и отсутствии объемных источников тепла. В работах [Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983] проведен групповой анализ уравнения (0.16) соответственно в одномерном и многомерном случаях (п — 2,та = 3).
В работе одним из объектов исследования является уравнение нелинейной диффузии:
щ = V • (uAVu), и = n(x,i),xeEn,n l, (0.37)
которое обладает различными, в зависимости от знака параметра Л Є R, Л 0, свойствами. Если Л 0, тогда (0.37) является квазилинейным параболическим уравнением с неявным вырождением [Калашников, 1987]. Другими словами, уравнение (0.37) является параболическим при и 0, а при и — 0 вырождается в нелинейное эволюционное уравнение первого порядка типа Гамильтона-Якоби. Исследованиями [Олейник, 1957; Олейник, Калашников, Чжоу Юй-Линь, 1958] было начато построение строго математической теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений, а затем продолжено в монографиях [Антонцев, 1986; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987] и обзорных работах [Kersner, 1978; Мартинсон, 1982, 1986; Калашников, 1987; Aronson, 1988]. С вырождением уравнения (0.37) связаны некоторые особые свойства его решений, например, конечность скорости распространения носителей решений [Олейник, Калашников, Чжоу-Юй-Линь, 1958; Калашников, 1967, 1972]. В свою очередь, с конечностью скорости распространения носителей решений уравнения (0.37), при Л Є М+, связаны многие другие типичные свойства последнего [Калашников, 1987; Антонцев, 1986]: наличие (1) режимов с обострением (несуществование глобальных по времени решений); (2) эффектов локализации режимов с обострением; (3) инерции (конечной или бесконечной временной задержки) начала распространения носителя решения и т.п.
С другой стороны, если Л Є Ш , то в этом случае типичным свойством решений уравнения (0.37) является свойство обращения их в нуль за конечное время. Эффект полного остывания для уравнения (0.37) при Л 0, рассматриваемого в ограниченной области О Є Еп(и(х, t) = 0 на 0Q), известен сравнительно давно [Сабинина, 1962].
Уравнение (0.37) при Л 0 описывает процесс нестационарной фильтрации, называется уравнением пористой среды и возникает в задачах распространения тепла и диффузии в средах с большими температурными перепадами [Калашников, 1987]. Уравнение (0.37) при Л 0 описывает диффузионные процессы в полупроводниках, кристаллическом водороде, плазме [Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Калашников, 1987; Пухначев, 1994, 1995] и называется уравнением быстрой диффузии. Наконец, при Л = — 1 уравнение (0.37) запишется щ = Л In и, и = и(х, ), х Є Rn, n 1. (0.38)
Уравнение (0.38), согласно общепринятой терминологии, является предельной формой уравнения быстрой диффузии и описывает [Пухначев, 1995] при п = 2 процесс растекания сверхтонкой пленки жидкости под действием сил Ван-дер-Ваальса, а для п = 3 - эволюцию плотности электронного пучка, подчиненного распределению Максвелла. Отметим, что уравнение (0.38) при п = 2 является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа допустимых преобразований бесконечномерна и называется предельным уравнением быстрой диффузии. Несмотря на большое число работ, посвященных построению точных неотрицательных решений уравнения (0.37), большинство из них относится к случаю, когда Л 0. Известных нам работ, в которых строятся частные точные неотрицательные решения многомерного уравнения быстрой диффузии, значительно меньше. Поэтому основное внимание в-соответствующих главах диссертации уделено построению точных неотрицательных решений многомерных уравнений быстрой и предельной диффузии.
Настоящая работа посвящена исследованию интегродифференциаль-ной системы уравнений ВМ и уравнения нелинейной теплопроводности.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Нумерация формул, утверждений и теорем двузначная в пределах каждой главы, первая цифра соответствует номеру раздела. В ссылках на формулы, утверждения и теоремы из других глав добавляется цифра, соответствующая номеру главы, которая ставится в начале. Наконец, обзор работ, примыкающих к результатам диссертации, проводится по главам.
Глава I посвящена вопросам стационарных и квазистационарных решений гг-компонентной интегродифференциальной системы уравнений ВМ путем задания функций распределения fa(r,v,t). В разделе 1 проведен обзор исследований по кинетическим и параболическим моделям физики плазмы, а также сформулирована постановка задачи. В разделе 2 изучаются стационарные решения n-компонентной системы уравнений ВМ. Показано, что при определенных предположениях (с использованием анзатца специального вида) стационарная n-компонентная система уравнений ВМ может быть сведена к исследованию задачи Дирихле для системы нелинейных эллиптических уравнений (задача Л).
Доказано, что каждому решению этой задачи соответствуют самосогласованные электромагнитные поля и функции распределения. Рассмотрена редукция задачи Л к одному нелинейному эллиптическому уравнению. В разделе 3 задача Л сводится к задаче Дирихле для равномерно эллиптической нелинейной системы, содержащей нелокальные (интегральные) операторы. В предположении существования верхних и нижних решений, удовлетворяющих некоторым неравенствам, доказывается существование единственного классического решения изучаемой задачи Дирихле. В разделе 4 строятся специальные классы точных решений стационарной системы ВМ. В разделе 5 проводится редукция нестационарной п-компонентной системы уравнений ВМ к нелинейному гиперболическому уравнению (уравнение В). Показано, что при определенных предположениях каждому решению уравнения В соответствует семейство решений исходной системы уравнений ВМ. В разделе б исследуется нестационарная n-компонентная система уравнений ВМ с внешними источниками, актуальная в связи с проблемой управления плазмой.
В главе II строятся (с использованием уравнения Лиувилля) новые точные неотрицательные решения одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности. В разделе 1 получены и исследуются преобразования Беклунда, связывающие решения одномерного уравнения нелинейной теплопроводности с родственными уравнениями. В разделе 2 строятся точные неотрицательные решения уравнения нелинейной диффузии без источника (стока). В разделе 3 получены новые точные неотрицательные решения уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком), зависящим от температуры. В разделе 4 исследуется уравнение нелинейной диффузии с источником (стоком) специального вида.
В главе III на основе уравнения Лиувилля и путем конструктивного построения, исследуется существование точных неотрицательных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности с конечной скоростью распространения возмущений. В разделе 1 изучается квазилинейное уравнение теплопроводности без источника (стока). Исследуемое уравнение представляется в виде переопределенной (число уравнений превосходит число искомых функций) относительно температуры u(x, t) системы. В разделе 2 проводится исследование совместности переопределенной системы уравнений в важном частном случае. В разделе 3 с использованием теоремы о потенциальных операторах проводится исследование совместности переопределенной системы уравнений в общем случае. Получены как достаточные, так и необходимые и достаточные условия совместности изучаемой переопределенной системы уравнений. В разделе 4 изучается многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности с источником (стоком).
Глава IV посвящена вопросам существования и конструктивного построения с использованием уравнения Лиувилля и теоремы о потенциальных операторах точных неавтомодельных анизотропных по пространственным переменным явных неотрицательных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. В разделе 1 изучаемое уравнение представляется в виде переопределенной системы уравнений и исследуются условия совместности последней. В разделе 2 предлагается нетривиальная конструкция точного неотрицательного решения многомерного уравнения нелинейной диффузии в виде "конечной суммы". Показано, что подстановка предъявленной конструкции в исследуемое уравнение приводит к необходимости изучения конечномерной разрешающей системы. Так как в общем случае исследование разрешающей системы уравнений сопряжено с большими трудностями, то в разделе 3 рассматривается частный случай, когда последняя сводится к конечномерной переопределенной (число уравнений больше числа искомых функций) системе алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ). Кроме того, в этом разделе, в зависимости от вещественных параметров, проводится качественный анализ решений задачи Коши для некоторого вспомогательного нелинейного ОДУ. Это исследование (в дальнейшем) позволяет проанализировать поведение точных неавтомодельных анизотропных по пространственным переменным явных неотрицательных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. В разделе 5 исследуется разрешимость задачи Коши для матрично-векторно-скалярной системы ОДУ. В разделах 5, 6 доказываются теоремы существования решений задачи Коши для переопределенной системы АДУ. Наконец, раздел 7 посвящен некоторым обобщениям, замечаниям, комментариям и примерам.
Существование стационарных решений п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла
Рассмотрим стационарную п- компонентную систему уравнений ВМ описывающую кинетическое равновесие плазмы в бесстолкновительном приближении, где fi = fi(r,v) 0 - функции распределения заряженных частиц сорта і в расширенном фазовом пространстве (г, v) Є R3 xR3; Е(г), В (г) - напряженность электрического поля и магнитная индукция; Е,В Є И3; пц, q% - масса и заряд частицы сорта і. Будем отыскивать стационарные распределения вида и соответствующие им самосогласованные электромагнитные поля Е, В, удовлетворяющие (2.1)-(2.5). Итак, предположим, что fi(R,G) - фиксированные дифференцируемые функции своих аргументов и oti R+, di Є R3 - свободные параметры, I di І ф 0. Неизвестные функции , тД следует определить таким образом, чтобы система уравнений (2.1)-(2.5) удовлетворялась при (E(r), di) — 0, і = 1, 2,..., п. Заметим, что это условие является необходимым для разрешимости (2.1) в классе (2.6) при J fi \V=Q= 0 Редукция задачи (2.1)-(2.5) к системе нелинейных эллиптических уравнений. Построим систему уравнений для определения функций ipi = Pi(r) : R3 — R, фі = фі(г) : R3 — R, порождающих электромагнитные поля E(r), В(г). Подставляя (2.6) в (2.1) и приравнивая к нулю коэффициенты при Щ/І и /г, получим Здесь pi, ipi - пока произвольные функции, удовлетворяющие условиям Е = Е(г), В — В (г). Вектор В{г) имеет вид где Лг(г) = (B(r),di) - функции, подлежащие определению. Определив Pi , фі так, чтобы уравнения (2.2)-(2.5) удовлетворялись, мы сможем найти искомые функции / , Е, В по формулам (2.6), (2.7), (2.12). В силу (2.7), (2.8) неизвестные векторы Vy?j, фі являются линейно зависимыми. Тем самым, будем отыскивать (рі, фі в следующем виде: где СЦ, С2І, k, кі R. Из формул (2.7), (2.8) следует, что параметры /f, / связаны соотношениями Помимо этого, из (2.14), (2.15) имеем kiaidi = kaidi: = fci = 1, то есть векторы d{ линейно зависимы. Далее, из (2.4), с учетом (2.7), получим систему С другой стороны, формула (2.5) с учетом (2.12) приводит к неоднородной системе линейных алгебраических уравнений относительно VAz(r): Теорема [Петровский, 1965]. Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы вектор свободных членов этой системы был ортогонален ко всем вектор-решениям сопряженной однородной системы. Итак, справедлива Теорема 2.1. Для разрешимости (2.18) необходимо и достаточно, чтобы функции фі(г) удовлетворяли системе уравнений Далее, учитывая (2.13)-(2.15), нетрудно убедиться, что функции р(г), ф(г) удовлетворяют системе Утверждение 2.1. Вектор d{ x J(r) является потенциальным и единственным решением системы (2.18), удовлетворяющим условиям (2.17). Доказательство. Так как чр(г) удовлетворяет (2.22), то функция (2.20) является общим решением системы (2.18).
С другой стороны, из (2.17) с учетом (2.20) следует, что Сг(г) = 0. Тем самым, вектор diXj(r) является единственным решением системы (2.18), нагруженной условиями (2.17). Покажем, что di х J (г) - потенциальный вектор. Действительно, имеет место равенство V х [di х J (г)] = (J V)d — (di V) J, причем (J V) = 0. Итак, выполняется соотношение V х [di х J (г)] = —(di V)J, где J = V х J9, что следует из (2.5). Следовательно, справедлива цепочка равенств (di V) J = (di V) V х В = V х (сЦ V)B. С другой стороны, в силу (2.12), приходим к соотношениям причем (d», VAj) = 0, (di,Vipi) = 0. Тем самым, Vx x J(r)] = 0. Утверждение доказано. Следствие 2.1. Итак, формула (2.20) упрощается и принимает вид Утверждение 2.2. Пусть в области flcl3 задано векторное поле Ъ(х) = (Ьі(х),Ь2(х)іЬз(х)), х Є П, компоненты которого удовлетворяют условиям Пусть на Q С R3 определена непрерывно дифференцируемая функция Х(х), связанная с Ь(х) зависимостью VX(x) = b(x). Тогда имеет место соотношение Доказательство. Векторное поле Ь(х) называется потенциальным, если существует дифференцируемое скалярное поле Х(х), такое, что b(x) = WX(x). Так как V х (VA(#)) = 0, то потенциальное поле Ъ{х) является безвихревым. Обратное верно, если область Q, С Ж3, занятая полем Ь(х), односвязна. С другой стороны, известно [Berger, 1968], что для потенциальности векторного поля Ь(х), определяемого формулой b(x) = VA(:r), необходимо и достаточно, чтобы его компоненты удовлетворяли условиям (2.24). При этом соответствующий потенциал Х(х) определяется, согласно теореме о потенциальных операторах [Вайнберг, 1956], по формуле (2.25). Утверждение доказано. Следствие 2.2. Так как вектор (2.23) является потенциальным, то учитывая формулы (2.13)-(2.15), приходим к справедливости равенства
Редукция нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла к нелинейному гиперболическому уравнению
Рассмотрим нестационарную систему уравнений Власова-Максвелла (1.1)-(1.7). Пусть fi(s) - произвольные, фиксированные, дифференцируемые функции своего аргумента. В этом разделе, мы будем отыскивать распределения вида поля E(r,t),B(r,t), удовлетворяющие (1.1)-(1.7). Определение 5.1. Будем говорить, что выполнено условие (D), если функции распределения /$ имеют вид (5.1), где /г- - произвольные дифференцируемые функции, такие, что Нетрудно убедиться, что если функции Fi(r, t), вектор-функции E(r, t), B(r,t) и векторы d{ Є R3 связаны соотношениями то функции распределения (5.1) удовлетворяют уравнению Власова (1.1) и имеют место следующие уравнения Вводя в рассмотрение вспомогательные векторы Ki = (KiX(r,t), Kiy{r,t), Kiz(r,t)) сведем уравнения (5.3) к системе Отметим, что система уравнений (5.7) разрешима относительно вектора В тогда и только тогда, когда выполняются равенства Будем отыскивать функции Fi(r,t) и векторы Ki(r,t) в виде где m = mi, a = oii; q = q\, d = d\\ 7(7-, ) = 71 (r, ). Причем справедливо равенство (K(r,t),d) = 0. Функция u(r,t), в силу (5.2), (5.8) должна удовлетворять линейному гиперболическому уравнению Обозначим через Kerb подпространство нулей оператора L. Если теперь определить функции u(r,t),K(r,t) так, чтобы E(r,t),B{r,t) удовлетворяли уравнениям Максвелла (1.2)-(1.7), в которых то по формулам (5.11), (5.12), (5.18) построим искомые решения E(r,t),B(r,t),fi(r,v,t) системы ВМ (1.1)-(1.7). Итак, имеет место Утверждение 5.1. Пусть для fi выполнено условие (D), где Пусть E,B имеют вид (5.15), (5.16), причем (K(r,t),d) = 0, a 7(7-, t) - произвольная функция. Пусть плотности заряда р и тока j, определяются формулами Тогда и функции распределения fi удовлетворяют уравнениям Власова (1.1). Ясно, что из условия (D) следует сходимость интегралов j fidv, f vfcdv, R3 К3 где fi определяются согласно (5.1). Справедливость (5.19) непосредственно вытекает из уравнения неразрывности и уравнения которое является следствием (5.5). Помимо этого, на основании утвер Kerb. Далее, подставляя (5.15), (5.16) в (1.3), (1.5) имеем Нетрудно убедиться, что если B(r,t) имеет вид (5.16) и 7(7 ,t), K{r,t) связаны (5.24), то V B(r,t) = 0 (см. (1.5)). Заметим, что из утверждения 5.1 с учетом того, что V х Q(r) + V ,p0(r) = 0 (это можно всегда обеспечить калибровочным преобразованием) следует формула (5.22). Поэтому после подстановки (5.15), (5.16) в (1.2) приходим к зависимости систему алгебраических уравнений относительно V7- Матрица этой системы является симметричной и вырожденной.
Поэтому из необходимого и достаточного условия разрешимости системы (5.25) (альтернативы Фредгольма, см.теорему 2.1) найдем функцию u(r,t), а из условия, что ее решение V7(r, t) является градиентом функции 70", ), найдем вектор К"(г, ), как функцию от u(r,t). Действительно, из условия разрешимости системы (5.25), с учетом (5.17), получим уравнение Уравнение (5.27), которое в дальнейшем будем называть "разрешающим", есть искомое необходимое и достаточное условие разрешимости системы (5.25) относительно вектора V7- Отметим, что если функция u(r,t) изменяется согласно (5.27), то удовлетворяется и система (5.25), причем (5.28) где и = v(r,t) — ( 7i{r,t),d) - пока произвольная функция. Из (5.28) следует, что векторное поле ,F(r, t) должно быть безвихревым, то есть V х T(r,t) = 0. Исходя из этого будем отыскивать вектор-функцию K(r,t). Так как u(r, t) удовлетворяет уравнению (5.17), то будем искать К (г, t) в классе векторов, удовлетворяющих условию С точностью до произвольной функции Ь(и) и произвольной вектор-функции а(г) можно положить Тем самым, из (5.30) следует Если при этом Ыи) = —r—z(Vu,d)i a(r) = V (r), где (V /?(r),d) = 0, то вектор (5.31) удовлетворяет условию (5.29), что проверяется непосредственной подстановкой (5.31) в (5.29) с учетом (5.17). Итак, где V /?(r)J_d. Причем вектор (5.33) удовлетворяет условию (5.29). Кроме того, ясно, что KJ-d. Если то при любой u(r, t), удовлетворяющей уравнению (5.27), вектор-функция (5.33) удовлетворяет и (5.23), что проверяется подстановкой (5.33)в (5.23). Покажем, что в (5.32) v = 0. В самом деле, так как (d, V х ((Vu, d)d)) = (d, V(Vit, d) x d) = 0, то (d, V x K) = 0, и на основании (5.24) следует, что (d, V7) = 0. С учетом последнего равенства из (5.32) получим, что v = 0. Следовательно, V7 = 0, то есть 7 = const. Осталось показать, что функции (5.15), (5.16), где w(r, t) удовлетворяет уравнению (5.27), а К (г, t) выражается через u(r, t) и гармоническую функцию р{г) по формуле (5.33), удовлетворяет уравнению (1.4). Подставляя (5.15), (5.16) в (1.4) и учитывая (5.17) приходим к справедливости цепочки равенств Из изложенного вытекает Теорема 5.1. Пусть выполнено условие (D) и имеет место формула (5.9/. Пусть u(r,t) Є Kerb и удовлетворяет нелинейному гиперболическому уравнению (5.27). Тогда каждому решению u(r,t) Є Kerb уравнения (5.27) соответствует, в общем случае, семейство решений fi,E,B Є Kerb системы ВМ (1.1)-(1.7) вида
Уравнения нелинейной диффузии без источника (стока)
Тем самым, если система (2.7) является совместной, то скалярная функция f(x, t) является решением уравнения (2.8) и, наоборот, если f(x, t) удовлетворяет уравнению (2.8), то система (2.7) является совместной. Кроме того, соотношения (2.7) есть не что иное, как преобразование Бек-лунда [Ньюэлл, 1989, с.187], связывающее решения u(x,t),f(x,t) уравнений (2.1), (2.8). Помимо этого, в силу зависимости zx(x,t) = —f(x,t), вытекающей из соотношения (2.9), переопределенная система уравнений (2.7) допускает представление Нетрудно показать, что для совместности системы (2.10) достаточно, чтобы функция z(x, t), определяемая формулой (2.9), удовлетворяла уравнению В самом деле, расписывая условие совместности системы уравнений (2.10) и учитывая, что и(х, t) ф 0, имеем При этом соотношения (2.10) являются преобразованием Беклунда, связывающим решения u(x,t),z(xft) уравнений (2.1), (2.11). Далее, легко проверить, что из уравнения (2.11), с учетом зависимости (2.9), следует справедливость соотношения (2.5). С другой стороны, из представления их = ul xzx и зависимости (2.9) следует, что искомая функция и(х, t) определяется посредством формулы (2.6). Наконец, нетрудно убедиться, что, если выполняется соотношение (2.5), тогда функция (2.6) является точным неотрицательным решением уравнения нелинейной диффузии (2.1). Теорема доказана. Итак, соотношение (2.5) получается из параболического уравнения (2.11) относительно функции z(x,t) с квадратичными нелинейностями. Замечание 2.1. Один из способов построения точных неотрицательных решений уравнений нелинейной теплопроводности, сводящихся простыми заменами к параболическим уравнениям с квадратичными нелинейностями, развит в исследованиях [Галактионов, Посашков, 1989; Gala-ktionov, 1991, 1995; Olver, 1991; Kersner, 1978; Bertsch, Kersner, Peletier, 1985; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1994, 1995]. Конкретизируя m Є АГ, рассмотрим частные случаи функции /(ж, ), определяемой формулой (2.4). Если т = 2, то из теоремы 2.1 следует, что уравнение (2.1) имеет точное неотрицательное решение +c3[ci - 2(А + 2)t]fX+2) + cl/4]VA, (2.12) где Сі,С2,с3,Л Є R; А 0. Решение вида (2.12) уравнения (2.1) хорошо известно. В работах [Munier, Burgan, Gutierrez, Fijalkow, Feix, 1981; Fronteau, Combis, 1984] оно получено на основе групповых методов, в [Chaljub-Simon, Fronteau, 1986] - с использованием теоремы Лиувилля, наконец, в [Титов, Устинов, 1985] - для А Є Z. При т = 3 справедливо Утверждение 2.1. Функция (2.13) является точным неотрицательным решением уравнения (2.1) при А = —3/2, причем a,k(t) Є CX(]R+) имеют вид где p(t) - функция Вейерштрасса [Ахиезер, 1910] с инвариантами g2 = 0, g3 = qeR; Ф = ІР\ г,г,р,/іЄМ; r O. Доказательство. В этом случае соотношение (2.5) приводит к системе алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ) Так как алгебраическое соотношение выполняется при А = —3/2, тогда а3() = г Є R и приходим к системе ОДУ Исключая из (2.15) функции a0(t), ai(t) Є СХ(Е+), получим уравнение а2 () = 6a2(t), которое заменой a2(t) = b(t) приводится к виду b(t) = 6b2(t) или b(t) = 4b3(t) — q, q Є R. Из этого уравнения следует зависимость то есть b(t) = p(t + r). С другой стороны, из системы ОДУ (2.15) имеем «о(0 = Ц- + J-afeW + «iW - ЗозСОогй], 2д _1_ 3 +27г2: oi( ) = : (0- 2(01. (2-16) причем a2(t) = p(t+r). Итак, приходим к справедливости формул (2.14). Утверждение доказано.
Если га = 4, тогда соотношение (2.5) приводит к системе АДУ, из которой следует, что Л = —4/3 и последняя сводится к системе ОДУ на функции ak(t) Є C1(R+), где A; = 0,4. В этом случае решение вида (2.6) уравнения (2.1) получено в работе [Galaktionov, 1991, с.18]. Однако функции a,k{t) Є C1(R+) в этой работе явно не определены. В связи с этим, приведем следующий результат + где a2(t) = p(t);a3(t) = c2cp(t);a4(t) = \ %p(t) + c {t);(p{t) = (cx -)-1;,0(t) = (ci — і)2;сі,С2,Сз Є R— параметры. Пусть m = 5, тогда из теоремы 2.1 следует, что справедливо Утверждение 2.2. Пусть au(t) Є C1(R+) удовлетворяют системе тогда функция является точным неотрицательным решением уравнения (2.1) при А — -5/4. Следствие 2.2. Уравнение нелинейной диффузии (2.1) при Л = —5/4 имеет точное неотрицательное решение определяемая из (2.3) и удовлетворяющая уравнению Лиувилля (2.2), является точным двухпараметрическим решением уравнения нелинейной диффузии (2.1), где А, сь с2 6 R; А 0; А -1; а = (А 4- 2)/2(А + 1)2;/? = А/(А + 1). Доказательство. В исследуемом случае, из (2.3) с учетом (2.17) имеем где a2(),am() Є C1(R+) - функции, подлежащие определению; т Є N; т 1. Подставляя функцию (2.19) в уравнение (2.2) и принимая во внимание формулу (2.17), приходим к соотношению выражение приводит к системе ОДУ причем Л = —т/(т — 1). Итак, a2(t) = [d - 2(А + 2)t]"\ am(0 = c2[Cl - 2(А + где сі,с2 Є R. Так как m = Л/(Л + 1), тогда из (2.19) с учетом (2.20) следует справедливость формулы (2.18). Теорема доказана. Следствие 2.3. Пусть т Є N, т 1, тогда уравнение нелинейной диффузии Замечание 2.2. При ттг — сю из формул (2.21), (2.22) следует результат, полученный в работе [Пухначев, 1987]: уравнение обладает точным решением вида где ci,c2 Є R. Пример 2.1. Уравнение типа нелинейной теплопроводности (см. (2.11)) имеет точное двупараметрическое решение
Исследование совместности переопределенной системы уравнений (частный случай)
Прежде чем сформулировать один из основных результатов этой главы, связанный с исследованием совместности переопределенной системы уравнений (1.3), (1.4), вполне естественно, как нам представляется, рассмотреть важный частный случай, когда f(x, t) = — А()х — В(), где A(t) = [dij(t)] - вещественная симметричная п х п матрица; В() = (&i(),..., bn(t)) - вектор-столбец; ау( )ЛМ Є C\R+)-iJ = 1,2,...,п. Отметим, что при п = 1 аналогичный случай рассматривался в исследованиях [Fronteau, Combis, 1984; Chaljub-Simon, Fronteau, 1986; Рудых, Семенов, 1990,1993; Rudykh, Semenov, 1990]. Однако в работах [Fronteau, Combis, 1984; Chaljub-Simon, Fronteau, 1986] в отличие от подхода, изложенного в [Рудых, Семенов, 1990, 1993; Rudykh, Semenov, 1990], существенно использовалась разрешимость в квадратурах задачи Коши и ее решения относительно начального состояния хо с последующим применением теоремы Лиувилля [Liouville, 1838; Guiasu, 1967]. В связи .с этим исследования, проведенные в [Fronteau, Combis, 1984; Chaljub-Simon, Fronteau, 1986] ограничивались, в общем случае, рассмотрением задачи Коши (2.1) для f(x,t) = -a(t)x - b(t), где a{t),b(t) Є С Й"1"). Итак, пусть f(x, t) = — A(t)x — B(i), тогда переопределенная система уравнений (1.3), (1.4) принимает следующий вид где trA{t) = Уі=іагі{ї) след матрицы A{t)\ (, ) - скалярное произведение в W1. Поскольку матрица A{t) является симметричной, то есть aij{t) = aji(t)) тогда по теореме о потенциальных операторах [Вайнберг, 1956; Berger, 1968] уравнение (2.3) в силу (1.2), (1.5) обладает решением где + = тах{[-],0}; Ф 1- функция, обратная к Ф, существующая в силу монотонности последней. Матрица A(t), вектор-столбец В(2) и скалярная функция C(t) подлежат определению, причем aij(t),bi(i),C(t) Є C R"1"). Будем отыскивать А(),В(і),С() из условия, чтобы функция и(х, t) , определяемая согласно (2.4), удовлетворяла уравнению Лиувилля (2.2). Итак, подставляя (2.4) в (2.2) и учитывая (2.5), приходим к уравнению Полагая, что Ф_1(г) ф 0, то есть исключая из рассмотрения тривиальное решение, получим Легко видеть, что в общем случае, когда z(x, t) имеет вид (2.5), уравнение (2.6) будет выполняться при условии, если v(z) является мероморф-ной функцией вида где pk, qi - произвольные постоянные, удовлетворяющие одному из следующих условий: рт Ф О, qm+i ф 0; р0 ф 0, q0 ф 0, Pk = 0, к = 1,2,..., т, В этом случае уравнение (2.6) конкретизируется и принимает вид Причем из (2.10) в силу (2.5) следует, в чем нетрудно убедиться, что функции A(t),B(t),C(t) удовлетворяют системе ОДУ где А Є R+. Заметим, что в рассматриваемом случае по заданной функции Ф-1(.г) однозначно определяется по формуле (2.7) соответствующая функция К(и). Итак, если Ф_1(г) имеет вид (2.9), то К(и) = uA, A G М+. Таким образом в исследуемом случае имеет место Утверждение 2.1. Пусть выполнены соотношения (1.2), (1.5) и матрица A(t) с элементами aij(t) Є С1(Й+); вектор-столбец В(t) с компонентами bi(t) Є C1(R+); скалярная функция С (і) Є C R ) удовлетворяют системе ОДУ (2.11). Тогда функция u(x, t) = (А[-(х, A(t)x) + (х, В( )) + С( )]+)Л, х Є Rn, А Є R+, (2.12) является точным неотрицательным решением уравнения пористой среды (нестационарной фильтрации)
Уравнение (2.13) является квазилинейным параболическим уравнением с неявным вырождением [Калашников, 1987; Антонцев, 1986]. Другими словами, (2.13) параболично при и ф 0 и вырождается при и = 0. Последнее означает, что при и = 0 это уравнение из дифференциального уравнения с частными производными второго порядка вырождается в нелинейное эволюционное уравнение первого порядка. С вырождением уравнения (2.13) связаны некоторые особые свойства его решений. Уравнение (2.13) описывает процессы теплопередачи и диффузии в неоднородной нестационарной нелинейной среде с коэффициентом теплопроводности К(и) = гіА, А Є R+. Типичным свойством уравнения пористой среды (нестационарной фильтрации) является конечность скорости распространения тепловых возмущений в нелинейной среде по нулевому фронту [Зельдович, Компанеец, 1950; Баренблатт, 1952]. Такая ситуация возникает в случае [Пухначев, 1995], когда supp щ(х) ф Rn, где по(х) = гх(х, 0). В этом случае, вообще говоря, задача Коши для уравнения (2.13), (1-І) не имеет классического решения. С другой стороны, конечная скорость распространения тепловых возмущений качественно изменяет характер протекания нестационарных процессов диффузии (теплопроводности) в нелинейных средах по сравнению с аналогичными процессами, когда тепловые возмущения распространяются мгновенно. Именно за счет своеобразной "инерции тепла "в нелинейных средах, эволюция тепловых структур приобретает особенности, свойственные волновым процессам [Мартинсон, 1979, 1982, 1986]. Утверждение 2.2 Пусть A(t) - вещественная симметричная матрица с элементами а () Є C R"1"), В() - вектор-столбец с компонентами b{(t) Є C R4") и C(t) Є C R"1") - скалярная функция. Тогда для того, чтобы функция z(x,t), определяемая формулой (2.5) удовлетворяла уравнению (2.10) необходимо и достаточно, чтобы A(t),B(t),C(t) были связаны системой ОДУ (2.11). Кроме того, для совместности переопределенной относительно u(x.,t) системы (2.2), (2.3) (1) достаточно, чтобы скалярная функция z(x, t) удовлетворяла уравнению (2.10); (2) необходимо и достаточно, чтобы вектор-функция f (х, t) = — A(i)x— В(t) удовлетворяла уравнению
