Содержание к диссертации
Введение
1 Введение
1 Основные определения и понятия 13
2 Вариационный функционал 14
3 Теория обобщенных кривых в приложении к разрывным задачам вариационного исчисления 16
3 Методы исследования
1 Теорема существования обобщенного решения положительно определенной сопряженной параметрической вариационной задачи 31
2 Леммы 31
3 Теорема существования решения класса НП положительно определенной вариационной задачи 33
4 Положительно определенная вариационная задача при дополнительном условии на функцию iv 34
4 Экспериментальная часть
1 Необходимые условия экстремума в классе обобщенных кривых 37
2 Необходимые условия экстремума в разрывных вариационных задачах со старшими производными 42
5 Выводы
1 Пространственная вариационная задача с предельным показателем порядка роста интегранта 59
2 Теорема об отсутствии абсолютно непрерывного решения для одного класса вариационных задач с предельным показателем порядка роста 61
3 Вспомогательные леммы и теоремы 67
4 Доказательство теоремы о существовании гладкого решения вариационной задачи с предельным показателем порядка роста 100
Заключение 103
- Вариационный функционал
- Положительно определенная вариационная задача при дополнительном условии на функцию iv
- Теорема об отсутствии абсолютно непрерывного решения для одного класса вариационных задач с предельным показателем порядка роста
- Доказательство теоремы о существовании гладкого решения вариационной задачи с предельным показателем порядка роста
Введение к работе
Первым результатом, относящимся к 19-ой проблеме Гильберта, было исследование С.Н.Бернштейна, в котором было установлено, что трижды непрерывно дифференцируемое решение z. регулярной аналитической задачи аналитично. Для решения 20-ой проблемы им был развит метод продолжения решения дифференциального уравнения по параметру.
Работы Лебега, Гильберта [138], Куранта [133] послужили началом развития так называемых прямых методов вариационного исчисления. Согласно идеи Гильберта, задача отыскания аналитических решений для аналитических задач разбивается на две: установление существования обобщенного решениями последующее изучение его дифференциальных свойств. Исследование вопроса разрешимости вариационных задач прямыми методами в свою очередь также распадается на две: 1) установление компактности множества допустимых функций и 2) доказательство полунепрерывности снизу вариационного функционала. Данный метод получил глубокое развитие в трудах Л.Тонелли[160, 161], Н.Н.Боголюбова [8,9], Е.Макшейна [145, 147-149], АХ.Сигалова [109-111], В.ИЛлотникова [93-95], О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [50,51] и др.
Необходимость расширения- понятия решения посредством введения в рассмотрение функций, обладающих разрывами типа «стенка» определяется не только нуждами развития теории вариационного исчисления, но и наличием важных прикладных задач (задачи теории полета тел переменной массы [47, 140,141], задачи теории упругости [2, 13, 18, 119], задачи оптимального экономического роста [48] и др.). Теория одномерных и многомерных вариационных задач, определенных на классе разрывных функций, обладающих конечным или счетным множеством участков неоднозначности (класс существенно разрывных функций) была развита в работах А.Г.Сигалова, В.Ф.Кротова [43-47], С.Ф.Морозова [52-64], [35-42] (совместно с В.И.Кошелевым), [65-72]; (совместно с В.В.Петровым). При этом В.Ф.Кротовым было осуществлено дальнейшее расширение класса существенно разрывных функций до класса (у,.г)-линий и получены необходимые и достаточные условия экстремума вариационной задачи в этом расширенном классе. Идея такого расширения основана на переходе от поиска точного решения к задаче отыскания минимизирующих последовательностей. Таким образом, объектом поиска, в расширенной задаче оказывается класс в определенном смысле эквивалентных минимизирующих последовательностей.
-6 Данный путь расширения вариационных задач был впервые осуществлен американскими математиками ЛЛнгом [125, 164-166] и Е.Макшейном [150-154]. Для объектов расширенного класса ими было введено понятие обобщенной кривой и построена теория необходимых и достаточных условий экстремума. В теории оптимхіьного управления обыкновенными дифференциальными уравнениями аналогичные конструкции были осуществлены с использованием для расширенного класса объектов терминов «обобщенная кривая», «обобщенное управление», (Дж.Варга [10,163], Е.Макшейн [155]) «скользящий режим» (Р.В.Гамкрелидзе [15], А.Ф.Филиппов [120], В.Ф.Кротов), «предельное управление» (А.Гуйла-Ури [130]) и т.п.
В настоящей работе изучение вариационной задачи минимизации функционала (0.1) в классе существенно разрывных функций осуществляется посредством перехода к соответствующей ей параметрической (сопряженной) задаче. Данный метод изучения вариационной задачи был предложен Тонелли, а затем развит в работах Макшейна, Л.Г.Сигалова. Исследование сопряженной параметрической задачи опирается на теорию обобщенных кривых Янга-Макшейна. Предлагаемый метод исследования позволяет не только получить в качестве результатов теоремы существования обобщенного решения сопряженной параметрической задачи, но и доказать существование абсолютного минимума вариационной задачи в исходном классе существенно разрывных функций. Данный метод позволяет в сравнении с [34-37, 60, 64, 70] значительно ослабить требования; на гладкость интегранта.; F и избавляет от необходимости устанавливать факт полунепрерывности сопряженного функционала J [С] в классе абсолютно непрерывных кривых, имеющих не более чем счетное число вертикальных отрезков.
Помимо проблемы существования разрывного решения вариационной задачи представляет интерес и вопрос: при каких условиях решение вариационной задачи с предельным показателем порядка роста будет являться не разрывным, а «обычным» решением? Как известно, для существо ван ия такого решения помимо требования регулярности, требуется введение некоторых дополнительных условий.
Цель диссертационной работы состоит в установлении теорем существования решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка», посредством распространения • теории обобщенных кривых Янга-Макшейна на данный тип вариационных задач, получении необходимых условий первого порядка в указанном классе и исследовании свойств гладкости решения задачи минимизации функционала (0.1) в случае предельного показателя порядка роста or =1.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, а также списка литературы из 166 наименований. Объем работы 115 стр.
Краткое содержание работы. Во введении обсуждаются актуальность темы диссертации, новизна полученных результатов, теоретическая ценность работы, а также дается обзор основных результатов диссертации.
В главе 1 даются основные определения и понятия теории разрывных вариационных задач и строится теория обобщенных кривых Янга-Макшейна в приложении к разрывным задачам вариационного исчисления. В частности, в §1 вводятся класс П допустимых кривых и класс НП допустимых функций.
Далее устанавливается следующая теорема компактности Теорема 1.2. Пусть М — бесконечное множество обобщенных кривых класса ОСК. Если существует такое N О, что ЦС \ N для каждой С Є М, то множество М- компактно-Центральным результатом §1 главы 2 является теорема 2.1 существования обобщенного решения положительно определенной сопряженной параметрической вариационной задачи.
Используя теорему и применяя неравенство Йенсена, в §2 главы 2 устанавливается теорема существования решения класса НП положительно определенной квазирегулярной вариационной задачи.
В заключении изложены основные результаты работы.
Методы исследования. В работе использованы методы вариационного исчисления, функционального анализа, теории функций действительного переменного, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие основные результаты:
Построена теория обобщенных кривых Янга-Макшейна применительно к разрывным пространственным квазирегулярным задачам вариационного исчисления. На его основе доказаны теоремы существования решения вариационных задач на классе существенно разрывных функций.
Получены необходимые условия экстремума первого порядка в классе обобщенных спрямляемых кривых и решения; в. непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным: или счетным множеством точек разрыва типа «стенка». Получены необходимые условия первого порядка решения с разрывной (я-І)-ой производной методом сведения вариационной задачи со старшими производными к задаче Больца.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в вариационном исчислении, теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений при- исследовании вопросов существования решения, а также при исследовании ряда задач теории пластичности, задач управления полетом тел переменной массы, задач экономической динамики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории: функций и смежные проблемы прикладной математики и механики» (Воронеж: ВГУ, 1995); Воронежской весенней математической школе «Понтряганские чтения-VII» (Воронеж: ВГУ, 1996); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж: ВГУ, 1997); Четвертой межвузовской научно-технической конференция «Проблемы повышения; эффективности вооружения,- военной техники и подготовки специалистов в интересах войск ПВО» (Н.Новгород: НВЗРКУ ПВО 1997); Пятой межвузовской научно-технической конференция «Проблемы повышения эффективности вооружения, военной1 техники: и подготовки специалистов в интересах войск ПВО» (Н.Новгород: НВЗРКУ ПВО 1998); Итоговой научной конференции Нижегородского госуниверсита (Н.Новгород: ННГУ 1999); III: Международной научно-методической конференции «Методология- преподавания статистики, эконометрики-и математической экономики в вузах» (Моск. гос. ун-т экономики, Сочи, 2003); Международной конференции «Прикладная статистика в социально-экономических проблемах» (Н.Новгород: ННГУ 2003); IV МНПК «Государственное регулирование экономики. Региональный аспект» (Н.Новгород: ННГУ 2003); семинарах С.Ф. Морозова (1993-2000) по проблемам теории интегро-дифференциальных уравнений и вариационного исчисления; семинаре по оптимальному управлению мех.-мат.ф-та ННГУ (рук. проф. В.И.Сумин, проф. М.И. Сумин, декабрь 2003).
Публикации. Основные результаты отражены в девятнадцати публикациях, список которых дан в конце автореферата: семи самостоятельных и двенадцати совместных с научным руководителем С.Ф.Морозовым
Личным вкладом А.В.Семенова являются формулировки и доказательства теорем. С.Ф.Морозову принадлежало общее руководство исследованием, постановка задач и идеи доказательств некоторых теорем. Ю.А.Кузнецову принадлежат формулировки постановок ряда прикладных задач и указание на их связь с теорией разрывных вариационных задач, а также руководство завершением подготовки диссертации.
Вариационный функционал
Пусть С — кривая класса П и {С } — проекция носителя кривой С на плоскость (х, у к)- Каждой точке х из интервала [а,Ь] поставим в соответствие совокупность всех РкЄ{Ск}, которые имеют х своей проекцией на ось Ох. Тем самым получаем функцию у к(х), хЄ[а,Ь], вообще говоря, неоднозначную. Очевидно, чтод ОО (к = 1,... ,р) не зависят от параметрического представления кривой С. Совокупность всех вектор-функций У(х) = (уі(х),... j (x)), хЄ[а,Ь], соответствующих всевозможным кривым С Є П по вышеуказанному правилу, назовем классом НП допустимых функций. Вектор-функция Y(x) Є НП может иметь не более чем счетное число точек разрыва x = Xj (і = 1,2,...) и является абсолютно непрерывной на каждом интервале однозначности (Xj,xjti) (J = 1,2,...). 2 Вариационный функционал 1. ИнтетрантР. Пусть функция Fудовлетворяет следующим условиям: 1) F(x, Г, 2) определена и непрерывна по совокупности переменных х, Y, Z: (х, Ї)Є Й, - 2) F - выпуклая вниз функция по Z, т.е. для всех (х, Y) Є2, -«- Zi, Z2 «-, &i, 02 г 0, Oi + 2 = 1 выполняется неравенство: 3) в случае/? = 1 существует конечный предел где w(x,y, sign z) — непрерывная функция по совокупности переменных (х, у)Є Q; в случае р 1 - конечный предел где w(x, Y, cos 7) - непрерывная функция по совокупности переменных (х, У)Є Q, овуІаі ЧрЗ]). 2. Функционал 1[у] на классе функций НП. Функционал J[Y] на классе функций НП определим следующим образом; где х„ Ху - точки разрыва функции У(х); Ys = Y(xt + 0) , Y, = У(х, - 0); где У(х) Є НП, С - кривая класса П, соответствующая У(х), х„ ху — точки разрыва функции У(х) в [a,b\, (х,, х,+;) - интервалы однозначности, % - дуги кривой С, для которых x(s) 0. В случае, когда У(х) абсолютно непрерывна в [а,6], функционал (1.3) , (1.4) принимает свой обычный вид (0Л). 3. Сопряженный параметрический интегрант G . В условиях существования предела (1.1) (р = 1) или (1.2) (р 1)обозначим через G сопряженный параметрический интегрант, определенный следующим образом: Таким образом, в области Q х Rl p ={(x,Y, x , Y): (x, У)Єі, і aO, —oo Y определена непрерывная, положительно однородная первой степени относительно х, Y и выпуклая вниз по x,Y функция G(x,Y,x,Y)- интегрант сопряженного параметрического функционала определенного на классе кривых С Є П. Нетрудно видеть ([35-38]), что I[Y] = J[C\, где У(х) есть функция класса НП, соответствующая С Є П. 3 Теория обобщенных кривых в приложении к разрывным задачам вариационного исчисления 1. Класс обобщенных кривых (класс ОК) Пусть 5 - произвольное множество, 2 - о-алгебра подмножеств множества 5, тогда пара (5,2) называется измеримым пространством; мерой fx будем называть счетно-аддитивную функцию множества со значениями из расширенной области вещественных чисел, определенную на заданной а-алгебре.
Тройка (S,/J), состоящая из множества S, а-алгебры 2 его подмножеств и меры /г, определенной на 2, назовем пространством с мерой, а (5,2) — измеримым пространством. Рассмотрим пространство Кї+Р с метрической топологией X евклидова расстояния и возьмем в качестве S пространство Rl p — {U - (іДи1, .„, if) Є Kl+P : и Й:0, —со if оо [k= 1, ... ,/?)), наделенное индуцированной топологией простран- ства (Rltp, Т). Обозначим через В борелевскую о-алгебру топологического пространства S = R , т.е. наименьшую а-алгебру, содержащую все замкнутые подмножества данного топологического пространства. Таким образом, определено измеримое пространство (R1 , В). Пусть С - кривая класса П nj{f)t Є[гі,/2] — некоторое ее параметрическое представление. Пусть Т— множество значений /Є[гі,/г] лебеговой меры h — h, для которых существуют конечные производные x(t),yk(t) {к = 1, ... , р), и пусть для каждого / Є Г заданы меры /г(/), определенные на измеримом пространстве (R , В) и удовлетворяющие условиям: A) для каждого tE. Т ju(r) - положительная конечная мера; Б) для каждого /Є Т носитель меры f4j) (supp //(/)) - ограниченное множест-ео; B) для любой Ф(/) = Ф( и,и\ ..., if) Є C(R\ P) функция измерима на [ty, /2]; Г) для каждого /ЄГ выполняются равенства Установим следующую лемму. Лемма 1.2. Пусть С: {ДО, t Uuh]} - кривая класса П и ), t ЄТ- меры, удовлетворяющие условиям А)-В). Тогда для любой &(t,U) Є C([t\,t2] х R1/ ) функция г і) = ( Ф(г,U)fi(t) (dU) является измеримой на [h, h]. характеристическая функция множества Д„ (к = 2,3,...; к = следовательно, с силу условия С) функция # „(/) = ҐФ„(/,ЇУ)//(ґ)(гЯ/) (И = 2,3,—) является измеримой на {t\,t \. Пусть /оЄГи Є5- компактное множество, содержащее supp ц(/о). Так как ФпОо,Ц) = ФОо,Ц) равномерно на и о) (Z)) , то „(0 - ##) почти всюду на [t\,ti\, и значит, # () является измеримой на [tub] функцией, что и требовалось доказать. Представлением некоторой обобщенной кривой С будем называть следующую пару {Ці), /Є[/і,&]; (4t), (Є Т}, где С: {fli), t{tuh\} - кривая класса П, / /),ГЄ Т- меры, удовлетворяющие условиям А)-Г). Обозначим через CH(Q х RJ++P) класс функций G(x, Y, U), положительно однородных первой степени относительно U и непрерывных по совокупности переменных (х, Два представления {/)(/), ІЄЦі.б]; №(0» Є Г]}, Ш(т), іЄ[Т], т2]; /г2(т), тЄГг} будем считать эквивалентными представлениями обобщенной кривой С , если для каждой функции G(x,Y, U) класса CH(Q х R ++p) из существования одного из интегралов следует существование другого и их равенство Обобщенной кривой С класса ОК назовем совокупность всех представлений эквивалентных С : В силу равенства (1.5) на обобщенной кривой С : {/(/), Є[/ь/г]; f4j), (Є Г} определим функционал Очевщщо, значение J[C ](G) не зависит от выбора обобщенного представления обобщенной кривой С . Пример 1.1. Пусть С: {/(f), гЄ[/і, ]} - кривая класса П. Положим \i(i) = с.65). Тогда для обобщенной кривой С : (ДО. &[ i»ft]; & ,), у ед, П соответствующей кривой С класса П, и для любой функции G Є CH(Q х R1 ") имеет место равенство Пример 1.2. Пусть U0 - пространство Кротова пар (у(х),и(х))н {/(f)=(x(f), y(t)), t& [0,1]} - параметрическое представление кривой С, соответствующей функции у(х) Є НП. Обозначим через А множество всех значений /Є [0,1], для которых существуют конечные производные x(t),y(t), причем x(t) 0. Аналогично, В есть множество всех значений іЄ [0,1], для которых x(t) - 0, y(t) конечно.
Положим и поставим каждой паре (у(х),и(х))(Еио в соответствие обобщенную кривую С Таким образом пространство Кротова U0 в определенном смысле вложено в класс ОСК. Если и(х) е _у (х), то представления кривой С , указанные в примерах 1.1 и 1.2 являются эквивалентными. 2. Класс обобщенных спрямляемых кривых (класс ОСК). Обобщенную кривую С Є OK назовем обобщенной спрямляемой кривой, если ее обобщенная длина конечна . Класс всех обобщенных спрямляемых кривых из ОК обозначим через ОСК. Лемма 1.3. Если С Є ОСК, тогда значение функционала J[C ](G) конечно для любой функции G Доказательство. Пусть {fit), іЄ[(и ]; j«(0» tET$ - некоторое представление обобщенной кривой {UЄ R : [[j = 1}. В силу однородности для произвольного Uимеем Отсюда \J[C \{G)\ KL[C ], что и требовалось доказать. 3. Эквивалентные представлення обобщенных спрямляемых кривых. По теореме о замене переменного в интеграле Лебега ([10],с.119) имеем Лемма 1.4. Пусть С : {/і(/), /Є[/і, ft]; ft\(i), t Є Т\} — обобщенная кривая класса ОСК и / = t(f) — монотонная абсолютно непрерывная в [п, гї\ функция, такая, что 1) / (z) 0 почти всюду в [гь гг]; 2)/(4) = Тогда для обобщенной кривой С : (/і(/), /Єрі, ft]; /Л(0» ЄЕ i} существует эквивалентное представление {/г(і), гЄ [TJ, г2]; №(t), тЄ Г2}, где (т)=/і(Г(т)), іЄ[ть ] №(т) = (т)/л(ї(т)), гЄ Г2 Лемма 1.5. Пусть С : {Д/), Є[/і, ft]; /4(/), f Є Г} - обобщенная спрямляемая кривая класса ОСК и г - произвольное положительное число. Тогда существует такое эквивалентное представление (Д/), /Є[/ь/2]; / (/). / 7} обобщенной кривой С , что supp//2(0 CSr, t Є Т, где Sf = {U Є R1; : f/ Доказательство. Пусть C :{f{t), /E[ft, ft]; / i(/), / Є Т) - обобщенная кривая класса ОСК и г О — произвольная постоянная.
Положительно определенная вариационная задача при дополнительном условии на функцию iv
Пусть р=\ и функция F удовлетворяет следующим условиям: 1) F(x,y,y) 0 - непрерьганая, выпуклая вниз по у функция, определенная для 2) существует предел (1.1), где w - непрерывная по совокупности переменных (г,у) Є Q функция, отличная от нуля всюду в Q, за исключением конечного числа простых кривых Yk, к =1, 2 s без общих точек, на которых функция w удовлетворяет одно му из условий (2.3) или (2.4) Так как в рассматриваемом случае, w, а следовательно, и G могут обращаться в нуль, то возникает необходимость в установлении следующей леммы, дающей оценку длин кривых класса П. Лемма 2.3. Пусть F удовлетворяет условиям 1) , 2) и G - сопряженный параметрический интегрант. Тогда существуют такие положительные постоянные Ак В, что ЦС] Й AJ[C] + В для всех СЄП . Доказательство. Пусть С: {/(J), І"Є[0,Ь]} - произвольная кривая класса П с естественной параметризацией. Не ограничивая общности, предположим, что существует одна кривая у, где w удовлетворяет (2.3). Пусть р О, А 0 - малые фиксированные числа; S(p/2fy), S(p,y) - окрестности кривой С в Q; 6 - дуга полуокружности Д &{(х,у): х2 + у2 =1,іа0}, которая имеет начальную точку (і:,у )=(0,1) и длину X. Существует такое т 0 , что G (х, yt х,у)ьт , когда (х у) ЄQ\ S(p/2,y), (х, у )ЄД и при (ху) Єй, (х,у)ЄА\Ь. Рассмотрим непрерывные дуги С/ кривой С, лежащие в S(p,y), которые имеют, по крайней мере, одну точку на границе S (p,y) и точку внутри S(p/2,y). Так как [С(] а р/2, то число Этаких дуг конечно: Nx l+2J[C]/mp. Оценим сверху длину дуги Ct . Пусть С\ - часть d , для которой (x(s), y(s)) Єд, aCf я С і \ С]. Обозначим через (хи у\), (х2, yi) начальную и конечную точки дуги Ct. Так как на дугах Clt,Cf имеем y(s) cos Л, y(s) -1, то у 2 - у1 Й ЦС] ] cos Я - 1[С? ] , следовательно L[Cf ] =s 2{[С/ ] + у } / cos А. Из неравенств тЦС?) п J [Cf ] J [Сі ] заключаем, что ЦС, ] 2{т lJ [С,-} + у0 } / cos А , таким образом, \L[Cj] s А,/[С] + Вх, где А\ , В\ - некоторые положительные посто- янные, не зависящие от СЄП. Принимая во внимание, что длина оставшейся части кривой С не превосходит J[C]/m , получаем утверждение леммы. Следующая теорема устанавливает факт существования обобщенного решения сопряженной параметрической задачи.
Теорсма 2.3. Пусть F удовлетворяет условиям 1), 2) G - сопряженный параметрический интегрант ит= inf J[C] = inf І [у]. Тогда существует такая обобщенная кривая Сд класса ОСК, что J[ С$ ] (G) = т. Доказательство опирается на лемму 2.3 и проводится по аналогии с доказательством теоремы На основе теоремы 2.3 и интегрального неравенства Иенсена устанавливается теорема существования решения вариационной задачи (0.1) в классе НП: Теорема 2.5. Пусть F{xy,y ) удовлетворяет условиям 1), 2), тогда существует функция о(х)ЄНП, доставляющая минимум функционалу 1\у] в классе НП. 1 Необходимые условия экстремума в классе обобщенных кривых 1. Построение семейства обобщенных спрямляемых кривых сравнения класса ОСК Пусть CQ - {f0{t) = (x0(t),YQ(t)), /Є [0,1]; / (/), / Є T) обобщенная спрямляемая кривая, такая, что / (/)( Я[ р ) = I, след С0 лежит целиком внутри Q и содержит одну ДУГУ % { = х1 Y = o(f). 1 є [ р гІЬ носитель которой лежит в гиперплоскости, ортогональной оси Ох. Пусть (p(f), ifft) = (#j(/X...,# p(/)) — произвольные абсолютно непрерывные на [0,1] функции, удовлетворяющие условиям: уф) = г$0) = qt\) = #( I) = 0; f(j) = щ,іЄ [tlft2] (7(,- const); производные /), %(/) конечны при / Є 7і. Зафиксируем произвольное / Є Г. Так как носитель supp (/) — ограниченное множество, то найдется такая постоянная а(/) 0, что supp fi$ С S & {U ЄЯІ+Р: \\U\\ s а(/)}. Ha классе функций Ф(Ц) Є () определим непрерывный функционал где Ф\1Г) = Ф(и+ гф(/), их + еф (/),..., //" + ея!) (/)). Семейство B(S = {Е ЄВ: Е = П Sa((), ЕД} является борелевской о-алгеброй подмножеств множества Sa№ По теореме Рисса существует такая конечная положительная регулярная мера р.е (/), определенная на измеримом пространстве (З Дї)» что Тогда функция множеств //Ё(/), определенная на . измеримом пространстве (Rl p J$) равенством \it(t)(E) = jle(/) (Е П $а, ), является положительной конечной регулярной мерой аналогично, Следовательно, С] = \fjj) = (xJit),YE(t)), і Є [0,1 J; fijj), ї Є Г} принадлежит классу OK, кроме того, используя неравенство Мннковского, легко убедиться, что С является спрямляемой обобщенной кривой. Таким образом, С оказывается включенной в семейство обобщенных кривых сравнения {С е} при є = 0. 2, Необходимые условия экстремума функционала J\C ] в классе ОСК и их следствия Определение 1. Обобщенная спрямляемая кривая CQ доставляет функционалу J[C ] (G) абсолютный минимум в классе ОСК, если J[CQ] (G) Й J[C ] (G) ДЛЯ всех Определение 2. Обобщенная спрямляемая кривая С доставляет функционалу J[C ] (G) сильный относительный минимум, если существует такое 6 0, что J[ CQ ](G) : J[C ](G) для всех С , следы С которых удовлетворяют неравенству fliC0,Q 6. Пусть С0 Є ОСК доставляет сильный относительный минимум функционалу J[C ){G). Предположим, что Сд удовлетворяет условиям п.1 и JCQJ - построенное семейство кривых сравнения. Пусть интегрант F функционала 1[У\ удовлетворяет условиям 1) — 3) п. 1.2.1 и G - сопряженный параметрический интегрант, определенный в п. 1.2.3. Первые производные параметрического интегранта G имеют вид: в случае р= 1 Применяя для вычисления первой вариации bJ = lim-уІС l-jk-of рассуждения, аналогачные [38], легко получаем для нее следующее выражение!): которое равняется нулю в силу экстремального свойства кривой CQ . Принимая во внимание произвольность выбора функций qit) (ср(0 = const, / Є. (Л » J) %(0 (A = 1 — p) получаем следующие необходимые условия экстремума: Г G\ /i0 (t)(dU) - fdt Г G1 /i0 (/)(dU) = ck для п.в./ Є (0,1) jfc = 1, 2,...,р; (3.2) Аргументами в подъинтегральных функциях являются ,,(/), Уо(0і - Уравнения (3.1), (3.2) представляют из себя обобщения необходимых условий Дю Буа-Раймонда.
Если экстремальная кривая С0 имеет представление {fQ(t): і Є [ОД]; 6/ ],/ЄГ}, что соответствует случаю минимизации следом С0 функционала J[C] в классе П, то условия (3.1)-(3.3) принимают вид: c0, cA — cons/; / — произвольная точка из (/,,/2). Предположим, далее, что минимальная кривая С0 Є П является кусочно-гладкой. Тогда из уравнений ДюБуа-Раймонда в параметрической форме (3.4), (3.5), (3.7), (3.8) следует выполнение на участках непрерывной дифференцируемости необходимых условий Эйлера Следовательно, принимая во внимание (3.6), (3.9) - (ЗЛО), существенно разрывная функция Y(x) Є ШІ, соответствующая кривой С0, и, значит, минимизирующая функционал (0,1), должна на участках однозначности где cosуt,cosу — направляющие косинусы касательной к дуге соответственно, в точках (Х[, Г(х; - 0)), (л , Y(xt + 0)). Последние соотношения являются обобщениями на случай существенно разрывных функций "угловых" условий Вейерштрасса-Эрдмана и необходимых условий разрыва Размадзе. 2 Необходимые условия экстремума в разрывных вариационных задачах со старшими производными В настоящей разделе устанавливаются необходимые условия экстремума вариационного функционала со старшими производными (я ь 2) в классе функций у(х), х Є [«оА1 У(х) = С [аоА]) у \х) имеет конечное число разрывов типа «стенки» в предположении, что подъинтегральное выражение удовлетворяет условию существования предела следующего вида где w - непрерывная функция переменных ху,у ,..., (я"". Такой класс задач для л = 2 был изучен для частного случая существования предела (3.13) в работе Д.Ф.Лаудена [140], а затем в более общей постановке в работе [41] были даны необходимые и достаточные условия экстремума функционала (3.12) при п = 2. 1« Допустимые классы функций П и НП Вектор-функция 2(t) = (z0(/), z\(t),..., zn(t)), t EL [0,1] принадлежит классу П, если: 2) при разбиении т: /0 = 0 t\ ... tQ tQt] отрезка [0,1] на участки непрерывной дифференцируемости функции z0(/) имеем а) z 0(h - 0) 0, z 0 (/Q + 0) 0, z 0(г) 0,7 Є [/e, /,) U (. / ,„]; б) в интервале (tq,tqtl) (q = 1,.- б 1) производная z Q(t) или строго больше Каждая вектор-функция Z(/) Є П является параметрическим представлением некоторой непрерывной кривой Е в пространстве R"+ точек (z0,zi,..,,?„). Пусть Zi(/), Zi(i) Є П. Если существует кусочно-гладкая строго монотонная функция / = дій), и Є [0,1], такая, что (0) = 0, qiX) - 1, Z\(u) - Zzig u)), и Є [0,1], то вектор-функции Z\{t), Zi(t) назовем эквивалентными. Под кривой Е: Z = Z(t), t Є [0,1] класса П будем понимать множество всех параметрических представлений из П, эквивалентных функции 2(/) Є П.
Теорема об отсутствии абсолютно непрерывного решения для одного класса вариационных задач с предельным показателем порядка роста
Пусть интегрант F (х, у, у ) удовлетворяет условиям 1), 2) при а = 1 , а также одному из условий А) или В). Пусть, далее, F удовлетворяет условию 5) регулярности функционала (1), т.е. для всех (х, у) Є Р, каждого у (- оо у а ) и любого ненулевого rj н {rjb ...,}. Тогда существует гладкое решение = у(х) ,a xzb, вариационной задачи (4.1). 2. Теорема об отсутствии абсолютно непрерывного решения для одного класса вариационных задач с предельным показателем порядка роста 1. Формулировка теоремы Справедлива следующая Теорема 4.2. (Макшейн) Пусть положительная функция q(x,y) непрерывна вместе со своими первыми производными в области Q .Пусть Ро э (х0, уо)-внутренняя точка области Q , где ф х(х,у) 0 . Тогда существует внутренняя точка Р\ т ( i У\) - из Й такая, что в непустом классе абсолютно непрерывных кривых С, лежащих в Q и соединяющих Ро и Р\, задача об определении 2. Уравнения Дю Буа - Раймонда Доказательство теоремы 4.2 будет опираться на следующие соотношения Дю Буа - Раймонда. Лемма 4.1 [146]. Пусть функция F(x, у, у ) удовлетворяет условию 1) п.4.1.1. ПустьG(x, у,х,у) - сопряженный интегрант к F(x, у, у ), (х,у)Є Qf к О, - « у , определенный следующими соотношениями Пусть существуют три числа Мі , Мг и д 0 такие, что для всех пар точек (х, у) и (Зё, у), расстояние между которыми меньше 6, и для всех х (дг 0), j , удовлетворяющих условию х2 + у2 = 1 , выполняются условия Пусть абсолютно непрерывная кривая С : у = у(х), аахх Ь, целиком лежащая внутри Я и имеющая параметрическое представление С: х = x(s),у = y(s), x(s) 0 , 0 z 5 s , где J - длина дуги кривой и L - длина кривой С, дает решение в классе Д) допустимых кривых вариационной задачи (4.1). Тогда существуют постоянные с0, ct (і = 1,..,,/0 такие, что уравнения выполняются для почти всех s (0 s; 5 «s Z). Доказательство. Из условия 1) п.4.1.1 и (4.10) следует, что интегрант G = G(xty,x,y) определен и непрерывен вместе со своими первыми производными в области (х, у) Є Q, х 0, - оо у оо и положительно однороден первой степени Пусть кривая С : у - у(х), a z х s b, целиком лежащая внутри Й и имеющая параметрическое представление С : х - x(s), у = y(s), х (s) 0 , 0 s s s Л, дает решение вариационной задачи (4.1), причем х (s) 0 почти всюду на [О, L]. Введем следующие обозначения здесь z&(z0,zl zp),z =(z o,z t, ...,z p),причем 2i = j:,21=Ji(l"= 1,..., ). Покажем, что из условия (4.11;) следует соотношение (4.12,) (j = 0, 1,...,/?). такого, что 0j(s) = Cj для почти всех $ из [О, L].
Тогда найдутся две постоянные а\ и d2 (di d2) и два множества E i и Е 2 положительной меры такие, что выполняются неравенства 0j(s )г d2, s Є Е 2 Два последние неравенства остаются справедливыми, если из множеств Е і и Е 2 , удалить множества меры нуль, где z {s) не определена или z0 (s) = 0. Затем найдем положительное число к и два измеримых подмножества Ei и Ег , соответственно из E i и Е 2 , так, что Определим функцию qp(s) по формуле (p(s) = ftm(E )X\(/) - т(Ел}Хг(?}\ s pf(s) = - m(E[) для почти всех s из Е2, ф{$)= т(Е2) для почти всех 5 из Е], (4.15) (jff(s) 0 для почти всех s из C(Ei U Е2). Определим кривую Са следующим образом Os sil, I a) 1, Очевидно, что С имеет те же самые конечные точки что и С и при достаточно малых а лежит целиком внутри Q . Покажем, что кривая С„ может быть представлена абсолютно непрерывной функцией у = у\х), a xsb. Рассмотрим сначала случайу = 0. Тогда для почти всех s будет zf(s) = z,0(s)fsEC(ElUE2), Следовательно, для достаточно малых значений а неравенство z (s) О вьшолняется почти всюду на [О, L], поэтому функции определены для почти всех s из [О, L] и измеримы. Пусть а- длина дуги кривой С„, т.е. Тогда почти всюду на [О, L] имеем o (s) г z(s) 0, а значит сф) имеет абсолютно непрерывную обратную функцию s(d), причем почти всюду будет s ( f) 0. Следовательно, неравенство почти всюду вьшолняется, а это является необходимым и достаточным условием для того, чтобы Са могла быть представлена абсолютно непрерывной функцией у = Пусть теперь У 0 . Так как в этом случае всюду будет ZQ(S)-Z0(S) , то функция ZQ(S) имеет обратную абсолютно непрерывную монотонную функцию. Следовательно, р (s(x)) в qj (s(z0)) абсолютно непрерывна, и поэтому абсолютно непрерывна Функции yf(x)az(s(x))= zl(s(x)) (I # 0, J) абсолютно непрерывны. Таким образом, Са представима абсолютно непрерывной функцией у =у%х), а хлЬ. Исключая множество меры нуль, где za (s) не определена или z% {$) = 0, имеем, что функция G(za (s), za (s)) дифференцируема по а и справедлива формула Исключаем далее множество меры нуль, где (4.15) не выполняется, тогда для достаточно малых а из (4.15) и (4.16) следует, что на Ех U Ег выполняются неравенства Для этих аргументов правая часть в (4.17) ограничена (скажем, N). Для точек дополнительного множества C(Et U Е2), имеем (p{s) = 0, поэтому последний член в (4.17) равен нулю. Для первого же члена применим неравенство (4.11j) Следовательно, для всех малых а, правая часть в (4.17) ограничена суммируемой функцией от s, поэтому можно дифференцировать под знаком интеграла. Полагая а = 0, получаем о Так как кривая Са является решением задачи (4.1), то Интегрируя по частям и используя (4Л 4), получаем Из (4.15) и (4.13) имеем О = JmiE jisyds-JmiEJfPjWds s m(JE,)m{E2)dx -m[E2)m(El)d2. Это противоречит тому, что di d2. Лемма 4.1 доказана. 3. Доказательство теоремы 4.2 Возьмем замкнутый куб Q и {хй - h х а ха + И, у0 - h : у s у0 + И} центром в точке Р0, целиком лежащий внутри Q и достаточно малый, чтобы в Q gfx(x, у) 0. Без ограничения общности будем считать, что фх(хйі у0) 0. В силу непрерывности функций р и ф х существуют положительные М и к, такие, что в Q вьтолняются неравенства На границе куба Q выберем точку Р, с координатами xt = хй + у, У\=уа + h, причем Утверждаем, что точка Pt обладает требуемыми в теореме 4.2 свойствами.
Предположим противное, т.е. пусть найдется кривая С : у = у(х), х0 а х Й xlt которая соединяет точки Р0 и Р, и решает задачу (4.9) . Пусть х2 - наименьшее значение х, при котором кривая С - достигает границы куба Q , тогда Дуга Сі : у = у(х), х0 s х s х2 лежащая целиком внутри Q, минимизирует функционал в классе всех абсолютно непрерывных кривых, лежащих в Я и соединяющих точки (х0,у(х0)) и (Хг,у(хг)). Представим эту дугу в параметрической форме С\ : х = x(s),y -y(s), 0 Й s Z, где L - длина дуги Q . Тогда в силу п.З, почти всюду на [0, Ц выполняется соотношение (4Л20), которое из-за вида нашего функционала записывается следующим образом Правая часть в (4.20) непрерывна и почти всюду равна девой неотрицательной части, следовательно при s = 0 имеем с0 г= 0. Отсюда и из (4.18) следует, что почти всюду на [0, L] выполняется Интегрируя это неравенство по s в пределах от 0 до , получаем 2Л/ Это противоречит (4.19) и доказывает теорему. 3. Вспомогательные леммы и теоремы 1. Априорные оценки производных Докажем ряд утверждений, на основе которых проводится доказательство основной теоремы Лемма 4.2 [123]. Пусть у = у(х), а их s Ъ есть решение системы (4.4), для которой вьшолняется условие В) П.4.1Л. Тогда, для любого М 0 можно указать такое R 0 (зависящее только от М, qp(s), N,K,a и b), что если \\у(х)\\ з М, а & х Ь, то ЦУЧ )!! R, а х =s ft. Доказательство. Пусть у = у(х) , а х s Ь - решение системы (4.4) , для которой выполняется условие В). Отсюда следует, что L ограничено сверху некоторым достаточно большим числом, которое зависит только от постоянных М, N, ри функции b(s). Действительно, если в (4.33) устремить L к », то левая часть будет стремится к , а правая в силу условий на b{s) - к нулю. Из (4.31) и ограниченности L следует утверждение леммы 4.3. Замечание 4.1. Если для системы (4.4) выполняется условие А), то выполняется и условие В), однако в общем случае обратное не верно. Докажем это. Пусть для системы (4.4) выполняется условие А) и пусть произвольному М О соответствуют N и b(s) с указанными свойствами. Очевидно, что функция q (s) = N(1+s2b(s)),sG[0, x )удовлетворяет всем требованиям условия 6). Действительно, т.к. ($)- 0при s — «з, то найдется такое а значит имеет место (4.6), а неравенств(4.7) выполняется в силу (4.5). Покажем, что найдутся такие неотрицательные числа N n К , что будет выполняться - JV(V- / + И2[(л +1)6(И)])+ MV2 + JV. Так как выражение в квадратных скобках стремится к нулю при s - о, то такие N и К найдутся. Таким образом условие В) для системы (4.4) выполнено.
Доказательство теоремы о существовании гладкого решения вариационной задачи с предельным показателем порядка роста
Обозначим через /точную нижнюю грань функционала /(у) в классе Я). В силу положительной определенности вариационной задачи (4.1) і конечно. Пусть {С„} - минимизирующая последовательность кривых из Л) для функционала (4.1), т.е. Так как интегрант F(x, у, у ) удовлетворяет условию 2) при а = 1 п.4.1.1, то длины L„ кривых С ограничены в совокупности: где К - постоянная, не зависящая от и. Представим кривую С„ в параметрической форме: С„:х = xn(s), у=y„(s), Osis„, где s - длина дуга и xn(s) 0 почти всюду в [0, L„]. Из (4.67) по теореме Гильберта существует подпоследовательность {d} последовательности {С„} сходящаяся равномерно к спрямляемой кривой С: х = x(s),y=y(s), 0 =s s s L. Предельная кривая С, вообще говоря, не имеет абсолютно непрерывного представления С:у=у(х), aaxzb, так как она может иметь дуги ук, лежащие в плоскостях х = хк , причем, если точки М1 = \хк Уі),...іУ(у ) и М2= (#4,У ,...,) J кривой С принадлежат плоскости х=хк, то дуга ук кривой С , их соединяющая, также принадлежит плоскости (см. [37]). Покажем, что при предположениях теоремы 4.1 предельная кривая С не имеет указанных дуг ук.. Так как для предельной кривой С имеем Cx(s)dx = Ь а,то x(s) не может быть равной нулю почти всюду на [О, L] и существует внутренняя точка Pt кривой С, в которой существует касательная, причем x(s) 0. Пусть М= J VI J"iy-" +1 Пусть po и бо определены как в утверждении теоремы 4.4. Если теперь точка Р2 U кривой С принадлежит шару S(P\, Ро) предшествует точке Ри причем дуга Р,Р2 кривой С лежит целиком внутри S{P\, ро) и существует единственная минимизирующая кривая в классе всех абсолютно непрерывных кривых, лежащих в шаре S(P\, ро) и соединяющих точки Л и Р2, U которая будет экстремалью. Очевидно, указанная экстремаль совпадает с дутой Р[Р2, кривой С . Аналогичные рассуждения можно провести, если точка Р2 следует за точкой Л . U Обозначим через Q Q : у = у(х), х Є [х\ х"] (as х"х Ъ) максимальную дугу кривой С, которая содержит точку Р, и которая удовлетворяет условию, что любая U ее внутренняя дуга Q]Q2:у = у(х), х Є [хі, х2] (х хх х2 х") является экстремалью. U Покажем, что в силу условий теоремы дуга Q Q" сама будет экстремалью.
Продемонстрируй это для случая, когда удовлетворяется условие В) п.4.1 Л. U Зафиксируем произвольную внутреннюю дугу QtQ2 -У=у(х) х Є [хи х2] дуги U Q Q". Пусть М - такое положительное число, что \\у(х)\\ а М, х = [х , х"]. Из доказательства леммы 4.2 видно, что Пусть Q3Q4:У=У(х)- х Є [xj, ХІ] - любая другая дуга, для которой х хъ х х2 хА х". Положим В силу невозрастания функции Ri(fi) имеем Но тогда из возрастания функций Ф($) и Ф 0?) получаем, что а значит в силу произвольности х, и х+ имеем \\yXx)\\ R,xG(x ,x"). Следовательно невозможно, чтобы было /( )—л_ж. 0, хЄ(х\ х") l Wi—х-х- w (х , х"), поэтому O Q"будет максимальной экстремальной дугой кривой С, содержащей точку Л- Аналогично показывается и в случае выполнения условия 5) п.1. Покажем, что дуга O Q" совпадает со всей предельной кривой С. Предположим противное, т.е. пусть, например, точка Q не совпадает с точкой А. Пусть М — \\у (х )\\ + 1» И пусть QJ и Qj - две точки кривой С такие, что первая предшествует точке Q , а вторая следует за ней. Из теоремы 4.4 заключаем, что если эти точки будут достаточно близки к Q , то дуга Q1Q2 кривой С - будет U экстремалью, а это противоречит определению дуги Q Q". Следовательно кривая С является экстремалью. Легко видеть, что все условия теоремы 4.3 выполняются, а значит функционал будет полунепрерывным снизу. Учитывая (4.66) , получаем, что на кривой С будет /(у) = і. Теорема 4.1 доказана. Заключение В диссертации рассматривались вопросы установления необходимых и достаточных условий экстремума пространственной вариационной задачи в классе существенно разрывных функций. Кроме того, изучалась вариационная задача с предельным показателем порядка роста. Изучение вариационной задачи минимизации функционала (0.1) в классе существенно разрывных функций осуществлялось посредством перехода к соответствующей ей сопряженной параметрической задаче и последующем исследовании ее с помощью теории обобщенных кривых Юнга-Макшейна. Получены следующие основные результаты: Построена теория обобщенных кривых Янга-Макшейна применительно к разрывным пространственным квазирегулярным задачам вариационного исчисления. На ее основе доказаны теоремы существования решения вариационных задач на классе существенно разрывных функций. Установлены необходимые условия экстремума первого порядка: в классе обобщенных спрямляемых кривых и решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка».
Полученные необходимые условия обобщают соотношения Дю Буа-Раймонда, уравнения Эйлера, "угловые" условия Вейерштрасса-Эрдмана и необходимые условия разрыва Размадзе. Кроме того, получены необходимые условия экстремума вариационного функционала со старшими производными 1\у\ = предела Urn F(x,y,y ,„.tyM)/ yw = w(xyy ,...,у{" ц, sign у(пУ) на классе функций У У(.Х) x [a,b]f у которых и-1 производная как функция х имеет конечное число точек разрыва типа «стенка». При дополнительных условиях на систему уравнений Эйлера установлена теорема существования гладкого решения пространственной вариационной задачи с предельным показателем порядка роста.
