Введение к работе
Тема диссертации и ее актуальность. Система «жидкость+твёрдое тело» — классический объект гидродинамики. Однако, исследования в этой области далеки от завершения В частности, это утверждение относится к тем ситуациям, в которых невозможно пренебречь влиянием вязкостіГжидкости Таковы, например, вращения погруженного в жидкость осесимметричного тела вокруг своей оси. При этом область течения не меняется, так что взаимодействие тела и жидкости полностью определяется силами Вязкого трения. Движения такого рода изучаются в данной диссертации Точнее, речь в ней идет о крутильных колебаниях твёрдого тела вращения внутри сосуда произвольной формы, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью Например, тело может быть закреплено на тонком'подвесе, влиянием которого на жидкость можно пренебречь Колебания вызывает сила упругости подвеса, момент которой Меіад^,. предполагается линейной функцией угла'^з поворота тела Для данной системы исследуется устойчивость и Неустойчивость состояния покоя. Особое внимание уделяется влиянию заданной периодической по времени модуляции упругой силы Такая ситуация может быть реализована в эксперименте, например, за счёт периодического изменения длины закручивающегося участка подвеса при помощи зажима Все результаты работы непосредственно переносятся на задачу о крутильных колебаниях тела с вра-щательно симметричной полостью, заполненной вязкой жидкостью, вокруг оси вращения полости.
В диссертации развивается строгая математическая теория, не связанная дополнительными предположениями о вязкости жидкости, характере модуляции или формах тела и сосуда. Полученные общие результаты конкретизируются в различных частных случаях, включая крутильные колебания шара, погруженного в концентрический сферический сосуд.
Работа организована следующим образом. В первой главе излагается постановка задачи, вводятся безразмерные переменные и обсуждается сведение задачи к интегродифференциальному уравнению и к дифференциальному уравнению в банаховом пространстве Во второй главе исследуется простейший случай, когда упругий момент не зависит явно от времени М^мЬс — -кір, где ір - угол отклонения тела от положения равновесий <р = 0, х - коэффициент жесткости упругой силы Результаты этой главы носят отчасти вспомогательный характер, поскольку физически очевидно, что колебания данной системы затухнут со временем вследствие вязкой диссипации энергии. Исследование этого случая существенно используется в третьей главе, где предполагается, что жесткость подвеса есть периодическая функция времени, так что упругий момент определяется равенством Meiastlc — -x{l+h(wt))
где я - среднее значение жесткости, Л(т) - 2тг-периодическая относительная модуляция с нулевым средним: fQ ж h(r) dr = 0, ш - круговая частота модуляции В этой главе устанавливается, что при определенных типах модуляции упругий момент может сильно раскачать тело, так что произойдет так называемое параметрическое возбуждение неустойчивости. Вместе с тем, модуляция жесткости может заставить колебания тела затухать быстрее, чем в ее отсутствие.
Актуальность темы определяется тем, что в классических исследованиях (см , например, работы Кирхгофа, Кельвина, Гафа, Жуковского, Бьеркнес-са, Чаплыгина) влияние вязкости и завихренности жидкости не изучалось жидкость предполагалась идеальной и совершающей потенциальное движение В таком случае дело сводится к изучению системы с конечным числом степеней свободы, что позволяет провести весьма детальное исследование этой упрощенной модели Дальнейшее развитие теория совместного движения тела и идеальной жидкости получила в трудах Б А Луговцова и В.Л.Сен-НИ1.КОГО (1986), В.А Владимирова и В В Румянцева (1989), Н Е. Леонард и Дк 3 Марсден (1997), А А. Ляшенко и О Дж. Фридлэндер (1998), А.Р. Галь-пера и Т Милоха (1998), В.А Владимирова и К И Ильина (1999), А В. Бори-соваиИС Мамаева (2004,2006), А В Борисова, В.В КозловаиИС Мамаева (2006)
Задачи о совместном движении вязкой жидкости и тела представляют значительно большие трудности, чем в случае идеальной жидкости, так как состояние такой системы описывается бесконечным числом переменных Результаты такого рода восходят к Стоксу В этой области в основном исследованы предельные случаи больших и малых чисел Рейнольдса В задачах о совместных колебаниях жидкости и тела число Рейнольдса обычно берется равным Re = ?р, где і - характерный размер тела (или заполненной жидкостью полости внутри тела), Т - характерное время порядка периода колебаний тела (или жидкости в полости), и - вязкость жидкости Для больших чисел Рейнольдса существенное продвижение достигнуто в работах Н.Н Моисеева (1952, 1961, 1964), где были даны первые примеры решения задач о малых совместных колебаниях жидкости и сосуда Развитие этого метода вместе с большим количеством решенных задач можно найти в книге Ф Л Черноусько (1968) Случай малых значений числа'Рейнольдса изучался в работах Б Н Румянцева (1964), Ф.Л Черноусько (1965) и А И Кобрина (1969) В случае произвольных чисел Рейнольдса решение линеаризованных уг~т явний Навье-Стокса удалось получить лишь для простых областей
отметим также множество работ по исследованию вращающихся тел, содержащих жидкие массы; книгу-М.В. Шам'олина (2007), посвященную ква-
зистационарному движению тела в сплошной среде, статьи В Л Сенницкого (1997, 2000, 2001) о взаимодействии колеблющихся тел и вязкой жидкости
Задачи о совместном движении жидкости и тела очень важны с практической стороны Толчком к интенсификации исследований в этой области послужило развитие ракетной и космической техники Запас жидкого топлива, имеющийся на борту ракет, спутников и космических кораблей, в ряде случаев может оказать существенное влияние на движение этих летательных аппаратов Аналогичные задачи возникают в теории корабля и подводной лодки. Они актуальны в теории флаттера крыла самолета и т.д Задача о крутильных колебаниях тела в вязкой жидкости (или тела с жидкостью внутри) возникла в связи с исследованиями колебаний поплавковых приборов и тросов Параметрическое возбуждение неустойчивости в задачах о совместных колебаниях тела и жидкости изучалось В И Юдовичем.
Цели и задачи исследования. Целью данной работы является развитие математической теории крутильных колебаний тела в вязкой жидкости, в особенности изучение спектральных свойств линеаризованных задач, возникающих в случае постоянной и модулированной жесткости упругой силы.
Методы исследования. При изучении малых колебаний системы жидкость-тело задача на собственные значения сводилась к исследованию дисперсионного уравнения. Для обоснования линеаризации применялась абстрактная теорема В.И.Юдовича. Доказательство глобальной асимптотической устойчивости состояния покоя проводилось при помощи второго метода Ляпунова. Для исследования структуры спектра Флоке применялся метод Хилла, заключающийся в сведении спектральной задачи к поиску нулей бесконечного определителя. Доказательство полноты решений Флоке основывается на идеях М В Келдыша.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты
Без специальных предположений о форме тела, сосуда и о физических параметрах системы установлен ряд качественных свойств спектров линеаризованных задач как при постоянной, так и при модулированной упругой силе. В частности, установлены топологические свойства нейтральных кривых, разделяющих области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров w, ||A||l,. Важную роль в исследовании задачи с модулированной упругой силой играет построение и исследование определителя Хилла
Получены асимптотики спектров линеаризованных задач Именно, в задаче с постоянной жесткостью рассмотрен случай большого безразмерного коэффициента, а (выражение для х через размерные параметры см на стр 7). В задаче с модулированной жесткостью построены асимптотики для трех предельных случаев- 1) Ц/іЦ -* 0, ш - фиксирована 2) ш -» со, h -
(J ирована и 3) h = w2h, ш -* oo, h - фиксирована
а. Исследована полнота решений Флоке задачи с модулированной упругой силой При этом доказана новая абстрактная лемма о полноте системы корневых векторов
4. Установлены новые теоремы об оценках резольвенты„и коэрцитивности конечномерного окаймления оператора, порождающего аналитическую полугруппу в банаховом пространстве. На этой основе проведено обоснование линеаризации в задаче с постоянной жесткостью
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит в основном теоретический характер Разработанный метод исследования спектра Флоке можно использовать для задач с постоянным оператором, возмущенным одномерным слагаемым с периодическим коэффициентом
w = Aw + h(t)f(w)$,
где h(t) - периодическая функция с нулевым средним, пара функционал / -вектор обладает некоторыми свойствами по отношению к оператору А Результаты расчета областей устойчивости и неустойчивости применимы при исследовании параметрического резонанса поплавковых приборов. Абстрактную лемму о полноте решений Флоке можно использовать в других задачах математической физики
4 лробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и осуждались на научном семинаре кафедры вычислительной математики и математической физики Южного федерального университета, на IX и X международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2005, 2006), на Международной конференции «Математическая гидродинамика, модели и методы» (Ростов-на-Дону, 2004), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006), на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 2007), на международной конференции «Анализ и особенности» (Москва, 2007)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-4] и тезисах конференций [5-Ю] (список публикаций приведен в конце автореферата). В совместных работах [1-2] и [5-7] проф В.И Юдовичу принадлежит постановка задачи и выбор общих методов исследования Формулировки утверждений и доказательства принадлежат автору диссертации
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы Работа изложена на 153 страницах, содержит 11
рисунков, библиографию в количестве 139 наименований
