Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения Барова Евгения Анатольевна

Содержание к диссертации

Введение З

Глава 1. Задачи для уравнения смешанного типа
с краевыми условиями на всей
границе области 15

1.1. Задачи Дарбу. Принцип локального

экстремума 15

1.2. Единственность и существование

решения задачи Дирихле 25

1.3. Задачи со смешанными краевыми
условиями на всей
границе области 56

Глава 2. Задачи типа Трикоми для уравнений

смешанного типа 73

2.1. Задачи Дарбу в области

гиперболичности. Пришиты
локального экстремума 73

2.2. Доказательство единственности и

существования решения задачи V! 84

2.3. Доказательство единственности и

сутцествования решения задачи Vi 110

Литература 114

Введение к работе

Одним из важнейших разделов в теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа. Простейшим уравнением смешанного эллиптико-гиперболичеекого типа па плоскости является уравнение

уи_хх + и_уу = 0. (1)

ИзвестноГі краевоіі задачей для такого уравнения является задача Трикоми. Она впервые была решена самим Ф. Трикоми в 20-е годы XX века. Результаты, полученные Ф. Трикоми, были развиты С. Гел-лерстедтом для уравнения

у^2т+1и_хх + и_Уу = 0.

Ф. II. Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. И. Н. Векуа указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмомеитной теории оболочек с кривизной переменного знака. А. В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа. М. А. Лаврентьевым была предложена более простая модель уравнения смешанного типа

«« + sgn у-и_уу~ О,

для которого вычисления проводятся с меньшими трудностями, чем в аналогичных задачах по уравнению (1).

В дальнейшем были поставлены и исследованы новіле задачи для уравнения смешанного типа как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, Т.Д. Джураев, В.И. Жегалов, Т.Ш. Кальмеиов, А.И. Кожанов, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, М.Е. Лернер, Е.И. Моисеев, A.M. Пахушев, СМ. Пономарев, СП. Пулькин, Л.С Пуль-кина, О.А. Репин, К.Б. Сабитов, М.С Салахитднов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, Р.С Хайруллин, Л.И. Чибрикова, Хе Кап Чер и другие), -ык и за рубежом (S. Germain, R Bader, S Amnion, L. Nirenberg, M.N. Protter, С Morawetz, P.O. Lax, M. Schneider, A.K. Aziz, G.D. Dacher и другие).

В последние годы В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, для

которых линия изменения типа есть их характеристика. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в работе Волкодавова В.Ф., Наумова Г).К"). [18], где рассмотрена краевая задача для уравнения

₀ _ Г и_хх + и_уу, у>0, \ и_ху, у < 0.

Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.О. Плотниковой [43] для частных случаев уравнения гиперболического типа

и_ху + а(х, у)и_х + b(х, у)и_у + с(х, у)и~0

и уравнения смешанного типа

() — ) "^хх ^ ^uw

и_хх + и_уу — Хи, у > 0, A = const, и_ху + Ли, у < 0.

Н.Л. Куликовой в работе [33] изучены краевые задачи, условие

сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для

уравнений

La = u_xv Н щ = 0, а R, а ф 0,

х + у

в ограниченной области и

S (и) = и_ху + (и_х + и_у) = 0, 0 < 2<7 < 1,

х + у

в неограниченной области.

Данная диссертационная работа посвящена постановке и доказательству существования и единственности решений краевых задач с аналогичными условиями сопряжения для уравнений

_{Lu = і Uxx + Uyy = ' ,у > ' ()}

\ и_ху + q [In а (х)]' % = 0, у < 0,

q Є R, q f 0; и{х) Є С¹ [0, 1]; а{х)>0, хЄ [0, 1], и

р и_хх + и_Уу + -и_х = 0, г/ > 0, 0 < р < 1,

Lust _р I^х (3)

^иху + 2 J^Z (^м* + %) = > У < -

Основной целью диссертации является исследование краевых за-дач для уравнений (2) и (3) со специальными условиями сопряжения. В их постановке условия сопряжения на линии изменения типа содержат либо производные дробного порядка, либо интегралы дробного порядка от искомой функции. Такие условия позволяют обосновать корректную постановку краевых задач в случае, когда линия изменения типа совпадает с характеристической линией уравнения.

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, проводится обзор результатов исследований по её тематике, кратко излагается содержание работы.

Первая глава посвящена решению краевых задач для уравнения (2) в области Н, ограниченной при у > 0 простой спрямляемой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А (0, 0) и В(\, 0), а при у < 0 - отрезками прямых у = -х и у = х - 1. При этом х = х (s), у = у (я) - параметрические уравнения кривой Г, где s - длина кривой Г, отсчитывамая от точки В против часовой стрелки, / - длина кривой Г.

Пусть 11⁺ = НП{у>()}, Hi = ІІП{х< 1/2, 2/< 0}, 11₂ = Н П

^{{х> 1/}₂^{,z/<о}, я- = я,ия}₂^.

В 1.1 для уравнения (2) в области #i и #2 в явном виде построены решения задач Дарбу.

В 1.2 доказаны единственность и существование решения задачи Дирихле в следующей постановке.

Задача Дирихле (Задача D). Найти в области Н функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х,у)еС(Н)пС?(Н⁺)пС¹(Н-), и_хуеС(Н~); (4)

/,и = 0, (x,y)eII⁺UH-; (5)

«|_г = у>(а),бЄ[0,/]; (б)

и (х, -х) = /, (х), х Є [0, 1/2], (7)

u(z,z-1) = /₂(г), а; [72,1], (8)

где /і {х), f-2 {х), ц> (s) - заданные достаточно гладкие функции, /1(72) = /2(72),/1(0) = ^(/),/2(1) = ^(0)-,

I/+(я) = t/f (а;), жє(0, 72), (9)

и⁺ (х) = 1 (х), J є (72,1). (10)

Здесь v⁺ (х) = lim u_XJ (x, у), x Є (0, 1), y->+o

vj" (x) = L. I (x - i)~^ri «і («, 0) Л +

0 x

+ f{x- t)~^ri щ {x, -t) dt, 0 < n < 1, (11)

где при условии /і (0) = ті (0) = О

щ (х, у) = п (л) - [а (л) ]~^ч [а {-у) }^qTi (-7/)

является решением задачи Дарбу для уравнения (2) в области Н\ с краевыми условиями «і (х, 0) = т\ (я*), «і (.г, —а;) = 0, а

«2(ar,») = [flWr[e(-rt]Vi(-rt

есть решение задачи Дарбу для уравнения (2) в области Hi с краевыми условиями «2 (^xi 0) = 0, ^w2 («г» -я) = /i (я);

uj(i) = у / (х - і)~^Г2 мі (f, Q)dt +

^l/2

+ f {x- t)~^r2 u₂ (x, V'2 - 0 dt, 0 < r₂ < 1, (12)

^l/2 ГДЄ ПрИ УСЛОВИИ /2 (1) = T-2 (1) = О

«1 (3-^)=72^)-10(0-)1-^0(1+^1^(1 +у)

есть решение задачи Дарбу для уравнения (2) в области U-i с данными щ (х, 0) = г₂ (х), «і (х, ж — 1) = 0, а

«2^y) = [flWr[a(l + y)lV2(l + »)

является решением задачи Дарбу для уравнения (2) в области Я2 с данными «2 (л, 0) = 0, щ («с, х - 1) = /₂ (a*).

Исходя из представлений функций yj~ (а;) и t;J (г) доказаны следующие принципы локального экстремума.

Лемма 1. Пусть функция и (х, у) из пространства С (#ї) ло-ляется решением уравнения (2) в области Н\ и и (х, —х) = 0, а- Є

[О, у₂]. Тогда если и{х,0) = n {х) из «warn» С[0, Уз]ПС¹ (О, у₂), /фи ^wwjm т((х) Є Li [О, ^!/₂], достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения по сегменту [О, у₂] я rrwwc хо Є (О, у₂), m<> i>f (жо) > О (uf (j₀) < О).

Лемма 2. Пусть функция и (х, у) ив пространства С (Щ) является решением уравнения (2) в области #₂ и и (х, х — 1) = О, х Є [ у₂, 1] Тогда если и (х,О) = т₂ (ж) ш класса С [у₂, 1] П С¹ (^!/₂, 1), при зтол« 72(3*) Є L\ [^l/-2,1], достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения по сегменту [у₂, 1] в точке аг₀ Є ('/г, 1)» то v% {xq) > О ( (а?о) < О).

На основании лемм 1 и 2 установлен принцип экстремума для уравнения (2) в смешанной области Л.

Лемма 3. Пусть функция и (х, у), удовлетворяет условиям (4),

(5) и и (х, -х) = 0, и (ж, х - 1) = 0. Тогда max и (х, у) (iniri и (х, у))

я+ н *

достигается на кривой Г.

Теорема 1. Ъш существует решение задачи (4) - (10), /по оно единственно.

Справедливость теоремы следует из леммы 3.

Доказательство существования решения задачи Дирихле для простоты вычислений проводится при условии: Г = Го: (х — y₂)² + it/² = ¹/а , 2/^0, и\_Г — 0. В этом случае имеет место соотношение между функциями т(х) = и (х, 0 + 0) и и⁺ (х) = и_у (х, 0 + 0), привнесённое из области эллиптичности:

тгт (х) = I и⁺ (0 [In - In {x + t- 2xt)\ dt. (13)

Применив к равенству (13) условия сопряжения (9), (10) и подставив значення функций Vy (х) и ^ (ж), определяемых соответственно равенствами (11) и (12), доказательство существования решения задачи D эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода

*"г (У) - J A (а) К (у, s) ds = F (у), 1/2 < у < 1. (14)

Теорема 2. Функция К (у, ,s) непрерывна на квадрате [Уг, 1; ^]/₂, 1], кроме ліпшії s = у, у = у₂, *»Л' псі.' спра-

осдлиоа оценка:

_{1к{^ч)1г-фК^^г%-^}^С_"^Му_-^Ч_'²⁾

|у-*Г \у-*Г І!/-.оГ '

Теорема 3. Если ft{t) Є С[0, »/₂] П С¹ (0, Уг), /₂(0 Є С[і/₂, ІІПС^'/г, 1), mo F(y) Є С(у₂, 1], а при /у-+ Уг имеет особенность логарифмического порядка.

Разрешимость интегрального уравнения (14) классе функции С(у₂, l)nZ/i[y₂,1] следует из единственности решения задачи D.

Теорема 4. Если Г = Г₀, и|_Го = 0, /і (і) Є С[0, УгІПС¹ (0, у₂), /₂() Є С[у₂, (у₂, 1), то существует единственное решение задачи (1)-(10).

В 1.3 для уравнения (2) поставлены задачи со смешанными условиями на всей границе области и доказаны существование и единственность их решения.

Задача DN\. На множестве II найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (4) - (б) и

и(х, -х) - /і (я:) , х Є [0, у₂],

bh - %)l_y^_i =и₂(х),хе{ у₂, 1), где /i (х), и/₂ (х), у? (s) - заданные достаточно гладкие функции и

/і (о) = ^(/);

и⁺{х) = УЇ(х), хЄ{0, у₂),

v⁺ (х) = / (ж), а;Є(У₂,1),

где у⁺ (*с) = lim и_у (х, у), х є (0, 1), wf (х) определено по ([юрмуле

2/-»+0

(11), а (функция /xj (ж) задаётся равенством:

to(x) = J {x-t)-*ui{t,Q)dt+

+ f {x-t)-^r2u₂{x, 1/2-0Л, (15)

_m '^2qdt

y+i

«і (а*, У) = r₂ (a?) - [a (x) a(\+ y)]'⁴ j r'₂ (t) [a (t)f

является решением 2-й задачи Дарбу в области lh для уравнения (2) с граничными условиями щ {х, 0) = т₂ {х), (щ_х — щ_у) |_? j = 0, а

і «₂ (а-, у) = [а (х)а(1 + у)Г J и₂ (t) [a (t)}²" dt

v+i

есть решение 2-й задачи Дарбу в области #2 для уравнения (2) с граничными условиями и₂ {х, 0) = 0, (щ_х - щ_у) | _=х-1 = Ш2 {х).

Теорема 5. Если решение задачи DN\ существует, то оно единственно.

Доказательство данной теоремы проводится на основании принципов экстремума.

Доказательство существования решения задачи DN\ проводится при тех же условиях относительно кривой Г, что и доказательство существования решения задачи Дирихле. Используя равенство (13) и условия сопряжения существование ренгсния задачи DN\ эквивалентно сводится к интегральному уравнению вида (14) с интегрируемым ядром и правой частью, непрерывной на (^xji, 1], а при у —> ¹/ч имо-еющей особенность логарифмического порядка. Разрешимость полученного уравнения следует из единственности решения задачи DN\. Доказана следующая

Теорема 6. Если Г = Г₀, и\_Го = 0, /i {t) Є С [О, ^2}ПС¹ (О, у₂), UJ-2 (t) єС( ^ХІ2, 1)П/уі [ '/г, 1], то существует единственное решение задачи DN\.

Задача DN2 На множестве // найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (4) - (G) и

(^и* + ^иу)\у=-_х = ui{x),s (0, ^lh). («* - Uy)\_y-_x-i =ш₂{х),х( у₂, 1), где ш\ (х), и>2 («г), у (*') - заданные достаточно гладкие функции;

^^)=/^(^), re (0, 1/2),

v⁺(x)=ibJ(x),x(^l/2, 1),

где ^⁺ [x) = lim и_у (ж, у), а; Є (0, 1), /^ (г) определено по формуле

!/->т0

(15), функция

ц- (х) = у J (х - р «і (*, 0)

+ I\x-t)-^riu₂{x,-t)dt, (1G)

-у

u_l(x,y) = r_l(x) + \a(x)a(-y)P j* т\(і)\а(і)* dt

о является решением 2-й задачи Дарбу для уравнения (2) с граничными данными щ (а?, 0) = п (х), (щ_х + щ_у) \_ysi__x = 0, а

-у и₂ (я, у) = - [а (х)Г [а (-у)}-'¹ J щ (t) [a (if* dt

о есть решение 2-й задачи Дарбу для уравнения (2) с данными

U₂ (Х, 0) = 0, («2л: + щ) \_у=__х = U\ (х) .

Единственность решения задачи DN₂ доказывается с применением принципов экстремума. Вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцируется к вопросу однозначной разрешимости уравнения Фредгольма II рода относительно функции т[(у), у Є (0, ^lj₂), с ядром, имеющим особенность интегрируемого порядка, и свободным членом, непрерывным в (0, ¹/«2], а при у —> ¹/₂ имеющим особенность логарифмического порядка. Разрешимость полученного уравнения следует из единственности решения задачи DN₂.

Теорема 7. Если Г = Г₀, «|_Го = 0, ал (s) Є С(0, y₂)fUi [0, 1/2], и₂ {s) Є С (V2, l)nLi [!/2, 1], mo существует единственное решение тдпчи DN₂.

Вторая глава посвящена решению краевых задач типа Трикоми с условием сопряжения на характеристической линии уравнения (3) на множестве G = G~ U G⁺, где G~ = {(х, у): 0 < -у < х < 1}, G⁺ - область, ограниченная простой спрямляемой кривой Г, лежащей в первой четверти с концами в точках Л (1,0) и В (0,6), b > 0, и отрезками О А и О В, О (0, 0). Пусть х — х (а), у = у (ь) - параметрические уравнения кривой Г, s -длинадуги кривой, отсчитываемой отточки (1, 0) против часовой стрелки, / -длина кривой Г.

Задача Ц. На множестве G найти функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

u(x,y)eC(G)nC²(G); (17)

Lu = 0, (х, у) Є G; (18)

и (О, У)=У{У),УЄ [0, 6], «|_г = v? (в), 8 Є [0, /]; (19)

u(x,-x) = f(x),xe[Q,\], (20)

где f{x), ip (s), д (у) - заданные достаточно гладкие функции и

/(0) = 0(0), 0(6) = у>(0;

и⁺ {х) = М- (х), а; (0,1), (21)

здесь и⁺ (х) = lim и_у (х, у), х Є (0, 1), а функция

У—+0

Л/_ (х) = j- f {х - t)~\n (t, 0) dt+ о

+ / (х - і)~^А «г (ж, -0 Л, 0 < Л < 1, (22)

о где при условии / (0) = г (0) = 0

т(х,у) = (х + уГ J (т'(1) + \т(1))і":

_{"К'-'-^фЙ?)*-'-}

-У

+*, (х + у)¹-'²» (-j,)""¹ j (f (t) + |т (<)) < (х - і)'"¹

_XF(l-,,l-₉;2-2,;=^)_rf(

является решением 1-й задачи Дарбу для уравнения (3) с краевыми условиями щ (х, 0) = т (х), щ (х, —х) = 0, а функция

-у щ (а-, і/) = ^ j f _{t) (x - ty« (-t - yf X

ость решение 1-й задачи Дарбу для уравнения (3) с краевыми условиями щ [х, 0) = 0, щ {х, —х) = f (х).

Лемма 4. Пусть функция и (х, у) ил пространства С (G~) является решением уравнения (3) в области G~ и и(х, -х) = О, а; Є [О, 1]. Тогда если u(x,Q) = т(х), ив класса С [О, 1] ПС¹ (О, 1), при этом т'(х) є L\ [О, 1] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке х₀ є (О, 1), то А/_Ы>0(М_(.го)<0).

Теорема 8. Если существует решение задачи V\, то оно единственно.

Справедливость данного утверждения устанавливается с помощью граничного принципа Зарембо-Жиро и леммы 4.

Доказательство существования решения задачи Ц проводится при условиях, когда область G⁺ - четверть единичного круга с центром в начале координат и Г = Го, м|_г = 0. Доказательство существования решения эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода

г*{х) = к lT'{s)K{x,s)ds + P{x), 0<ж<1. (23)

Теорема 9. Функция К(х, s) непрерывна на квадрате [0,1; 0, 1], кроме линий s = х, х = 0, х = 1, где для неё справедлива оценка:

^{1 V Л} \x-s\^X \x-s\^X J& (1-.s)^A

Теорема 10. Если f(x) Є С[0, 1)0(7¹ (0, 1), то функция Р(х) б С [0, 1), а при х —» 1 имеет особенность логарифмического порядка.

В силу единственности решения задачи V\ и альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (23) разрешимо в классе функции і³ (х) Є С (0, 1) П L\ [О, 1] и притом единственным образом.

Теорема 11. Если 1{х)еС[0, 1] П С¹ (0, 1), и (О, у) = м|_Го = О, то существует единственное решение задачи (17) - (21).

В 2.3 приводится постановка задачи Vи доказательство единственности и существования её решения.

Задача Vi. На множестве G найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (17) - (19) и

(x + y)^2q(u_x + u_y) =ti(x),x(Q,\), (24)

у=-х

где ц (х), <^> (s), g{y) - заданные достаточно гладкие функции;

v⁺(x) = N-{x), х (0,1), (25)

здесь i/⁺ (х) = lim и_у (x, у), x Є (0, 1),

у—+0

при этом

N- {х) = -- f (х - 0"^А «і (U 0) Л + о

+ І (х - і)~^А w₂ (ж, -*) Л, 0 < А < 1, (26)

-у

-у есть решение 2-й задачи Дарбу для уравнения (3) с данными

щ {х, 0) = т (х), {х + yf^q (щ_х + щ_у) = 0, а <1>ункция

у=-х

-У

1-Я

является решением 2-й задачи Дарбу для уравнения (3) с данными и₂ {х, 0) = 0, {х + yf^q (и_2х + и_2у) = ц {х).

у=-х

Лемма 5. Пусть функция и(х,у) из пространства С (G~) является решением уравнения (3) в области G~ и

{х + y)^2q (и_х + и_у) = 0, х Є [0, 1]. Тогда если и (х,0) = т [х), w

2/=-2

класса С [О, 1] Г) С¹ (О, 1), при этом т¹(х) L_x [О, 1], r(0) = 0, достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке хо Є (О, 1), то N- (xq) > 0 (i\L (j-₀) < 0).

На основании леммы 5 и граничного принципа для уравнения (3) в области эллиптичности доказана

Теорема 12. Если существует решение задачи V₂, то оно единственно.

Доказательство существования решения задачи V-i проводится аналогично задаче Vi.

Теорема 13. Если fi{x) Є С [0, 1] П С¹ (0, 1), ц'(х) Є ^ [О, 1], и (0, у) = м|_Го = 0, то существует единственное решение ладани V₂.

Таким образом, автором на защиту выносятся следующие основные результаты, которые являются новыми.

1. Доказательство существования и единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа, когда линия изменения типа совпадает с характеристикой уравнения.

2. Доказательство существования и единственности решения краевых задач для уравнения смешанного типа со смешанными условиями на всей границе области.

3. Доказательство существования и единственности решения краевых задачи типа Трикоми и Vдля уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа.

Основные результаты работы опубликованы в работах [69] - [76]. В работе [70] соавтору В.Ф. Волкодавову принадлежит постановка задачи.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались:

на областном семинаре по диф<1>еренциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, процесора В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГГГУ, 2002 - 2005 гг.);

на международной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблем"(г. Стерлитамак, 24-28 июня 2003 г.);

на международной научно-практической кон<1>еренции "Дни науки 2005"(г. Днепропетровск, 15 - 27 апреля 2005 г.);

на всероссийской научной конкуренции "Математическое моделирование и краевые задачи "(г. Самара, 1-3 июня 2005 г.);

на научном семинаре ка<}юдры математического анализа Стер-литамакской государственной педагогической академии в 2006 г. (научные руководители: д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов и д.ф.-м.п., профессор И.А. Калиев);

на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (научный руководитель -д.ф.-м.н., прехіюссор В.И. Жегалов, январь 2007 г.).

Похожие диссертации на Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения

Краевые задачи с нелокальными условиями сопряжения для дифференциальных уравнений смешанного типаИсянгильдин, Амир Хызырович

Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряженияПлотникова Юлия Александровна

Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряженияФадеева Оксана Владиславовна

Задачи типа Геллерстедта для уравнений смешанного типа с нелокальным интегральным условием сопряженияСкороход, Анна Владимировна

Краевые задачи для уравнений Эйлера-Дарбу с условиями сопряжения на характеристике и нехарактеристической линииПодклетнова Светлана Владимировна

Начально-граничные задачи на сопряжение для уравнений параболического типа с переменным направлением времениПулькин Игорь Сергеевич

Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной областиСабитова Юлия Камилевна

Краевые задачи для уравнений термоупругости с граничными условиями типа неравенствСелютин Алексей Алексеевич

Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений параболического типаДанилкина Ольга Юрьевна

Задачи с граничными условиями второго рода для уравнений смешанного типаШустрова Наталья Вячеславовна