Введение к работе
Актуальность темы. При исследовании ряда физических процессов и дальнейшем построении их математической модели возникают задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения или его производных в различных точках границы или в точках границы и каких-либо внутренних точках. Такие задачи, называемые нелокальными, для различных классов уравнений изучали А.В. Бицадзе, А. А. Самарский, А. А. Дезин, ВА. Ильин, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, В.И. Жегалов, Т.Ш. Кальменов, О.А. Репин и другие.
В последнее время все большее внимание специалистов в области уравнений с частными производными привлекает класс задач с нелокальными интегральными условиями, которые являются естественным обобщением дискретных нелокальных условий.
Нелокальные интегральные условия возникают при изучении различных физических явлений в случае, когда граница области протекания процесса недоступна для непосредственного измерения. В качестве примера можно привести задачи, связанные с исследованием диффузии частиц в турбулентной плазме, процессов распространения тепла, процесса влагопереноса в капиллярно-пористых средах, при математическом моделировании технологического процесса внешнего геттерирования, применяемого для очищения кремниевых плат от примесей, а также при исследовании некоторых обратных задач математической физики.
К числу первых исследований нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений параболического типа можно отнести статью Дж.Р. Кэннона.1 Впоследствии данное направление получило развитие в работах Н.И. Ионкина, Л.А. Муравья и А.В. Филиновского, Н.И. Юрчука, А.И. Кожанова, Л.С. Пулькиной и других. Исследования показали, что наличие нелокального условия вызывает трудости при использовании известных методов.
Gannon J.R. The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy. // Quart. Appl. Math. - 1963. - V.21. - P. 155-160.
Особенно это проявляется в случае, когда интегральное условие имеет вид операторного уравнения первого рода. Такие условия будем называть интегральными условиями первого рода. Если же нелокальное условие помимо интегрального оператора содержит значение искомого решения или его производных на границе области исследования, то условия такого вида будем называть интегральными условиями второго рода. В силу упомянутых причин возникает потребность модификации стандартных методов изучения нелокальных задач и разработки новых способов исследования.
В данной работе исследуются нелокальные задачи для уравнений параболического типа с интегральными условиями различных видов как в случае одной, так и в случае п пространственных переменных. Таким образом, тема исследований является актуальной как с теоретической, так и с практической позиций.
Целью настоящей работы является исследование нелокальных задач с интегральными условиями первого и второго рода для уравнений параболического типа, установление взаимосвязи между нелокальными и обратными задачами, а также разработка методов исследования поставленных задач.
Общая методика исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории функций и функционального анализа.
Научная новизна.
Доказательство существования и единственности решения задач с интегральными условиями первого и второго рода для параболических уравнений в случае одной пространственной переменной.
Изучение взаимосвязи между нелокальными и обратными задачами для доказательства однозначной разрешимости нело-
кальной задачи с интегральным условием первого рода в случае п пространственных переменных.
3. Доказательство существования единственного решения задачи с нелокальным интегральным условием для общего параболического уравнения. Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Данная работа содержит теоретический материал. Ее результаты являются вкладом в теорию нелокальных задач, а также могут найти применение при исследовании обратных задач и при математическом моделировании.
Апробация работы. Полученные результаты обсуждались и докладывались на:
— научном семинаре кафедры уравнений математической
физики Самарского государственного университета в 2005-2007 гг.
(руководитель — д.ф-м.н., профессор О.П.Филатов);
— второй Всероссийской научной конференции "Математическое
моделирование и краевые задачи"(г. Самара, 2005);
конференции "Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского"(г. Казань, 2005);
XVIII Конференции молодых ученых механико- математического факультета МГУ им. Ломоносова (г. Москва, 2006);
Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - XVII"(г. Воронеж, 2006) ;
третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(г. Самара, 2006);
Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям (г. Рязань, 2006);
— III международной конференции "Нелокальные краевые
задачи и родственные проблемы математической биологии, инфор
матики и физики"(г. Нальчик, 2006);
конференции "Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского"(г. Казань, 2006);
всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Самара, 2007);
Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - XVIII" (г. Воронеж, 2007);
восьмой международной Казанской летней научной школе - конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(г. Казань, 2007);
семинаре кафедры "Высшая математика"Самарского государственного университета путей сообщения (г. Самара, 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [12].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих четыре параграфа, и списка литературы из 78 наименований.
Похожие диссертации на Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений параболического типа
