Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Необходимые условия оптимальности в форме принципа максимум понтрягина в процессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями 25
I.I Постановка задачи и вспомогательные факты 25
1.2 Необходимые условия оптимальности для автономных и неавтономных систем с терминальным критерием качества типа максимума 4-0
1.3 Минимизации интегральных функционалов 53
1А Задача о минимуме максимального отклонения... 57
ГЛАВА II. Необходимые условия оптимальности типа неравенств 61
2.1 Необходимые условия оптимальности типа неравенств для задач с терминальным функционалом типа максимума 61
2.2 Процессы, описываемые экстремально-дифферен циальными уравнениями, зависящими от параметра . 76
2.3 Минимизация интегральных критериев качества 81
2А Процессы, описываемые экстремально-дифференци альными уравнениями с запаздывающим аргументом 88
ГЛАВА III. Существование оптимального управления в процессах, описываемых экстремалъно-дйфференциальными уравнениями 99
3.1 Теорема существования оптимального управления в задаче с.терминальным функционалом типа максимума 99
3.2 Существование оптимального управления в про цессах, описываемых экстремально-дифференциаль ными уравнениями с негладким критерием качест ва типа Больца 107
Литература 116
- Необходимые условия оптимальности для автономных и неавтономных систем с терминальным критерием качества типа максимума
- Процессы, описываемые экстремально-дифферен циальными уравнениями, зависящими от параметра
- Процессы, описываемые экстремально-дифференци альными уравнениями с запаздывающим аргументом
- Существование оптимального управления в про цессах, описываемых экстремально-дифференциаль ными уравнениями с негладким критерием качест ва типа Больца
Введение к работе
Одним из наиболее разработанных разделов математической теории оптимальных процессов является теория необходимых условий оптимальности, фундаментальным результатом которой является принцип максимума Л.С.Понтрягина J60J.
Как известно, основные результаты в теории оптимальных процессов и, в частности, необходимые и достаточные условия оптимальности получены в предположении дифференцируемости по переменным состояния правых частей уравнений и функционала. Причем предположение о гладкости использовалось существенно и входило в формулировку конечных результатов.
Многочисленные задачи, возникающие, например, в космической навигации, при управлении производством, экономикой, при распределении ресурсов, в марковских процессах принятия решений и т.д. требуют разработки методов исследования задач оптимизации, которые пригодились бы при исследовании также и негладких систем.
К настоящему времени негладкие задачи изучены сравнительно мало из-за неприменимости известных методов. Поэтому представляет прикладное и практическое значение вывод необходимых условий оптимальности и исследование существования оптимального управления в негладких задачах.
Исследованию негладких задач управления посвящена работы [5-7,16,23-27,35-38,41,44,54,67,79,87,88] и др., в которых для рассматриваемых задач получены различные необходимые условия оптимальности первого порядка. Главная трудность при выводе необходимых условий оптимальности для негладких задач опти-
мизации состоит в построении сопряженной системы. В этих работах вводом по разному понятия сопряженной системы получены необходимые условия оптимальности первого порядка типа принципа максимума.
В частности, негладкими являются задачи управления, связанные с экстремально-дифференциальными системами, возникающие в марковских процессах принятия решений; в задачах на узкие места, в экономических задачах и т.д.
Ясно, что необходимые условия оптимальности имеют содержательный смысл в том случае, когда оптимальное управление существует в заданном классе функций. Поэтому возникают вопросы изучения существования оптимальных управлений в различных системах.
Первые теоремы существования оптимальных управлений относятся к линейным задачам быстродействия и были установлены в работах Р.В.Гамкрелидзе[зз], Р.Беллмана, И.Гликсберга и О.Гросса[із] Н.Н.Красовского [48J и др.
Отметим, что первая теорема существования оптимальных управлений применительно к нелинейным задачам принадлежит А.Ф.Филиппову [71] .
Доказательству теорем существования в некоторых обыкновенных системах без предположения о выпуклости множества допустимых скоростей системы посвящены работы Л.Нейштадта [85] , Б.Т. Поляка [бі] .
Для систем, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями условие выпуклости множества допустимых скоростей (условие Филиппова), вообще говоря, не выполняется из-за наличия операции максимума, поэтому методы доказательства теорем существования оптимального управления, связанные с условием
Филиппова, не применимы и представляют большой интерес.
Диссертация посвящена получению необходимых условий оптимальности и исследованию вопросов существования оптимального управления для процессов, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями.
Она состоит из введения и трех глав.
Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена выводу необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина в процессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями с нефиксированным временем.
В I.I дана постановка задачи и приводятся вспомогательные факты.
В 1.2 рассматривается задача минимизации функционала
I (и) = шах Фіхи^Л), (і)
при ограничениях
i(t)= max І^хСииШ), xU0) = x0, (2)
%GL
Здесь осШє К - вектор фазовых переменных, и(і)є[7сг- вектор управления, -to, эс0 заданы, -Ц не фиксирован, Qс RS. OCR. - заданные компактные множества, |(0,,х,и) - т - мерная вектор-функция, непрерывная в Q * R U вместе с |х (о,ух,и) * а ф(а,х>)заданная скалярная функция, непрерывная в Rmx В вместе с Фх(х;), а матрицы men. I (Qx,u) max f (q2,u) ограни-
DmTT qeR(x,u) ' 'oeR(aS '
чены в к * U, где у у '
R(ac,u)= jqeQ: naoix | (^.z.u) = | (cj,,x,u) I. (4).
В системе (2) подразумевается, что максимум берется отдельно для каждой компоненты, т.е. набор параметров а для каждой компоненты отличен от соответствующего набора для любой другой компоненты. Отметим, что уравнения типа (2) впервые введены и исследованы в [14] Р.Беллманом в связи с исследованием марковских процессов принятия решения. В дальнейшем уравнения вида (2), следуя [47] , будем называть экстремально-дифференциальными уравнениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Управление uU), і є [iojijназовем допустимым управлением, если оно измеримо, ограничено и принимает значения из некоторого непустого множества UCK.
Под решением системы (2), соответствующим допустимому управлению и(Л), "Ь . (ЧоДі]і понимается абсолютно непрерывная кп - мерная вектор-функция эс(-Ь) , удовлетворяющая начальному условию хСіо) = х0и системе (2), почти всюду на [].
При сделанных выше предположениях каждому допустимому управлению иШ, і є [ 1 соответствует единственное решение oc(-fc) системы (2), определенное на [io,^].
Допустимое управление, являющееся решением задачи (1)-(3), будем называть оптимальным управлением, а соответствующее решение системы (2) оптимальной траекторией. Заметим, что, несмотря на гладкость функций $-(с\,,х,и), ty(x,&)iio х , в связи с наличием операции максимума, правая часть системы (2) и функционал (I) не являются гладкими по х . Поэтому рассматриваемая задача является негладкой задачей управления.
Введем обозначения HC*,u.,p)= р' max j?ty,ac,u), peR #U,p)=max Н(ллр),
Доказана
ТЕОРЕМА І. Пусть (ct*(t), u„(-fc), І,,)- решение задачи (1)-(3). Тогда найдется m - мерная вектор-функция p(t) такая, что
а) вектор-функция p(t) удовлетворяет сопряженному уравнению
pU)=-АЧ-1)рШ, p(-tw)=-C, (5)
б) почти при всех tettciuf]
H(a*C-t),u,ct),pCi))= max Hu*(-t),u, p(t)), (6)-
в) гамильтониан 7(эс#Ш, p(t)) непрерывен на отрезке
[to, -ti*] И
K(ac*U,*), PUiO = 0. C7)
где ACt)- некоторая измеримая ограниченная (mxm.) матричная функция, С - некоторый постоянный вектор такие, что
min fccU>^^),u^t))< AUU ma* |л(^х»и), и„ш), (8)
min ФхС**и„),&)^ C< max ^xU* (*,*),) (9)
Далее, в этом же параграфе аналогичная задача рассматривается для неавтономных систем вида
х (4) = кпсхх
где m - мерная вектор-функция |(с^,х,и) непрерывна в Q^tlo.ii]^^Uвместе с fxCqAx,u)f -^(Vfc,*,") и
функции щСп. fccq.t,*,"), max |a (c^-fc,x,u),
HeRU,at.u) q,R(i,ac,a)
naun. f Дс),Д, 2c,u) 3 max |, (c^i,x, u) ограничены в
Uo,U*Rm*U>
RCt,x,u) = (^Q: max |(^-t,x,u)r |(сЦ, x,u)|
Положим Я- Є 4
HU,x,u,p) = p'mcxcc |(a -t,x,u),
ueU Доказана
ТЕОРЕМА 2. Пусть (x*(t),U*(±), ii*) - решение задачи (I), (3):,(10). Тогда существует Ш - мерная вектор функция P(t)
такая, что
а) вектор-функция р(Л) удовлетворяет сопряженному уравнению
PU)=-A'U)PU), P(i,*) = -C, (ID
б), почти при всех і є [іо,іі#]
H(t,3c»U).uat),pCt)) = max M(t,x*U),u,pti)) (12)-
Ц.ЄІ/
в) гамильтониан Jt (t,3c*Cі), pCt))непрерывен на отрезке t "to, ti* ] и
1Ui*,*Ui*), PUi*)) =o (13)
где A C"f) — некоторая измеримая ограниченная функция, такая, что
q,eRU, х»сі), иЛ сі)) q, R Сі, **(t), u»ot>)
и С - некоторый постоянный вектор, удовлетворяющий неравенствам (9). В 1.3 рассматривается следующая задача минимизации функционала
[(u):max Fla-fi,x^i),uCi))oLt (15)
ae А 4
при ограничениях (3), (II), где А - компактное множество из RK, функции F(cL,i,ac,u)f Fi(a,t,x,u) , Fx(a,i,x,u) непрерывны на 1 х [lo,i,] * R-m * U, ґухіп FtCa,t,x,u),
aeKU.oc.u.)
max Ft(a,-U,u), mua Fx(a,t,x,u), max Рзс(а,-1,х,и)
ae K(t,x,a) аєКила) аЄШ.зс.и)
ограничены в [-to.t,] * R *U .
Имеет место
ТЕОРЕМА 3. Пусть (х*({),и*(1);-Щ- решение задачи (3, (10), (15). Тогда найдется т - мерная вектор-функция pCt) такая, что
а) вектор-функция рЮ удовлетворяет сопряженному уравне
нию
pW=-A'WP(-t) + Mt>> P(ilx)r0, (16)
б) почти при всех 1 є [іо.іц]
HU>x*U),u#(-fc), p(t))_ max H (t,x*lt),u.;pt-b)) (17)
ue\J
в) гамильтониан Jt (-1,х*(-1),р(-1:))непрерывен на отрезке
ИНн.їІУ, PC-ti*)) = 0, (18)
где hjlt)- некоторая измеримая ограниченная вектор-функция, такая, что
Паса Fee (aAoc^cD.LMDU h.,U) naax F^Ca/t^Ci), и*Ш),
ає KU,x.ci),u.ct)) aeKlUWA(ti)
К U, x» (-t), u»(i)) - | ae 1: naax F (a,-^(1),1^ (4)) = F(a/U#(t) Vt))t
- II -
M (t,x,u,p}= р'тах^^Дос.и)- mace F (a,t,x,u),
ACi) определяется неравенством (9).
В 1.4 рассматривается задача минимизации функционала
1(a) = max (J(cc(i)) (I9)
при ограничениях (2), (3). Предполагается, что -Ц не фиксирован, acx) - непрерывная вместе с 9Х(Х) функция в R Введем множество
с с* art = |іє[іоЛі]:
Имеет место
ТЕОРЕМА 4. Пусть (x^t\сц(1),1 ,*)Решение задачи (2),(3), (19),, а \Jc R, замкнуто. Тогда существует такая неубывающая на [tоДі*] функция ) , постоянная на [іо,іі*1\ C(x*(t)) и
c(u.(-fc) = І » и Функция p(t) , удовлетворяющая уравнению
Чо і і
pU) = f '*A'(s)p(s)cts- f c^ (x*(s))dp.U), (20)
-t t
что выполняется условие максимума
Ни*Ш,и*(1), рШ) - max Н U*U),u,p(t)) (2D
где оІ|я(.і) мера, сосредоточенная на множестве С(х*Ш), а Alt) определяется соотношением (8).
Во второй главе, которая состоит из четырех параграфов,
продолжено исследование задач, поставленных в первой главе. Далее, рассматривается задача оптимального управления в процессах, описываемых экстремально-дифференциальным уравнением, правая часть которого зависит от параметра, и в процессах, описываемых экстремально-дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом. Получены необходимые условия оптимальности типа неравенств.
Основными результатами 2.1 являются следующие утверждения.
ТЕОРЕМА 5. Пусть (эс* (t),li*(1),^ - решение задачи (1)-(3)
Тогда выполняются неравенства:
ГпгСп. [ р'ИЛ) "^х -f (^>x*Ci)'U*ct))] ^0 Wax [p'(U) max|ty,x*tt),u,U))J 7/0.
для почти всех Ї є [ЛоЛі*] ,
mm [p'(t,U -Ctx i(<^,xxU),u)l для всех ueU и почти всех -t<= [ to,li*], где p(i,6) абсолютно непрерывная функция, являющаяся решением задачи ptt.O =- A'(i) PU.6). PUi«,6) =-^ l**CW),fc), (24) АШ - некоторая измеримая ограниченная матрица, удовлетворяющая неравенству (8>. ТЕОРЕМА 6. Пусть (x*(t),u*(t),ti*) - решение задачи (1),(3), (Ю). Тогда выполняются неравенства: - ІЗ - 6eB(Qc*U1x)) ^єО. (25) т.схх Г p'(ifi) max l^ii^U^C-oJ + ta^)] 7, О для почти всех t ["to,іщ ] mm Г р'(-Ь,) max|(cj,,-l,x,tt),u)ttU,g)] 0 (26) для всех ^ІІ и почти всех t [ "L,ii*] , где pU,)t &Є B(**(ii*))- решение задачи (24); 1 It, & ), & Є В (х* (ti*)) - решение задачи MU)r-K'U)p(U), tU^MrO, (27) Д({,) - определяется соотношением (14), а li(t) - некоторая измеримая ограниченная вектор-функция такая, что mCa|t^>ix^Mt)hfi(t)< maxft(%t,x*(UMi)) (28) ^Rlt,x*(t),u,U)) ^fUt,x*ct),u*(t)) Неравенства (22), (23) и (25),(26) выражают необходимые условия оптимальности типа неравенств для задач (1)-(3) и (1),(3),(10) соответственно. Далее, в этом параграфе рассмотрена задача о минимуме функционала ICu) = угіьп Ф(хи,),0 (29) при ограничениях (3),(10), где B^R. - компактное множество. Доказана ТЕОРЕМА 7. Для того, чтобы управление и* (t), "є [o,ii#] было оптимальным в задаче (3), (10), (29) необходимо, чтобы почти при всех хєїДоДи] выполнялось равенство p,(t,6)max|(^>x<(-t),uec-tO + ^CU) = o, -fee В, (oc*Ui*)), (зо) а для всех U&U и почти всех і є [іоДі*] выполнялось неравен- ство пгах <0, (ЗІ) В, (** Uu)) = Нє В, max фСа:» ({„), ) = Ф U* U,*), 6 Н L geB J JP(U), &бВ,(х*и,*)Ни | tit, 6), 6Є B,(a:»C-fci*))j яв- ляются решениями задач (25) и (29) соответственно. В 2.2 рассматривается задача о минимуме функционала J(a) = max CJ)(acU,6),Of *(*<,,) = *„(), (32) при ограничениях х= max h^^u,!,), xU0j6) = Xo(6), (33) LCCi) Є. UС R* (34) Здесь функции ф , ^ , фх , |х , Хо - непрерывны по совокупности переменных. Пусть матрицы mln |х (%х,и,I), т.ах (х{^,х,иЛ) q,eRUu,6) c^gR(oc(uX) ограничены в Rm* {Jx g , где RU.u, 6) = {<}: max M,x,u^)::|(^cc,u,g)L Доказано следующее утверждение. ТЕОРЕМА 8. Пусть (ее* Ш,и^Ш, у - решение задачи (32)-(34) Тогда выполняются неравенства / "ьі-п- [ p'(t,) ^^1(q,**(U). MtU)] (35) ^0 max [ p'Uj) max|(c^x*(t,6), ьце-и, g) почти при всех te[-Lo,"t^] mtn [p'tW)max|(^xxU,gU,e)]^0 (36) беВо <^G для всех ueU и почти всех t Є [-lo, It*] 7 где Р(і,) является решением задачи p(i,&) = -A'(t,S)pa,g), P(ti.,e)=- A Ct, )- некоторая ограниченная матрица, измеримая по і при каждом ЬбВо , такая, что mm ^,х*Щ)м*Ш,1)< ALU)* тах^х{^хЛЩи^Л)- 2.3 посвящен выводу необходимых условий оптимальности типа неравенств для задачи (3),(10),(15). Доказана ТЕОРЕМА 9. Для оптимальности управления и.яШ,-іє[і0,4|Х] в задаче (3),(10),(15) необходимо, чтобы почти при всех "Ье[Чо/1«] выполнялось условие YnLn [ p'(-t,a) max Нц,і,х*іІ),иМ))-ає1(х,аи)) Я^& -Р(а,і,х,(0;ача)) + ги,а)]-о (38) haax [ p'U,a) max | (^,1,^(1), u*(t))- ^ -Р(аЛ,хх(^),^лСі))+t(i,a)J 7/0 , для всех U (J и почти всех І Є (4o,-tj*] иаиіг Р' (ід) шах Н^{, х, Ш, и) - (39) аєЛ(х^))и аєа - Fla,-l,x*a),u)tt(t,a)] 0, где рЦ,<х) и tl-fc,a) решения задач соответственно PU,a) = - A'(OpU,a)t Рх(аД,хЛа;, ux(i)), (40) PUu,a)= о, а є I (xxUi*)), iU,a) = - k'(i) PU,a) + Ft (аД, x,Li), u*(-fc)) ACx»Ui*)) = | аєА: m.ax ( F(a,ii*U),^(t))^ = і* --] F(a,i,3c*c-t),u»U))dtl "to J A(i)» h(-fc) определяются соотношениями (14) и (28) соответст- венно. В 2.4 рассмотрена задача о минимуме функционала (I) при ограничениях ±Li)= vnax|(cj,-(;,xa),x(6oU)),ua)), -и(ЧоЛ], (42) ac(wC4)) = ip(i), iej40|^Uo>] (43). Utt)eUcR't (44) где co(-t)= t- kCi), kC-t) 7/0 - непрерывно-дифференцируемая скалярная функция, (гШ< 1 , te[l0jti]. Пусть функции ](%{*хА*),1ь[({Л>Х&и),(х{%±.х>В,и-), |е (аД,х,9, и,) (0(1) = з:(соШ)) непрерывны по совокупности переменных, а функции т.иг |х (%i,*A и), таос 2^,{,х,6,и.)} ^GRU,x,e;u) (\Ш,х,вА) ^Ш,*ДЦ) mat {^Д.хДи^ограничены в (40,f]*Rт* т х U , где Имеет место ТЕОРЕМА 10. Пусть (ос*Ш,и*Ш, І,*) - решение задачи (I), (42)-(44),. Тогда выполняются неравенства: і YTllYl P'(U) max {1%{,хМъ("Щ)Л<Ш)+гсШ]<о ^Во*а,*)) %ы (45) YYiCLX Р'ІФ max 1(%ШШи>ш),и4Ш) + гЩ 7,o для почти всех ІЄ [to,!,*] , VniYl P'(i^)haax|(^xa),x,M^u) + t(^)J^O (46) для всех ueU и почти всех te [^оДі#] , где JP(U), UBU,Ui*))}, ]_ ША Єє Bu*(-U))j решения соответствующих задач: P(U) г - А'а; РИЛ) - г, Ш В'(г,Ш) Р(^ШЛ), ±о sUwtt»), р(«) =- A'C-t) PU,&), ^Un) бі^і* ' ш,о = - (г'ш p({,g) (47) (48) ^i Сі) Функция, обратная к со (і), АШ и В(і) некоторые измеримые ограниченные матрицы, К-(і) - некоторая измеримая ограниченная вектор-функция, такие, что < max {х(%і,х*іі),х*(и)Ш)}и*і{)) ) YYiLYl |е(^іххи),х^а>(і)),и,а)) < B(-t) * HeRU,x*UW-t),u*(t)) < max Ija^W-^M^XMU), ^fUt,x*(t),e*U),M-t)) < max ^(^x^C-D.ac^fwa)),^^)) ^GRU,a*tt),e,tt),u*a)) Третья глава диссертации посвящена вопросу существования оптимального управления в экстремально-дифференциальных системах с негладким критерием качества. В таких системах известное условие выпуклости множества допустимых скоростей (условие Филиппова), вообще говоря, не выполняется из-за наличия операции максимума и поэтому методы доказательства теоремы существования, связанные с выпуклостью множества допустимых скоростей вообще неприменимы. Поэтому доказанные в этой главе теоремы существенно отличаются от доказанных ранее теорем существования, полученных при выполнении условий типа Филиппова. Третья глава состоит из двух параграфов. В 3.1 рассматривается задача о минимуме функционала I (а) - т.ах ф(*(-Ь), О (49) ge В при ограничениях x(-t) - max |(q,ac(-t),U.(-t)) , x(-t0)=3c0j (50), иЛ-Ь) eUc^ (51) Отметим, что из-за наличия операции максимума в правой части системы (2) из выпуклости множества J Ity.xM) "- Є (J J-при всех q х , вообще говоря, не следует выпуклость множества Ь(х) = і max |((},хд): uel/1 , т.е. условие Филиппова (условие выпуклости множества допустимых скоростей) не выполняется. Пусть выполняются условия: I)Qc|?,L7cR - выпуклые компактные множества, а В С R - компактное множество. 2> Функция и вектор-функция 1(^}х,и) непрерывны по совокупности переменных вместе с y^G*,&)h fx ty&u) yyiLyi|х( ^, х,а) , max |х(с^х, а) ограничены на множестве , где RU,U)={(^eQ: та* Ц%х,и)= (%х,и) і (52) 3) Вектор-функция Л^,эс,и.) строго вогнута по (^) при ВСЄХ JL Наряду с поставленной задачей рассмотрим следующую задачу, называемую расширением задачи (1)-(3). Найти минимум функционала 1(9)- YYiCLX. фоадО (53) при ограничениях и x(t) = d\i) kvlolx |(^хШ,а1а)), 3cC-to) = 3c0, (54) L=0 n ^ (t) 7,0, 1=0,1,---, H, X^l(-t)=i, (55) L = 0 в которой управлением является Поскольку множество ol4t)?/0; 6=o,4,...,n, 2_ ^b 1 [ L = 0 J является совокупностью выпуклых комбинаций произвольных точек из множества о С х) , то оно выпуклое множество. Тогда при вышеуказанных условиях по известным схемам, можно показать, что для расширенной задачи (53)-(55) существует оптимальное управление 6*U). 4) Предположим, что вдоль процесса (эс*(-0, Э*(Ь)) выпол- няются условия: ЗІК(а,а:*Ш,иїш) . . Эх; и 5r О для любого 3-х (і) является решением задачи (53), соответствующим оптимальному управлению U * C-t) . ТЕОРЕМА II. Пусть выполняются условия 1)-4). Тогда в задаче (53)-(55) существует единственное оптимальное управление, и его можно считать непрерывным (т.е. существует непрерывное допустимое управление, совпадающее с этим управлением почти всюду). В 3.2 рассматривается задача о минимуме функционала типа Больца I(u)= max F(a,a:(i))u(-t))cti+ так ^(i(-t,)J) (56) "to при ограничениях (50),(51). Пусть выполняются условия: 1) Q С К , (J с R. - выпуклые компактные множества, а BcR. . А с R - компактные множества. 2) |(^,эс,и.) » ^(cj^u.) непрерывны по совокупности пере HjaH.x.lOlliKi, где R(.3:,u) определяется соотношением (52). При сделанных предположениях можно доказать, что совокупность решений системы (50) ограничены, т.е. ||xU)|| Все дальнейшие условия будем считать выполненными в области ||x(^)|t 3) Имеет место оценка ІІтах|(о,х,!±іН")-1 max Щ,х,и)-± yuclx lty,x,v)\\ ^є& ' г 2 Я&& Я,єа 4) Функции Ь(а,зс,а), Гх(а,эс,и.) непрерывны по совокупности ПереМеННЫХ И При BCeX CL Н О, Ct) l|Fx(a,x;cc)|| ^К3, М (*,") = 1а є A: max. F(a,x;a) г F(a;x,a)l . Функция F(^»x;a) сильно выпукла по (х , т.е. F(a,x,^')5iF(ci)xJu)+i-FCa)x,ir)-- l^llu-vll2, ^ ?D . Функция ф(ас,&) непрерывно дифференцируема по х и 114^,6)11^5 для всех fieBfxC-t,)), где 6єВ J ТЕОРЕМА 12. Пусть выполнены условия 1)-6), причем Cr-K4-Kz[K5iK5Li,-K))eK,arU)?o. Тогда в задаче (50),(51),(56) существует единственное оптимальное управление и его можно считать непрерывным. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальные и интегральные уравнения АГУ им.С.М.Кирова, на семинарах лаборатории математические вопросы кибернетики ИК АН Азерб.ССР, на республиканских конференциях молодых ученых по прикладной математике и кибернетики (Баку, 1978, 1981, 1984гг.), на семинарах факультета прикладной математики - процессов управления ЛГУ им.А.А.Жданова в 1981 году (рук.проф.А.Ф. Демьянов), на семинарах кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им.М.В.Ломоносова (рук.доц.Ф.П.Васильев), на Закавказской конференции молодых ученых по автоматическому управлению (Тбилиси, 1977г.). В этом параграфе рассматривается задача (І.І.І)-(ІЛ.4) при Cf(x)=o и F ( Х,, эс.и)аОи вектор-функция 1( ,{,х,и) не зависит от "t , т.е. рассматривается задача минимизации функционала I(u)= max (ctU,), 6), (I.2.D при ограничениях Введем обозначения ТЕОРЕМА 1.2Л. Пусть (эс (),Ц,Ш i )- решение задачи (I.2.I) - (1.2.3). Тогда найдется УП - мерная вектор-функция p(), такая, что: а) вектор-функция pit) удовлетворяет сопряженному уравнению б) почти при всех в) гамильтониан Ji (xxU), P(i))непрерывен на отрезке [ЧоД}# 1 и где А ("О - некоторая измеримая ограниченная m m матричная функция, С - некоторый постоянный вектор такие, что Гасї.царсїмжзяс j СССР км, Г;. и.ГгЯї.» в силу теоремы А.Ф.Филиппова [71j существует. Обозначим это решение через ( уп(Х), г„.(Х), Vb.CZ)). Аналогично доказательству леммы I.I.6 можно считать, что (Г) У ТО; Ї ІХ)- 2Х(Ї) ПРИ равномерно X . Тогда из условия (1.2.II) вытекает, что U a(T)- V cv) почти при всех tG[oj]. Для тройки ( иЛГ),2лФДСф ешения задачи (1.2.8)-(1.2.12) справедлив принцип максимума Понтрягина [бо] , т.е. выполняется условие для почти всех Іє[о,і]. где %{Х) tf (X) соответственно решения уравнения Из условия (1.2.15) в силу 1Л{Х) Ъ Х)-О, следует, что у СТ)- о при И. - со равномерно по Г .По условию, последовательность \ іцІУптІЇ), Щ Ct))\ ограничена в (.«, (і 0 Поэтому из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Не умаляя общности, будем считать, что { (и (УпС),Щ(?))} -слабо сходится к В (-Г) в Lbo(oif). Далее, поскольку и последовательность Ф4 (# l) f ограничена также, не умаляя общности, будем считать, что j ФЛ л О)" сходится к некоторому вектору с . Из условий (I.I.I8) и (I.I.22) следует, что Покажем, что последовательность (TJ j- сходится к вектор-функ ции (Т) , удовлетворяющей уравнению X УСТ) - - С - J U (&) B fsj v/;(s; ds Действительно, из (I.2.14) имеем слабо сходится к &($) и (S), (S), ( СП СГ)) ограничены, то из последнего неравенства получим, что U ( равномерно сходится (Г) при И. - «» . Из (1.2.14), переходя к пределу при KL-? 9 получим vp(X) =- С + ] Щ(5) B CS) tC5)d5 (I.2.I6) Г Далее, переходя в (1.2.13) к пределу при и-»» t получаем, что для всех (У (Т),1ГХСТ)) выполняется принцип максимума: для почти всех X є [о, 1 ] и для всех V 7/ О . при почти всех X Д (1/х ) и при почти всех X Є Д (и ) . Положим почти при всех Хб ACU e). Применяя лемму (І.І.З) и tyiX) и p(i) , получаем, что удовлетворяет дифференциальному уравнению с начальным условием Делая .замену X на і , в (І.2.І8) получаем, что ЖМ )), Ш),Ш (X, (i)))= О, До сих пор нас не интересовал конкретный вид функций v (Т) и Wf(Z) , мы лишь требовали, чтобы выполнялись равенства (1,1.7) и (I.I.8). Предположим теперь, что UjjCt) обращается в нуль на системе (замкнутых справа) полуинтервалов расположенных таким образом, что образ их объединения при отображении T t CT) плотен в ["с-оЛіх]« Положим где точки 0?2,- $к,- - счетное плотное подмножество отрезка [to, tm]. Предположим теперь, что каждый полуинтервал ]к есть объединение счетного множества замкнутых справа непустых полуинтервалов В множестве U выберем счетное плотное множество J U u є[і Положим urx(t) - UL если Г 1, В силу неравенства (1.2Л9) почти всюду на объединении т Всякий полуинтервал [ имеет положительную меру. Поэтому для каждых К и і найдется Г Є 1 к такое, что Так как точки pj2,--.,J образуют плотное подмножество на отрезке [l0,ttx]t векторы ubu2j.-- плотное подмножество U , и функция непрерывна, то почти при всех "Ьє[іоЛ«]и для любого LieU. С другой стороны, почти при всех ХЄ [to,t\n]выполняется равенство Сравнивая (1.2.23) и (1.2.24), получаем, что почти при всех t Є[io, t, J выполняется равенство Поскольку управление U. (t) ограничено и функция (і,u) --» - H(xx ),p(i),u) непрерывна, из (1.2.24) следует, что %(x ( ),P(t)) =0 (1.2.26) Отсюда получаем, что Теорема I.2.І доказана. Рассмотрим теперь аналогичные задачи для неавтономных систем вида х({)- max i( ,ioc(t),u(t)), x(io) = Xo d.2.28); ТЕОРЕМА 1.2.2. Пусть (х ({), ІЦ(і), 1 )- решение задачи (1.2.I), (1.2.3), (1.2.28). Тогда существует т - мерная вектор-функция р(-{;) такая, что: а) вектор-функция р({) удовлетворяет сопряженному уравнению p(t)=-A (i)p(), Р(±1 ) = -С (1.2.29) б) почти при всех "t Є ["to, іі ] Hlt,a (t),u (t),p(t)) = YYICLX H(i,x (U prt)) (1.2.30) в) гамильтониан непрерывен на отрезке [toil ] и #(ii ,x(ti ), PUi )) = . (I.2.3I) где вектор С - определяется соотношением (1.2.8), АШ - некоторая измеримая ограниченная матричная функция такая, что Рассмотрим задачу минимизации функционала при ограничениях Здесь функции Т і . тх » їх. Хо непрерывны по совокупности переменных, B,Q. компактные множества из (? , (ZS соответ ственно. Пусть матрицы min \(%х,ц.Л), W-QX Ц х,иЛ) ограничены в\і [) х о , где ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть (х (-Ь,Ц ШД( )- решение задачи (2.2.1)-(2.2.3). Тогда выполняются неравенства о ГПііа (2.2.4) бе Во Упах, eBD почти при всех "t G [4o il J :0 miia p U,) max (с (Ш, u,6) UBo Q для всех U.G U и почти всех іе[{0 У где р( ,-&) является решением задачи AU»b) - некоторая ограниченная матрица, измеримая по -fc для каждого 6G Во такая, что mua x( U(6j,MtU)) AU,g) max x( ;x a;e),u,W,&), eR(x (U),u (-U,) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть(U,, 6)ЛШ,Г) решение задачи (2.2.1) - (2.2.3), тогда, также как в I.I, можно показать, что (у (Г,), щ (Т)) является решением следующей задачи минимизации функционала lUbmax ( UH) (2.2.6) при ограничениях т,6) = WO тах(ЭД(гАц,Схэ,), /(o,6J = Xo(«, (2.2.7) 1/Ш7/0, (2.2.8) где W (т) = 2 [{% (X), 6) и 1 (Г), Ш# (tj определяется соотношением (І.Ї.6), (I.I.8) соответственно. Далее, аналогично тому, как в I.I, можно показать, что (У (-%&Хъ С)-0,ЩСО)- единственная тройка, доставляющая минимум функционалу I(u)= max ф( сь6 6)+ f iz(x)dx (2.2.9) при ограничениях (т/6) = тт іпах( , (г );ші(цв), (о;«)=дс0(в), (2.2.10) ІСС) = І 1ГСГ)-и СГ)) , ZC0) = O, (2.2.ІІ) VCt) /0. (2.2.12) Пусть последовательность J f11 (3:,11, ) і состоит из функций, непрерывных по х , U , { , непрерывно дифференцируемых по эс и і (х,и,вНйшх ( , ,и,6) при п- m равномерно по (х,и,&)ЄІ? U D , причем ти Пусть 9 (Т,&) - траектория системы j = tf tt) (g,w C4,6) с начальным условием ФЛ(о;) = 2"о()» Тогда, как и в I.I, можно показать, что Qk(T,6)- (Т, ) при ft-» оо равномерно по X для каждого ъ В . Поэтому при \г-?с 6єВ %& Задача минимизации функционала (2.2.9) при ограничениях (2.2.II), (2.2.12) и при имеет решение ( Чк (Г, &), 2 K(TJ, 1Л. (Т)) Для тройки ( ц It, 6) Ди IT), iTfctt))выполнен принцип максимума, т.е. выполняется неравенство - 80 -+ f\tz(t) [V-VfcCT)- \vKLX)-U l%)\] 0 (2.2.14) для всех V 7, 0 t где і , =- ( (1,0,0 +1 (5) ( ] ) (2.2.15) (X) з 2 j (S)cU; (2.2.16) T 1 єВ Из (2.2.16) следует, что (Т)- о при и оо равномерно not На основании неравенства (2.2.13), получаем, что последовательность матриц і In (4uCt,6),birx(t),& ограничена, поэтому из нее можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой измеримой матрице В(Т,)по X для каждого еБ0 . Далее, из последовательности j (Т,)[можно выбрать подпоследовательность, которая равномерно сходится к некоторой функции i/ fr, і) . Тогда из (2.2.15) получаем: ф(ТД) = -и (Т)В (Т,)іК?,«), (2.2.1?) («,е) = -Фа( цо,в), Кроме того, переходя в (2.2.14) к пределу при Уі- , имеем, что для всех (jjjCC,0,CD) выполняется принцип максимума: YYllYl [V-ЩІХ)) (t )max ( (гД u/ (r,OjUo (2.2.18) eB0L &ea для почти всех Т [о 1] и всех IX?/ О .Из последнего неравенства следует, что - 81 to (2.2.19) max SeBo fiz) max Ш ЪУ.ЩЪЛ)] 7 при почти всех СЄДСіг ) и m.LR[f tt )ma.x( , cr,g);t(r r;J)1fo (2.2.20) при почти всех X е [ О, -J ] \ (V ). Отсюда, аналогично тому, как в теореме 2.1 Л, получим утверждение теоремы 2.2.1. В предыдущих параграфах были изучены задачи управления с терминальным критерием качества. В настоящем параграфе изучается задача с интегральным критерием качества. Рассмотрим задачу минимизации функционала 1(Ю= max f P(aU,x(-0,mt))dt (2.3.1) аєЛ J. при ограничениях dcU)= max і(о{,х(Д u(i)), x(U = xD, (2.3.2) bL(i) (J- (2.3.3) Для вывода необходимого условия оптимальности в задаче (2.3.1)-(2.3.3) рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Минимизировать функционал I(u)= max ]иШр(аДсГ),/(1), ) +ГгЗДо/г (2.3.4) a є і Jo а J ЧЛГ) = я/ст) max ( ДщуФ,иг сс))л чіо)=х0, (2.3.5) tCt)--UCT), t(o)=io, (2-3-6) ЕСТ) = ШГ)- ЧШ, (oj--0, (2.3.7) VLZ)7sO (2.3.8) Мы показали, что (і CU$,m Ш-О, г ш)- единственная четверка, доставляющая минимум функционалу (2.3.4) при ограниче х ниях (2.3.5)-(2.3.8), где %(Х) = х (1 (Х)), " Ш =т0+j Cs) S Задача минимизации функционала (2.3.4) при ограничениях (2.3.6)-(2.3.8) и при y(X)= V(T) ( tT),yCUU .Tj), у(0)=Хо (2.3.9) имеет решение (І:кЩ (и ШД/І Обозначим РЛСХ)= naax jt/ftt5)F(a."t»tC5J ;lur#(s;)d5+j2 Cs;6/s аєЛ о D Ясно, что аєі о ПСІ J ь z max \vtCT)f(CL,tx(V, mLV,4 LV) dv аеЛ J о В силу теоремы Арцела найдутся равномерно сходящиеся последовательности кСП- PCX), Ксг)- #СП, ъксс)- сс) ПРИ к-+ Поскольку векторграмма системы р = v та ос F(a,, u, w (Г)) + lz(X) ae A = г; max HfytfyWulX)) 7 v?,o Z(Z)=\U(X)-V (.V\ выпукла, функции {(X),p(X),yC),i(Z) удовлетворяют этой системе при некотором управлении VCX) 72 . Четверка ({(Т), ВД), 2Щ f(Tj] удовлетворяет ограничениям (2.3.5)-(2.3.8), причем l(v)= рСО Г (и ) Из единственности оптимальной четверки ( (!), (t), Z# (Т) 0, V {X)J следует, что при и. - равномерно по Т Из (2.3.7) вытекает, что Xj Lty "Ь (ТГ) почти при всех Г . Из сходимости г/кС1)- 1/сх) следует, что UCT)- t Cr) почти при всех X Тогда, проводя, рассуждения, аналогичные тем, что и при доказательстве леммы 1,2.1, можно показать, что если (th(X), %№, ZuCt), ЦпД))- решение задачи (2.3.4), (2.3.6)-(2.3.8),(2.3.9), тогда найдутся ненулевые функции а Л) № (Т) » 5 (%) - такие, что X д - F(a,n.Cs), (SJ, LW (S)] ds, і x - Yi ( MKCS CS), u/,(s))Jds, X аєА(р)1 - F(a,-Ucx;, yhit), w tT)) + sKcc,a)j + + %E(t)f )v-v,a;- / сг)-гмт))] о ДЛЯ ВСЄХ U7/0 , где del о f (2,3,10) (2.ЗЛІ) (2.3.12) (2.3.13) Из (2.3.12) следует, что (Г) при УЬ- равномерно по с-Из последовательности кси,а); аАЫп(Щиотшо выбрать подпоследовательность, которая равномерно сходится к некоторой функции Ф ст, са) для каждого а є Л (ух О)). Из последовательностей {lf(Um, a,(T),w,tt))},jf(ijT), ro, иг,mjf Пусть движение некоторого управляемого объекта описывается следующим УП - мерным экстремально-дифференциальным уравнением хД)= max ( t,;xcUoc(uja)),utt)); t ef-U J (2.4.1) с начальным условием X(co(t)) - f(V, 1е[Ьд,(Ы] (2.4.2) иШе.\]сЯг (2.4.3) где xLi)= (a:,U), x2(t), 2m (i)) определяет состояние системы В MOMeHT "t , U)(i):{-JT.l{) t \іШ У/ О - НЄПрерНВНО-ДЩ)ферЄН цируемая скалярная функция, причем /v() МД єГ{оД,],?,(іЬ функция, обратная к со(ї) , in - мерная вектор-функция (в({) =Х(со(±)\ І((І)І ХІОІ и ) непрерывна вместе с частными производными первого порядка по 1,х и Q на Q [{oA 2m f mx {J , кроме того, функции miп t (%i, X, 9 }и) , Ч,єіШ,х,е,и) іеШми) (\єЯ.ІЇ,х,ЄМ) тСп ІЛ%Х О,и) max fe( M» Qu) ограни те RCi,3c,«ti) ешле.и) чены [o,t]xRmxRMxU. fti)-KKi - мерная непрерывная заданная начальная вектор-функция, Г-ЬоД(іо)]- начальное множество, Q, - компактное множество из № . При сделанных выше предположениях каждому допустимому управлению u(t), t [іоДп ] соответствует единственное решение X (і) системы (2.4.1), определенное на [i0,ti]» Задача заключается в минимизации функционала Uu) = max (xU,U) (2-4-4 ЄєВ при ограничениях (2.4.1)-(2.4.3). Здесь у(х - заданная скалярная функция, непрерывная в вместе с ФхС в), В - компактное множество из R Є . Пусть зс(-і), і є[Чо,і]- решение уравнения (2.4.1), соответствующее допустимому управлению u.(і). Предположим, также, что для всех ггст)?/0, ТЄ [о, 1 ] выполняется условие i o - ivLT)dX Аналогично тому как это сделано для систем без запаздывания, в 1.2 можно показать, что если монотонно непрерывная дифференцируемая функция со, (Т) и измеримая Ь - мерная век-тор-функция U/(T),принимающая значения в {] , таковы, что почти всюду на А(от) удовлетворяется равенство u;,(x)= Z(u)iiLZ))) , ги-(Т)г u(CX)) г где -Цт)= " 0+ rU"(s)c(.s , гШ - обратная к функции "б Т,) , то функция си)=эс(ъ(т)) является решением уравнения Ч(т) = ист) max l .tcn tj, Ч(ш,СО), url%)) (2.4.5) и обратно, если иг(Х) ограничена, измерима на А (У) И принимает значения из [/ и ЧСТ) - решение уравнения (2.4.5), соответствующее управлению V(X)7/0 , teo,l], то u(t)= ur(ZLt)) допустимое управление в задаче (2.4.1)-(2.4.4) и х(-0= ft()) -есть решение згравнения (2.4.1), соответствующее управлению uU), Пусть (зс Сі;),Ux(t), {] ) - оптимальное решение задачи (2.4.1)-(2.4.4). Тогда l (T) , 0:) = 2 (- ( ) , \Т (Х) является решением следующей редуцированной задачи: минимизации функционала Itv) - max ф( (1)Д) (2.4.6) при ограничениях (т) = vix) max ( іш (цсг;А tc cr;), (2.4.7) У ( ,(1)) = ,(1), Тб[0, (о)] (2.4.8) i( C)= ОЯТ), і Со) = "to, (2.4.9) V(T) , 0 , Т Є [ О, f ] (2.4.10) где і СГ; , tc ст; определяются формулами (1.1.7), (I.I.8) COOT ветственно. И вновь, аналогично 1.2, можно показать, что \{ (х), %(Х), Ъ (Х)-о,iflf- единственная четверка, доставляющая минимум функциона-лу I(u)= max ФС СО, ) + \i4z)dz (2,4.11) при ограничениях у(Т)= vec) max 1[$,їіг),у(х),ч(ш,(.г)),щт) (2.4.12) y(COrra) - СТ), Хе[о,г,ш], (2.4.13) ttt)=Vtt), t(o)=to, (2.4.14) І&)- I U(T)-U,(T), E(o)=0, (2.4.15) VCT) 0, te[0,i] (2.4.16) Пусть последовательность вектор-функций ln({}x,G,u.) сходится равномерно по совокупности переменных к функции тах,1(о{,х,в,и.) при п оо и выполняются неравенства men x( ,Ue,u)- 1 с (t, wb max {х(%{м 2ЛЛ eRlt.x.e.u) eRCt, , miKL ЦМе и)- e . . )- ma e(tUMf (2.4.I8) nana lC lUe,u)-l (і.хда)- max ( ,9, (2.4.19) о,Єіг(д,е;и) eRtU u) Задача минимизации функционала 1 I(v) = made Ф(иСО,)+- [ігіі)&г при ограничениях (2.4.14)-(2.4.16) и при СС)= ШХ)п(Ш а), /(ц;,ш),и/ш), у ( Ш)) = flCC), те [о, г,(о)] имеет решение (ікСХ), Цп{Х), 2 (1),1/ (1)). Обозначим X рлСХ)= max 4( 4),6) + f 2n2(s)ds 6eB (2.4.20) Ясно, что Рн.С!)- max ( cixg) + gGB i2na)dz±max j [fao)J) Ub В силу критерия Арцела, найдутся равномерно сходящиеся подпоследовательности Рк(Х)- р(0, у (Г)-» у СП, ZKCt) (Tj при к В силу выпуклости системы і рг z2, р(0= max f (ij(i),&) + (z2(xUX, Цх)= V(T), Z(X)= I U(T)- UA(X), xrcx)7/o -) oo . функции p(t) , и(х) , і (г) удовлетворяют ей при некотором управлении 1/(.1) 72 . Четверка [іШ р(Т), у(ТЛ2Х)) удовлетворяет ограничениям (2.4.7)-(2.4.10), причем і max ф(уШ,&)+ fz2(t)ctt= ре/)- тахф( (1);) Из единственности оптимальной четверки (-Ц(П СС),2 (Т)-0, т а)) следует, что при VL-» о равномерно по X .Из последнего соотношения вытекает, что VnCTWir„(T) почти при всех X ЛЕММА 2.4.1. Для того, чтобы управление ггксх), Хє[о, ] было оптимальным в задаче (2.4.II), (2.4.14)-(2.4.16), (2.4.20) необходимо, чтобы почти при всех Хє[о,і] и для всех V7/0 выполнялось условие YYlin + sKm]+ ) 1 -ипсх)-я ксх)-і сс) f о (2.4.21) где і к СХ, &), & Є В (j/nCOU- решение системы O X CO, CO к П- Ш и а Ш.е Ци/.ш) ), 5K(U)=0(2.4.23) (X) = -2 CX), il)=0 (2.4.24) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть VK cc), tЄ [о, і]- оптимальное управление в задаче (2.4.ІІ), (2.4.14)-(2.4.16), (2.4.20), а г кШ - некоторое другое допустимое управление, которое определим следующим образом к 1 (2.4.25) УК(Г), t[o,l]\[ei0+), где гДТ) У/ 0, 0 Є [о 1) - произвольная правильная точка управления Ни. (Т) , а б 70 - достаточное малое число такое, что Є+ 1 . Обозначим через J/KCT) , 2K(Z) и УК(.Т) , 2и.Ш решения системы (2.4.22), (2.4.18), соответствующие управлениям \УК(Х) и и-н(Г). Обычной схемой (см. напр.[2Э] и др.) легко можно показать, что II Vktt)-yKlt) = Д Ct)h КЄ {К- const о) (2.4.26) для всех ХЄ Гои ] . Перейдем к вычислению приращения критерия качества. Ясно, что Рассмотрим задачу минимизации функционала 4, I(u)r упаэс f-(a,oc(),utt))dt+ max ф(:га,),) (3.2.1) при ограничениях x(k) = тазе J(Q ,х({),и.Ш), (3.2.2) ЭсСo)- Хо, (3.2.3) ua)e\JcRZ (3.2.4) Пусть выполняются условия: - выпуклые компактные множества, а В С R. , А С R - компактные множества. 2) Функции (а х.ы) » ix(H"x,LL) непрерывны по совокупнос ти переменных в Q R,mx U при всех QGR(X,U) {x( t, ,u)M«, где R(oc,uJ определяется соотношением (3.1.5). При сделанных предположениях можно доказать, что совокупность решений системы (3.2.2) ограничена, т.е. Все дальнейшие условия будем считать выполненными в области xUR,, ueU 3) Имеет место оценка max (ox, )-i yyiaxl(ox,u)-L max ItyArik feu-uf 4) Функции F(O.,OC,LO, FX ( х/а) непрерывны по совокуп ности переменных и почти при всех (XG. M( ,U) Fx (a,x,и)I) [ 5 где 14 (x,u) r I ae і : max F(a,x,u)= p(a,x,u) і a 5) Функция ф (ос, ) непрерывно дифференцируема по ос и Фа( ё) 5 для всех В( М()) где 1 6єВ J ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть выполнены условия 1)-6) и кроме того С -Кг{к5+К5аг1„)}еК и О?0 (3.2.5) Тогда в задаче (3.2.1)-(3.2.4) существует единственное оптимальное управление U (t) и его можно считать непрерывным (т.е. существует непрерывное допустимое управление СМ) , совпадащее с U (t) почти всюду). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вводя дополнительную переменную у.п (i)= max F(a,3ccauca)ctT сведем исходную задачу к задаче минимизации функционала J(a)z ocn+U,)+max ф( (Ы, О (3.2.6). при ограничениях i(t)= Max І хСЦиШ), x(D = 2o, (3.2.7) ih+l(t)= maxF(a,art),u()), Xy]+i({o) = 0) (3.2.8) Наряду с поставленной задачей рассмотрим следующую задачу, называемую расширением задачи (3.2.6)-(3.2.8): найти минимум функционала а (Є) г хп+і {і,) + max ф(хаД g) 6 6єБ (3.2.9) при ограничениях X(t) - Т л1({) max ( ,эс(й иШ), х({0Ьхо; (3.2.IQ) ih4,(t)rZ l(i)haax F(a,x(Uul(t)), 3CnflU0)_-o (3.2.II) uc(i) l/ i- o, і.--- + 1, П4І оГШ 0, 1 = 0,1,...,11+1, J- (ibl в которой управлением является вектор еш -- (uU), , uMa),unt (i) («, .-.,« "ш,«rvo) є л, -U[4„,l,] Обозначим через S»(x) множество значений правой части системы (3.2.7) при всевозможных ЦЄ U , т.е. S Coc): (max (cj,x,u), max F(a,x,u)Y: ueU Аналогично, пусть S2(3c) - множество значений правой части сие темы (3.2.10):: при всевозможных допустимых 0 є -О. , т.е. S2 (х) = И ]Г о/ LW Упах (cj,x,uL),) W max F(a u Л. ЄЄЯ 1 i=o c eQ ё=о аєі Так как множество S2 (х) является совокупностью выпуклых комбинаций произвольных И+ 2 точек из S,(х), то оно выпуклое множество. Поэтому по известным схемам (см.напр. 51] , \7l], W \ и др.) можно показать, что в задаче (3.2.9)-(3.2.11) существует оптимальное управление. Обозначим его через Пусть oc Ct) - решение уравнения (3.2.10), соответствующее оптимальному управлению 9А (i) . Аналогично теореме 1.2,1, можно показать, что управление 9Х(t)удовлетворяет принципу максимума, т.е. найдутся абсолютно-непрерывная вектор-функция р (і) , измеримая матрица Ах Ш и векторы K-X(t) и С такие, что P (i) = -A;(4:)R,(Hk (-U; P (i)="C (3.2.12) CU C)»0 (UR,(i))= ax #(z U),0, Р»Ш) (3.2.13) где mi mi 6 _ Ш max Р (а, (Ц 4 ) mm ф адб) cc max &ХШ+ )Л) 1 Q M( ,u«) = {ciA-. max F(a/ ,uj)r ffa ujH 1 аєі J Обозначим - X F(a,X,Ct),"«Wj j-KKiuiP)= p max и% хл)- ax F(a,x,u) qeQ . aeA Тогда #U,(tuiuu) = I wH( . uuUrtJ) Из условия (3.2.13) и линейности К по d1 Ю следует, что HU (U tt),P (+)b max Н( ,( Р Й)) (3.2.14) UGU ДЛЯ ВСЄХ і , ДЛЯ КОТОРЫХ oL Li)7 0) =0,1,---,/1 + 1 Докажем, что функция к Си,Ї) - - Н(эс (i),U, рч({)) строго выпукла ПО U. При ЛЮбОМ 4: [іоД,]. Из условия 5) следует, что Игах Р(а,:с,—) 6 max f(a,x,u) + - max f(a,x,v)-- кч \u-v\2 Действительно, в силу 5), получаем, что Л 2. J d L аєі Из этого неравенства имеем max F(aJx) )tr-Lnaax FCa, u-) + j- iaxF( )- lt/-i;J 3 2,15 Оценим функцию p({) , являющуюся решением следующей задачи: P»(t)=-AiU)P (tb k»(-fc) , f«( J=-C , і, ft(t) -C,+ f-A;(S)p(53+ C5)]o(5 J (3.2.16) Ilft(«lhl№ JIM,(5)iinp(s)\\dsi \ik,(s)iids t t Из условий 1),3),5) следует, что Тогда из (3.2.16) и леммы Гронуолла-Белмана получим ft(t)KKs + Ks«r o)]eMi 4-) Используя эту оценку и условия 2),4), получаем, что при -I max Ц х и)- ± гпъх Ity.x v)] + %Q г CQ J + max F(a,ac , j")-j max F(a,ac ,u)-1 maxF(u,x ) K2 [ u- v//2 РШІІ - ur//2 f l 2 IIРЦ(Щ- ] llu-uf {к2ГК5 + К5(4ги]еК (4гЧ ]а-и2=-Си.і;і2 о Итак, функция /і(иД) строго выпукла. Поэтому она достигает единственного минимума на ограниченном замкнутом выпуклом множестве [J . Следовательно, функция u ({,) (/, удовлетворяющая условию (3.2.13), совпадает почти всюду с uii) : U.(t)= U U), "to 1 , U (t)[/ ДЛЯ ВСЄХ OS LS «4 і Но тогда h-H 2__ otitt) Jnax(c{,3c,(U a))= х( х Ш,ц ш) oL () max F( , ( ), u U))= max F(a,x (Uu (t)J Отсюда следует, что Хц({) является решением задачи (3.2.7), соответствующим управлению U () . Аналогично, как это сделано в предыдущих параграфах, можно доказать, что U U) является оптимальным управлением в задаче (3.2.1)-(3.2.4) и это управление можно считать непрерывным.
аєА(х,и^) Я^О.
гСі«,а) = о, a e Кос» (і.*)), (4І)
на соответственно, причем матрицы+ ^ *— J $0 K*i ,K,j -- i,m,L = o}yi
, аєі. g&B
менных в Q х mx [J и при всех q, R(x,a)
I аеА JНеобходимые условия оптимальности для автономных и неавтономных систем с терминальным критерием качества типа максимума
Процессы, описываемые экстремально-дифферен циальными уравнениями, зависящими от параметра
Процессы, описываемые экстремально-дифференци альными уравнениями с запаздывающим аргументом
Существование оптимального управления в про цессах, описываемых экстремально-дифференциаль ными уравнениями с негладким критерием качест ва типа Больца
Похожие диссертации на Необходимые условия оптимальности и теоремы существования оптимального управления в процессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями
