Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка краевых задач. Основные сведения 12
1.1 Постановка краевых задач 12
1.2 Функциональные пространства 15
2 Разрешимость краевых задач для уравнений МГД вязкой жидкости со смешанными граничными условиями 25
2.1 Разрешимость красной задачи с однородными смешанными красными условиями для скорости 25
2.1.1 Определение слабого решения задачи la
2.1.2 Единственность слабого решения задачи 1а 29
2.1.3 Доказательство глобальной разрешимости 30
2.2 Анализ линейной краевой задачи МГД 33
2.3 Разрешимость неоднородной краевой задачи 36
2.3.1 Определение слабого решения задачи 1 37
2.3.2 Доказательство глобальной разрешимости 38
2.4 Уравнения МГД с альтернативными граничными условиями . 43
3 Исследование задач управления для стационарных уравнений МГД пязкой жидкости 53
3.1 Постановки и разрешимость задач управления 53
3.1.1 Поетапопка и разрешимость задачи уиранлепия и общем случае 53
3.2 Вы иод и анализ системы оптимальности 57
3.2.1 Множителей Лаграпжа 58
3.2.2 Вьшоддифферснциальных уравнений и граничных условий для множителей Лагранжа
3.3 Единственность решения экстремальной задачи
3.3.1 Положительность множителя Лагранжа Ад
3.3.2 Единственность решения экстремальной задачи для функционала 67
3.3.3 Единственность решения экстремальной задачи для функционала 74
3.4 Экстремальная задача для системы Навье - Стокса 80
Заключение 85
- Разрешимость красной задачи с однородными смешанными красными условиями для скорости
- Доказательство глобальной разрешимости
- Уравнения МГД с альтернативными граничными условиями
- Единственность решения экстремальной задачи для функционала
Введение к работе
Магнитная гидродинамика (МГД) представляет собой теорию макроскопического взаимодействия электрически проводящих жидкостей и электромагнитных полей. Она имеет важные приложения в астрономии и геофизике, а также в таких инженерных областях как управляемый термоядерный синтез, охлаждение ядерных реакторов жидкими металлами, электромагнитное литье металлов, МГД - генераторы и МГД - ионные двигатели.
Хорошо известно [1-5], что течение вязкой проводящей несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса для скорости и давления и уравнениями Максвелла без токов смещения для электромагнитного поля. Указанные уравнения связаны между собой через силу Лоренца и обобщенный закон Ома для движущейся жидкости. Однако, если уравнения Навье-Стокса следует рассматривать лишь в области Q, занятой жидкостью, то уравнения Максвелла нужно рассматривать как в области Q, так и в ее внешности Qe — R3\U, При этом электромагнитное поле должно удовлетворять уравнениям магнитной гидродинамики (вместе со скоростью и давлением) в Q, уравнениям Максвелла в Q.c и определенным условиям сопряжения на границе Г области Q. Подчеркнем, что указанный эффект, связанный с необходимостью рассмотрения уравнений Максвелла всюду в пространстве R3, существенно отличает задачи МГД от задач гидродинамики и серьезно осложняет их теоретическое исследование. Именно по этой причине большинство работ по исследованию уравнений МГД было посвящено изучению ситуаций, когда внешнее электромагнитное поле не является существенным, так что им можно пренебречь, либо свести его действие к соответствующим неоднородным
краевым условиям для электромагнитного ноля па границе области течения. Самым популярным примером такой ситуации является случай, когда граница Г области Q является идеально проводящей. Действительно, к этом случае в силу физических законов поведения электромагнитного ноля {см.. например, |Gj, J7] на идеально-проводящей границе необходимо обращаются в нуль нормальная компонента магнитного ноля и тангенциальная компонента электрического поля. Исследованию данного класса задач МГД (при выполнении условия прилипания для скорости) были направлены усилия математиков в 60-е и 70-е годы прошлого столетия. Одной из первых работ в этом направлении явилась фундаментальная работа О.А. Ладыженской и В.А. Со-лонникова [9] (см, также их краткую заметку [8]). В этой работе детально исследованы три начально-краевые задачи для нестационарных уравнений МГД: упомянутая выше задача о течении жидкости в ограниченной области с идеально проводящей непроницаемой границей, задача о течении проводящей жидкости в области Q и протекании электрического тока и токонесущем твердом проводнике О' при условии, что Q. и О.' находятся в более широкой области, заполненной идеальным изолятором и ограниченной извне идеально проводящими стенками, и, наконец, задача исследования течения жидкости в ограниченной области, окруженной идеальным изолятором бесконечной протяженности. Основной вклад работы [9] состоит в том, что результаты о разрешимости указанных трех задач аналогичны соответствующим результатам о разрешимости начально-краевых задач для нестационарных уравнений Навье-Стокса. Аналогичные результаты были получены В.А. Солонниковым в [10] для стационарных уравнений МГД, рассматриваемых при соответствующих однородных краевых условиях.
После выхода статей [8]-[10] был опубликован еще ряд статей о разрешимости краевых и начально-краевых задач для уравнений МГД (отметим среди них в хронологическом порядке работы [П]-[СЗ]). В преобладающем большинстве этих работ уравнения МГД рассматривались при однородных
красных условиях. Отмстим среди них статьи G. Duvaut к Л.-L. Lions J22], Ш. Сахаева и В.А. Солонникова [23], О.А. Ладыженской и В.А. Солонникова [26], монографию Г.Г. Браноиера и А.Б. Цинобера [21J, статі>и М. Serinuiigc к R. Tcmam [31], Z. Yoshida к Y. Giga [32]. Ряд работ был посвящен исследованию начально-краевых задач для модернизированных уравнений МГД. Отмстим среди них статьи Л.И. Ступилиса [24],[28],[29], Y. Giga к Z. Yoshida [34], D. Ebcl к M.a Shen [35], [ЗО], В.Л. Поспелова [39], В.Н. Самохина [41], М. Spada к Н. Wobig [47] и G. Strohmer [48]. В последней работе было введен альтернативный класс граничных условий для электромагнитного поля, вполне правдоподобный в физическом плане.
Еще один альтернативный способ задания краевых условий, более удобный в математическом плане, хотя и менее физичный, состоит в задании условий Дирихле как для магнитного поля, так и для скорости. Задачи с условиями Дирихле для скорости и магнитного поля изучались в работах R.H. Dyer к D.E. Edmuns [12], J. Forste [15],[16], G. Lassner [17], СВ. Чижонкова [33] и ряде других. Однако следует отмстить, что задача Дирихле для уравнений МГД обладает существенным недостатком. Он заключается в том, что решение задачи Дирихле не удовлетворяет, вообще говоря, исходным уравнениям МГД, как было показано в [17], хотя и удовлетворяет другим уравнениям, получаемым путем использования определенной модификации закона Ома.
Мы также отметим, что ряд работ посвящен исследованию задач, которые выше были названы задачами сопряжения. Среди работ в этом направлении отмстим, наряду с первыми пионерскими работами [8]-[10], статьи R.H. Dyer к D.E. Edmunds [11], D.E. Edmunds [13], E. Sanchez-Palencia [18], [19], а также цикл работ A.J. Meir к P.G. Schmidt [51], [58], [62]. В последнем цикле работ авторы рассматривают модельные задачи сопряжения, заключающиеся в нахождении движения проводящей жидкости в ограниченной области пространства, окруженной вакуумом или безграничным идеальным твердым диэлектриком. Подчеркнем, что в отличие от развиваемых ранее подходов к
исследованию уравнений МГД, в которых происходит исключение давления и электрического поля, авторы развивают альтернативный вариант исследования рассматриваемых краевых задач для уравнении МГД. Он основан на исключении магнитного поля и использовании в качестве искомых величии скорости и плотности электрического тока, а также использовании давления и электростатического потенциала в качестве множителей Лаграпжа, отвечающих условиям солоноидальности скорости и плотности электрического тока. Отметим, что разрешимость краевых задач в этих статьях доказана лишь при условии малости функций, стоящих в правых частях рассматриваемых граничных условий.
Отметим еще раз, что во многих цитируемых выше работах начально-краевые задачи для уравнений МГД рассматривались при однородных краевых условиях. Именно в случае однородных краевых условий авторам удалось получить результаты, близкие к результатам для уравнений Навьс-Стокса и в, частности, доказать теоремы глобальной разрешимости в трехмерном стационарном случае. Однако, когда исследователи обратились к изучению соответствующих неоднородных краевых задач для уравнений МГД, то оказалось, что не вес результаты, полученные при исследовании неоднородных краевых задач для уравнений Навье-Стокса, удается перенести для уравнений МГД. В частности, не удалось доказать глобальной разрешимости неоднородных краевых задач для стационарных уравнении МГД. Это объясняется тем, что в силу специфики уравнений МГД не удается построить соответствующего аналога известной в гидродинамике леммы Хопфа. Поэтому в работах, посвященных исследованию неоднородных краевых задач для стационарных уравнений МГД, существование решения, как правило, доказывается "в малом", т.е. при определенных условиях малости исходных данных (см., например, уже цитированные работы [49], [51], [58], [С2], а также статью M.D. Gunzburgcr и др. [42]). Недавно и работе Г.В. Алексеева [64] была доказана глобальная разрешимость краевой задачи для стационарных уравнений
МГД в случае, когда граничный вектор, входящий и неоднородное; условие Дирихле дли скорости, является тангенциальным. Следует также отметить, что в недавно вышедшей статье М. Wicdmer [Gl] была сформулирована и докачана теорема глобальной разрешимости неоднородной краевой задачи, локальная разрешимость которой была установлена в [42], однако приведенное її [61] доказательство содержит пробелы.
В некоторых ситуациях более точной в физическом плане является та постановка, в которой на границе или некоторой се части задается тангенциальная компонента скорости вместе с полным напором, либо нормальная компонента скорости и тангенциальная компонента вихря скорости, либо некоторая компонента тензора напряжения и т.д. Соответствующие граничные условия принято называть смешаиыми граиичнъши условиями.
Разрешимость смешанных краевых задач исследовалась и работах В.А. Солонникова [6G\, О. Pironncau и др. [67], [68], А.А. Илларионова и АЛО. Чеботарева [69] - [71] для уравнений Навье - Стокса, в работах Г.В. Алексеева, А,Б. Смышляева и Д.А. Терешко [72] - [80] для уравнений тепловой конвекции и в статье А.Л. МеІг [49] для уравнений МГД.
Наряду с прямыми краевыми задачами важную роль в ряде прикладных областей магнитной гидродинамики играют задачи управления для уравнений МГД. К ним относятся управляемый термоядерный синтез, моделирование систем охлаждения ядерных реакторов, создание новых подводных двигателей, разработка МГД - генераторов. Разработке методов и алгоритмов решения указанных задач посвящено большое количество работ. В гораздо меньшей степени изучены теоретические вопросы, связанные с анализом разрешимости и других качественных свойств решений задач управления. Среди работ этого плана отметим работы [64], [65], посвященные исследованию разрешимости задач управления для стационарных уравнений МГД, рассматриваемых при условии Дирихле для скорости и стандартных краевых условиях для электромагнитного поля на границе области течения.
Отмстим также работы J.-L. Lions [81], F. Abergel и R. Temam [82], М. Gunz-burgcr, L.S. Hon, T.P. Svobodny [83] - [8G], A.B. Фурсикова и О.Ю. Эмануилова [87] - [90] АЛО. Чеботарева [91], [92], Г.В. Алексеева и В.В. Малыкина [93], F. Abergel и Е. Casas [94], М. Dcsai, К. Ito [95], Е. Casas [96]\ Г.В. Алексеева [97] - [99], Г.В. Алексеева и Э.А. Адомавичюса [102] - [104], К. Ito и S.S. Ravindran [105], А.А. Илларионова [10G], посвященные исследованию задач управления, возникающих в гидродинамике, тепловой конвекции и массопереиосе.
Настоящая работа преследует двоякую цель. Во-первых, в диссертации будет доказана глобальная разрешимость неоднородной краевой задачи для уравнений магнитной гидродинамики при неоднородных краевых условиях для электромагнитного поля и однородных либо неоднородных смешанных граничных условиях для скорости при некоторых дополнительных условиях на исходные данные, не имеющих смысла условия малости. Основным условием является равенство нулю нормальной компоненты граничного вектора, входящего в неоднородное краевое условие для скорости. При выполнении этого условия можно воспользоваться доказанным в работе [77] аналогом леммы Хопфа. Используя указанный результат, мы докажем теорему глобальной разрешимости рассматриваемой краевой задачи и выведем априорные оценки решения в виде функций, непрерывно зависящих от норм исходных данных.
Во-вторых, в диссертации будут сформулированы задачи управления для рассматриваемой модели магнитной гидродинамики и проведено их детальное теоретическое исследование.
По своей структуре диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 122 наименований.
В первом разделе первой главы приведен вывод уравнений МГД вязкой несжимаемой жидкости и сформулирована основная краевая задача. Во втором разделе приведены основные предположения на область течения жидкости Г2 и се границу Г, ведены основные функциональные пространства, определены билинейные и трилинейные формы, приведены их свойства, ис-
иольчуемыо для записи слабой формулировки исходном краевой задачи.
Предполагается, что Q - ограниченная область пространства К , d = 2,3 с липшицеиой границей Г, состоящей из трех частей Г[, Гг и Гз. Основная краевая задача, рассматриваемая и диссертации, записывается п следующем ииде:
i/rotrotu + rotu xu + Vr- /JxotH x II = f, divn = 0 п П, (1)
ymrotH — E + /zH x u = I'm Jo > divH = 0, rotE ~ 0, um ~ — и П, (2)
u = g на Гі, u x її = g x n и r = g на Г2, rotu x n = h, u n = 0 па Гз,
H-n = (j, Ехп = кнаГ. (3)
Здесь u,H, E ~ скорость, напряженность магнитного поля, напряженность электрического поля, f и Jo - заданные вектор-функции, имеющие смысл плотностей внешних гидродинамических источников и сторонних токои, г = р+\ |и|2 - напор, где р - давление, и - коэффициент вязкости, а - проводимость среды, fi - магнитная постоянная, g, k, h, q, д - заданные на Г либо на Г2 или Гз функции, п - единичный псктор но])мали к Г. Ниже на задачу (1) - (3) будем ссылаться как на задачу 1.
Вторая глава посвящена исследованию разрешимости рассматриваемых и диссертации прямых краевых задач. В разделе 1 исследуется разрешимость красной задачи для системы (1) - (2) при следующих граничных условиях:
и = 0 на Гі, ихп = 0иг = <7 на Г2, rotu х п = h, и п — 0 на Гз,
Н n = )
На задачу (1),(2), (4) будем ссылаться как на задачу 1а.
Сформулированы основные предположения на заданные функции. Доказаны существование слабого решения задачи 1а "в целом" и единственность при условии малости на исходные данные. Получены априорные оценки решения от норм исходных данных, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи принадлежат ограниченным множествам.
В разделе 2.2 рассматривается линейный аналог задачи 1а. Доказывается теорема об изоморфизме линейного оператора, отвечающего линейному аналогу задачи 1а. Этот результат существенно используется при исследовании задач управления и позволяет с использованием предыдущих результатов получить априорную оценку для напора г.
В разделе 2.3 доказана глобальная разрешимость задачи 1, при некоторых дополнительных условиях на граничную функцию g, не имеющих смысла малости. Кроме того, доказана единственность решения задачи 1 "в малом" и выведены априорные оценки решения. В разделе 2.4 полученные выше результаты распространены на альтернативную краевую задачу для уравнений МГД, отвечающую заданию тангенциальной компоненты для магнитного поля.
В третьей главе формулируются задачи управления для системы (1), (2) уравнений МГД, рассматриваемой при однородных краевых условиях на скорость, и проводится их качественный анализ. В разделе 3.1 доказаны теоремы разрешимости указанных задач управления. В разделе 3.2 обосновано применение принципа неопределенных множителей Лагранжа, выведены системы оптимальности в общем случае и для конкретных функционалов качества. В разделе 3.3 получены условия регулярности множителей Лагранжа и установлены достаточные условия единствспиости решения задачи управления для конкретного функционала качества. В разделе 3.4 как частный случай рассматриваются задачи управления для стационарных уравнений Навьс -Стокса,
Отметим также, что основные результаты диссертации опубликованы в статьях [107] - [Ш].
*
Разрешимость красной задачи с однородными смешанными красными условиями для скорости
Магнитная гидродинамика (МГД) представляет собой теорию макроскопического взаимодействия электрически проводящих жидкостей и электромагнитных полей. Она имеет важные приложения в астрономии и геофизике, а также в таких инженерных областях как управляемый термоядерный синтез, охлаждение ядерных реакторов жидкими металлами, электромагнитное литье металлов, МГД - генераторы и МГД - ионные двигатели.
Хорошо известно [1-5], что течение вязкой проводящей несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса для скорости и давления и уравнениями Максвелла без токов смещения для электромагнитного поля. Указанные уравнения связаны между собой через силу Лоренца и обобщенный закон Ома для движущейся жидкости. Однако, если уравнения Навье-Стокса следует рассматривать лишь в области Q, занятой жидкостью, то уравнения Максвелла нужно рассматривать как в области Q, так и в ее внешности Qe — R3\U, При этом электромагнитное поле должно удовлетворять уравнениям магнитной гидродинамики (вместе со скоростью и давлением) в Q, уравнениям Максвелла в Q.c и определенным условиям сопряжения на границе Г области Q. Подчеркнем, что указанный эффект, связанный с необходимостью рассмотрения уравнений Максвелла всюду в пространстве R3, существенно отличает задачи МГД от задач гидродинамики и серьезно осложняет их теоретическое исследование. Именно по этой причине большинство работ по исследованию уравнений МГД было посвящено изучению ситуаций, когда внешнее электромагнитное поле не является существенным, так что им можно пренебречь, либо свести его действие к соответствующим неоднородным краевым условиям для электромагнитного ноля па границе области течения. Самым популярным примером такой ситуации является случай, когда граница Г области Q является идеально проводящей. Действительно, к этом случае в силу физических законов поведения электромагнитного ноля {см.. например, Gj, J7] на идеально-проводящей границе необходимо обращаются в нуль нормальная компонента магнитного ноля и тангенциальная компонента электрического поля. Исследованию данного класса задач МГД (при выполнении условия прилипания для скорости) были направлены усилия математиков в 60-е и 70-е годы прошлого столетия. Одной из первых работ в этом направлении явилась фундаментальная работа О.А. Ладыженской и В.А. Со-лонникова [9] (см, также их краткую заметку [8]). В этой работе детально исследованы три начально-краевые задачи для нестационарных уравнений МГД: упомянутая выше задача о течении жидкости в ограниченной области с идеально проводящей непроницаемой границей, задача о течении проводящей жидкости в области Q и протекании электрического тока и токонесущем твердом проводнике О при условии, что Q. и О. находятся в более широкой области, заполненной идеальным изолятором и ограниченной извне идеально проводящими стенками, и, наконец, задача исследования течения жидкости в ограниченной области, окруженной идеальным изолятором бесконечной протяженности. Основной вклад работы [9] состоит в том, что результаты о разрешимости указанных трех задач аналогичны соответствующим результатам о разрешимости начально-краевых задач для нестационарных уравнений Навье-Стокса. Аналогичные результаты были получены В.А. Солонниковым в [10] для стационарных уравнений МГД, рассматриваемых при соответствующих однородных краевых условиях.
После выхода статей [8]-[10] был опубликован еще ряд статей о разрешимости краевых и начально-краевых задач для уравнений МГД (отметим среди них в хронологическом порядке работы [П]-[СЗ]). В преобладающем большинстве этих работ уравнения МГД рассматривались при однородных красных условиях. Отмстим среди них статьи G. Duvaut к Л.-L. Lions J22], Ш. Сахаева и В.А. Солонникова [23], О.А. Ладыженской и В.А. Солонникова [26], монографию Г.Г. Браноиера и А.Б. Цинобера [21J, статі и М. Serinuiigc к R. Tcmam [31], Z. Yoshida к Y. Giga [32]. Ряд работ был посвящен исследованию начально-краевых задач для модернизированных уравнений МГД. Отмстим среди них статьи Л.И. Ступилиса [24],[28],[29], Y. Giga к Z. Yoshida [34], D. Ebcl к M.a Shen [35], [ЗО], В.Л. Поспелова [39], В.Н. Самохина [41], М. Spada к Н. Wobig [47] и G. Strohmer [48]. В последней работе было введен альтернативный класс граничных условий для электромагнитного поля, вполне правдоподобный в физическом плане.
Еще один альтернативный способ задания краевых условий, более удобный в математическом плане, хотя и менее физичный, состоит в задании условий Дирихле как для магнитного поля, так и для скорости. Задачи с условиями Дирихле для скорости и магнитного поля изучались в работах R.H. Dyer к D.E. Edmuns [12], J. Forste [15],[16], G. Lassner [17], СВ. Чижонкова [33] и ряде других. Однако следует отмстить, что задача Дирихле для уравнений МГД обладает существенным недостатком. Он заключается в том, что решение задачи Дирихле не удовлетворяет, вообще говоря, исходным уравнениям МГД, как было показано в [17], хотя и удовлетворяет другим уравнениям, получаемым путем использования определенной модификации закона Ома.
Мы также отметим, что ряд работ посвящен исследованию задач, которые выше были названы задачами сопряжения. Среди работ в этом направлении отмстим, наряду с первыми пионерскими работами [8]-[10], статьи R.H. Dyer к D.E. Edmunds [11], D.E. Edmunds [13], E. Sanchez-Palencia [18], [19], а также цикл работ A.J. Meir к P.G. Schmidt [51], [58], [62]. В последнем цикле работ авторы рассматривают модельные задачи сопряжения, заключающиеся в нахождении движения проводящей жидкости в ограниченной области пространства, окруженной вакуумом или безграничным идеальным твердым диэлектриком. Подчеркнем, что в отличие от развиваемых ранее подходов к исследованию уравнений МГД, в которых происходит исключение давления и электрического поля, авторы развивают альтернативный вариант исследования рассматриваемых краевых задач для уравнении МГД. Он основан на исключении магнитного поля и использовании в качестве искомых величии скорости и плотности электрического тока, а также использовании давления и электростатического потенциала в качестве множителей Лаграпжа, отвечающих условиям солоноидальности скорости и плотности электрического тока. Отметим, что разрешимость краевых задач в этих статьях доказана лишь при условии малости функций, стоящих в правых частях рассматриваемых граничных условий.
Доказательство глобальной разрешимости
Ясно, что форма a + au д в (2.32) непрерывна на Лот х -Йог и коэрцитивна на VQT С константой А , ибо au H((V 0 (v 0) = на 0 - Поэтому оператор Л непрерывен и коэрцитивен па Vor причем в силу (1.1G), (1.18) \\Л(й,Щ\и-т M2(u,H)i, М2 = Cgi/+C m+7iui + 2Ai7ilHi. (2-35) а задача (2-34) имеет для любого элемента Fi Є Щт единственное решение (й,Н) 6 VQT, И справедлива оценка (j(u,H)ji (1/А )і! ія т- Кроме того, заметим, что форма 6 : Дог х L2(Q) — Е, определенная соотношением (2.31), удовлетворяет mf-sup условию с константой /3. В таком случае из утверждения 2 теоремы 1.1, примененной к задаче (2.32) (при Ar = HQ( ) х Vy, a = a, b b, I — Fj), следует, что лишенный оператор Ф Є ЦНаг х &{П)\ЩТ х L2{Q)), где является изоморфизмом. Отсюда, в частности, вытекает, что задача (2.32) имеет для любого элемента Fi є Щт единственное решение ((й,Н),г) є Нот х L2(Q), и выполняются следующие оценки: Вернувшись к исходной задаче (2.28)-(2.30), приходим к следующему резуль-тату. ЛЕММА 2.3. При выполнении условий (i), (ii), (vi) для любой четверки (f,l,?,x) Є H-1(fi) х V x H1/2{V) X L2{Q) задача (2.28)-(2.30) имеет единственное решение (u,H,r) Є HQ(Q) X Н (Г) X L2(Q.)} причем для пего выполняются оценки Здесь константы М\ и Mi определяются соотношениями о (2.33) и (2.35). Полагая х = (и,Н, г), введем оператор Ф = (Фі)Фг Фз) X — У, где По построению оператор Ф линеен, определен и непрерывен на всем Л , а в силу леммы 2.3 он сюръективен и обратим. Тогда из теоремы Банаха об обратном операторе следует, что оператор Ф : X — У - изоморфизм. Сформулируем полученный результат. ТЕОРЕМА 2.2. При выполнении условий (і), (и) и (vi) оператор Ф : X — У, определяемый формулами (2.37), (2.38), осуществляет изоморфизм. Используя установленные выше результаты об оценках решения линейной задачи (2.28)-(2.30), мы можем теперь дополнить результаты о разрешимости задачи 1а приведением априорной оценки для напора г. Для этого достаточно записать соотношения (2.8), (2.9) для (u, Н, г) и виде (2.28), (2.29), полагая формально и = и, Н = Н, и воспользоваться оценкой в (2.36) для напора г и оценками в (2.27) для и и Н. Получим Сформулируем полученный результат в виде следующей теоремы. ТЕОРЕМА 2.3. При выполнении условий (i)-(iv) для любой тройки (},g, q) Є Tj2(Q)xH l 2(r2) x.H1/2(r) существует по крайней мере одно слабое решение (и, Н, г) Є X задачи 1а и справедливы оценки (2.27), (2.39), еде константа М\ определена в (2.33). 2.3 Разрешимость неоднородной краевой задачи В этом разделе мы докажем существование решения краевой задачи для системы (2.1), (2.2) при неоднородных смешанных граничных условиях для скорости и неоднородных условиях для электромагнитного поля без ограничений типа малости на исходные данные, но при некотором дополнительном предположении на граничные функции. Чтобы ввести это предположение, введем функцию g : Г - М, удовлетворяющую условию (j) g Є Н}/2(Г), и будем рассматривать систему (2.1), (2.2) при следующих граничных условиях для скорости и напора u = g на Гі, и х n = g х п и г — д на Г2, и n = 0 и rotu х n = h на Гз (2.40) Здесь, как и в (2.3), (2.4), д ; Г2 - Е, h : Г3 -» М2, к : Г -» Ж3 и q : Г - R -заданные функции. Ниже на задачу (2.1), (2.2) (2.40), (2.4) будем ссылаться как на задачу 1. 2.3.1 Определение слабого решения задачи 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Слабым решением задачи 1 назовем любую тройку (и, Н, г) Є Нх(7) х Н!(П) х !?{$), удовлетворяющую соотношениям: Функционал F Є HQT, входящий в (2.41), определен в (2.6), при этом справедливы оценки (2,7), Пусть тройка (и, Н,г) является решением задачи (2.41), (2.42). Рассматривая сужение (2.41) на пространство VQT, заключаем, что пара (и, Н) Є H fi) х Hx(f2) удовлетворяет тождеству a((u,H),(v, ))-fc(u,u,v)+ Так же, как в разделе 2.2, доказываются следующие леммы. ЛЕММА 2.4. Пусть выполняются условия (i)-(v), (j) и пусть (и, Н) Є Н1 ) х H Q) -рсгиение задает (2.42), (2.43). Тогда существуют такие функции г є L2(Q) и Е Є H(rot;fi), что тройка (и,Н, г) удовлетворяет (2.41), а четверка (и,Н, г, Е) удовлетворяет уравнениям (2.2) почти всюду в Q и уравнениям в (2.1) в следующем смысле;
Уравнения МГД с альтернативными граничными условиями
ТЕОРЕМА 3.4. Пусть выполняются условия теоремы 3.3 и (3.25). Тогда существуют функции (лаграпоісеви мпооїсители) (, 77) Є Но( ) X Vr, а 2(fi) С Є Я-1/2(Г), - Є L2(Q) и константа Ао О, которые вместе с элементом (x,t)) = (u,H,r,j, ?,) удовлетворяют уравнениям (3.23), (3.26), интегральным тооїсдествам (3.15), (3.16) и принципу минимума (З.Ц).
Легко проверить, что условие (3.25) выполняется для всех функционалов в (3.4). Если предположить к тому же, что то тогда из (3.15), (3.16) и (3.23), (3.26) можно вывести "поточечные" дифференциальные уравнения и граничные соотношения для лагранжевых множителей. Действительно, умножив при выполнении этих условий соотношения (3.23) и (3.2G) соответственно на функции w Є Hj(fi) С L6(Q) и h Є H Q) С L6(fi), проинтегрируем no Q и применим формулы (1.9)-(1.10). Вычитая полученные соотношения из (3.21), (3.22), легко выводим, что для любой пары (w, h) Є HQ(IQ) x H!(Q) выполняются тождества
Дальнейший процесс определяется видом функционала качества J. (3.29) Используя (3.29), перепишем (3.23), (3.26), (3.27) и (3.28) в виде. Когда функция w пробегает подпространство {w HQ(Q) : \Угг3 = 0}, сужение w nr2 па Г2 ее нормальной компоненты пробегает пространство Н0 (Г2), тогда как w jr = 0. Аналогично, когда w пробегает подпространство {w Є H"o(f2) : w njr2 = 0}, сужение \VT\V3 на Г3 ее тангенциальной компонеиты пробегает пространство Нг (Гз), причем w п[г = 0. Указанные факты вытекают из результатов [77], а из [75] вытекает, что когда функция h пробегает пространство H (Q), ее тангенциальная и нормальная компоненты пробегают соответственно пространства Нт (Г) и Й 2(Г). С учетом этого ил (3.32), (3.33) приходим к следующим соотношениям для ,rj,a}ip и Q:
В случае, когда функции и и Н известны, соотношения (3.30), (3.31), (3.34) вместе с условиями (3.17) и первым соотношением в (3.35) представляют собой замкнутую систему линейных уравнений для нахождения множителей Лагранжа , г\, сг и ф, эквивалентную в силу теоремы 3.3 линейной фредголь-мовой задаче. Определив из этой системы , т], и и ф, далее нз последнего соотношения и (3.35) можно найти множитель . В общем же случае, когда йиНнс известны, (3.30), (3.31), (3.34), (3.35) и (3.17) представляют собой вторую часть системы оптимальности для задачи (3.3) при J = J і, которую следует рассматривать совместно с соотношениями (2.10), (2.11) и неравенством (3.14).
По аналогичной схеме показывается, что при J = J2, где Q Є H(rot;fi), вторая часть системы оптимальности состоит из (3.31), (3.17), (3.35) и (вместо (3.30), (3.34)) соотношений а для функционала 7з, зависящего лишь от Н, она состоит из (3.17) и соотношений Весьма интересным и сложным является вопрос об установлении достаточных условий, гарантирующих единственность решений рассматриваемых задач управления. Ниже мы исследуем этот вопрос в некоторых частных случаях. 3.3.1 Положительность множителя Лагранжа Ао
Можно выделить два принципиально разных случая в тереме 3.3: регулярный случай, когда любой нетривиальный множитель Лагранжа, удовлетворяющий (3.13), (3.14), является регулярпым,т.с. имеет вид (Ао,у ) при AQ 0 и нерегулярны ft случаи, когда существует хотя бы один нерегулярный множитель Лагранжа (0,у ), где у ф О, удовлетворяющий (3.13), (3.14). В первом случае, заменив п (3.13), (3.14) Лагранжеп множитель у на у /Ау, можно считать, что Ао — 1. Нерегулярный случай, когда уравнение Эйлера - Лагранжа принимет вид малоинформативен и не интересен. Действительно, в этом случае уравнение (3.36), имеющее смысл необходимого условия первого порядка локального минимума для задачи (3.3) не содержит минимизируемого функционала J. Поэтому представляет интерес установить условия как на (х, її), так и К, при которых любой нетривиальный множитель Лагранжа, удовлетворяющий (3.13), (3.14), является регулярным.
Единственность решения экстремальной задачи для функционала
Тогда: 1) однородное уравнение Эйлсра-Лаграижа (3.1 IS) имеет только тривиальное решение; 2) любой нетривиальный множитель Лаграитса. удовлетворяющий (3.118), является регулярным, т.е. имеет вид (1,у ); 3) уравнение (3.118) ири Ао = 1 имеет единственное решение у . Рассмотрим следующую задачу условной минимизации ТЕОРЕМА 3.16. Пусть в дополнение к условиям (i),(jf) выполняется условие (3.124) и условие где К - ограниченное выпуклое замкнутое мноэ/есство. Тогда экстремальная задача (3.126) имеет единственное решение (х, ) Є X х К. Следствием теоремы 3.16 является следующий результат о единственности решения системы оптимальности для задачи (3.125), состоящей из слабой формулировки задачи 1а, эквивалентной операторному уравнению и вариационного неравенства Я;ри выполнении условий теоремы 3.16 система оптимальности для экстремальной задачи (3.125), состоящая из соотношений (3.127) - (3.129).имеет единственное решение (и,г,5,,ст). В данном заключении, сформулируем основные результаты диссертации. 1. Доказаны теоремы глобальной разрешимости краевой задачи для стационарной системы уравнений МГД вязкой несжимаемой жидкости, рассматриваемой при смешанных граничных условиях для скорости и неоднородных краевых условиях для электромагнитного поля. Установлены достаточные условия единственности решения. 2. Получены априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда исходные данные рассматриваемой краевой задачи принадлежат ограниченным множествам. 3. Доказаны теоремы разрешимости задач управления для рассматриваемой системы уравнений МГД, обосновано применение принципа неопределенных множителей Лагранжа, выведены системы оптимальности в общем случае и для конкретных функционалов качества. 4. Получены условия регулярности множителей Лагранжа и установлены достаточные условия единственности решения задачи управления для конкретного функционала качества. 5. В частном случае, когда Н — О, Е = 0, полученные результаты переходят в новые результаты, касающиеся свойств решения задач управления для уравнений Навье - Стокса, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для скорости течения. В заключении хочу иыразить глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-ыат. наук, профессору Г.В. Алексееву за ценные сонеты и постоянное внимание к данной работе.
