Содержание к диссертации
Введение
1 Вывод уравнений и постановка граничных условий 21
1.1 О классе рассматриваемых решений 21
1.1.1 Предварительные предположения 21
1.1.2 Уточнение класса рассматриваемых решений . 24
1.2 Постановка начально-краевой задачи 29
1.2.1 Замена Р. Сулливена 29
1.2.2 О дополнительных граничных условиях 32
2 Частное семейство решений: случай 0(x,t, z) = 9i(x,t) 35
2.1 Постановка рассматриваемых задач 35
2.2 Обобщённые решения 38
2.2.1 Пространства обобщённых функций 38
2.2.2 О гильбертовости пространства Кг 40
2.2.3 Обратный оператор 43
2.2.4 Теоремы существования и единственности 49
2.3 Регулярные решения 58
2.3.1 Пространства функций 58
2.3.2 О модифицированных функциях Бесселя 60
2.3.3 Оценки для резольвенты 62
2.3.4 Теоремы существования и единственности 72
2.4 Об устойчивости частных семейств стационарных решений 91
2.4.1 Об устойчивости функции в 91
2.4.2 Определения устойчивости функции w\ и предварительные рассуждения 93
2.4.3 О поведении спектра оператора А 95
2.4.4 Теорема об устойчивости функции w\ 98
3 Общий случай рассматриваемых решений (#2^0) 102
3.1 О разрешимости начально-краевой задачи 103
3.1.1 Преобразование уравнений 103
3.1.2 Теоремы существования и единственности 106
3.1.3 О достаточности задания условия (1.2.14) ПО
3.2 К вопросу об устойчивости 112
3.2.1 Об одном достаточном критерии сохранения границ устойчивости 112
3.2.2 Об устойчивости функций w\{x,t) и в\(х, І) . 116
Список литературы 118
- Уточнение класса рассматриваемых решений
- Теоремы существования и единственности
- Определения устойчивости функции w\ и предварительные рассуждения
- Об одном достаточном критерии сохранения границ устойчивости
Введение к работе
Вихревые движения часто встречаются в природе и хорошо известны в технике. Это своеобразное и относительно легко наблюдаемое гидродинамическое и газодинамическое явление привлекало внимание многих исследователей. Из курса гидродинамики (например, [1], [2]) хорошо известно такое явление как вихревые дорожки Кармана, а также утверждения, которые называются кинематическими и динамическими теоремами Гельмгольца о вихрях. В работе М. А. Лаврентьева, Б. В. Шабата [3] изложены результаты по исследованию кольцевых вихрей и указаны направления их дальнейшего изучения. Однако, несмотря на большое число работ, посвященных изучению вихревых движений, ряд вопросов остаётся открытым.
Вихревые движения ограниченные твёрдыми стенками получили широкое распространение в технике, причём устройства, использующие закрученные потоки газа или жидкости, обычно обеспечивают существенное увеличение интенсивности процесса и, тем самым, его экономической эффективности. В настоящей работе рассматриваются математические вопросы, связанные с изучением гидродинамических процессов вблизи оси вращения жидкости в вихревой камере, в которой частицы жидкости движутся по спиральным траекториям и выбрасываются через отверстия в торцевых крышках. Вихревые камеры такого типа используются при разработке новых биотехнологий, обеспечивающих мягкие условия перемешивания суспензии клеток при высокой скорости межфазного обмена [4] - [6]. Течение в вихревых камерах принято разбивать на зону
пограничных слоев, периферийную зону и приосевую зону.
Рассматривая движение жидкости в приосевой зоне вихря, мы приходим к задаче о протекании жидкости через заданную область, на границе которой имеются участки втекания и вытекания. Первые теоретические результаты в этом направлении для движения идеальной несжимаемой жидкости были получены Н. Е. Кочиным [7], где в качестве дополнительного граничного условия было предложено задавать все компоненты вектора вихря скорости на участке втекания. В работах В. Заячковски [8] и А. В. Кажихова [9] показано, что в задаче, изучавшейся Н. Е. Кочиным, произвольно можно задавать только касательные составляющие вихря скорости. Кроме того, в работах А. В. Кажихова доказывается корректность постановки задачи протекания идеальной несжимаемой жидкости при задании на участке втекания всего вектора скоростей, а на участке вытекания — давления [10] или нормальной составляющей вектора скоростей [11]. Указанные результаты А. В. Кажихова также изложены в работе [12].
Таким образом, для движения идеальной несжимаемой жидкости удалось найти физически обоснованные и корректные постановки задач протекания. Однако, даже в этом модельном случае соответствующие теоремы существования имеют локальный характер. Для вязкой жидкости сделано значительно меньше, и многие вопросы остаются открытыми. Основная трудность заключается в правильной постановке граничных условий на участке вытекания. Один из способов преодоления этой трудности при изучении качественных свойств решений и численных расчетах является использование априорных предположений о характере движения жидкости и геометрии рассматриваемой области. Например, в монографии О. А. Ладыженской [13] сначала рассматриваются задачи с условиями непротекания на всей границе и некоторыми условиями на начальные данные, а затем делается распространение результатов
на случай неоднородных граничных условий (то есть, получаем задачу протекания через заданную область), но при этом возникает требование малости норм граничных условий.
В работе [14] приведены результаты экспериментов с визуализацией приосевой зоны вихря дымом. Из фотографий видно, что приосевая зона вихря представляет собой цилиндр. В работе [15] экспериментально установлено, что при некоторых условиях радиальная и тангенциальная компоненты вектора скоростей существенно изменялись по осевой координате только вблизи торцевых крышек. В работе [14] также описан эксперимент по изучению поля скоростей в длинной вихревой камере с осесимметричным вводом. Показано, что тщательным подбором геометрии вихревой камеры можно получить осесимметрическое поле скоростей с линейной зависимостью осевой компоненты вектора скоростей от осевой координаты.
Приведённые выше экспериментальные работы указывают на физическую обоснованность предположений, которые часто используются для описания поля скоростей приосевой зоны вихря вязкой несжимаемой жидкости. Суть этих предположений состоит в том, что приосевая зона является цилиндром радиуса го, а вектор скоростей в цилиндрических координатах (г, <р, z) имеет вид
и = и(г, i), v = v(r,t)i w = wi(r, t) 4- u)2{r, t)z, (0.0.1}
где u,v,w — соответственно радиальная, тангенциальная и осевая компоненты вектора скоростей. При этом из системы уравнений Навье —
Стокса вытекает, что давление имеет представление
z2 P=Po{r}t)+Pi{t)z + p2{t)j.
Р. Сулливеном [16] для упрощения модели была предложена замена искомых функций и пространственной переменной
_ иг VT г2
F — , р — —, х — -z.
V V Гц
Таким образом, для поля скоростей вида (0.0.1) уравнения Навье — Сток-са преобразуются в распадающуюся систему уравнений
Ы2 = ~^FX, (0.0.2)
г,
F \ „ Fl
^Ftx = xFxxx +(- + 117^--^ + q2(t), (0.0.3)
^-0t - хвм + ^0,, (0.0.4)
Av 2
—U)u = ituixj + f — + 1J vjix - ~wi + qi(t), (0.0.5)
Г2 - = &Ft - xFxx -^ + ^-±^, (0.0.6)
2i/2p 4i/ ' 2 ' 4:r
?iw - —^ » w) =
4pz/ ' 8p^2
p = const > 0 — плотность, v — const > 0 — кинематическая вязкость.
Если выполняются необходимые условия согласования, то от системы уравнений (0.0.2) - (0.0.6) отделяются уравнение (0.0.6) и тождество (0.0.2) , из которых при известных функциях F и 6 легко определяются функции и>2 и pq. Уравнения (0.0.4), (0.0.5) являются линейными относительно функций в и w\ я при известной функции F могут рассматриваться по отдельности. Уравнение (0.0.3) содержит лишь одну неизвестную функцию F и, следовательно, отделяется от получившейся системы уравнений. Поэтому, в определенном смысле, оно является ключевым уравнением системы (0.0.2) - (0.0.6).
В ранних работах [16] - [22] рассматривалось поле скоростей (0.0.1), в котором слагаемое w\ отсутствовало (тогда в выражении для давления будет отсутствовать слагаемое p\z). При этом формально получается задача о протекании жидкости в бесконечном по переменной z цилиндре, и условия на торцах цилиндра не задавались, в виду достаточности гра-
Это тождество дает условие согласования, наложенное на начальные данные для функций w-i и F. Кроме того, граничные условия, задаваемые для W2, переносятся на Fx.
ничных условий на боковой поверхности.
Из соображений того, что при замене переменной z на z — z$ уравнения Навье - Стокса не изменяются, в работах [23], [24] отмечается, что осевая компонента вектора скоростей не обязана быть однородной по переменной z, а, следовательно, w^ может быть не равным нулю. При этом возникает необходимость задавать функцию q\(t), так как граничных условий на боковой поверхности цилиндра не достаточно для её нахождения. В декартовых координатах условие, задающее функцию gi(t), определяет производную по нормали от давления на участке втекания и имеет следующий вид
Таким образом, показано, что предположение (0.0.1) позволяет не только упростить систему уравнений Навье — Стокса, но и задавать краевое условие только на одном из торцов цилиндра.
Стационарные уравнения (0.0.2) - (0.0.4) с различными граничными условиями и в предположении, что функция w\ = 0, рассматривались в работах [16] - [22]. Вопрос о разрешимости стационарного уравнения (0.0.4) не представляет особой трудности, поскольку его общее решение можно выписать в виде
e{x)^C1 + C2Jexp(~J^drj\ rf,
о \ о /
поэтому основное внимание уделялось исследованию уравнения (0.0.3). В работах [16], [17], [20] для некоторых частных случаев граничных условий найдены стационарные решения уравнения (0.0.3), выражаемые в элементарных функциях, например,
F{x)=ax или F{x) = -2аа: - 6(1 - е*).
В работе [19] проведён анализ разложения решений стационарных уравнений (0.0.2) - (0.0.4) в ряд по малому параметру, в качестве которого
выбран квадрат числа Россби. В работе [20J приведены расчёты решений задачи Коши для стационарного уравнения (0,0.3) с начальными данными
F(0) = 0, Fx(0) = a, Fxx(0) = 2-±i
В работе [21] предложен алгоритм расчета решений краевых задач для стационарных уравнений (0.0.2) - (0.0.4), учитывающий специфику этих уравнений, результаты этих расчетов сопоставлены с экспериментальными данными, полученными при измерении тангенциальной и осевой компонент вектора скорости в вихревой камере [26]. В работе [21] также показано, что стационарное уравнение (0.0.3) с граничными условиями
f(o) = o, ^(1) = ^1, ад = / (0.0.8)
может иметь несколько решений, и предложен способ, основанный на теории подобия, позволяющий численно определять эти решения и области неединственности решения в пространстве параметров (Fj, /^), определяющих краевые условия (0.0.8).
В работе [22] наиболее подробно, по сравнению с другими работами, были изучены свойства решений задачи Коши для стационарного уравнения (0.0.3) с условиями
F(Q) = О, FX(Q) = a, Q2 — заданная константа. (0.0.9)
Доказана единственность решения и его непрерывная зависимость от начальных данных. В работе [21] для решения задачи (0.0.3), (0.0.9) выписаны рекуррентные соотношения, определяющие коэффициенты сходящегося в окрестности х ~ 0 ряда Тейлора, а в работе [22] доказана аналитичность решения задачи (0.0.3), (0.0.9) при х > 0, и изучено поведение решения и его производных до третьего порядка включительно при х —> +оо. Основываясь на этом, показано, что множество пар чисел (i7!, JF2) таких, что существуют константы a, q%, для которых
F(l,a,ft) = Ji, Fx{l>a,q2) = F2
(здесь F(x, a, q<2) — решение задачи Коши для стационарного уравнения (0.0.3) с начальными данными (0.0.9)), является замкнутым множеством в Ж2 и не совпадает со всем пространством, то есть существуют пары значений (Fi,^)) при которых стационарная задача (0.0.3), (0.0.8) не имеет решений.
В работах [22], [24], [25] изучались вопросы о существовании и устойчивости решений нестационарного уравнения (0.0.3) с начальными данными и стационарными граничными условиями
F(x,Q) = F0(x), F(0,t) = 0, F(Ut) = Fu Fx{l,t) = F2.
В работе [22] изучен вопрос об устойчивости однопараметрического семейства стационарных решений вида F — ах в пространствах И^[0,1] и С4[0,1]. Это вполне стандартные пространства с весовыми нормами і
l'Fl^[o,4 = f(x*FL + р2) dx> \\F\\&№ = І№»*ІІС[о,і] + І! ЛНод]. о
Использование весовых пространств обусловлено вырождением уравнения (0.0.3) в точках границы. Установлено, что при а > — 6 стационарное решение F — ах устойчиво в выше указанных пространствах, а при о < — 6 — неустойчиво. Так же показано, что все стационарные решения, удовлетворяющие условиям FX(Q) > 0, Fxx{0) > 0, устойчивы в пространстве Wf [О* 1].
В работах [24], [25] рассматривалась начально-краевая задача для проинтегрированного по х уравнения (0.0.3), для которой доказано существование решения "в малом" по t при небольших отклонениях начальных данных от стационарного решения в норме Сг[0,1], а также сформулирован критерий устойчивости по Ляпунову стационарного решения в пространстве С^О, 1] в терминах отрицательности спектра оператора, полученного путем линеаризации оператора из уравнения (0.0.3) на этом стационарном решении.
Ограничимся вышеперечисленными ссылками на работы, которые напрямую соответствуют тематике рассматриваемых в диссертации задач, и некоторые результаты которых будут использованы автором в дальнейшем. Более полную библиографию по работам данного направления можно найти, например, в книгах [23], [27].
Ещё раз отметим, что в предположениях (0.0.1) система уравнений Навье — Стокса преобразуется в распадающуюся систему уравнений (0.0.2) - (0.0.6). Как видно из её структуры, при известных функциях F нв, тождество (0.0.2) и уравнение (0.0.6) позволяют легко определить функции w2 и р0. Таким образом, система уравнений Навье — Стокса сводится к рассмотрению уравнений (0.0.3) - (0.0.5). Решение уравнения (0.0.3) и его производные входят в другие уравнения в качестве коэффициентов. Этим, а также отделяемостью уравнения (0.0.3) от остальных уравнений системы, молено объяснить то, что именно для уравнения (0.0.3) достаточно хорошо изучены различные стационарные краевые и эволюционные начально-краевые задачи.
Основными результатами настоящей диссертации являются доказательства существования и устойчивости решений специального вида для системы уравнений Навье — Стокса, Прежде всего, доказывается однозначная разрешимость начально-краевых задач для уравнений (0.0.4), (0.0.5). Отметим, что эти уравнения являются вырождающимися, поскольку коэффициент при старшей производной обращается в нуль на части границы. Поэтому исследование вопроса о существовании решений потребовало введения специальных весовых пространств и изучения некоторых их свойств. При исследовании устойчивости найден пример поля скоростей, у которого устойчивость нарушается только по осевой компоненте, а по другим компонентам сохраняется.
Кроме того, в диссертации предложено ослабление априорных предположений, рассматриваемых ранее другими авторами, наложенных на
структуру решений системы уравнений Навье — Стокса, которое приводит к полю скоростей вида
u = u(r,t), v = v\(r, t) +1 (г, t) z, w = wi(r,t) +w2{r,t)z, (0.0.10)
где, как и прежде, и, v, w — радиальная, тангенциальная и осевая компоненты вектора скоростей соответственно. Получена система уравнений, которая расширяет систему (0.0.2) - (0.0.б) и при этом, в отличии от системы (0.0.2) - (0.0.6), не распадается на отдельные уравнения. Для одного семейства решений расширенной системы изучен вопрос о разрешимости начально-краевой задачи, а так же вопрос о том, на сколько появление новой искомой функции влияет на границу устойчивости.
Уточнение класса рассматриваемых решений
Вихревые движения часто встречаются в природе и хорошо известны в технике. Это своеобразное и относительно легко наблюдаемое гидродинамическое и газодинамическое явление привлекало внимание многих исследователей. Из курса гидродинамики (например, [1], [2]) хорошо известно такое явление как вихревые дорожки Кармана, а также утверждения, которые называются кинематическими и динамическими теоремами Гельмгольца о вихрях. В работе М. А. Лаврентьева, Б. В. Шабата [3] изложены результаты по исследованию кольцевых вихрей и указаны направления их дальнейшего изучения. Однако, несмотря на большое число работ, посвященных изучению вихревых движений, ряд вопросов остаётся открытым.
Вихревые движения ограниченные твёрдыми стенками получили широкое распространение в технике, причём устройства, использующие закрученные потоки газа или жидкости, обычно обеспечивают существенное увеличение интенсивности процесса и, тем самым, его экономической эффективности. В настоящей работе рассматриваются математические вопросы, связанные с изучением гидродинамических процессов вблизи оси вращения жидкости в вихревой камере, в которой частицы жидкости движутся по спиральным траекториям и выбрасываются через отверстия в торцевых крышках. Вихревые камеры такого типа используются при разработке новых биотехнологий, обеспечивающих мягкие условия перемешивания суспензии клеток при высокой скорости межфазного обмена [4] - [6]. Течение в вихревых камерах принято разбивать на зону пограничных слоев, периферийную зону и приосевую зону.
Рассматривая движение жидкости в приосевой зоне вихря, мы приходим к задаче о протекании жидкости через заданную область, на границе которой имеются участки втекания и вытекания. Первые теоретические результаты в этом направлении для движения идеальной несжимаемой жидкости были получены Н. Е. Кочиным [7], где в качестве дополнительного граничного условия было предложено задавать все компоненты вектора вихря скорости на участке втекания. В работах В. Заячковски [8] и А. В. Кажихова [9] показано, что в задаче, изучавшейся Н. Е. Кочиным, произвольно можно задавать только касательные составляющие вихря скорости. Кроме того, в работах А. В. Кажихова доказывается корректность постановки задачи протекания идеальной несжимаемой жидкости при задании на участке втекания всего вектора скоростей, а на участке вытекания — давления [10] или нормальной составляющей вектора скоростей [11]. Указанные результаты А. В. Кажихова также изложены в работе [12].
Таким образом, для движения идеальной несжимаемой жидкости удалось найти физически обоснованные и корректные постановки задач протекания. Однако, даже в этом модельном случае соответствующие теоремы существования имеют локальный характер. Для вязкой жидкости сделано значительно меньше, и многие вопросы остаются открытыми. Основная трудность заключается в правильной постановке граничных условий на участке вытекания. Один из способов преодоления этой трудности при изучении качественных свойств решений и численных расчетах является использование априорных предположений о характере движения жидкости и геометрии рассматриваемой области. Например, в монографии О. А. Ладыженской [13] сначала рассматриваются задачи с условиями непротекания на всей границе и некоторыми условиями на начальные данные, а затем делается распространение результатов на случай неоднородных граничных условий (то есть, получаем задачу протекания через заданную область), но при этом возникает требование малости норм граничных условий.
В работе [14] приведены результаты экспериментов с визуализацией приосевой зоны вихря дымом. Из фотографий видно, что приосевая зона вихря представляет собой цилиндр. В работе [15] экспериментально установлено, что при некоторых условиях радиальная и тангенциальная компоненты вектора скоростей существенно изменялись по осевой координате только вблизи торцевых крышек. В работе [14] также описан эксперимент по изучению поля скоростей в длинной вихревой камере с осесимметричным вводом. Показано, что тщательным подбором геометрии вихревой камеры можно получить осесимметрическое поле скоростей с линейной зависимостью осевой компоненты вектора скоростей от осевой координаты.
Приведённые выше экспериментальные работы указывают на физическую обоснованность предположений, которые часто используются для описания поля скоростей приосевой зоны вихря вязкой несжимаемой жидкости.
Теоремы существования и единственности
В параграфе 2.2 изучается вопрос о существовании и единственности обобщённых решений начально-краевых задач (0.0.4), (0.0.14) и (0.0.5), (0.0.15). В пункте 2.2.1 вводятся используемые в дальнейшем пространства обобщённых функций, а также, опираясь на одну из теорем вложения С. М. Никольского [28], формулировка которой приведена в одномерном случае, доказывается вложение одного из введённых пространств в пространство С[0,1]. В пункте 2.2.2 рассматривается билинейная форма связанная с оператором А (здесь и далее это оператор из линеаризованного уравнения (0.0.5)) и показано, что она является скалярным произведением и индуцирует эквивалентную норму в Банаховом пространстве, которое было введено в пункте 2.2.1.
В пункте 2.2.3, используя решение вспомогательной задачи Коши (существование и единственность аналитического решения которой доказывается здесь же), доказано существование самосопряжённого, вполне непрерывного оператора (A — pl) l для некоторого достаточно большого положительного значения р. Опираясь на это, доказывается, что спектр оператора А состоит только из собственных значений, расположенных на действительной оси и не имеющих конечных точек сгущения, а соответствующие им собственные функции являются аналитическими. Кроме того, используя разложение по собственным функциям оператора А, доказывается существование аналитического решения краевой задачи для стационарного уравнения (0.0.5) с условиями (0.0.15).
В пункте 2.2.4 даётся определение обобщённых решений для задач (0.0.4), (0.0.14) и (0.0.5), (0.0.15) и, используя разложение по собственным функциям оператора А, доказывается теорема о существовании и единственности обобщённого решения начально-краевой задачи для линеаризованного уравнения (0.0.5). После чего, применяя метод сжимающих отображений, доказывается теорема существования и единственности обобщённого решения начально-краевой задачи (0.0.5), (0.0.15). Аналогичная теорема для обобщённого решения задачи (0.0.4), (0.0.14) приводится без доказательства.
В параграфе 2.3 изучается вопрос о существовании и единственности регулярного решения начально-краевой задачи (0.0.5), (0.0.15) и классического решения начально-краевой задачи (0.0.4), (0.0.14). Для этого в пункте 2.3.1 вводятся в рассмотрение весовые пространства функций одной и двух переменных, которые будут использоваться в дальнейшем.
В пункте 2.3.2 приводится определение и некоторые свойства модифицированных функций Бесселя, а также доказывается необходимое в дальнейшем неравенство для модифицированных функций Бесселя, которое не было обнаружено в общедоступной литературе по специальным функциям [32], [33]. В начале пункта 2.3.3 рассматривается модельное спектральное уравнение, для решения которого, используя свойства модифицированных функций Бесселя (через них выписывается ядро в интегральном представлении решения модельного уравнения), доказываются вспомогательные оценки. Затем, используя метод последовательных приближений, получены оценки для резольвенты оператора А из линеаризованного уравнения (0.0.5).
В пункте 2.3.4 определяется понятие регулярного решения начально-краевой задачи (0.0.5), (0.0.15) и доказывается его единственность. Затем, применяя метод оценки обратного преобразования Лапласа, разработанный в работе В. С. Белоносова и Т. И. Зеленяка [34], доказывается теорема о существовании и единственности регулярного решения начально-краевой задачи для линеаризованного уравнения (0.0.5). Используя эту теорему, доказаны следующие результаты: существование и единственность регулярного решения начально-краевой задачи (0.0.5), (0.0.15) и новая оценка для обобщённого решения этой же начально-краевой задачи. Кроме того, приведена формулировка теоремы о существовании и единственности классического решения начально-краевой задачи (0.0.4), (0.0.14).
В параграфе 2.4 рассматриваются вопросы об устойчивости некоторых семейств стационарных решений системы (0.0.3) - (0.0.5). В частности, в пункте 2.4.1 дано определение устойчивости в пространстве С О, 1] пары функций, которые являются стационарными решениями краевой задачи для уравнений (0.0.3), (0.0.4) и доказана теорема, указывающая на то, что решение уравнения (0.0.4) не нарушает границы устойчивости, определяемой решением уравнения (0.0.3).
В пунктах 2.4.2 - 2.4.4 исследуется устойчивость стационарных решений уравнения (0.0.5), соответствующих функции G{x), которая является стационарным решением уравнения (0.0.3) и имеет вид G(x) = ах или удовлетворяет неравенствам Gx(0) 0 и GXX(Q) 0. Относительно таких стационарных решений уравнения (0.0.3) известны результаты об устойчивости, полученные Н. Э. Кейльманом [22], которые приводятся в подпункте 2.4.2, где так же даны определения устойчивости стационарных решений уравнения (0.0.5) в пространствах обобщённых и
Они так же приведены выше, в обзорной масти введения. регулярных функций. В подпункте 2.4.3 исследуется поведение спектра оператора Л из линеаризованного уравнения (0.0.5) соответствующего выше указанным функциям G(x). Основываясь на этом исследовании и оценках из теорем о существовании и единственности решения уравнения (0.0.5), которые были доказаны в предыдущих параграфах, в подпункте 2.4.4 доказывается следующее: 1) устойчивы любые стационарные решения уравнения (0.0.5), соответствующие функции G(x), которая удовлетворяет неравенствам Gx(0) 0 и Gxx(0) 0 или имеет вид G(x) — ах при а — 2; 2) неустойчивы любые стационарные решения уравнения (0.0.5), соответствующие функции G(x) = ах при а —2. Таким образом, показано, что при выполнении условий параграфа 1.1, устойчивость по осевой компоненте вектора скоростей может нарушаться раньше, чем по другим его компонентам. В главе 3 рассматривается семейство решений вида (0.0.11), в случае 6 = 0, удовлетворяющее преобразованной в параграфе 1.2 системе уравнений Навье — Стокса. Параграф 3.1 посвящен изучению вопроса существования и единственности решений этой системы уравнений, которая распадается на две подсистемы уравнений, одна из них связывает функции F(x,t)7 92(x,t) и Q2(x,t), а другая функции ivi(x t), 6i(x}t) и Qi(x,t). В пункте 3.1.1 преобразуются уравнения первой из указанных выше подсистем.
Определения устойчивости функции w\ и предварительные рассуждения
Нетрудно заметить, что система (1.2.2) - (1.2.9) распадается на две подсистемы (1.2.4), (1.2.6), (1.2.7) и (1.2.3), (1.2.5), (1.2.8), а также тождество (1.2.2) и уравнение (1.2.9). Если функции F и $\ известны, то из тождества (1.2.2) однозначно определяется функция W2t а из уравнения (1.2.9), с точностью до слагаемого, зависящего только от t, определяется QQ.
Рассмотрим подсистему (1.2.4), (1.2.6), (1.2.7). Уравнения этой подсистемы имеют соответственно третий, второй и первый порядок по пространственной переменной х. В граничных условиях (1.2.10), (1.2.11) на функции F, #2 Q21 определяемых из рассматриваемой подсистемы, наложено шесть краевых условий, то есть достаточное количество.
Из аналогичных рассуждений для подсистемы (1.2.3), (1.2.5), (1.2.8) видно, что в условиях (1.2.11), (1.2.12) на функции WJI, #I, QI наложено четыре краевых условия, а сумма порядков старших производных подсистемы равна пяти. Таким образом, для замыкания краевых условий указанной подсистемы, равно как и для всей системы (1.2.2) - (1.2.9), необходимо ещё одно условие на границе. В силу того, что на боковой поверхности уже заданы все естественные краевые условия (то есть все компоненты вектора скоростей), недостающее условие естественно ставить на торцевых крышках цилиндра.
Очевидно, что условие для одной из функций F, &2, Q2 или их комбинации переопределяет подсистему уравнений (1.2.4), (1.2.6), (1-2.7) и не помогает замкнуть условия для другой подсистемы уравнений. В случае, когда #2 = 0) уравнение (1.2.5) отделяется от подсистемы, а, следовательно, дополнительное условие для функции в\ переопределяет краевую задачу для этого уравнения. Таким образом, для достижения большей общности в постановке задачи получаем, что недостающее условие должно быть наложено на Qi или w\ или на их комбинацию. Отметим, что постановки дополнительного условия для функции w\ или её комбинации с функцией Q\ автору не известны, хотя исключить такую постановку нельзя. При этом задание функции w\ на торце цилиндра можно интерпретировать как значение нормальной компоненты вектора скоростей при z = 0. Однако, краевые задачи с подобными условиями в настоящей диссертации не рассматриваются.
Как уже указывалось в пункте 1.1.1, в работе [24] условие, замыкающее краевую задачу, определяло производную от давления по нормали на всем основании цилиндра и имело вид (1.1.1), которое для введённых функций выглядит следующим образом и означает, что функция Q\ не зависит от переменной х. Таким образом, было показано, что достаточно задавать одно условие и при этом только на одном из торцов цилиндра. Из уравнения (1.2.8) следует, что условие (1.2.13) может выполняться только в двух случаях: і) eix t z) = 6i(x,t)} что соответствует семейству решений, которое рассматривалось ранее другими авторами, и исследование которого будет продолжено в главе 2; ii) 9(x,tyz) = z$2(x,t), при этом из уравнений (1.2.3), (1.2.5), (1.2.8) следует, что Qi(x, t) = 0, iv x, t) = О, 9i(x, t) 0. Однако условие (1.2.13) можно ослабить, задавая вместо него условие которое в декартовых координатах имеет вид В главе 3 будет показано, что такого условия достаточно для нахождения решений системы уравнений (1.2.2) - (1.2.9). Таким образом, в предположениях 1) - 4) из пункта 1.1.1, получаем, что условие на торце цилиндра можно задавать только в одной точке.
Заметим, что условие (1.2.13) можно рассматривать как частный случай условия (1.2.14), содержащий при этом дополнительную информацию об отыскиваемом семействе решений (то есть выше указанные условия І, ii и при этом краевые условия должны удовлетворять условию согласования 0n#2i = 0). Отметим так же, что задание произвольным образом функции Qi(x, і) на всём основании цилиндра переопределяет рассматриваемую задачу, при этом описание множества функций Qi{x t), для которых решение существует, равносильно решению самой системы уравнений. Нетрудно понять, что задавать функцию wi(x, t) (на возможность такого рода условий указывалось ранее) на всём основании цилиндра тоже нельзя, поскольку при этом из уравнения (1.2.3) определяется функция Qi{x,t), а, следовательно, опять получается переопределенная задача.
Об одном достаточном критерии сохранения границ устойчивости
Теорема 2.2.2 Последовательность {шп}п =№, состоящая только из собственных функций оператора А : К —у К$, образует ортонорми-рованный базис в пространстве Ко- При этом все функции являются аналитическими на отрезке [0,1], а соответствующая им последовательность собственных чисел \AnjnN состоит только из простых собственных чисел и не имеет конечных точек сгущения.
Доказательство. Из теоремы Гильберта-Шмидта следует, что у оператора B l : KQ — KQ существует полная система собственных функций { n}neN такая, что где ёпт — символ Кронекера. Поскольку оператор В-1 : KQ — KQ вполне непрерывен, а оператор A : К2 — KQ замкнут, то спектр оператора A : K i — KQ состоит из изолированных собственных значений конечной кратности (см. [37], теорема 6.29, стр.237). Нетрудно убедиться, что операторы Б 1 : Ко KQ, В : Кг — KQ И А : К% — KQ имеют одни и те же собственные функции, а соответствующие им собственные числа связаны равенством Осталось доказать аналитичность собственных функций. Поскольку все собственные функции ип{х) Є Кг, то, в силу леммы 2.2.1, они являются непрерывными функциями и могут определяться как решение задачи Коши с последующей нормировкой. Тогда из леммы 2.2.5 следует, что все шп(х) являются аналитическими функциями, а в силу единственности решения задачи (2.2.10) все собственные числа являются простыми. Теорема доказана. Теперь, используя разложение по собственным функциям оператора A : К2 — KQ, докажем Лемма 2.2.8 Пусть G(x) — аналитическое решение задачи (2.1.7), (2.1.10). Если оператор Л : К% — KQ не имеет нулевого собственного числа, то задача (2.1.9), (2.1.12} имеет единственное аналитическое решение для любих значений q и іоц. Если ноль является собственным числом оператора Л : Кч —у К$, то аналитическое решение задачи (2.1.9), (2.1.12) существует (но неединственное) тогда и только тогда, когда константы q и гоц удовлетворяют условию где функция Е{х) определена формулой (2.2.1), а юп{х) — собственная функция, соответствующая нулевому собственному числу оператора Доказательство. Если в задаче (2.1.9), (2.1.12) сделать замену искомой функции W(x) = w\\ + ш(х), то получим задачу с правой частью, определенной равенством 2f(x) — w\\Gx{x) — 2q X). Рассмотрим случай, когда ноль не является собственным числом оператора А : Кч —» KQ (другой случай рассматривается аналогично). В этом случае единственное решение задачи (2.2.11) можно выписать в виде где Afc — собственные числа оператора Л : К2 — KQ, Д = (f(x),ojjz(x))Q — коэффициенты разложения правой части уравнения. Тогда из равенств (2.2.8) и (2.2.9) вытекает, что wfc(;r)2 = (А — р)2, а, следовательно, Таким образом, найденное решение принадлежит пространству К2. Для доказательства аналитичности найденного решения, рассмотрим задачу Коши для уравнения из задачи (2.2.11), где в качестве начальных данных взято значение функции ы {х) при х = 0, то есть Поскольку G(x) — аналитическая функция, то по лемме 2.2.5 задача Коши (2.2.12) имеет единственное аналитическое решение, которым и является функция и (х). Лемма доказана. Перейдем к рассмотрению нелинейной задачи (2.1.1) - (2.1.6), предполагая, что F(xyt), классическое решение задачи (2.1.1), (2.1.4), однозначно определяется по начальным данным, близким к стационарному решению в пространстве С1 [0,1] (см. [24]).
Определение 2.2.1 Обобщённым решением задач (2.1.2), (2.1.5) и (2.1.3), (2.1.6) будем называть функции 6(x,t) и wi(x,t), имеющие в QT обобщённые производные первого порядка по х и по t, второго порядка по х, которые удовлетворяют уравнениям (2.1.2) и (2.1.3) почти всюду в области QT, граничным условиям по непрерывности при каждом
