Содержание к диссертации
Введение
1 Нелокальные краевые задачи для уравнений I и III порядка с меняющимся направлением времени 11
1.1 Краевые задачи для уравнения параболического типа с меня ющимся направлением времени 11
1.1.1 Краевая задача с постоянным коэффициентом 11
1.1.2 Краевая задача с переменным коэффициентом 15
1.2 Краевые задачи для уравнения III порядка с меняющимся на правлением времени 21
1.2.1 Краевая задача с постоянным коэффициентом 21
1.2.2 Краевая задача с переменным коэффициентом 29
2 Нелокальные краевые задачи для неклассических уравнений высокого порядка с меняющимся направлением времени 41
2.1 Краевая задача с постоянным коэффициентом 41
2.1.1 Постановка краевой задачи и вывод априорной оценки 42
2.1.2 Существование слабого решения 43
2.1.3 Существование обобщенного решения 44
2.2 Краевые задачи с переменным коэффициентом 46
2.2.1 Краевая задача 1 46
2.2.2 Краевая задача 2 50
3 Разрешимость нелокальных краевых задач для нелинейных уравнений с меняющимся направлением времени 59
3.1 Разрешимость краевой задачи для уравнения третьего порядка 59
3.2 Разрешимость краевой задачи для уравнения высокого порядка 69
Литература 79
- Краевые задачи для уравнения III порядка с меняющимся на правлением времени
- Краевая задача с переменным коэффициентом
- Краевые задачи с переменным коэффициентом
- Разрешимость краевой задачи для уравнения высокого порядка
Введение к работе
Актуальность темы. Теория нелокальных краевых задач важна сама по себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными и как раздел математики, имеющий многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно-научных дисциплинах. Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях.
Предметом наших исследований являются нелокальные краевые задачи для уравнения
2s+l
Lu= ^ ki(x>*)Ци + Ми = f(x,t)t (0.0.1)
і=1
ГДЄ Ми = (— l)m Yl Щ(аар{%)&хи) + Oo(^)u - СИЛЬНО ЗЛЛИПТИЧЄСКИЙ
\a\,\P\-m
оператор, в цилиндрической области Q — Qx(0,X), S? = S х (0,7і), QcRn - ограниченная область с гладкой границей S.
Уравнение (1) является уравнением математической физики неклассического типа нечетного порядка. На знак функции перед старшей производной по времени не сделано никаких предположений, поэтому в класс уравнений вида (1) входят эллиптико - параболические уравнения, уравнения с меняющимся направлением времени [95] и другие уравнения.
Начало исследований краевых задач для уравнений такого типа было положено в работах Жеврея [116, 117], опубликованных в 1913-1914 годах. В 20-е - 30-е годы XX века в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа на плоскости. В работах М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, И.Н. Векуа, С. А. Христиановича, С.А. Чаплыгина, Л.Г. Гудер-лея и других была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магнитогидродинамических течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмомент-
ной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики.
Новым этапом в развитии теории краевых задач для неклассических уравнений явились работы Г. Фикеры [99], О.А. Олейник [75], С.А. Терсенова [93, 95]. В их работах были предложены новые подходы и методы построения единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений. В.Н. Враговым [12, 13, 14] и рядом авторов было начато построение общей теории краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа, в частности, для гиперболо-параболических уравнений. Интерес к уравнениям с меняющимся направлением времени высок. Это вызвано, в частности, их приложениями в гидродинамике - изучением движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости.
Краевые задачи для линейных неклассических уравнений математической физики рассматривались в работах О.А. Олейник , Г. Фикеры, С.А. Терсенова [92, 93, 94, 95], A.M. Нахушева [73], И.Е. Егорова [25, 26, 27, 121, 122], И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [29], И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, СВ. Попова [30], В.В. Катрахова [37, 38], Н.В. Кислова[40, 41, 42], С.Г. Пяткова [83, 84, 85, 86, 87, 133], СВ. Попова [80, 81, 82, 123, 124, 125], И.М. Петрушко, Е.В. Черных [77], В.Е. Федорова [97], Ф.М. Федорова [98], Х.Х. Ахмедова [3], В.В. Катышева [34], А.И. Кожанова [45, 47], С.Н. Глазатова [17], Н.Л. Абашеевой [1], А.В. Чуешева [100, 101], М.С Боуенди, Г. Гривара [108], К.Д. Пагани [130, 131], К.Д. Пагани, Г. Таленти [132], О. Арены [103] и других авторов.
В работе И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [29], в частности, рассматривается краевая задача для уравнения высокого порядка (1). Краевые условия задаются при і = 0иі = Гв зависимости от знака функции k2S+i(x,t). При выполнении определенных условий на старшие коэффициенты при производных по t и функцию а0(х) с помощью функциональных методов, метода "є-регуляризации"и метода Галеркина были доказаны теоремы о существовании и единственности решения в 1У2т' s (Q).
Исследованию нелинейных уравнений посвящены работы Н.А. Ларькина, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [58], Т.И. Зеленяка, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [32], Т.И. Зеленяка [33], B.C. Белоносова, Т.И. Зеленяка [5], В.Н. Монахова [69, 70], В.Н. Монахова, СВ. Попова [71, 72], А.Г. Подгаева [78, 79], С.Г. Пяткова, А.Г. Подгаева [88], С.Г. Пяткова [86], М.М. Лаврентьева(мл.) [51, 52, 53, 54], В.Н. Гребенева [21], С.Н. Глазатова [18], Н.Л. Абашеевой [2], А.В. Чуешева [102].
В частности, А.В. Чуешев в [102] исследовал разрешимость локальной
краевой задачи для дифференциального уравнения вида
Аи + Ви + д(х, t, и) = f(x, г), (2)
где УІ - обыкновенный дифференциальный оператор нечетного порядка по переменной t, а оператор В является равномерно эллиптическим оператором порядка 2т по переменным х, и функция д(х, t, и) есть нелинейное слагаемое уравнения (2). С помощью метода продолжения по параметру, теорем вложения и теоремы Шаудера была доказана теорема о существовании решения поставленной краевой задачи.
Впервые нелокальные краевые условия для получения разрешимых расширений некоторых типов неклассических операторов предложил А. А. Дезин [22, 23]. Также нелокальные краевые задачи для неклассических уравнений в своих работах исследовали В.Н. Врагов [11], С.А. Терсенов [95], И.Е. Егоров [121, 122], С.Г. Пятков [133], А.И. Кожанов [44], Каратопраклиев Г.Д. [35, 36], А.Н. Терехов [91], С.Н. Глазатов [15, 16, 17, 20, 18, 19], СВ. Попов [123], А.А. Керефов [39], А.Г. Кузьмин [49]. Наиболее полная библиография по работам,, посвященным исследованию нелокальных краевых задач, приведена в [118].
Так, в работе А.А. Керефова [39] для уравнения теплопроводности
ихх = щ
и смешанно-параболического уравнения со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента при производной по времени
иы = sgnxut
в односвязной области Q = (ОМ) ' 0 < х < 1,0 < t < Т\1,Т ~ const] и D = {{x,t) : — I < х < 1,0 < і < Т} соответственно изучены корректные нелокальные краевые задачи, когда, кроме краевых условий, известен закон, связывающий значения u(x,t) на характеристиках t = 0 и t = Т вышеприведенных уравнений. Доказаны принципы экстремума, гарантирующие единственность решений поставленных нелокальных задач, а методами интегральных уравнений установлено существование решений этих задач.
Цель работы. Перед автором диссертации стояла задача исследовать разрешимость нелокальных краевых задач для линейных и нелинейных уравнений нечетного порядка по времени. Рассматривались краевые задачи с постоянным и переменным коэффициентами в краевых условиях для линейных уравнений нечетного порядка по времени (1), краевые задачи с условиями периодичности по времени для уравнения вида (2).
Методы исследования. Для исследования вышеуказанных задач используются метод "є - регуляризации" и метод Галеркииа, функциональный
метод, метод продолжения по параметру, теоремы вложения и теорема Ша-удера.
Научная новизна. В основном ранее нелокальные краевые задачи рассматривались для уравнений первого и второго порядков. Поэтому новизна работы заключается в том, что здесь такие задачи рассматриваются для уравнений более высокого порядка. В работе получены следующие результаты:
установлены существование единственного регулярного решения для нелокальной краевой задачи с постоянным коэффициентом в краевом условии, а в случае с переменным коэффициентом - существование решения в весовом пространстве, для линейного уравнения первого порядка;
аналогичные результаты, за исключением существования единственного регулярного решения, получены в случае линейного уравнения третьего порядка;
доказаны теоремы о существовании слабых и обобщенных решений нелокальных краевых задач с постоянным и переменным коэффициентами в краевых условиях для линейных уравнений высокого порядка по времени с меняющимся направлением времени;
доказана теорема о существовании решения нелокальной краевой задачи с переменным коэффициентом в краевых условиях в весовом пространстве для линейных уравнений высокого порядка по времени с меняющимся направлением времени ;
доказаны теоремы о существовании хотя бы одного решения для краевых задач с условиями периодичности по времени для нелинейных уравнений третьего и высокого порядков по времени.
Все результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты данной работы носят чисто теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития теории краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они показывают применимость методики исследований, разработанной в работах И.Е. Егорова, В.Е. Федорова, А.В. Чуешева и других исследователей, к нелокальным краевым задачам.
В первой главе рассматриваются краевые задачи с постоянным \х и переменными а(х) и j3(x) коэффициентами в нелокальных условиях для уравнений первого и третьего порядков.
В первом пункте главы в цилиндрической области Q = S7x(0,T), St — S х 0,Т), где S^cMn - ограниченная область с гладкой границей 5, рас-
сматривается уравнение
Lu=k(x,t)ut- Аи + С{х)и = f(x,t), (x,t)eQ. (3)
Краевые задачи с постоянным коэффициентом
Задача 1. Найти решение уравнения (3) в области Q, такое, что
u\St = 0, (4)
u\t=o = fJ.u\t=r при к(х, 0) > 0, к(х,Т) > 0, х Є О, (5)
где /і - вещественное число.
Задача 2. Найти решение уравнения (3) в области Q, такое, что
и\3т - 0, (6)
и|(=о = Р«|*=г при к(х, 0) < 0, Аг(ж, Т) < 0, ж Є fi, (7)
где /л - вещественное число.
Используя метод "е-регуляризации" и метод Галеркина, доказаны теорема о существовании единственного регулярного решения для краевых задач (3) - (5), (3), (6) - (7) в пространстве Соболева W2' (Q) при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (3) и на коэффициент /л в краевых условиях.
Краевая задача с переменным коэффициентом. Найти решение уравнения (3) в области Q, такое, что
u\sT = 0, (8)
и(х,0) = а(х)и(х,Т) при fc(aj,0) > 0, k{x,T) > 0, х Є fi, (9)
где а(х) - непрерывная функция в Q.
Применяя метод "е-регуляризации" и метод Галеркина, доказана теорема о
существовании решения краевой задачи (3), (8) - (9) в Hl(Q) П W% (Q), где Hl{Q) — {и u.Ux^y/^Uuy/^utx^yff^u Є Іг2(<3), і = l,n} - гильбертово
га п
пространство с нормой IJuJUf = J[ii2 + Yl и% ~^Фиї + V* 12и1х{ -\-ф{&и)2]<1С2,
Q i=l i=l
и Tp(t) ~t2(T — і)2 есть весовая функция.
В этой главе вторым пунктом рассматривается уравнение третьего порядка
по переменной t вида
Lu= Y^ k(x, t)D\u - Ди + C(x)u = /(я, t). (10)
Краевая задача с постоянным коэффициентом. Найти решение уравнения (10) в области Q, такое, что
u\St = 0, (11)
u\t=0 - «|t=r = 0, (12)
Ut\t=Q =/A«*|t=T, (13)
где fi - вещественное число.
Используя метод "є-регуляризации" и метод Галеркина, доказаны теорема о существовании решения краевой задачи (10)-(13) внутри области Q в пространстве H\{Q) и теорема о существовании решения краевой задачи (10)
- (13) u(x,t) из Hi(Q)C\W2 (Q) ПРИ выполнении определенных условий на
коэффициенты уравнения (11) и на коэффициент (л.
При этом H\{Q) - пространство, полученное замыканием Сь по норме
\\и\\ні = /(u2 + u?4-2u^)^Q» С/, - класс гладких функций, удовлетворяю-
Q г=1
щих условиям (11) - (13), W2 {Q) замыкание множества финитных беско-
нечно дифференцируемых функций по норме ||«||і г = j[u2 -\-u] + Yl uli]dQi
Q i=l
HL{Q)_~ {и : и, щ, uXii у/а{щи у/а^щХо y/^zutiti y/ffluttXii y/al&u L2(Q), г = l,n} - гильбертово пространство с нормой
Q i=l i=l i=l
и aj(t) = tl+i{T — t)1+J', j = 1,4, - весовые функции.
Краевая задача с переменным коэффициентом. Найти решение уравнения (10) в области Q, если выполнены следующие краевые условия:
u\sT = 0, (14)
«|t=o = u\t=T - 0, (15)
щ(х,0) = а(х)щ(х,Т) при - h(x,0) > 0, -&(я,Г)3 > 0, х Є fi, (16)
где а(гс) - непрерывная функция в 1.
Доказаны теоремы о существовании решения краевой задачи (10), (14) - (16)
внутри области Q как в пространстве Hi{Q) с нормой
ІМІЯі = J(u2 + u? + Z) u?,)dQ, так и B Hl{Q) Pi V^2' (О) ПРИ выполнении
Q »=1
определенных условий на коэффициенты уравнения (10) и на коэффициент
а(х).
Во второй главе рассматриваются краевые задачи с теми же коэффициентами в краевых условиях, как и в первой главе, но для уравнения высокого порядка.
Краевая задача с постоянным коэффициентом. Найти решение уравнения (1) в области Q, такое, что
д1и. я . т ,.,_*
^І5г = 0, « = 0,171-1, (17)
Dlu\t=o,t=T = 0, j = Q,s-l, (18)
Dstu\t=0 = /J.Dstu\t=T, (19)
где fi - вещественное число.
С помощью функционального метода и теорем вложения доказаны теоремы
о существовании слабого и обобщенного решений краевой задачи (1), (17) -
(19).
Краевые задачи с переменным коэффициентом
Краевая задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Q, такое, что
dnl\sT = 0, * = 0,m-l, (20)
Djtu\t=n=T = 0, j = 0^=1, (21)
D3tu(x, 0) = a(x)D3tu(x, T), xeS^; (22)
Dstu(x, T) = j3{x)Dstu(x, 0), xSq, (23)
где a(x), P(x) - непрерывные функции в fi,
50± = {{х, 0) : хЄП, -k2s+1(x, 0) ^ 0},
S± = {{x,T) : xeU, -k2s+1(x,T) % 0},
к Sq = S?, Sq = S для всех x из Q.
С помощью функционального метода и теорем вложения доказаны теоремы
о существовании слабого решения в L2(Q) и обобщенного решения в про-
странстве Соболева VF'S(Q) краевой задачи (1), (20) - (23) при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (1) и на коэффициенты а(х), /3(х). Доказательство теорем аналогично доказательству теорем из [29]. Краевая задача 2. Найти решение уравнения (1) в Q, такое, что
q^\st = 0, * = МГ=Ї, (24)
Dlu\t=o,t=T = 0, j = 0,s-l, (25)
Datu\t=o = a{x)Dstu\t=T
при (-l)5fc2s+1(z,0)>0, (-l)ak2a+1{x,T) > 0, xeR (26)
Применяя метод "є-регуляризации" и метод Галеркина, а также используя теоремы вложения [7], доказаны теоремы о существовании решения краевой задачи (1), (24) - (26) внутри области Q как в пространстве #i(Q) с
нормой [|«||Ді = ЩЩи)2 + (D-u)2}dQ, так и в HL(Q) П W^iQh
где HL(Q) = {и : Щи,1^\^ЩЩЩи),^Щ^Мщ y^D^^u Є Lt2(Q), \а\^т, l$Cj^s + 1, 1^г^2з + 1} есть гильбертово пространство с
S+1 . . S+1
нормой \\u\\lL -/{n2+ Е P»2 + E(^"V + E^ Z №{>»? +
Q \а%т j=2 j=l \а\т
2s+l . ri+ii
(T2s+2(Mu)2 + о*(Д l 2 Ju)2}dQ, и aj{t) = i1+^(T - t)l+i - весовые функ-
i=l ции, где j = 1, 2s + 2, при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (1) и на коэффициент а(х).
В третьей главе исследуется разрешимость нелокальных краевых задач с условиями периодичности по времени для нелинейного уравнения вида
Lu=L0u + g(x,t,u) = f(x,t), (27)
L0u = h(x,t), (28)
2s+l
где L0u= ki(x,t)Diu-\-Mu, и / Є 2(Q), Л Є ^(Q),
і=і Ми = (т-l)m Z)(aa^(a;)L>u) + С(#)ад - равномерно эллиптический
оператор в Q.
Краевая задача. Найти в области Q решение нелинейного уравнения (27),
для которого выполняются следующие краевые условия:
д{и
St = 0, i = 0,m-l, (29)
D}u\t=0 = D3tu\t=T, j - 0,2s - 1, (30)
k2s+1D2su\t=0 = k2$+1Dfu\t=T. (31)
Сначала в весовом пространстве Соболева доказывается теорема о существовании и единственности решения краевой задачи (28) - (31). Далее, аналогично работе А.В. Чуешева [102], исследуются свойства нелинейной функции д(х, , и). Из полученных результатов с помощью метода продолжения по параметру, теорем вложения и теоремы Шаудера, как и в [102], доказывается теорема о существовании хотя бы одного решения уравнения (27) с краевыми условиями (29) - (31).
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" профессора И.Е. Егорова (НИИ математики при ЯГУ), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" профессора А.И. Кожанова в 2005 г. (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН),
на конференции "Неклассические уравнения математической физики", посвященной 60-летию профессора В.Н. Врагова (2005 г., г. Новосибирск), на научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" в 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 г.г., на научной конференции молодых ученых и аспирантов, посвященной 45-летию ЯГУ в 2003 г., на IV Международной конференции по математическому моделированию (2004 г., г. Якутск). Работа поддержана грантом №8425 Вневедомственной научной программы "Развитие научного потенциала высшей школы" на 2005 год.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Первая и вторая главы состоят из пунктов и подпунктов, которые нумеруются натуральными числами. Третья глава имеет два пункта. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер пункта, третье - номер формулы в пункте.
Краевые задачи для уравнения III порядка с меняющимся на правлением времени
Начало исследований краевых задач для уравнений такого типа было положено в работах Жеврея [116, 117], опубликованных в 1913-1914 годах. В 20-е - 30-е годы XX века в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа на плоскости. В работах М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, И.Н. Векуа, С. А. Христиановича, С.А. Чаплыгина, Л.Г. Гудер-лея и других была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магнитогидродинамических течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики. Новым этапом в развитии теории краевых задач для неклассических уравнений явились работы Г. Фикеры [99], О.А. Олейник [75], С.А. Терсенова [93, 95]. В их работах были предложены новые подходы и методы построения единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений. В.Н. Враговым [12, 13, 14] и рядом авторов было начато построение общей теории краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа, в частности, для гиперболо-параболических уравнений. Интерес к уравнениям с меняющимся направлением времени высок. Это вызвано, в частности, их приложениями в гидродинамике - изучением движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости. Краевые задачи для линейных неклассических уравнений математической физики рассматривались в работах О.А. Олейник , Г. Фикеры, С.А. Терсенова [92, 93, 94, 95], A.M. Нахушева [73], И.Е. Егорова [25, 26, 27, 121, 122], И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [29], И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, СВ. Попова [30], В.В. Катрахова [37, 38], Н.В. Кислова[40, 41, 42], С.Г. Пяткова [83, 84, 85, 86, 87, 133], СВ. Попова [80, 81, 82, 123, 124, 125], И.М. Петрушко, Е.В. Черных [77], В.Е. Федорова [97], Ф.М. Федорова [98], Х.Х. Ахмедова [3], В.В. Катышева [34], А.И. Кожанова [45, 47], С.Н. Глазатова [17], Н.Л. Абашеевой [1], А.В. Чуешева [100, 101], М.С Боуенди, Г. Гривара [108], К.Д. Пагани [130, 131], К.Д. Пагани, Г. Таленти [132], О. Арены [103] и других авторов.
В работе И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [29], в частности, рассматривается краевая задача для уравнения высокого порядка (1). Краевые условия задаются при і = 0иі = Гв зависимости от знака функции k2S+i(x,t). При выполнении определенных условий на старшие коэффициенты при производных по t и функцию а0(х) с помощью функциональных методов, метода "є-регуляризации"и метода Галеркина были доказаны теоремы о существовании и единственности решения в 1У2т s (Q). Исследованию нелинейных уравнений посвящены работы Н.А. Ларькина, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [58], Т.И. Зеленяка, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [32], Т.И. Зеленяка [33], B.C. Белоносова, Т.И. Зеленяка [5], В.Н. Монахова [69, 70], В.Н. Монахова, СВ. Попова [71, 72], А.Г. Подгаева [78, 79], С.Г. Пяткова, А.Г. Подгаева [88], С.Г. Пяткова [86], М.М. Лаврентьева(мл.) [51, 52, 53, 54], В.Н. Гребенева [21], С.Н. Глазатова [18], Н.Л. Абашеевой [2], А.В. Чуешева [102]. В частности, А.В. Чуешев в [102] исследовал разрешимость локальной краевой задачи для дифференциального уравнения вида где УІ - обыкновенный дифференциальный оператор нечетного порядка по переменной t, а оператор В является равномерно эллиптическим оператором порядка 2т по переменным х, и функция д(х, t, и) есть нелинейное слагаемое уравнения (2).
С помощью метода продолжения по параметру, теорем вложения и теоремы Шаудера была доказана теорема о существовании решения поставленной краевой задачи. Впервые нелокальные краевые условия для получения разрешимых расширений некоторых типов неклассических операторов предложил А. А. Дезин [22, 23]. Также нелокальные краевые задачи для неклассических уравнений в своих работах исследовали В.Н. Врагов [11], С.А. Терсенов [95], И.Е. Егоров [121, 122], С.Г. Пятков [133], А.И. Кожанов [44], Каратопраклиев Г.Д. [35, 36], А.Н. Терехов [91], С.Н. Глазатов [15, 16, 17, 20, 18, 19], СВ. Попов [123], А.А. Керефов [39], А.Г. Кузьмин [49]. Наиболее полная библиография по работам,, посвященным исследованию нелокальных краевых задач, приведена в [118]. Так, в работе А.А. Керефова [39] для уравнения теплопроводности и смешанно-параболического уравнения со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента при производной по времени в односвязной области Q = (ОМ) 0 х 1,0 t Т\1,Т const] и D = {{x,t) : — I х 1,0 і Т} соответственно изучены корректные нелокальные краевые задачи, когда, кроме краевых условий, известен закон, связывающий значения u(x,t) на характеристиках t = 0 и t = Т вышеприведенных уравнений. Доказаны принципы экстремума, гарантирующие единственность решений поставленных нелокальных задач, а методами интегральных уравнений установлено существование решений этих задач. Цель работы. Перед автором диссертации стояла задача исследовать разрешимость нелокальных краевых задач для линейных и нелинейных уравнений нечетного порядка по времени. Рассматривались краевые задачи с постоянным и переменным коэффициентами в краевых условиях для линейных уравнений нечетного порядка по времени (1), краевые задачи с условиями периодичности по времени для уравнения вида (2).
Краевая задача с переменным коэффициентом
Методы исследования. Для исследования вышеуказанных задач используются метод "є - регуляризации" и метод Галеркииа, функциональный метод, метод продолжения по параметру, теоремы вложения и теорема Ша-удера. Научная новизна. В основном ранее нелокальные краевые задачи рассматривались для уравнений первого и второго порядков. Поэтому новизна работы заключается в том, что здесь такие задачи рассматриваются для уравнений более высокого порядка. В работе получены следующие результаты: - установлены существование единственного регулярного решения для нелокальной краевой задачи с постоянным коэффициентом в краевом условии, а в случае с переменным коэффициентом - существование решения в весовом пространстве, для линейного уравнения первого порядка; - аналогичные результаты, за исключением существования единственного регулярного решения, получены в случае линейного уравнения третьего порядка; - доказаны теоремы о существовании слабых и обобщенных решений нелокальных краевых задач с постоянным и переменным коэффициентами в краевых условиях для линейных уравнений высокого порядка по времени с меняющимся направлением времени; - доказана теорема о существовании решения нелокальной краевой задачи с переменным коэффициентом в краевых условиях в весовом пространстве для линейных уравнений высокого порядка по времени с меняющимся направлением времени ; - доказаны теоремы о существовании хотя бы одного решения для краевых задач с условиями периодичности по времени для нелинейных уравнений третьего и высокого порядков по времени.
Все результаты являются новыми. Теоретическая и практическая значимость. Результаты данной работы носят чисто теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития теории краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они показывают применимость методики исследований, разработанной в работах И.Е. Егорова, В.Е. Федорова, А.В. Чуешева и других исследователей, к нелокальным краевым задачам. В первой главе рассматриваются краевые задачи с постоянным \х и переменными а(х) и j3(x) коэффициентами в нелокальных условиях для уравнений первого и третьего порядков.
Краевые задачи с переменным коэффициентом
Используя метод "е-регуляризации" и метод Галеркина, доказаны теорема о существовании единственного регулярного решения для краевых задач (3) - (5), (3), (6) - (7) в пространстве Соболева W2 (Q) при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (3) и на коэффициент /л в краевых условиях. Краевая задача с переменным коэффициентом. Найти решение уравнения (3) в области Q, такое, что где а(х) - непрерывная функция в Q. Применяя метод "е-регуляризации" и метод Галеркина, доказана теорема о существовании решения краевой задачи (3), (8) - (9) в HL(Q) П W% (Q), где HL{Q) — {и Используя метод "є-регуляризации" и метод Галеркина, доказаны теорема о существовании решения краевой задачи (10)-(13) внутри области Q в пространстве H\{Q) и теорема о существовании решения краевой задачи (10) 11 Краевая задача с переменным коэффициентом. Найти решение уравнения (10) в области Q, если выполнены следующие краевые условия: Доказаны теоремы о существовании решения краевой задачи (10), (14) - (16) внутри области Q как в пространстве Hi{Q) с нормой Во второй главе рассматриваются краевые задачи с теми же коэффициентами в краевых условиях, как и в первой главе, но для уравнения высокого порядка. Краевая задача с постоянным коэффициентом. Найти решение уравнения (1) в области Q, такое, где fi - вещественное число.
С помощью функционального метода и теорем вложения доказаны теоремы о существовании слабого и обобщенного решений краевой задачи (1), (17) - (19). Краевые задачи с переменным коэффициентом Краевая задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Q, такое, что С помощью функционального метода и теорем вложения доказаны теоремы о существовании слабого решения в L2(Q) и обобщенного решения в про- о странстве Соболева VF S(Q) краевой задачи (1), (20) - (23) при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (1) и на коэффициенты а(х), /3(х). Доказательство теорем аналогично доказательству теорем из [29]. Краевая задача 2. Найти решение уравнения (1) в Q, такое, что Применяя метод "є-регуляризации" и метод Галеркина, а также используя теоремы вложения [7], доказаны теоремы о существовании решения краевой задачи (1), (24) - (26) внутри области Q как в пространстве #i(Q) с i=l ции, где j = 1, 2s + 2, при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (1) и на коэффициент а(х). В третьей главе исследуется разрешимость нелокальных краевых задач с условиями периодичности по времени для нелинейного уравнения вида
Сначала в весовом пространстве Соболева доказывается теорема о существовании и единственности решения краевой задачи (28) - (31). Далее, аналогично работе А.В. Чуешева [102], исследуются свойства нелинейной функции д(х, , и). Из полученных результатов с помощью метода продолжения по параметру, теорем вложения и теоремы Шаудера, как и в [102], доказывается теорема о существовании хотя бы одного решения уравнения (27) с краевыми условиями (29) - (31). Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" профессора И.Е. Егорова (НИИ математики при ЯГУ), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" профессора А.И. Кожанова в 2005 г. (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН), 9 на конференции "Неклассические уравнения математической физики", посвященной 60-летию профессора В.Н. Врагова (2005 г., г. Новосибирск), на научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" в 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 г.г., на научной конференции молодых ученых и аспирантов, посвященной 45-летию ЯГУ в 2003 г., на IV Международной конференции по математическому моделированию (2004 г., г. Якутск). Работа поддержана грантом №8425 Вневедомственной научной программы "Развитие научного потенциала высшей школы" на 2005 год.
Разрешимость краевой задачи для уравнения высокого порядка
Актуальность темы. Теория нелокальных краевых задач важна сама по себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными и как раздел математики, имеющий многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно-научных дисциплинах. Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях.
Предметом наших исследований являются нелокальные краевые задачи для уравнения ГДЄ Ми = (— l)m Yl Щ(аар{%)&хи) + Oo( )u - сильно зллиптичєский оператор, в цилиндрической области Q — Qx(0,X), S? = S х (0,7і), QcRn - ограниченная область с гладкой границей S. Уравнение (1) является уравнением математической физики неклассического типа нечетного порядка. На знак функции перед старшей производной по времени не сделано никаких предположений, поэтому в класс уравнений вида (1) входят эллиптико - параболические уравнения, уравнения с меняющимся направлением времени [95] и другие уравнения. Начало исследований краевых задач для уравнений такого типа было положено в работах Жеврея [116, 117], опубликованных в 1913-1914 годах. В 20-е - 30-е годы XX века в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа на плоскости. В работах М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, И.Н. Векуа, С. А. Христиановича, С.А. Чаплыгина, Л.Г. Гудер-лея и других была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магнитогидродинамических течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики. Новым этапом в развитии теории краевых задач для неклассических уравнений явились работы Г. Фикеры [99], О.А. Олейник [75], С.А. Терсенова [93, 95]. В их работах были предложены новые подходы и методы построения единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений. В.Н. Враговым [12, 13, 14] и рядом авторов было начато построение общей теории краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа, в частности, для гиперболо-параболических уравнений.
Интерес к уравнениям с меняющимся направлением времени высок. Это вызвано, в частности, их приложениями в гидродинамике - изучением движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости. Краевые задачи для линейных неклассических уравнений математической физики рассматривались в работах О.А. Олейник , Г. Фикеры, С.А. Терсенова [92, 93, 94, 95], A.M. Нахушева [73], И.Е. Егорова [25, 26, 27, 121, 122], И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [29], И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, СВ. Попова [30], В.В. Катрахова [37, 38], Н.В. Кислова[40, 41, 42], С.Г. Пяткова [83, 84, 85, 86, 87, 133], СВ. Попова [80, 81, 82, 123, 124, 125], И.М. Петрушко, Е.В. Черных [77], В.Е. Федорова [97], Ф.М. Федорова [98], Х.Х. Ахмедова [3], В.В. Катышева [34], А.И. Кожанова [45, 47], С.Н. Глазатова [17], Н.Л. Абашеевой [1], А.В. Чуешева [100, 101], М.С Боуенди, Г. Гривара [108], К.Д. Пагани [130, 131], К.Д. Пагани, Г. Таленти [132], О. Арены [103] и других авторов. В работе И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [29], в частности, рассматривается краевая задача для уравнения высокого порядка (1). Краевые условия задаются при і = 0иі = Гв зависимости от знака функции k2S+i(x,t). При выполнении определенных условий на старшие коэффициенты при производных по t и функцию а0(х) с помощью функциональных методов, метода "є-регуляризации"и метода Галеркина были доказаны теоремы о существовании и единственности решения в 1У2т s (Q). Исследованию нелинейных уравнений посвящены работы Н.А. Ларькина, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [58], Т.И. Зеленяка, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [32], Т.И. Зеленяка [33], B.C. Белоносова, Т.И. Зеленяка [5], В.Н. Монахова [69, 70], В.Н. Монахова, СВ. Попова [71, 72], А.Г. Подгаева [78, 79], С.Г. Пяткова, А.Г. Подгаева [88], С.Г. Пяткова [86], М.М. Лаврентьева(мл.) [51, 52, 53, 54], В.Н. Гребенева [21], С.Н. Глазатова [18], Н.Л. Абашеевой [2], А.В. Чуешева [102]. В частности, А.В. Чуешев в [102] исследовал разрешимость локальной краевой задачи для дифференциального уравнения вида где УІ - обыкновенный дифференциальный оператор нечетного порядка по переменной t, а оператор В является равномерно эллиптическим оператором порядка 2т по переменным х, и функция д(х, t, и) есть нелинейное слагаемое уравнения (2).
С помощью метода продолжения по параметру, теорем вложения и теоремы Шаудера была доказана теорема о существовании решения поставленной краевой задачи. Впервые нелокальные краевые условия для получения разрешимых расширений некоторых типов неклассических операторов предложил А. А. Дезин [22, 23]. Также нелокальные краевые задачи для неклассических уравнений в своих работах исследовали В.Н. Врагов [11], С.А. Терсенов [95], И.Е. Егоров [121, 122], С.Г. Пятков [133], А.И. Кожанов [44], Каратопраклиев Г.Д. [35, 36], А.Н. Терехов [91], С.Н. Глазатов [15, 16, 17, 20, 18, 19], СВ. Попов [123], А.А. Керефов [39], А.Г. Кузьмин [49]. Наиболее полная библиография по работам,, посвященным исследованию нелокальных краевых задач, приведена в [118]. Так, в работе А.А. Керефова [39] для уравнения теплопроводности и смешанно-параболического уравнения со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента при производной по времени в односвязной области Q = (ОМ) 0 х 1,0 t Т\1,Т const] и D = {{x,t) : — I х 1,0 і Т} соответственно изучены корректные нелокальные краевые задачи, когда, кроме краевых условий, известен закон, связывающий значения u(x,t) на характеристиках t = 0 и t = Т вышеприведенных уравнений. Доказаны принципы экстремума, гарантирующие единственность решений поставленных нелокальных задач, а методами интегральных уравнений установлено существование решений этих задач. Цель работы. Перед автором диссертации стояла задача исследовать разрешимость нелокальных краевых задач для линейных и нелинейных уравнений нечетного порядка по времени. Рассматривались краевые задачи с постоянным и переменным коэффициентами в краевых условиях для линейных уравнений нечетного порядка по времени (1), краевые задачи с условиями периодичности по времени для уравнения вида (2).
