Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Существование и единственность обобщенного решения 17
1.1. Постановка задачи 17
1.2. Определение и свойства пространства Wi 20
1.3. Априорная оценка нормы \Lu\ 24
1.4. Сопряженный оператор и единственность решения 30
1.5. Доказательство существования обобщенного решения 32
Глава 2. Существование и единственность классического решения 36
2.1. Постановка задачи с неоднородными граничными условиями 36
2.2. Определение и свойства оператора Lx 39
2.3. Собственные функции и собственные значения оператора Lx 44
2.4. Формулировка теоремы существования и единственности классического решения 49
2.5. Существование биортогональных систем 52
2.6. Доказательство теоремы существования и
единственности классического решения 56
Литература
- Определение и свойства пространства Wi
- Доказательство существования обобщенного решения
- Собственные функции и собственные значения оператора Lx
- Существование биортогональных систем
Введение к работе
В настоящей диссертации рассматриваются различные виды краевых задач для уравнения ^м-|(в(м))=лм) в ограниченном прямоугольнике (а, 6) х (О, Т), причем функция А(х, і) меняет знак в этом прямоугольнике, а функция В(х, і) положительна. По-видимому, первой рассмотренной задачей такого типа была следующая: найти решение и(х, і) дифференциального уравнения ^1-5 = ^1 в полосе
П = Ех(0,Т), удовлетворяющее граничным условиям: ^,0) = ^),-0, м(аг, Т) = ит{х), х < 0.
Данная задача была впервые рассмотрена в работе Jevrey [85], поэтому задачи на параболические уравнения в области, где коэффициент при щ меняет знак, принято называть задачами Жевре. В литературе распространен также термин "параболические уравнения с переменным временем". В этом случае переменную t обычно называют "временной", а переменную х — "пространственной" переменной. В иностранной англоязычной литературе, кроме того, встречается название "forward-backward differential equation", что можно перевести как "дифференциальное уравнение в прямом и обратном направлении".
В последние годы получил также довольно широкое распространение термин "дифференциальное уравнение параболического типа со сменой направления параболичности" [15].
При переходе от неограниченной полосы к ограниченному прямоугольнику добавляются условия на левой и правой границах, и тогда задача может быть поставлена следующим образом: найти решение и(х, і) дифференциального уравнения ди д2и в прямоугольнике (—1,1) X (0,Т), удовлетворяющее граничным условиям «(-1, t) = /_(f), 0 < * < Т, t*(l, t) = /+(*), 0 < t < Г, и(х, 0) = щ(х), 0 < х < 1, и(х, Т) = ит(х), — 1 < х < 0.
При такой постановке задачи условия при t = 0 и t = Т принято называть начальными условиями, а при х = —1их = 1 — граничными.
Задачи такого типа с различными граничными и начальными условиями исследовали как российские, так и зарубежные исследователи: С. D. Pagani, G. Talenti [91], С. А. Терсенов [75], В. К. Роман-ко [69], А. А. Керефов [29], С. Г. Пятков [66] и другие исследователи. Для исследования указанных задач в этих работах применялись классические методы, такие как различные аналоги функции Грина, интегральные уравнения, теория потенциала, теория уравнений Фред-гольма. Важным этапом, фактически подведшим итог исследованиям с помощью классических методов, стала монография С. А. Терсенова [76]. Основным методом исследования в ней стала теория сингулярных уравнений.
В дальнейшем, однако, стало ясно, что параболические уравнения с переменным временем следует рассматривать как частный случай очень широкого класса дифференциальных уравнений с частными производными — уравнений, тип которых меняется при переходе через какие-либо линии или гиперповерхности, либо при достижении границы области.
Наибольшее количество работ о таких уравнениях посвящено уравнениям смешанного типа. Первые исследования их начались с работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. Вскоре в результате исследований С. А. Чаплыгина и Ф. И. Франкля выяснилось, что уравнения смешанно- го типа имеют важные практические применения при расчете течения газа при около- и сверхзвуковых скоростях. Множество важных практических применений, таких как реактивная авиация и космонавтика, ракетостроение, газодинамические лазеры, вызвало лавинообразный рост исследований в области краевых задач для уравнений смешанного типа, как чисто математических, так и имеющих более выраженный прикладной характер.
В первую очередь здесь следует упомянуть работы М. А. Лаврентьева, М. В. Келдыша, А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, Л. В. Овсянникова, В. П. Ильина, Е. И. Моисеева, С. П. Пулькина, В. Ф. Волкодавова, К. Б. Сабитова, В. Н. Монахова, Т. И. Зеленяка, А. П. Солдатова, Т. Ш. Кальмеиова, Ю. А. Дубинского, И. М. Петрушко, А. М. Наху-шева, Н. В. Кислова, В. И. Жегалова, Ю. М. Крикунова, М. М. Смирнова, В. П. Диденко и их научных школ.
Появление такого большого количества работ не могло не вызвать появления новых идей и методов исследований. Как оказалось, некоторые из этих новых методов применимы не только к краевым задачам с уравнениями смешанного типа, но и к другим краевым задачам, в частности, к задачам Жевре.
Так, например, исследовалось дифференциально-операторное урав- пение Au(t) + Bll{t)=:f(t), где В — положительно определенный оператор, а А — знакопеременный (в общем случае знаконеопределенный) операторный коэффициент. В работах Н. В. Кислова [34], [36], [37] была доказана обобщенная разрешимость краевых задач для этого уравнения, если А — дифференциальный оператор первого или второго порядка. Кроме того, им была сформулирована и доказана проекционная теорема, являющаяся обобщением теоремы Лакса-Мильграма для случая неограниченного билинейного функционала. Эти общие результаты применимы к широкому классу краевых задач, в частности к задачам Жевре, к краевым задачам для уравнений Лаврентьева-Бицадзе и Чаплыгина.
Большой вклад в исследование краевых задач для подобных дифференциально-операторных уравнений внесли также С. Г. Пятков [66], А. И. Кожанов [42], И. Е. Егоров [12], А. А. Керефов [29] и другие.
В последнее время интерес к задачам Жевре возрос в связи с возможностью применения результатов для этих задач к исследованию нелинейных уравнений со сменой направления параболичности, важных для некоторых практических задач, в частности, для теории пограничного слоя. Так, например, в уравнении ищ = ихх, 7 которое названо в книге [46] модельным уравнением пограничного слоя, смена направления параболичности происходит при изменении знака решения u(ar, t). В этом направлении также полуены важные результаты в работах таких исследователей, как В. Н. Монахов [53], О. Б. Бочаров [4], Т. И. Зеленяк [16], П. И. Плотников [59], А. X. Исян-гильдин [22].
В настоящей диссертации рассматриваются краевые задачи только для линейных уравнений, что, однако, не исключает практического применения ее результатов и методов. В качестве возможных приложений в первую очередь следует указать задачи расчета теплообменников, в которых используется принцип противотока. Действительно, в таких ситуациях, когда теплообмен происходит через разграничительную стенку, исключающую перемешивание жидкостей, могут возникать задачи со скачком температуры на границе раздела, аналогичные рассматриваемым в настоящей диссертации задачам с обобщенными условиями сопряжения.
Диссертация состоит из двух глав.
В первой главе доказывается существование и единственность обобщенного решения. В ней исследуется краевая задача для неоднородного уравнения Lu = sgnx — - ^2 = Я*»*) (ол) в области
П = (-1,1)х(0,!Г) с начально-граничными условиями u(-l, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < Г, < и{х, 0) = 0, 0<ж<1, (0-2) и(я,Т) = 0, -1<я<0, и условиями сопряжения на линии х = 0
И+ = И_, I ti+ = — U-, или < (0.3) и'+ = —и'_ I и'+ = и'_.
Здесь обозначено и+ = lim u(x,<), 0 < t < Т, u_ = lim u(x,t), 0 < t < T, u'. = lim uJx.t), 0 Строится гильбертово пространство Wi, в котором решение задачи (0.1) — (0.3) существует и единственно. В явном виде выписывается сопряженный оператор и на основании априорных оценок доказывается следующая Теорема 1. Пусть f{x,t) Є Li (ft). Тогда в пространстве Wl решение задачи (0.1) — (0.3) существует и единственно. Кроме того, если (} — система линейно независимых функций, полная в Wl (базис Pucca), то последовательные приблиоісения к=1 построенные с помощью метода наименьших квадратов, сходятся к единственному решению щ в норме пространства Wl- Во второй главе с помощью метода разделения переменных исследуется вопрос о существовании классического решения задачи с неоднородными начальными условиями, а именно ищется решение и(х, і) уравнения dt дх2 ди д2и пLu = sgax — -x-z = О (0.4) с граничными условиями u(-M) = u(l,i) = 0 0 < t < Т, i и(х, 0) = щ(х), 0 < х < 1, и(х,Т) = ит(х), -1 < х < 0, и условиями сопряжения на линии х = 0 (0.5) U+ = U-, (0.6) и'+ = —и'_ Решение ищется в виде ряда по собственным функциям вида ад= shAt(l-j) . п У shAt ' х * и для положительных собственных значений \L — А| и shAt(x+l) п «faMl-*) я >n sinAi ' Х > U для отрицательных собственных значений fi = —А|, где А* определяются как корни уравнения tgA = thA. При х < 0 решение ищется в виде ряда +Bte-A!(r-oEl^±i)) + с(ї +1}> (0.7) sin Afc / а при х > 0 — в виде ряда f—' V smAfc +Bte-W-*shX-x))+C(x-l), (0.8) причем коэффициенты Ak, В/, и С в обоих равенствах одинаковы. Эти коэффициенты могут быть найдены из бесконечной системы алгебраических уравнений. Далее в этой главе решается задача о нахождении коэффициентов Л* и Вк. Обозначим fi_ = (-1,0) х (0,Т); ft+ = (0,1) х (0,Г). Теорема 2. Существует такое То > 0, что при любом Т > Tq для любых функций щ,ит Є 2(0,1) существуют единственные па-боры коэффициентов Ak, Вк Є h такие, что ряды (2.18) и (2.19) сходятся соответственно в 2^(^-) « ^2(^+) и выполняются в среднем граничные условия (2.2). Если дополнительно функции щ,ит Є Cq[0, 1], mo ряды (2.18) и (2.19) абсолютно и равномерно сходятся соответственно па замкнутых прямоугольниках Q- uQ+. При этом сумма u(x,t) рядов (2.18) и (2.19) дважды непрерывно дифференцируема на Q- U Q+ и на этом множестве удовлетворяет уравнению (2.1), а на границах этого множества — условиям (2.3) и (2.4). Для доказательства ряды (0.7) и (0.8) приводятся к виду МуНМу)-к» = ±(Ак+вк)(^+е-^), (0,) *,-^,-(*-*)(^-.-*2g). «ПО) где переменная у Є [0,1],у = 1 — х, если ж Є [0,1] и у = 1 + ж, если х Є [—1,0], а функции vo и vr выражаются через известные функции щ и их следующим образом: vo(y) = щ(х) = щ(1 - у), vT(y) = иТ(х) = ит(у - 1). Данная система представляет собой разложение известных функ- ций по системам функций V sinAjfc shAjt / Ш = (=^-«-*тН (0.12) Далее во второй главе доказывается существование биортогональ- ных систем фк и щ, к = 1,2,... к системам функций а*(у) и fik(y), то есть таких систем функций, что выполняются равенства Г /sinAjty _А2ГвЬЛу\ / Vu . , +e ^---)^ = ^,У V sinAfc snAfc / f /sinAfcy _A2TshAiy>T У \ sinAjfc snAfc / Для любого натурального числа к, умножив обе части уравнения (0.9) на фк, а обе части (0.10) — на щ и проинтегрировав от 0 до 1, мы получим легко решаемую систему из двух уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ак И Вк. Доказательство существования биортогональных систем состоит из нескольких лемм. Лемма 1. Пусть для системы функций {ип}, п = 1,2,..., существует биортогопалъпая система {hn}, п = 1,2,..., ограниченная в совокупности. Тогда для системы функций {сг„ + тп}, п = 1,2,..., также существует биортогональная система, если выполняются условия VneN |(т*,Лп)|<<5<1, Jfc=l Лемма 2. Существует значение То такое, что для любого Т > То для систем функций ак и / существуют биортогональные системы. Лемма 3. Системы векторов lx~ = БЇпХкУ - shXky) k = 12 \ k sinAfc shAfc /' ортогональны и полны в пространстве 1/2(0,1). Лемма 4. Для систем функций, определяемых равенствами (0.11) — (0.12), биортогональные системы единственны. Лемма 5. Пусть функции щ,ит Є Cq[0, 1]. Тогда наборы коэффициентов {Ак} и {Вк} Є 1\. Из леммы 5 и признака Вейерштрасса следует равномерная сходимость функциональных рядов (2.18) — (2.19) в замкнутых прямо- угольниках fi_ = [-1,0] х [0,Т] и Q+ = [0,1] х [0,Т]. Для окончания доказательства теоремы 2 теперь достаточно установить равномерную сходимость производных первого порядка по t и второго порядка по х во всех внутренних точках областей 2_ и Q+. Выберем два значения t\ и ti так, чтобы 0 < t\ < 2 < Т. Тогда равномерная сходимость производных ряда (2.18) на замкнутом множестве вида [t\, 2] X [—1,0] следует из того что эти ряды из производных мажорируются сходящимся числовым рядом оо 1 1 (^А^ет+ів^^ї(т-,!)і)+с- Аналогичная оценка справедлива для ряда (2.19). В силу произвольности выбора t\ и <2 ряды из производных равномерно сходятся на любом замкнутом подмножестве П_ U fi+- Таким образом, диссертационная работа посвящена исследованию вопроса о существовании и единственности решения уравнения с переменным направлением времени в ограниченном прямоугольнике. При этом рассматриваются как обобщенные, так и классические решения. На защиту выносятся следующие результаты: 1). Для уравнений параболического типа с переменным направлением времени впервые рассмотрены обобщенные условия сопряжения на линии смены направления параболичности. 2). Определены функциональные пространства, в которых доказано существование и единственность решения краевой задачи. 3). Построен базис из собственных функций и доказана равномерная сходимость ряда по этим функциям к классическому решению краевой задачи. Основными областями применения полученных результатов являются краевые задачи для уравнений смешанного типа и краевые задачи для параболических уравнений с переменным направлением времени. Развитые в диссертации методы могут быть применены к задачам теории пограничного слоя, к задачам о диффузии и взаимодействии реагирующих потоков. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач теории уравнений смешанного типа. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40], [41], [61] — [64] и [92]. Работы [40] и [41] выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежит постановка изученных задач. Если существует функция w такая, что ее следы на границах совпадают с (1.6) и при этом имеющая достаточное количество производных (точнее, дважды дифференцируема по х и один раз по t), а также удовлетворяющая условиям сопряжения (1.3), то задача с нулевой правой частью сводится к (1.1) — (1.3) с помощью замены и — v — w. Оказывается, такая функция w всегда существует, если выполнены следующие условия v-(t),v+(t)W}[0,T}, u0(x),uT(x + l)eW%[0,l]-Пусть, для определенности, выполнены вторые из условий сопряжения (1.4). В общем случае функция w строится аналогично. Доопределим сначала граничные условия на линии сопряжения х = 0. Пусть при х = 0+ граничные значения функции w равны «ь+Ю = (і - Ь(о) - «г(о), а при х = 0— «to-W = (f - !Ь(0) + !«г(0). Тогда первое из условий сопряжения будет выполнено, а чтобы было выполнено второе, достаточно, чтобы для функции W выполнялось соотношение дх Допустим, что vo+(0) ф 0. Определим функцию w следующим образом при х 0 (при х 0 формула аналогична): w(x, t) = v0+(t)(l - х2) + v+(t)x2 - v0+(0)(l - ax - (1 - a)x2) -v+(0)x2 + u0(x), где a — пока не определенный коэффициент. Нетрудно убедиться, что производная при х — М = „ ( )+ 4(0). При указанном выше допущении можно подобрать коэффициент а так, чтобы эта производная равнялась нулю. Случай vo+(0) = 0 рассматривается аналогично. Таким образом, при указанных выше ограничениях, задача (1.5) — (1.6), (1.3) сводится к задаче (1.1) — (1.3). Построим теперь функциональное пространство, в котором будем искать решение задачи (1.1) — (1.3). Рассмотрим множество пар функций (Л_, h+) таких, что Л_ є С(ЇГ), h+ є С{Щ, П- = (-1,0) х (0, Т), Q+ = (0,1) х (0, Т). причем удовлетворяются граничные и начальные условия /г_(-М) = 0, Л_(аг,Т) = 0, Л+(М) = 0, h+(x, 0) = 0, а также обобщенные условия сопряжения { М0,() = «А-(0, ) + , М = 7Л_(СМ) + . Очевидно, это множество пар функций является линейным пространством. Обозначим это линейное пространство через Д&. Введем в этом пространстве норму h \\l= [[ h2dxdt + If №\ dxdt+ ft n //(1)-+//(0)- (1-7) ft ft Здесь обозначено h-(x,t), x 0, h+(x,t), x 0. Пополнение пространства Di по норме (1.7) обозначим через WL-В этом пространстве и будем искать решения задачи (1.1) — (1.4). Через И 1 (fi-Ufi+) будет обозначено классическое пространство Соболева, то есть пополнение пространства функций, гладких на множестве fi_ U fl+j по норме \\h\\2= [Г h2dxdt+ [J №\ dxdt+ff(j\ dxdt (1.8) ft П ft Утверждение 1. Для всякого элемента w Є WL имеет место следующее: l).weW}{n-\jn+), eL2{n). 2). Определены следы функции w и ее производной по переменной х па границах области П и линии сопряжения х = О 4z=-l, w\x=0-, Н =о+, \x=h H =o, Mt=T, dw dw dw dw dx x=-i dx x=o- dx z=o+ dx г=і причем следы эти квадратично интегрируемы. 3). Все вложения, определенные в пунктах 1) и 2), непрерывны. Доказательство. Как известно (см. напр. [67], с. 119), пополнение WL нормированного пространства DL СОСТОИТ ИЗ классов эквивалентности фундаментальных последовательностей причем последовательности {q} и {dj} эквивалентны, если V є 0 3iV : Vn N сц - d» lk є. Пусть элемент w Є WL представлен последовательностью {с,}. Пространство Соболева W O -UHJ.) представляет собой пополнение про странства бесконечно дифференцируемых на fi_Ufi+ функций по норме Сравнивая (1.7) и (1.8), видим, что если последовательность {(} фундаментальна в норме (1.7), то она будет также фундаментальна и в норме (1.8), причем если две последовательности эквивалентны в первой из этих норм, то они эквивалентны и во второй. Таким образом, последовательность {с,} корректно определяет элемент из W\ {&- Uft+). Непрерывность этого вложения очевидна. Далее, если последовательность {с,} фундаментальна в норме (1.7), то последовательность { с,} фундаментальна в норме ( )- Поэтому можно определить частную производную д как элемент из 1/2 ( )» представленный последовательностью { с,}. Это определение корректно, потому что если две последовательности эквивалентны в норме (1.7), то последовательности из их частных производных по переменной х будут эквивалентны в норме 1 ( )- Непрерывность этого вложения также очевидна. Пусть {ipk} — система линейно независимых функций, полная в WL (базис Рисса). Теорема 1. Пусть f Є Ьгф). Тогда в пространстве WL решение задачи (1.1) — (1.4) существует и единственно. Кроме того, для всякого базиса Рисса { } в WL последовательные приближения п k=i построенные с помощью метода наименьших квадратов, сходятся к единственному решению щ в норме пространства WL Доказательство этой теоремы состоит из доказательств следующих лемм. Лемма 1. На каждом шаге метода наименьших квадратов соответствующее приближение ип однозначно определено. Доказательство. Нахождение последовательного приближения ип в методе наименьших квадратов сводится к решению линейной системы п akiLipfrLipm) = (f,L pm), т = l...n. fc=i с неизвестными а (см., напр. [67], с. 166). Матрица этой системы есть матрица Грама для системы векторов {Lipm}m=i_n, а эта система векторов линейно независима, поскольку, как установлено ранее, оператор L имеет нулевое ядро. Как известно из линейной алгебры, этого достаточно для однозначной разрешимости линейной системы. Обозначим через фк образы базисных элементов ipf., т. е. фк = Ь(рк. Лемма 2. Система функций {фк} полна в пространстве 1»2( )-Доказательство. Пусть и — вектор, ортогональный всем фк. Тогда имеем (и ;фк) = (щ]Ь(рк) = 0. Как известно (см., напр. [21], с. 272), сопряженный оператор L определен на множестве таких v, что существует w, для которого выполняется соотношение (Lu,v) = (u,w) при всех и. Следовательно, и принадлежит области определения этого сопряженного оператора L , зз причем L ut = 0. Но ранее отмечалось, что сопряженный оператор L невырожден, поэтому и = 0. Лемма 3. Последовательность приближений ип слабо сходится в пространстве WL К некоторому элементу щ. Доказательство. Сначала докажем, что последовательные приближения ип ограничены в совокупности. По определению метода наименьших квадратов, эти приближения строятся следующим образом: \Lun — / = тгп. Поскольку ип-\ принадлежит подпространству, в котором ищется ип (а именно линейной оболочке y»i, ... у?„ ), следующее приближение не может быть хуже предыдущего, то есть \Lun-f\ Lun_i-/. Поэтому для любого п \Ьип - / А где в качестве D можно взять \Lui — /. Применяя теперь неравенство треугольника, получим \Lun\ \Lun-f\ + \f\ D + \f\. С учетом оценки (1.11) получим Таким образом, последовательные приближения ип ограничены в совокупности. Утверждение леммы теперь следует из известной теоремы о том, что единичный шар в гильбертовом пространстве компактен в слабой топологии. Эта теорема — частный случай теоремы Банаха — Алаоглу (см., например, [68], с. 133) для случая гильбертова пространства. Лемма 4. ип - UQ сильно в WL Доказательство. Из полноты системы функций {фк} следует, что Lun — f. Теперь утверждение леммы следует из оценки (1.11): м и \Lun - / II ип - щ \\L . Эта лемма заканчивает доказательство теоремы существования и единственности решения задачи (1.1) — (1.4). Будем считать, что наша задача не распадается на две независимые подзадачи в правой и левой половинах прямоугольника fi. Чтобы определить, когда это выполняется, сформулируем и докажем следующую лемму.Достаточность. Допустим, что матрица Р вырождена, тогда существует такое число а, что Л2 = aAi, Сг — аС\ (или А\ — аЛг, С\ = аСг, что по сути не меняет доказательства). Умножив первое из условий сопряжения на это число а и вычтя второе из условий сопряжения, получим связь между и- и и _, то есть независимую подзадачу в левом прямоугольнике Будем искать решения задачи (2.1) — (2.4) в виде ряда по собственным функциям, т. е. в виде ряда Теорема 2.Существует такое TQ О, что при любом Т TQ для любых функций щ,ит Є 2(0,1) существуют единственные наборы коэффициентов Ak,Bk Є h такие, что ряды (2.18) и (2.19) сходятся соответственно в ( -) и - ( +) и выполняются в среднем граничные условия (2.2). Если дополнительно функции щ,ит Є CQ[0, 1], mo ряды (2.18) и (2.19) абсолютно и равномерно сходятся соответственно на замкнутых прямоугольниках 12_ и 1+. При этом сумма u(x,t) рядов (2.18) и (2.19) дважды непрерывно дифференцируема на Q- U Q+ и на этом множестве удовлетворяет уравнению (2.1), а на границах этого множества — условиям (2.3) и (2.4). Подставив начальные условия (2.8), получим при t — Т,х О „U т\ ST (A -A?rsnA ( + l) R sinA fl) \ ,r,,u Легко видеть, что равенства (2.22) и (2.23) представляет собой разложение известных функций соответственно по системам функций Для известных левых частей уравнений (2.22) и (2.23) неизвестные коэффициенты Ак и Вк могут быть найдены из этих уравнений с помощью биортогопальных систем, то есть таких систем функций {Фп}, { „}, п = \,2,..., что (ак,фп) = бы, (Рьип) = бы, где 5Ы -символ Кронекера: Существование биортогональных систем Утверждение 8. Пусть для системы функций { хп}, п = 1,2,..., существует биортогональная система {/in} n = 1,2,..., ограниченная в совокупности. Тогда для системы функций {о п + т„}, n = 1,2,..., существует биортогональная система, если выполнены следующие условия VneN J \{rk,hn)\ 5 l, (2.26) o kn = (o-fc + ТІ, Л„ + X n i) = un + fa, Л„) + bkn + 22 in{Th Ы) i=l t=l Обозначая матрицу с элементами (т , hn) через А, а матрицу с элементами Ькп — через В, получим матричное уравнение При выполнении условия (2.26) это матричное уравнение разрешимо, поскольку существует обратная матрица Таким образом, В — матрица ограниченного линейного оператора на пространстве її, и поэтому набор чисел {6 }, і = 1,2,..., принадлежит її при любом к. Из равномерной ограниченности \Щ и условия (2.27) следует сходимость всех рядов YALI ЬІПК Доказательство. Как следует из результатов статьи [51], для системы синусов существует биортогональная система {hn}, п — 1,2,..., причем функции {hn} ограничены в совокупности некоторой положительной константой Я, где Н 10. Разность 7 между о и (2.28) (для / все рассуждения полностью аналогичны) состоит из двух слагаемых Заметим, что A — положительные корни уравнения tg A = th А. Поскольку th А — монотонно возрастающая функция, значения которой стремятся к 1 при А - +00, a tgA — периодическая функция, корни этого уравнения будут асимптотически стремиться к значениям At f + як, причем значения разностей ( + irk — Ajt) положительны и монотонно стремятся к 0. Поэтому + тгк — Ajfc + ж — \\\ = d. Расчеты показывают, что d О,5-10 3. Поэтому +7г& А j+кк, следовательно, \ sinAjt , и, продолжая оценку, получим Кроме того, поскольку производная тангенса везде больше либо равна единице, из соотношения + тгк А + irk следует оценка Для функций ц справедливость (2.27) очевидна при любом положительном Т, а для оценки (2.26) получим: Выбором значения Г последнее выражение может быть сделано сколь угодно малым. Интегрирование по частям показывает, что этот оператор симметричен на пространстве таких функций, поэтому все они взаимно ортогональны. Полнота этой системы следует из того, что здесь перечислены все собственные функции указанного оператора ([74], с. 513). Действительно, обозначая собственное число оператора L\ через о4, можно записать, что все собственные функции, соответствующие этому собственному числу, имеют вид Asinax + Bcosax + Cshax + Dchax. Подставляя в это уравнение найденные выражения для А и С, получим соотношение tga = tha, которому должны удовлетворять все собственные числа. Для второй системы функций доказательство полностью аналогично, с той лишь разницей, что граничные условия имеют вид В силу равенства (2.14) и асимптотики собственных значений нормы векторов стремятся к единице при бесконечном возрастании номера к. Утверждение 11. Для систем функций, определяемых равенствами (2.24) — (2.25), биортогоналъные системы единственны. ЭТО утверждение Немедленно СЛедуеТ ИЗ ПОЛНОТЫ СИСТеМ Ctfc И Рк Докажем эту полноту для первой из систем, для второй из них доказательство полностью аналогично. Если система ctk не является полной, то существует вектор Z такой, что для всех к выполняется соотношение Поскольку система векторов Х полна, существует разложение вектора Z по этой системе Здесь обозначено эти векторы образуют ортонормироваппую систему. Обозначим также Тогда {zk} — собственный вектор матрицы с элементами М ,- = (7 , Х{), отвечающий собственному значению +1. Этой матрице соответствует оператор Из этих формул следует, что если оба ряда коэффициентов разложения по системам Х и Xj будут абсолютно и равномерно сходиться на [0,1], то и оба ряда коэффициентов разложения по системам ак и / также будут абсолютно и равномерно сходиться на [0,1]. Пусть функция f(x) Є CQ[0, 1], Т. е. выполнены условия /(0) = /(1) = / (О) = / (1) = 0. Существует разложение этой функции по системе Х (х) причем в силу ортогональности этой системы для коэффициентов этого разложения с учетом (2.31) получим к{ Поскольку вторая производная функции / квадратично суммируема, для нее существует аналогичное разложение по системе Заметим, что система Х {х) при двукратном дифференцировании переходит в систему — \\Х(х). Поэтому, дважды интегрируя по частям и учитывая то, что f(x) и f (x) обращаются в нуль на концах отрезка [0,1], получаем соотношение В силу неравенства Бесселя Jfc=l поэтому dk ограничены в совокупности некоторой константой М. Следовательно, получаем оценку Из утверждения 12 и признака Вейерштрасса следует равномерная сходимость функциональных рядов (2.18) — (2.19) в замкнутых прямоугольниках П- = [-1,0] х [0,Т] и П+ = [0,1] х [0,Т]. Для окончания доказательства теоремы теперь достаточно установить равномерную сходимость производных первого порядка по t и второго порядка по х во всех внутренних точках областей Q- и fi+. Выберем два значения t\ и І2 так, чтобы 0 t\ 2 Т. Тогда равномерная сходимость производных ряда (2.18) на замкнутом множестве вида [t\, 2] X [—1,0] следует из того, что эти ряды из производных мажорируются сходящимся числовым рядом Аналогичная оценка справедлива для ряда (2.19). В силу произвольности выбора t\ и 2 ряды из производных равномерно сходятся на любом замкнутом подмножестве множестваОпределение и свойства пространства Wi
Доказательство существования обобщенного решения
Собственные функции и собственные значения оператора Lx
Существование биортогональных систем
Похожие диссертации на Начально-граничные задачи на сопряжение для уравнений параболического типа с переменным направлением времени
