Введение к работе
Актуальность теш. Нелокальные задачи, альтернативные задаче Коши, стали предметом изучения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений давно. К ним относятся прежде всего периодические, многоточечные и краевые задачи.
Исследование нелокальных по времени задач в теории эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными было начато сравнительно недавно. Систематическому рассмотрению линейных нелокальных задач посвящены монографии Р.Латтеса, К.-Л. Лионса (1970), А.А.Дезина (1980), Б.И.Птаганика (1984).
Современные проблемы гидродинамики породили потребность в изучении нелокальных по времени задач и для систем нелинейных эволюционных уравнений с частными производішми. Так, в задачах долгосрочного прогноза и температурных аномалий океана, а также в задачах распространения радионуклидов зозникает необходимость задавать в качестве исходных не начальные, а средние по времени данные для прогнозируемых величин. Проблема перемешивания и другие вопросы турбулентности приводят к постановке таких задач, когда считаются заданными положения частиц жидкости в начальный и конечный моменты времени.
Различные математические аспекты теории уравнений океанологии и близких к ним уравнений метеорологии были разработаны в работах Г.В.Демидова, Г.И.Марчука, Л.В.Овсянникова, В.П.Кочергина, А.А.Кордзадзе, М.А.Бубнова, А.В.Кажихова, Ю.Я.Белова, В.Ф.Рапуты, В.И.Сухоносова, В.М.Тешукова. Как правило, все указанные работы посвящены начально-краевым задачам. Постановка новых нелокальных по времени задач для уравнений океанологии требует создания новых подходов в исследовании этих уравнений. Сказанное остается справедливым и для уравнений Навье-Стокса, современная теория которых сформирована работами О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Ж.-Л.Лионса и др.
Математическое моделирование радиоэкологических процессов - новое формирующееся научное направление, которое развивается параллельно с совершенствованием средств
экологического контроля. Разработки в области измерения приращения мощности дозы облучения (пропорциональной суммарной по времени концентрации радионуклидов) делают актуальной проблему обоснования нелокальных по времени постановок задач для нелинейных параболических систем и, в частности, для моделей радиационного прогноза с недиагональной матрицей дисперсии.
Вариационные методы, позволяющие свести задачу интегрирования дифференциальных уравнений к эквивалентной вариационной задаче, известны давно, начиная с работы Д.Гильберта "О принципа Дирихле". Развитие вычислительной техники, возможности автоматизации вариационных методов, делают актуальными вопросы дальнейшего их совершенствования и конструктивного распространения на новые классы уравнений.
Принцип Дирихле в основном получил распространение на линейные уравнения в гильбертовом пространстве для симметричных и положительных операторов. В работах А.Е.Мартынюка, В.В.Петришина, В.М.Шалова этот принцип был распространен на несимметричные и неположительные в обычном смысле операторы, но которые обладают все же -этими свойствами относительно некоторого другого вспомогательного оператора.
Для ряда задач математической физики такие вспомогательные симметризующие операторы удалось построить А.Е.Мартынюку, В.М.Шалову, Ж.-Л.Лионеу, В.М.Филиппову, А.Н.Скороходову, В.П.Диденко.
Первые результаты в области конструирования нелокальных вариационных принципов для параболических уравнений были получены В.М.Филипповым и А.Н.Скороходовым (1977). Ими были опиоани Никоторые началыю-краевыо задачи для уравнения теплопроводности, допускающие вариационную постановку. Следующий естественный шаг состоит в развитии этих результатов на случай более общих уравнений и систем, краевых условий, в том числе и на случай нелокальных по времени задач для линеаризованных эволюционных уравнений гидродинамики.
Другой нелокальной задачей, рассматриваемой в данной диссертации, является задача с закрепленными концами для
частиц сжимаемой жидкости, лежащая в осново фрактального подхода к турбулентности, который развит в работах А.Н.Колмогорова и др. В случав идеальной сжимаемой жидкости такая задача привлекает механиков еще по одной причине: как показано в монографии Д.Серрпна (1963), она является одним из немногих примеров эволюционных задач механики жидкости, допускающих вариационную формулировку. Возникающая при этом задача минимизации, несмотря на свою известность, так и не стала пока предметом сколь-нибудь глубокого анализа. Цель работы:
- обоснование постановок задач со средними по времени
данными для эволюционных систем уравнения гидродинамики типа
Навье-Стокса;
развитие вариационного метода решения задач со средними по времени данными для линейных эволюционных уравнений типа линеаризованной системы Навье-Стокса;
исследование вопросов разрешимости в задачах с закрепленными концами для частиц сжимаемой жидкости.
Методика исследования. Задача с начальными данными для параболических уравнений и для систем, сводимых к абстрактним параболическим уравнениям, формально является частіш..і случаем задачи со средними по времени данными при подходящем способе осреднения. Поэтому для исследования нелокальных задач были использованы приемы и методы, разработанные для задач с начальными данными, разрешимых в целом по времени. Здесь прежде всего следует выделить монографии О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой (1967), В.С.Белоносова, Т.И.Зеленяка (1975), В.И.Юдовича (1984), Д.Хенри (1985).
При анализе гидродинамических систем применялся математический аппарат, развитый в работах О.А.Ладыженской, Ж.-Л.Лионса, А.В.Кажнхова, С.Н.Анто?щева, В.Н.Монахова.
Решение вариационных задач основано на идеях и понятиях, сформулированных в работах Л.Янга, К.Фридрихса, В.М.Филиппова.
Научная новизна. Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:
1. Описаны некоторые классы нелинейных эволюционных
уравнений, для которых задача со средними по времени дашшми
разрешима в случае усреднения по конечному числу моментов
времени. Для этого введены достаточные условия на параметры
усреднения, гарантирующие существование решений, а для
монотонных опораторов - и единственность. Доказана
применимость этих результатов к известным типам нелинейных
параболических уравнений и для уравнений Навье-Стокса.
2. Выделен класс линейных уравнений, для которого
теоремы существования справедливы и в случае интегрального
усреднения. Показано, что под действие этих теорем подпадают
линейные автономные параболические уравнения и
линеаризованная система Навье-Стокса.
-
Сформулированы условия разрешимости и единственности в задаче с дискретным усреднением для уравнений Навье-Стокса в случае усреднения, неоднородного по пространственным переменным.
-
Для уравнений динамики баротропного и бароклинного океанов доказаны теоремы однозначной разрешимости в задаче о температурных аномалиях, допускающей нелокальную формулировку. ,
5. Получены условия обобщенной разрешимости системы
уравнений, описывающей рапространение радионуклидов потоком
стоксовой жидкости на основе средних по времени данных.
6. Найден класс линейных абстрактных параболических
уравнений, для которого задачи со средними по времени
дашшми допускают вариационную формулировку, аналогичную
принципу Дирихле для уравнения Лапласа. S качестве примеров
рассмотрены линеаризованная система Навье-Стокса и линейные
параболические уравнения.
-
Введено понятие обобщенного решения "и доказана теорема его существования в вариационной задаче с закреплёнными концами для частиц идеальной сжимаемой жидкости.
-
Доказана разрешимость в классе сильных решений задачи с закрепленными концами для уравнений Бюргерса одномерного движения вязкого газа.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты относятся как к давно поставленным проблемам (формулировка вариационного принципа для линейных параболических уравнений), так и к недавно возникшим задачам (обоснование постановок нелокальных по времени задач для эволюционных нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными). Решение принципиальных вопросов в постановке нелокальных по времени задач для эволюционных уравнений океанологии и радиоэкологии создает основу для разработки численных методов решения таких задач.
' Конструирование вариационных принципов в нелокальных по времени задачах для эволюционных уравнений дает возможность применения прямых вариационных методов их решения. Важным свойством предлагаемых вариационных методов является то, что минимизируемые функционалы не содержат старших производных исходных уравнений, что повышает устойчивость численных методов по сравнению с смычным методом наименьших квадратов .
Значение результатов, касающихся задач с закрепленными концами, обусловлено тесной связью таких задач с проблемами перемешивания и управляемости жидких потоков.
'пробация работы. Результаты диссертации докладывались
на семинарах_: ....._.
Института гидродинамики СО РАН (рук. - академик Л.В.Овсянников), Института математики СО РАН ( рук.- профессор Т.И.Зеленяк, рук.- профессор В.Н.Врагов), Новосибирского госуниверситета ( рук. - член-корреспондент РАН В.Н. Монахов, рук.- профессор А.М.Елохин), Математического института им. В.Л.Стеклова РАН (рук.- профессор В.П.Михайлов), Вычислительного центра СО РАН (рук.- профессор В.В.Пененко), Московского госуниверситета (рук.- академик О.А.Олейник ), Московского энергетического института (рук.- профессор Ю.А.Дубинский ) а также на конференциях:
Республиканская конференция "Нелинейные задачи математической физики" (Донецк, 1937), Всесоюзная школа -семинар по качественной теории дифференциальных уравнений
гидродинамики {Кемерово, 1986; Барнаул, 1989; Красноярск,
1992), Всесоюзная конференция "Математические методы в
механике" (Новосибирск, 1989), Третья Всесоюзная школа -
семинар "Методы гидрофизических исследований" (Светлогорск,
19ВВ), Совместные заседания семинара им. И.Г.Петровского и
Московского математического общества (Москва, 1990),
Всесоюзная конференция "Методи математического
моделирования в задачах охраны окружащей среды (Новосибирск, 1991), Международная конференция "Дифференциальные уравнения с частными производными и механика сплошных сред" (Италия, Тренто, 1991), Советско-японский семинар "Обратные задачи математической физики" (Новосибирск, 199І), Всесоюзная конференция "Условно-корректные задачи математической физики її анализа" (Новосибирск; І932), Первая Всесибирская конференций "Математические проблемы экологии" (Новосибирск,
1992J.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 работах.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы-. Текст разбит на 14 параграфов, некоторые параграфы - на пункты. Нумерация ТеореМ, лемм, рледствпй и формул ведется отдельно ё каждом параграфо. При ссылке на утверждение или формулу из другого параграфа используется двойная нумерация. Так, запись (7.3) Означает формулу(3)из 7. Общий объем диссертации 854 страницы, библиография - 130 наименований.
