Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Условия существования периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений, матрица системы линейного приближения которых имеет нулевые собственные числа . 16
1. Условия существования периодических решений для систем с нелинейностью, являющейся суммой форм. 17
2. Достаточные условия существования ненулевых периодических решений . 31
3. Существование периодических решений в одном специальном случае . 39
Глава II. Условия существования и расположение периодических решений автономных систем без линейной части . 46
1. Условия существования периодического решения для автономных систем без линейной части. 46
2. Оценка положения периодического решения . 51
Глава III. Достаточные условия существования апериодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений 67
1. Ненулевые периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с нулевой матрицей системы линейного приближения. 67
2. Исследование конкретных систем дифференциальных уравнений . 82
Заключение. 90
Литература. 91
- Достаточные условия существования ненулевых периодических решений
- Существование периодических решений в одном специальном случае
- Оценка положения периодического решения
- Исследование конкретных систем дифференциальных уравнений
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящей работе изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, матрицы систем линейных приближений которых имеют нулевые собственные числа. Предполагается, что правые части систем являются суммами форм относительно координат векторов решения и параметра. Все исследуемые системы имеют тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является поиск условий существования ненулевых периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в малой окрестности нулевого решения при малом значении возмущающего параметра.
Подобная задача возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, биофизических, экономических, социальных и других процессов [1, 2, 25, 40, 51, 52, 57, 63, 66, 68, 72, 73, 80-83]. Хотя по данной тематике существует большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Особый интерес представляют методы исследования нелинейных систем, которые описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка, так как именно такие модели характерны для большинства реальных объектов. Наиболее трудны для исследования нелинейные системы, матрицы линейного приближения которых имеют нулевые собственные числа. Таким образом, одна из основных задач качественной теории дифференциальных уравнений - задача поиска
условия существования ненулевых периодических решений - является в данном случае весьма актуальной.
Цель работы. Рассматриваются системы дифференциальных уравнений
х = Ах+/(х,Л), (0.1)
х = /(х,Л), (0.2)
x = f{t,x,X), (0.3)
в которых xeR" — вектор, характеризующий положение точки в пространстве, ЛеЯ" - параметр внешнего воздействия, А — постоянная ихп-матрица, имеющие нулевые собственные числа, п -мерные вектор-функции f(x, Л) и f(t, х, Л) непрерывны по всем своим аргументам, и являются суммами форм по координатам векторов х и Л у f(t,x,A) — периодическая функция с периодом о)>0. Вектор х = 0 является решением систем (0.1), (0.2), (0.3) при любом значении Л є R".
Цель работы состоит в поиске достаточных условий существования ненулевых периодических решений систем (0.1), (0.2), (0.3).
Методика исследования. Для получения достаточных условий существования со -периодических решений используется критерий периодичности х(а,а,Л)=а. Посредством представления решения через начальные данные этот критерий сводится к условию разрешимости системы нелинейных алгебраических уравнений. С учетом свойств формы младшего порядка в этой системе, находится точка, в окрестности которой расположена пара начальное условие-параметр, определяющая периодическое решение систем дифференциальных уравнений (0.1), (0.2), (0.3). Дока-
зательство теоремы о достаточном условии существования периодического решения проводится методом неподвижной точки нелинейного оператора. Построение такого нелинейного оператора осуществляется с помощью разложения функций по формуле Тейлора. Описывается процедура получения других достаточных условий, также основанная на разложении функций по формуле Тейлора.
Предположения задачи делают невозможными использование результатов некоторых авторов. Так, например, в отличие от работы [5], не предполагается наличие резонансов в системе, наличие нулевых собственных чисел не позволяет использовать формулы периодических решений из работы [79].
Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [62] и A.M. Ляпуновым [46]. Методы исследования колебаний нелинейных систем, основанные на работах Ляпунова и Пуанкаре, сводятся к представлению периодических решений исследуемых систем с помощью степенных рядов, составленных по степеням малого параметра, начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся для этих значений на любом заданном конечном промежутке времени. Большой вклад в развитие этих методов внесли А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин [2], Е.А. Леонтович, Б.В. Булгаков [16], И.Г. Малкин [47], Л.И. Мандельштам [50], Б. Хэссард [79] и другие ученые. Основные идеи качественного исследования систем дифференциальных уравнений содержатся в книге В.В. Не-мыцкого и В.В. Степанова [54].
Открытие А.А. Андроновым [2] и Е. Хопфом [85] бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями при изменении параметров системы легло в основу целого направления исследований. Е. Хопф в работе [85] изучает и-мерную автономную систему дифференциальных уравнений со скалярным параметром. Предполагается, что матрица системы имеет пару чисто мнимых собственных значений, а действительные части остальных собственных значений отрицательны. Устанавливается, что при потере устойчивости особой точки появляется устойчивое периодическое решение (так называемая бифуркация Хопфа). Изучению бифуркации Хопфа для различных систем посвящены работы [8, 19, 52, 53,67, 71, 76, 83, 86, 87, 88,90].
Б. Хэссардом в работе [79] приводится приложение теоремы Хопфа к различным системам со скалярным параметром. Исследование проводится с помощью привлечения разложения по формуле Маклорена. Выводятся формулы для периода и разложения решения по формуле Маклорена при условии, что собственные числа матрицы правой части системы ненулевые.
Наиболее полно исследованы вопросы существования, устойчивости и бифуркаций периодических решений динамических систем на плоскости в работах А.А. Андронова и его коллег [2-4]. В работе [7] В.Н. Белых и А.Н. Щепин рассматривают семейство гомоклинических траекторий в семействе нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений Лурье, не содержащих малых параметров. Сведением к двумерным системам сравнения доказываются нелокальные теоремы существования гомоклинических траекторий и их бифуркаций. З.С. Баталовым и Н.В. Ки-
селевой [6] рассмотрены задачи о колебании маятника под действием периодического момента, построены диаграммы устойчивости периодических движений, выяснены бифуркации, приводящие к их возникновению и смене характера устойчивости.
В.А. Громовым [27] рассмотрен способ сведения автономных и неавтономных уравнений типа Дуффинга к системам, к которым применим метод Пуанкаре для отыскания периодических решений. В.Н. Лаптинский и В.А. Ливийская [42] для уравнения
^ = M{t)X + A2XB{t)+F(t)
получают коэффициентное условие однозначной разрешимости задачи существования периодического решения.
Вопросы бифуркации предельных циклов для различных систем рассмотрены в работах [4, 8, 17, 20, 28, 31, 52, 70, 72]. В частности М.В. Долов в статье [31] рассматривает систему со скалярным параметром
х = (\ + Х)х-(2 + лХх+2уІх2 +у2)+(4у+х)[х2 +у2)2 У = (\ + Л)у-(2 + АХ2х-уІх2 +у2)+(у-4хІх2 +у2)2'
Сложность прямой задачи привела к появлению работ, в которых исследуются системы, не имеющие периодических решений. В статье [84] рассмотрены достаточные условия отсутствия периодических решений в окрестности кратной сингулярной точки в классе систем нелинейных дифференциальных уравнений.
Кроме метода Пуанкаре для качественного исследования систем дифференциальных уравнений применяется метод нелинейного анализа, предложенный А.Д. Брюно [15]. Этот метод состоит в сведении с помощью нормальных форм исходной системы к такой системе, которая либо легко интегрируется, либо является
более простой. Для исследования этим методом требуется определить нормализующее преобразование.
В ряде работ [21, 22, 33], а также в работе Ю.В. Малышева [49] вопросы существования и устойчивости периодических решений для автономных систем решаются с помощью построения функции Ляпунова. В статьях Н.А. Бобылева [10-12] предложены способы доказательства существования циклов в автономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, базирующиеся на методах оценок, функционализации параметра и направляющих функций.
Для нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков исследование проблемы существования периодических решений может проводиться также методом монотонных итераций, который позволяет строить периодические решения таких систем. Этот метод излагается, в частности, в статье [89].
В работе В.И. Арнольда [5] приводится способ отыскания периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений в случае, когда в системе имеется резонанс.
Е.В. Воскресенским в статье [23] описан способ поиска периодических решений методом сравнения.
При отсутствии резонанса квазилинейные системы наиболее полно изучены И.Г. Малкиным, который в работе [47] рассматривал систему
x = Ax+f(t)+{iF(t,x,p) с 2л--периодической правой частью и скалярным параметром. Предполагалось, что матрица А имеет часть нулевых собственных чисел, а остальные собственные числа являются чисто мнимыми. Накладывалось условие, что система х = Ах + /(/) имеет се-
мейство 2тг -периодических решений с m -мерным параметром. Ставилась задача о существовании 2л--периодического решения при малом значении параметра, которая сводилась к решению недифференциального уравнения. Доказывалась единственность периодического решения при условии разрешимости этого уравнения и описывалась процедура получения других уравнений для поиска периодических решений. Также И.Г. Малкиным рассматривались автономные системы и описывался итерационный алгоритм построения периодического решения для неавтономных систем. Вопросы устойчивости периодических решений исследовались в работе [48]. Метод итераций также применялся в работах [14, 26].
Метод построения периодического решения был предложен Д. Хейлом в работе [78] для систем
z = Az + eZ{z, /,), в которых матрица А содержит нулевой блок. Метод основан на построении итерационной последовательности, в качестве начального приближения выбирается такой вектор, чтобы на последующих итерациях не было непериодических членов.
Применение асимптотических методов в задаче поиска периодического решения изложено в работе [13] Е.Н. Боголюбовым и Ю.А. Митропольским.
Бесконечные системы дифференциальных уравнений рассматривались в работе [69], в которой сформулировано достаточное условие, основанное на принципе Шаудера.
Достаточно полно исследованы неавтономные системы с периодической частью. В.А. Плиссом [58, 59] установлен факт су-
ществования периодических решений с помощью индекса Пуанкаре.
М.А. Красносельский [35-39] сводит проблему существования периодических решений неавтономных систем к проблеме существования неподвижных точек оператора сдвига по траекториям системы. Доказательство существования неподвижных точек опирается на метод направляющих функций, суть которого заключается в построении некоторых функций, заданных в выпуклой области фазового пространства, и последующей оценке вращения векторного поля на границе этой области. В монографиях [35, 36, 39] содержится обоснование метода направляющих функций и его применение к доказательству существования периодических, положительных и ограниченных решений. Метод направляющих функций используется и в работе [91].
Работа [30] СМ. Дзюбы посвящена определению условий существования периодических и условно-периодических решений неавтономных систем. Исследования основаны на методе, предложенном Ж.Л. Массером.
Е.Ю. Лискина в статье [44] проводит исследование неавтономных системе методом искусственного введения параметра.
Метод неподвижной точки при рассмотрении достаточных условий существования периодических решений рассматривался в статьях М.Т. Терехина, Н.В. Ретюнских, Т.Л. Панфиловой, К.В. Бухенского, Е.Ю. Лискиной и др. [18, 43, 55, 56, 60, 64, 65, 72, 73, 74].
Т.Л Панфилова в статье [55] рассматривает вопрос о существовании периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений, часть собственных чисел матрицы линей-
ного приближения которой равны нулю, а остальные собственные числа являются чисто мнимыми. Период решения предполагается зависящим от параметра. Доказательство теоремы о существовании периодического решения использует метод неподвижной точки нелинейного оператора, который получен из равенства, выражающего условие периодичности решения с помощью матричного преобразования.
В работе Т.Л. Панфиловой [56] получены достаточные условия существования периодических решений для автономных систем случае, когда период является функцией начального значения и параметра.
В работе [65] изучаются условия существования а>-периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений с треугольной матрицей линейного приближения. Автором исследована возможность приведения произвольных систем к системам с треугольной матрицей линейного приближения, получены достаточные условия существования периодического решения.
Содержание работы. Настоящая работа содержит результаты исследования систем (0.1), (0.2), (0.3) с точки зрения существования ненулевых периодических решений в малой окрестности нулевого решения.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и заключения. Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.
В первой главе исследуется система (0.1). В первом параграфе система (0.1) сводится к системам с известным представлением
решения, находится это представление через начальное значение. Описывается способ определения периода для автономной системы, указывается структура множеств параметра и начальных значений, не определяющих периодических решений системы. Проводится преобразование уравнения, выражающего условия существования периодического решения, к системе недифференциальных уравнений. Формулируются условия разрешимости этой системы.
В отличие от работ [2-4, 27] параметр может иметь произвольную размерность, в отличие от работ [21, 22, 33, 49] не ставится задачи выявления устойчивости решения, исследования проводятся методом неподвижной точки оператора.
Второй параграф первой главы посвящен описанию процедуры получения достаточных условий существования периодического решения в случае, когда теория первого параграфа неприменима. Рассмотрены случаи, в которых исходная система обязательно имеет ненулевое периодическое решение, и случаи, в которых система не имеет периодических решений в достаточно малой окрестности нулевого. Доказательство достаточных условий проводится методом неподвижной точки нелинейного оператора.
В третьем параграфе рассмотрено приложение предыдущей теории к системам, в которых параметр влияет на все компоненты нелинейной части. Показано, что в этом случае невозможно указать множества, не определяющие периодического решения. Приведены достаточные условия существования периодических решений в данном случае. Показан способ выбора точки, в окрестности которой будет расположен вектор начальных условий периодического решения.
Во второй главе исследованы системы (0.2). Аналогично первой главе получено представление решения через начальные значения, указаны условия, выполнение которых необходимо для существования периодических решений в окрестности нулевого. Для систем (0.2) в качестве периода может быть выбрано любое число. Выбор периода влияет на радиус окрестности, в которой будет расположено периодическое решение. В отличие от работ [10-12] у исследуемой системы полностью отсутствует линейная часть.
Во втором параграфе второй главы приводятся некоторые достаточные условия существования периодического решения для рассматриваемых систем. Оценивается окрестность нуля, в которой существует точка, определяющая периодическое решение системы (0.2). Указывается связь числа корней уравнений однородной алгебраической системы, полученной из правой части системы (0.2), с числом семейств периодических решений исследуемой системы дифференциальных уравнений.
В третьей главе исследуется неавтономная система (0.3). Показано, что в данном случае недостаточно приближения решения только линейной частью разложения по начальному значению. Получено представление решения через начальные значения и параметр, описан алгоритм исследования и получения достаточных условий. В отличие от работ [47, 78] у системы нет линейной части, а параметр может иметь произвольную конечную размерность.
В работе приводятся примеры, иллюстрирующие применение теории.
Необходимые сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [9, 32, 61, 77], по качественной теории — из [3, 4, 29, 54], по функциональному анализу - [34, 45, 75], по линейной алгебре-[24,41].
На защиту выносятся следующие положения:
Условия существования периодического решения для систем (0.1), (0.2). Необходимые условия существования периодических решений в окрестности нулевого. Достаточное условие существования периодических решений, алгоритм их получения.
Связь числа корней однородного алгебраического уравнения с числом периодических решений системы (0.2) (Теорема 2.5).
Условия существования периодического решения для системы (0.3). Оценка положения периодического решения. Достаточные условия существования периодических решений для системы (0.3).
Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на V, VII Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на V Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г.Саранске, на III Всероссийской научной конференции "Совре-
менные проблемы математики, механики, информатики" в г.Туле, на X Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." в г.Пущино, на научно-исследовательском семинаре в г.Нижнем Новгороде.
Основные результаты исследований опубликованы в работах [92-103].
Достаточные условия существования ненулевых периодических решений
Предположим, что в системе (1.13) матрица / такова, что ее ранг равен некоторому числу 0 q п. В этом случае элементарными преобразованиями строк системы ее можно свести к системе /+ 4)+О,(р) = 0, C fe)+Ofo )+02M-Of где 7-qxn матрица, ранг которой равен q, С() - форма порядка s в разложении вектор-функций Мх(ео)еа и Сх{а ,ем) по формуле Тейлора. Пусть = ае4, а 0. Тогда последнюю систему можно записать так Заметим, что поскольку переменные р и т не зависят друг от друга, то при каждом фиксированном значении а величины Ох{р) Ог(р) и 1К будут стремиться к нулю при р, стремящемся к а а нулю. Предположим, что удалось найти некоторый вектор е4 , \е4 = 1, для которого выполнены равенства Разложим функции Jes и Cl(e{) по формуле Тейлора в окрест Теорема 1.4. Пусть единичный вектор е? таков, что для него выполнены условия (1.19). Тогда для того, чтобы система (1.20) имела решение в окрестности вектора е( , достаточно, чтобы ranglx =п. Доказательство. Так как rangl1 =п, то матрица Iі может быть представлена равенством Iх =\1 х ,1х), в котором матрица / имеет размерность пхп и является неособенной. Пусть вектор 1 - вектор, координатами которого являются те координаты вектора 4х, которые соответствуют матрице / , вектор %х— вектор, координатами которого являются остальные координаты вектора . Этому вектору будет соответствовать матрица / размерности пхт + 1. Тогда система (1.20) запишется следующим образом Поскольку, по предположению, матрица / неособенная, то для нее существует обратная матрица, поэтому последнюю систему можно записать так В вектор-функции окх\) выделим слагаемые, содержащие координаты вектора в степени, выше первой. Тогда вектор-функция окх\) представима равенством Очевидно, что Цт(іхх +о(%1))=0, поэтому 71 1 + o(ix)=o{gx), следовательно, последнее уравнение можно привести к уравнению Определим оператор Г равенством Докажем, что этот оператор имеет неподвижную точку. По определению вектор-функции ofl 1!) существует число 7 0, такое, что при всех значениях вектора , таких, что - "И] і —, и, как ел едет І 7 выполнено неравенство к х\ 4 вие, неравенство
Так как l_im(-/ (?(fj)=0, то существует положительное число 6lt такое, что если вектор удовлетворяет неравенству "!1 ",, то выполняется неравенство Так как а не зависит от , то аналогичными рассуждениями доказывается существование числа 5г О, такого, что при всех значениях т, удовлетворяющих условию T S2, выполняется неравенство Для дальнейших рассуждений выберем произвольное, но фиксированное значение сг 0, для которого выполнено условие т д2. В силу независимости переменных аир существует положительное число 5г, такое, что для всех значений р, меньших, чем д3, выполнено неравенство Пусть фиксированные вектор и числа т и р таковы, что для них выполнены неравенства [ U ,, a S2, p S3. Тогда выполнены неравенства (1.22) - (1.25), а значит, справедливо условие г 7j как только t]. Таким образом, оператор Г отображает замкнутое ограниченное выпуклое множество Ц ! //} в себя, а поскольку этот оператор непрерывен, то он имеет неподвижную точку, которая будет решением системы (1.21), а, следовательно, и решением системы (1.20). Теорема доказана Следствие 1.4. Пусть вектор е \еи = l) и число со таковы, что Ml(a )ea = 0, 7,( ,6 )=0, причем \еа = 1, и rangl n. Если ВеКТОр е? (ef = l) удовлетворяет УСЛОВИЮ (1.19) И ranglx =/7, то система (1.1) имеет по крайней мере одно ненулевое периодическое решение. Доказательство. Для вектора е4 выполнено условие теоремы 1.4, следовательно, система (1.20) будет иметь решение. Из доказательства теоремы 1.4 следует, что число 7 можно выбрать произвольно малым, в том числе и меньшим единицы. По построению системы (1.20) любое ее решение определяет периодическое решение системы (1.1), которое будет ненулевым при условии, что 7 1 и \еа = 1. Требуемое утверждение доказано. Если rangl1 п, то можно продолжить процесс получения достаточных условий способом, аналогичным описанному выше. При этом на каждом этапе будем получать вектор J = е у_, - е м , такой, что J=aJe4j, а вектор е,_, удовлетворяет условиям 7J le . , = 0, CJ{e ,_, )=0, где смысл матрицы 7 м и вектор-формы CJ аналогичен смыслу матрицы 7 и вектор-формы С1. На /-ом этапе для определения достаточных условий существования периодических решений будем иметь систему
Существование периодических решений в одном специальном случае
Рассмотрим условия существования периодических решений для систем, на правую часть которых наложены дополнительные условия. Пусть в системе (1.1) вектор-функция /(х,Л) представи-ма равенством где В (х, Л) — п х т -матрица, элементы которой содержат координаты вектора х в степени, выше, чем первая и являются суммами форм относительно совокупности координат векторов х и Л, начиная с формы порядка к-\, k 3. Очевидно, что в этом случае для системы (1.1) остаются справедливыми теоремы 1.1 и 1.2, а также лемма 1.1. С учетом представления (1.28) уравнение (1.7) для рассматриваемой системы запишется следующим образом а система (1.8) запишется так В(со,а,Л) - их т -матрица, элементы которой являются формами порядка к -1 относительно совокупности координат векторов а и Л. Зафиксируем произвольное число со є Q.(s).Обозначив за е вектор, компонентами которого являются координаты вектора е , соответствующие координатам вектора Л, получим, что для системы (1.1) уравнение (1.10) сведется к уравнению Поскольку первое уравнение системы (1.29) совпадает с первым уравнением системы (1.10), то очевидно, что для системы (1.29) будет справедлива лемма 1.2. Используя второе уравнение этой системы, можно доказать справедливость следующей леммы. Лемма 1.6. Если для некоторого числа со и некоторого вектора ем, такого, что kj = l, выполняется условие то существует такое множество W xA zW(s)xA(s), ЧТО НИ ОДИН вектор z = (co ,a,X), такой, что {a,X)eW xA , не является решением системы (1.29). Доказательство аналогично доказательству леммы 1.3. Поскольку вектор // получен объединением координат векторов а и Л, то результаты лемм 1.2 и 1.5 можно обобщить. Лемма 1.7. Если для некоторого числа со и некоторого вектора ем, такого, что еА = 1, выполняется условие (1.11) или условие (1.30), то существует окрестность Q cH точки со и существует множество W xA cW(S)xA(s), такие, что ни один вектор z = (co,a,X) из множества Q xW xA не является решением системы (1.29). Доказательство аналогично доказательству леммы 1.4. Из леммы 1.7 следует, что если выполнено условие (1.28) и выполнено хотя бы одно из условий (1.11) или (1.30), то существует такое множество РГ хЛ , что решение x = x(t,a,X) системы (1.1), где (a,X)eW хА , не будет со -периодическим. Пусть число со таково, что ранг матрицы Мх (со ) равен п - q, q 0. Следовательно, система Мх (со )еа = 0 имеет ненулевое решение еа , которое можно выбрать так, чтобы оно удовлетворяло равенству \еа = 1. Тогда решением систем (еа ,6), причем 1 1 = 1 1 = 1. Таким образом, если нелинейность в системе (1.1) представима равенством (1.28), то всегда можно указать единичный вектор ем , для которого не будут выполнены усл соответствующие координатам вектора Л, получим, что для системы (1.1) уравнение (1.10) сведется к уравнению Поскольку первое уравнение системы (1.29) совпадает с первым уравнением системы (1.10), то очевидно, что для системы (1.29) будет справедлива лемма 1.2.
Используя второе уравнение этой системы, можно доказать справедливость следующей леммы. Лемма 1.6. Если для некоторого числа со и некоторого вектора ем, такого, что kj = l, выполняется условие то существует такое множество W xA zW(s)xA(s), ЧТО НИ ОДИН вектор z = (co ,a,X), такой, что {a,X)eW xA , не является решением системы (1.29). Доказательство аналогично доказательству леммы 1.3. Поскольку вектор // получен объединением координат векторов а и Л, то результаты лемм 1.2 и 1.5 можно обобщить. Лемма 1.7. Если для некоторого числа со и некоторого вектора ем, такого, что еА = 1, выполняется условие (1.11) или условие (1.30), то существует окрестность Q cH точки со и существует множество W xA cW(S)xA(s), такие, что ни один вектор z = (co,a,X) из множества Q xW xA не является решением системы (1.29). Доказательство аналогично доказательству леммы 1.4. Из леммы 1.7 следует, что если выполнено овия (1.11) и (1.30). Разложим вектор-функции Мх(со)еа и Bt(co,eм)е по формуле Тейлора в окрестности точки z = (co ,e/4 ), получим систему (1.13), в которой / = colon{D[Mx(со)еа\D[BX(СО,ер)е }. представление матрицы / размерности п х (п + т +1) можно записать так
Оценка положения периодического решения
Из лемм 2.2 и 2.3 предыдущего параграфа следует, что необходимым условием существования периодического решения в малой окрестности нуля является наличие единичного вектора е , удовлетворяющего условию / (е//)=0. Предположим, что это уравнение разрешимо на единичной сфере и его решением является вектор еи . Разложим вектор-функцию /к(е„) по формуле Тейлора в окрестности точки еи , получим Выберем произвольное положительное число є4. Тогда, учитывая, что в уравнении (2.9) слагаемое o(J) является остаточным членом в разложении функции по формуле Тейлора и используя его представление в форме Лагранжа, получим, что Предположим, что в системе (2.9) rangl = n, тогда матрица / представима равенством / = (/ ,/), в котором матрица / имеет размерность ИХЙИ является неособенной. Пусть — вектор, координатами которого являются те координаты вектора , которые соответствуют матрице I , % — вектор, координатами которого являются остальные координаты вектора . Вектору J будет соответствовать матрица 7 размерности пхт + l. Следовательно, систему (2.9) можно записать следующим образом Поскольку, по предположению, матрица / неособенная, то для нее существует обратная матрица, поэтому последнюю систему можно представить равенством В векторе o(J) выделим слагаемые, содержащие координаты вектора в степени выше первой. Тогда величину о() можно представить равенством o(j))=0, поэтому Ц + o(g)=o{ ) и уравнение (2.10) запишем так Определим оператор Г равенством Г = -/ " (о(ї)+о(\ \)+0(р)). Тогда систему (2.11) можно привести к уравнению Теорема 2.3. Если ранг матрицы / равен л, то система (2.9) имеет решение (#,/?), причем min Доказательство. Докажем, что оператор Г имеет неподвижную точку. Для этого докажем, что существуют числа /7 0, 5Х 0, S2 0, такие, что при /7 и любых фиксированных и р, для которых I J ,, p S2, справедливо неравенство )-/ (0 )+0 1)+0( ) 7. По определению функции o(J ) существует число t] О, такое, что при всех значениях , 77, выполнено неравенство -/ - 4г) і г—-. - -, и, как следствие, неравенство Так как \im(-I l ОЩ))=0, то существует положительное число 8Х, такое, что для любого вектора ", удовлетворяющего неравенству IJl Sx, выполняется неравенство
Так как р не зависит от , то аналогичными рассуждениями доказывается существование числа 52 0, такого, что при всех значениях р, удовлетворяющих условию p S2, выполняется неравенство Следовательно, для любых фиксированных и р, удовлетворяющих неравенствам # 5 Р г, справедливо -/ " (o[ )+o \)+0{p) Tj как только 7- Таким образом, оператор Г отображает замкнутое ограниченное выпуклое множество \ \4 TJ} в себя, а поскольку этот оператор непрерывен, то он имеет неподвижную точку, которая и будет решением уравнения (2.12), а значит, и системы (2.9). для неподвижной точки оператора Г. Для этого заметим, что правую часть уравнения (2.12) можно представить так же, как и правую часть уравнения (2.10). Тогда оператор Г представим ра венством Г = -/ " [7J+oi\ \)+o{p)). Для этого оператора поло жим п = -г. п—7—\- Тогда при всех векторах , для которых TJ , выполнены неравенства Таким образом, при указанном выборе значения rj справедливо неравенство (2.13), а поскольку выполнение этого неравенства определяет радиус окрестности нуля, в которой расположена неподвижная точка, то теорема доказана. Как и раньше, обозначим е - вектор, координатами которого являются координаты вектора ем, полученные из координат вектора а, е - вектор, координатами которого являются координаты вектора ем, полученные из координат вектора Л Теорема 2.4. Пусть единичный вектор е = (е" , е ) таков, что / (ем )=0, е = А 0. Тогда если rangl = п и А -п г-?—ч то система (2.1) имеет по крайней мере одно не 3\\l -]\\s(s4) нулевое периодическое решение. Доказательство. При выполнении условий теоремы система (2.9) имеет решение, которое определяет периодическое решение системы (2.1). Поскольку А -г. тг-,—ч, то из теоремы 2.3 сле дует, что начальное значение этого периодического решения будет ненулевым, а значит, и само периодическое решение будет ненулевым. Что и требовалось доказать. Из свойств правой части уравнения (2.1) следует, что слагаемое 0{р) удовлетворяет условию Липшица по переменной ц на множестве w(s)xA(S), то есть, для любых //,,//2 eW(s)xA(s) выполнено неравенство где LM 0 - постоянная Липшица. Слагаемое o(J) из формулы (2.9) является остаточным членом в разложении fk{eM), поэтому оно удовлетворяет условию Липшица по переменной 4 в окрестности нуля радиуса гт#. Таким образом, для двух произвольных точек , и 2 из окрестности.нуля радиуса є4 выполняется неравенство где L4 О - постоянная Липшица. Теорема 2.5. Существуют такие положительные числа 5х,д2, что при всех значениях р и f, удовлетворяющих неравенствам Щ 5Х, р Зг, уравнение (2.12) имеет единственное решение.
Исследование конкретных систем дифференциальных уравнений
Пусть задана неавтономная система дифференциальных уравнений второго порядка с 2л -периодической правой частью, для которой ставится задача поиска 2л- решений в малой окрестности нулевого. Очевидно, что правая часть представляет собой сумму форм второго и третьего порядков относительно координат векторов Л и х, причем Поскольку в правой части содержатся только формы относительно координат векторов X и х, то возможно применение леммы 3.3 и формулы (3.10) для получения представления решения, причем из свойств правой части ясно, что наименьшая ненулевая Решением этой системы будет, например, единичный вектор е = \ — ;1;1 . Тогда матрица / в системе (3.15), составленной для данного случая, представима равенством Поскольку ранг матрицы / равен 2, по теореме 3.3 исследуемая система имеет 2п -периодическое решение в окрестности вектора е„ = [—;Ц1 . Заметим также, что ранг любого блока мат рицы / размерности 2x2 равен 2, поэтому из доказательства теоремы 1.3 следует, что какую-нибудь одну координату вектора можно задать произвольно. Если в качестве матрицы / взять , то вектор будет состоять из приращения Де,,,, которому соответствует начальное значение ах. Выбрав зна-чение меньше —, мы получим, что исследуемая система имеет ненулевое периодическое решение с периодом 2л-. Пример 3.2. Пусть состояние объекта описывается неавтономной системой дифференциальных уравнений Ставится задача: определить, имеет ли данная система 2л-периодические решения в окрестности нулевого и оценить положение начального значения этого решения. Непосредственными вычислениями убеждается, что наименьшая ненулевая форма g (2x,a,X) имеет третий порядок: учитывая, что ju = pe/J, где e =(e//i еМ2 емз) необходимое условие существования периоди ческого решения запишем так: Решением этой системы будет вектор eA = (l;l;0). Непосредственными вычислениями находим, что матрица / в системе (3.15), составленной для рассматриваемого примера представима равенством у-ъ -3 0) Так как ранг этой матрицы равен 2, то по теореме 3.3, исходная система имеет периодическое решение. В отличие от примера 3.1, здесь нельзя произвольно выбирать вектор , поскольку блок, составленный из первых двух столбцов матрицы / имеет ранг 1. Это означает, что исследуемая система будет иметь периодические реше системе (3.15), составленной для данного случая, представима равенством
Поскольку ранг матрицы / равен 2, по теореме 3.3 исследуемая система имеет 2п -периодическое решение в окрестности вектора е„ = [—;Ц1 . Заметим также, что ранг любого блока мат рицы / размерности 2x2 равен 2, поэтому из доказательства теоремы 1.3 следует, что какую-нибудь одну координату вектора можно задать произвольно. Если в качестве матрицы / взять , то вектор будет состоять из приращения Де,,,, которому соответствует начальное значение ах. Выбрав зна-чение меньше —, мы получим, что исследуемая система имеет ненулевое периодическое решение с периодом 2л-. Пример 3.2. Пусть состояние объекта описывается неавтономной системой дифференциальных уравнений Ставится задача: определить, имеет ли данная система 2л-периодические решения в окрестности нулевого и оценить положение начального значения этого решения. Непосредственными вычислениями убеждается, что наименьшая ненулевая форма g (2x,a,X) имеет третий порядок: учитывая, что ju = pe/J, где e =(e//i еМ2 емз) необходимое условие существования периоди ческого решения запишем так: Решением этой системы будет вектор eA = (l;l;0). Непосредственными вычислениями находим, что матрица / в системе (3.15), составленной для рассматриваемого примера представима равенством у-ъ -3 0) Так как ранг этой матрицы равен 2, то по теореме 3.3, исходная система имеет периодическое решение. В отличие от примера 3.1, здесь нельзя произвольно выбирать вектор , поскольку блок, составленный из первых двух столбцов матрицы / имеет ранг 1. Это означает, что исследуемая система будет иметь периодические решения с периодом 2л не при любом значении параметра. Однако, так же, как и в примере 3.1, можно показать, что исследуемая система имеет ненулевые периодические решения. В са мом деле, если выбрать матрицу / равной / = , то полу чим, что J = (де„,). Координата ?А, соответствует начальному значению а,, поэтому выбрав " так, чтобы его модуль был меньше 1, получим, что у периодического решения исследуемой системы начальное значение «, отлично от нуля, поэтому это решение будет ненулевым. Рассмотрим неавтономную систему дифференциальных ния с периодом 2л не при любом значении параметра. Однако, так же, как и в примере 3.1, можно показать, что исследуемая система имеет ненулевые периодические решения. В са мом деле, если выбрать матрицу / равной / = , то полу чим, что J = (де„,). Координата ?А, соответствует начальному значению а,, поэтому выбрав " так, чтобы его модуль был меньше 1, получим, что у периодического решения исследуемой системы начальное значение «, отлично от нуля, поэтому это решение будет ненулевым. Рассмотрим неавтономную систему дифференциальных уравнений с 2л -периодической правой частью для которой ставился вопрос определения существования 2л -периодических решений. Заменяя решение его представлением через начальные значения и интегрируя форму четвертого порядка по времени от О до 2я, получим
