Содержание к диссертации
В в е д е н и е 3
ГЛАВА I. СМЬНО НЕЛИНЕИНЬЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ ПРИ НАЛИЧИИ В ПРАВОЙ ЧАСТИ "БЕЛОГО ШУМ".. SJ
I. Уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка Ю
2. Метод параметра управления 15"
3. Метод статистической линеаризации ЯЛ
ГЛАВА П. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЬЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА ПРИ НАЛИЧИИ "БЕЛОГО ШУМА" зі
4. Одночастотные колебания в системах третьего.
порядка при наличии."белого.шума" ^
5. Автономные системы 41
б. Неавтономные системы <т4
7. Линейные системы с запаздыванием 5?
8. Механическая система с одной степенью свобо- ьО ды при действии экспоненциально-коррелированного центрированного стационарного процесса,
і..
Литература
Введение к работе
Теория случайных колебаний находит все большее применение в технике в связи с тем , что большинство динамических возмущений, действующих в машинах и конструкциях, носит нерегулярный характер и не может быть описано детерминированными функциями времени.Под действием таких возмущений в рассматриваемых объектах будут воз -никать случайные колебания. Примерами случайных колебаний могут служить электрические флуктуации, шумы в радиотехнических системах , колебания различных упругих конструкций при землетрясениях или при действии ветра, колебания морских сооружений из-за нагрузки от волнения моря и т.д. Изучение влияния случайных возмущений на колебательные системы и случайных колебаний в них имеет большое значение для практических задач, связанных с повышением чув -ствительности и помехоустойчивости радиоприемных и измерительных устройств , устойчивости строительных конструкций при случайных воздействиях. В настоящее время изучение случайных колебаний принадлежит к одному из перспективных направлений современной прикладной механики t 3,9, 21, 22].
Во многих задачах, связанных с исследованием колебаний дина -мических систем, приходится изучать колебательные системы со слабыми нелинейностями и слабыми случайными силами. Как известно,точных методов исследования нелинейных систем не существует, и в связи с этим большое значение приобретают приближенные методы. Осо -бенно эффективными являются методы нелинейной механики, в частности, асимптотический метод, метод усреднения , метод гармони -ческого баланса и метод эквивалентной линеаризации, предложенные и обоснованные в известных трудах Н.Ьі. Крылова, Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского 11,2,І7,203. В области случайных колебаний в
нелинейных системах асимптотические методы нелинейной механики в! сочетании с методами теории марковских процессов дают интересные и важные результаты. Хотя многие реальные процессы в нелинейных системах не являются марковскими , их иногда целесообразно рас -сматривать как марковские ввиду эффективности их математических методов. По общей классификации марковские процессы являются особым видом случайных процессов , однако они занимают среди других случайных процессов особо важное место. Можно указать два основных обстоятельства , при которых оправдано применение аппарата теории марковских процессов [ 3,5,6^9,21,34-].
а) Если случайное возмущение на сравнительно инерционные
системы конечного порядка являются широкополосной нормативной
помехой или флуктуационным шумом, то действие такой помехи на
систему в известных рамках аналогично воздействию некоторого
эквивалентного "белого шума". В таких случаях оказывается допус
тимым рассматривать процессы в системе как марковские.
б) Если случайное воздействие не является "белым шумом",но
его спектральная плотность может быть аппроксимирована дробно-
рациональной функцией.' Это означает , что такое воздействие мож
но считать сформулированным из "белого шума" при помощи линейно
го формирующего фильтра. Дополнив уравнение движения системы
дифференциальным уравнениям фильтра, можно получить расширенную
систему уравнений , решение которой будет представлять собой
векторный марковский процесс.
К необходимости рассмотрения стохастических дифференциальных уравнений привели задачи исследования механических систем, находящихся под воздействием случайных сил. Рассматривая предельное поведение линейной колебательной системы, находящейся под воздействием случайной силы, в пределе превращающейся в "белый
шум", Н.Н. Боголюбов C2J показал , что движение этой системы описывается марковским процессом. Наиболее общие уравнения для марковских процессов были получены А.Н. Колмогоровым [II]. Развивая идеи Н.І.І. Крылова и Н.Н. Боголюбова , И.И. Гихман (4-] дал общее определение динамической системы, находящейся под действием случайного процесса с независимыми приращениями , доказал, что та -кая система описывается марковским процессом и вывел для плотностей переходных вероятностей уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка' (КФП). Для строго обоснования предельного перехода И.И. Гихман [5J построил теорию стохастических дифференциальных уравнений,решение которых является марковским процессом. В последнее время И.И. Гихман и А.В. Скороход [в] создали наиболее общую теорию стохастических дифференциальных уравнений.
В пятидесятых годах японский математик К. Ито IIо] независимо от работ И.И. Гихмана провел прямое построение траекторий диффузионных марковских процессов с помощью стохастических дифференциальных и интегральных уравнений , ввел понятие стохастического интеграла по винеровскому процессу и определил стохастический дифференциал , которые получили название интеграла и дифферен -циала Ито. Теория стохастических дифференциальных уравнений стала мощным аппаратом для самых различных классов случайных процессов. Она сделала возможным математически описывать заданные сложные нелинейные системы, находящиеся под воздействием случайных возмущений. Возросший интерес к изучению дифференциальных урав -нений со случайными параметрами и функциями стимулировал разви -тие их математической теории и исследования прикладного характера. Особо эффективными при исследовании случайных колебаний в квазилинейных динамических системах являются асимптотические методы Крылова-Боголюбова-Митропольского.
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков име-
- б -
ют большое применение в теории автоматических систем [12,28,29],j в теории ползучести [32], в проблеме стабилизации судов [34], в электронной теории , в электрических лампах 8 и во многих других областях техники. Изучению детерминированных колебаний в квазилинейных дифференциальных уравнениях высших порядков посвящены работы ["38-46] и многие другие. В работе Гань Чань-цюаня [47]рассмотрены стохастические дифференциальные уравнения высших поряд -ков и доказаны существование и единственность их решений.
В теории случайных колебаний механических систем, даже та -ких , как механических систем с одной степенью свободы, обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков имеют важное зна -чение , если только спектральная плотность случайного возмущения
a W может быть аппроксимирована дробно-рациональной функ -цией. Действительно , пусть уравнение движения механической системы с одной степенью свободы имеет вид
х + б/х ^ F (t ; х , х) t ^) (I)
где «|0t) - результат прохождения "белого шума" f Сі) ,через линейный фильтр
Исключая a (t) из системы (I), (2), получим обыкновенное дифференциальное уравнение Си+ ^) -го порядка при наличии "белого шума"
Цх+сЛО^ LFCt;X,x)t^CtJ (з)
В настоящей диссертационной работе рассматриваются некоторые вопросы теории случайных колебаний в нелинейных неавтономных дифференциальных уравнениях высших порядков , подверженных "бе-
лого шума".
Работа состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена сильно нелинейным дифференциальным уравнениям высших порядков при наличии "белого шума". В I вводятся основные понятия статистической динамики случайных процессов и уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка для системы стохастических диффе -ренциальных уравнений. В 2 предлагается один метод интегри -
рования соответствующих уравнений КФП для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков при наличии "белого шума". Получены конкретные стационарные решения уравнений КФП для сие -
тем третьего порядка. На основании полученного в 2 решения линейной системы третьего порядка в 3 рассматривается конкретное применение метода статистической линеаризации к линейным системам третьего порядка.
В главе П изучаются случайные колебания одного важного с практической точки зрения класса квазилинейных дифференциальных : уравнений третьего порядка при наличии в правой части "белого шума".Характеристическое уравнение соответствующего порождающего линейного уравнения имеет один отрицательный действительный корень и пару чисто мнимых корней. Оказывается, что в таких квазилинейных дифференциальных уравнениях возможны одночастотные случайные коле-
| бания. В 4 изложено применение асимптотического метода Крылова-Боголюбова-Митропольского к системам третьего порядка с учетом
і "белого шума". Автономные системы третьего порядка рассматриваются в 5.Ввиду того,что соответствующие уравнения КФП для неавто -
номных систем третьего порядка становятся сложными, в б рассматривается вопрос интегрирования этих уравнений. Для одной линейной неавтономной системы третьего порядка решено соответствующее уравнение КФП. В 7 изучаются линейные системы третьего порядка с запаздыванием. Показана возможность приближенной аппроксимации систем с запаздыванием соответствующими системами без запаздыва -ния. В 8 приводится важное практическое применение систем третьего порядка к исследованию случайных колебаний в механической системе с одной степенью свободы под действием экспоненциально-коррелированного центрированного стационарного процесса. Изучается влияние такого случайного воздействия на колебания системы Ван-дер-Поля.
Автор выражает глубокую благодарность Ю.А. Митропольскому за постоянное внимание и ценные советы при написании работы.
Г Л А В A I
СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ПРИ НАЛИЧИИ В ПРАВОЙ ЧАСТИ "БЕЛОГО ШУМА"
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков находят большое применение во многих областях науки и техники,та -ких как теория автоматических систем Г 12,28,29J, теория ползучести С 323, стабилизация судов І34-], электронная теория в электри -ческих лампах [8] и т.д. Изучению детерминированных колебаний в квазилинейных дифференциальных уравнениях третьего порядка посвящены работы [38-46] и многие другие.
В теории случайных колебаний механических систем даже таких, как механические системы с одной степенью свободы, обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков имеют важное значение, если только спектральная плотность случайного возмущения может быть аппроксимирована дробно-рациональной функцией. На практике такая аппроксимация , как правило, допустима, и это означа -ет, что случайное возмущение (\ №) можно считать сформулированным из процесса типа "белого шума" при помощи некоторого линейного формирующего фильтра порядка ru . Как было показано во введе -ний, исключая oi Ct) из уравнений движения механической систе -мы, мы приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению (Л*-1) - порядка с "белым шумом".
В главе I рассматриваются некоторые общие статистические методы, применяемые для исследования сильно нелинейных дифферен -циальных уравнений высших порядков с учетом "белого шума".
I. Уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка
Рассмотрим некоторые основные понятия теории случайных процессов Гз,5,б] . Случайной величиной называется величина X которая может принимать любые значения. Случайная величина есть функция , определенная на данном пространстве элементарных собы -тий, т.е. каждому элементарному событию ставится в соответствие некоторое действительное число. Функция о it) называется случайной , если при любом значении аргумента t значение а есть случайная величина. Аргумент t считается неслучайным и непре -рывным. Случайная функция й[+) называется также случайным процессом. Основной статистической характеристикой непрерывной случайной величины Z является ее функция распределения P0*.) = P(2
< > - операция вероятностного усреднения.
Для стационарного случайного процесса корреляционная функция 1С. С^;У зависит только от разности "Ц-"^ =- ^ Будем предполагать, что корреляционная функция интегрируема по модулю на всей полуоси ^? о , Тогда Гз J существует неотрицательная функция ^о (<*>) такая, что функции К аЛь) , ф (^со) представляют пару преобразований Фурье
-эо
Ф<Н("} " 7Г (,кс,с,^^ыъ4г;
«О
Функция с|р Гсо^) называется спектральной плотностью стационарного процесса attr) . Дисперсия стационарного процесса связана со спектральной функцией
2» , «„со) * 5 ^ («)Д«
Стационарным "белым шумом" называется процесс к Ctj , для которого vn. - о , ^Хх (t) ~ б* 6" (t) , положительное число б' характеризует интенсивность "белого шума". Дисперсия "белого шума" равна бесконечности. "Белый шум" в чистом виде в природе не су -ществует , т.к. для его реализации необходима бесконечная мощ -ность , поэтому его рассматривают как некоторую абстрактную модель , имеющую большое значение в статистической динамике Г 3,9, 21,22]. Если спектральная плотность случайного воздействия близка к постоянной в пределах некоторого ограниченного диапазона существенных для данной колебательной системы частот возбуждения, то данная система будет реагировать на такое возбуждение так же, как и на возбуждение типа "белого шума".
Случайный векторный процесс х (tj называется марковским, если для любых *fc.<"t, < .. <, < .. < І:, выполнено условие
Для марковского процесса безусловная совместная плотность вероятности Р(.*4.Ді.) " )^vv7tK) при ^ ^клкл>ри*л; Таким образом любая конечномерная совместная плотность ве -роятности значений процесса в различные моменты времени пол -ностью определяется плотностью вероятности начальных значений и функций PC^Oj'ti '*_ ,^ с-і. ) ^та ФУнкЦИя называется плотностью вероятности перехода. Если X Ct/ есть к -мерный векторный процесс, то полное число аргументов PCx^t^f ре. ,t. ) равно , вообще говоря, ^ + Рассмотрим теперь диффузионный марковский векторный случайный процесс X () и его плотность вероятности перехода . Как известно Г5,П] эта функ -ция удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных при условии , что производные обеих частей этого уравнения су -ществуют. Функции С(. С х -) , ^,-Cxrt^ называются соответ-ственно коэффициентами сноса и диффузии процесса кСЬ .Уравнение (II) носит название уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка (КФП) и должно решаться, вообще говоря , при - ІЗ - очевидном начальном условии Ь/м fOo^M1 - SCx-y). t ->s Если процесс X(t) является стационарным , то в пределе при достаточно больших і и 5 функция Р не будет зависеть от начальных условий и времени. Эта предельная стационарная плотность вероятности с точностью до нормировочной постоянной совпадает с безусловной плотностью вероятности Р(х) . Функция Р(к) кроме того, что она удовлетворяет уравнению КФП (II) , долина обладать следующими очевидными свойствами fx) > О ; - оо < X <. со , (1.2) bw ffr) - Ьт fCx) ^ о Как известно в [б j случайный процесс xCt) , определяемый системой уравнений йто № - {c*,t) -f і &*оед со. up (1.3) где S^CO - некоррелированные процессы типа "белого шума" с единичными интенсивностями , будет диффузионным марковским про -цессом , коэффициенты сноса и диффузии которого соответственно равны Систему (1.3) можно переписать в виде (1.5) где ЬСі) - ^- мерный винеровский процесс Пусть fy (.с, X - непрерывно дифференцируемая по f и дважды непрерывно дифференцируемая по Kj функция. При этом справедлива формула Ито Сю] .ivy [ ч J^ct,<«))=[ [i,x(i))+l fycJt,xCi))fK(b*to)+ „ .. Z .л.. KL JJb "J (1.6) Формула Ито представляет собой формулу дифференцирования сложных случайных функций. Применение метода марковских процессов к конкретным нелинейным стохастическим системам наталкивается, как отмечается многими исследователями , на трудности нахождения решения соответствующих уравнений КФП. Инетгрированию уравнения КФП посвящены работы [э,22,23,3з] и многие другие. При сочетании с методом усреднения нелинейной механики уравнения КФП существенно упро -щаются и позволяют получить целый ряд аналитических решений нелинейных задач статистической динамики [9,21,33]. Строгое обос - нование метода усреднения для стохастических уравнений имеется в [36,37j. 2. Метод параметра управления Как отмечалось в I при исследовании случайных колебаний методом марковских процессов приходится решать уравнения Колмо-горова-Фоккера-Планка, которые являются уравнениями в частных производных параболического или эллиптического типа. Для нелинейных динамических систем коэффициенты соответствующих уравнений КФП сложным образом зависят от фазовых координат, поэтому применение известных методов решений уравнений математической физики [22] встречает большие трудности. Интегрированию уравнений КФП посвящены работы [9,22,23,33] и другие. В этом параграфе изложен так называемый метод параметра управления для интегрирования уравнений КФП [23]. Сущность метода заключается в следующем. Как известно , функция плотности вероятностей является всюду положительной в своей области определения. Следовательно , для построения решений уравнения КФП целесообразно выбрать какие-либо интегралы (обычно интег -ралы энергии) некоторых механических систем. Таким образом согласно этому методу путем введения некоторого параметра управления исследуемое уравнение КФП заменяется другим уравнением в частных производных первого порядка. Параметр управления выби -рается так, чтобы последнее уравнение проинтегрировалось. Про -демонструєм вышеизложенное на примере механических систем с одной степенью свободы, уравнение движения которых имеет вид (2.1) уравнением КФП для плотности совместного распределения W(x,X,lJ будет Н + К (2.2) Интегрируя уравнение (2.2) по переменной К » получим и дк ) J ь и Введем параметр )\ (X,t) , зависящий от перемещения, времени и связанный с функцией плотности вероятностей wCk, х7 v) соот- ношением w ь + J-CKW)) їх = l(K,i)W (2.4) It I* K (2.5) Параметр Д. выберем так, чтобы уравнение в частных производных первого порядка (2.5) интегрировалось . Определив W(x,Xj Ь) , подставим его в уравнение (2.3) и найдем F(X,k,t)=^x+.frKX,-t) (2.6) После подстановки этого выражения в уравнение (2.1) получим к"+ ШД;--Г- ^ s tSCt) (2.7) jyj ' дк Отметим , что по уравнению (2.5) определяются первые интегралы механической системы, уравнение движения которой имеет вид Л + Я(ХД) = О (2.8) Формула (2.7) дает возможность для каждого такого первого интеграла детерминированной механической системы (2.8), удовлетворяю- і щего всем свойствам функции плотности вероятностей, построить некоторую стохастическую механическую систему (2.7), для которой: первый интеграл является плотностью совместного распределения процесса (X/ Ю . Например, выберем параметр l(x,t) независящим от времени KU,V = fCxJ ^-^ Тогда консервативная механическая система (2.8) допускает первый W(Kjk) = С а^ L -Д- ГхД- где $($) - любая дифференцируемая монотонная функция и У[о) - 0 . Отсюда по формуле (2.7) построим стохастическую систему х +рх * fix), f |f - 'ІС-tJ (2.II) S = /^( fU) l* Получим известный результат [з,9], который можно легко распространить на механическую систему со многими степенями свободы. Рассмотрим теперь применение метода параметра управления к сто -хаотическим дифференциальным уравнениям высших порядков Соответствующее стационарное уравнение КФП будет вид Зл X" 2x Y+ - ЗУИ^Х ГіГ1^ЧГ (2.13) Отсюда Л s w J ( [ М.іл 9? t>) r j< Й/ . *f]P{ , X * y (2.15) Введем параметр управления , связанный с уравнением А - j^T-i; (2.17) Подставляя (2.16) в (2.14), получаем Параметр /t(x,..vx / выбираем так, чтобы уравнение (2.17) про-интегрировалось. Заметим, что уравнение (2.17), переписанное в виде 8 (wx; + +-—tyx'L) - ^tjj ifwA; = о (2Л9) определяет последние множители Якоби детерминированной системы [22] 4 X і , W~i) j± + h(x,...,Y) = О (2.20) Подставляя теперь (2.18) в (2.12) получим ги .Л, It + A(V"'X ^ї?рт - *№ (2.2D Формула (2,21) дает возможность для каждого'последнего множителя Якоби детерминированной системы (2.20), удовлетворяющего всем свойствам функции плотности вероятностей, построить некоторую стохастическую систему (2,21), для которой последний множитель Якоби является плотностью своместного распределения процесса (х, .*, Z1" ) , Заметим также , что для консервативных систем [22 J последний множитель Якоби одновременно является первым интегралом. Рассмотрим конкретный случай для Я - 3 . Выберем X Сх,х,х ) ^ «СЮ* (2.22) Тогда уравнение (2.17) будет иметь вид !к+ El _Ц<юк =о (2.23) 3* Эх 2 к уравнения его характеристик [1,3]-JLk їх _ Jix т т " - ЇГх (2-24) Они допускают два независимых интеграла х 4 а(х) h ^ uwst (2.25) -їх г С —-(* + (аш^х + хуаЫх- у *(x)Jx = <^sf Тогда общее решение уравнения (2.23) запишется в виде Cx(a(x)Jx -і Ma(x.^xj_i_ ц)|х4Ja(^xU . сі X X X б1 [ ^ Отсюда с учетом (2.18) получим ^и^/х—^И^-^^і^І (2-2?) Сформулируем следующую теорему [23J Теорема 2.1. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение х + рх + Vxjx - «х + ^а(х)Л* + (2.28) ,t k l J y ^ 2x ^ - L J -/ x x . где bW - "белый шум" с единичной интенсивностью. Тогда стационарным решением соответствующего уравнения КФП будет -2($вМлД 4*Ф^Л. -f (2.29) Рассмотрим два примера Пример 1. Пусть а [к) ^ - l + е.Ух*' if = у = о, и уравнение (2.28) имеет вид уравнения Ван-дер-Поля-Дуффинга х + **'- (1-^;х- о*4^;*-^л^^№ (2.30) Тогда решение (2.29) примет вид iv(x,*,x'J = Lwf j- j^x - 71*^ г г ,, *рУ зт- ^ <*> (2-31) Из (2.31) следует , что "скорость" X статистически незави Пример 2. Положим в (2.28) уравнение (2.28) будет линейным х\ Вх + /х -f І* =(*>&) (2.32) / Тогда решение (2.29) запишется в виде (2.33) Для того, чтобы выражение (2.33) было плотностью вероятностей, ' р-Х >0; к >,0 } 1 >Oj f>0 (2.3*) І Из формулы (2.33) следует , что в уравнении (2.32) "скорость" X статистически независима от "ускорения" * и "перемещения" X . "Перемещение" Л и "ускорение" X будут статистически независимы только в случае, когда А^ (2.35) Это означает , что линейное уравнение (2.32) не должно содержать "перемещения" х В таком случае уравнение третьего порядка (2.32) будет вырождаться в уравнение второго порядка, если положить * = ^ . Учитывая плотность вероятностей (2.33) и формулу оО Л d ,/7Г - ос х л, і vn а х d х ~ —і (2.36) легко вычислить вторые моменты <Х } , <* ,>»<Х Л ><**,)* в линейном уравнении (2.32). Плотность вероятностей (2.33) служит основой для применения к уравнению третьего порядка метода статистической линеаризации. После вычислений получим JLCfUH) ; лі^л)^ (2.3?) 3. Метод статистической линеаризации Теория линейных стохастических дифференциальных уравнений достаточно хорошо разработана. Для таких уравнений успешно применяется принцип суперпозиции [3,5,9} . Известно также , что линейные системы сохраняют нормальное распределение вероятностей! входного случайного процесса ("3,5,9]. Поэтому при исследовании \ ! нелинейных (особенно для квазилинейных) систем их целесообразно | заменять линейными. Одним из наиболее часто применяемых на прак-і тике методов такой замены является метод статистической линеаризации [l2,27j . В работе [I4-J показано , что метод статистической линеаризации является обобщением известного метода гармонической линеаризации нелинейной механики. Итак, рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение и- -го порядка -^ + i«,k,-,.$-*) = '*&; (з.і) І Заменим уравнение (3.1) линейным уравнением где к0 __ Г--~ , Хо « Го дв - центрирован- ный случайный процесс, а коэффициенты о(; , (Х0 определяются из условий минимума выражения і - іТи. Из (3.3) получим Г в - (и-О 1 (V \ <> *Ч J Ко > -о UI (В Л) , х Р / ^И'і; I Можно показать , что при некоторых условиях определитель матри -| единственное решение вида «I ~«i U^>;<%% >). (3-5) Уравнение КФП для стационарной плотности распределения вероят -ностей процесса (&>, .. ., Хо ) уравнения (3.2) будет иметь вид V/L 2 W Uu/.I ^>)_ _г , <Єі; "^ ~ JL $?№' - о Пусть уравнение (3.6) допускает решение При помощи (3.7) нетрудно вычислить < |- ло > »у*^> как функции от параметров ,Ф ; »*. , <Хц, . . Подставляя эти вы -ражения в (3.5) , получим замкнутую систему уравнений для опре деления <*/' . Рассмотрим стохастическое дифференциальное урав нение третьего порядка [24]. у + Ц*,х,х ) = Эквивалентное линейное уравнение (3.2) будет иметь вид Хо^'І +^о * Г*о = fj(t; (3.9) а система (3.4) (зло) С другой стороны , стационарная плотность вероятностей величин Хо, Ко Хо уравнения (3.9) по формуле (2.33) имеет вид (ЗЛІ) Отсюда <Х* , Х0 > =, о ; <Х* *о > ^ (3.I2) Подставляя (3.I2) в (ЗЛО), получим с{х><Хо%<с>>- ^ (3.I3) Определив с помощью (ЗЛІ) значение моментов^ xto ;>, <>0 *0>, их в (3.I3), сможем найти нужные моменты. Пример 3. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля третьего порядка [24І здесь у >о . Детерминированные колебания (3.14) изучены в [43J, эквивалентное линейное уравнение имеет вид а уравнения (3.13) для K,f , У -і (З.Іб) Второй момент <^ *V > равен ,^ > _ _/ Г*_ (3-І?) если случайное воздействие мало , то о Заметим, что соответствующее линейное уравнение (е= ) не имеет стационарного случайного колебания. Это следует из (2.33) ,(2.37) или непосредственно из (3.17). Рассмотрим теперь возможность применения метода статистической линеаризации к линейному уравнению с запаздыванием где Л± і 4Z - запаздывания , ^Ш - стационарный центрированный случайный процесс , - малый положительный параметр.Пред- положим, что для уравнения (3.19) существует решение вида X(t) = k(i)<&>(tvt+ Ш) (3.20) где cuik) , -e(t) - случайные медленно изменяющиеся процессы. Заменим уравнение (3.19) следующим стохастическим обыкновенным дифференциальным уравнением х({)+ ио'кШ - *4*60 * awe*)-* c{V (3#2I) сд,; ш, ^ tomb где о^ , о^ найдутся из условия минимума выражения ^ (3.22) Решая (3.22), получим Ч = -г- к(«*а-щ+ <х*0«Х*1:*7 >-<*(*;* W>' + (3.23) ^ <^^><^w>- -f Для вычисления (3.23) воспользуемся выражениями (3.20).Так как л,(Ь) » ti) - случайные медленно изменяющиеся процессы, то будем иметь Л/ d{j>)\ Ф} (vol + 0 ft;) cos^ + SiV, (wt + Ні))*іч ojA^J = (3.24) - XUJCOSU)^ .1 iW^UjAt; z xct;^^ + w * o) ***w ^± Подставляя (3.24) в (3.23) , после простых преобразований получим (3.25) ыА - ос из и»? w Л± +&}&& , Подставляя (3.25) в (3.21), окончательно имеем (3.26) * (ото & м± + k tot ^4 JхJ-/- qCO+zfoz^t Итак, на.основе метода статистической линеаризации и предположения о существовании медленно изменяющегося решения (3.20) стохастическое дифференциальное уравнение с запаздыванием (3.19) заменяется обыкновенным стохастическим дифференциальным уравнением (3.26). Пусть ц = 4 (т7 **** wAt - ^^w^ibo , тогда ре -шением уравнения (3.26) будет ^t;^ e . . . w± С х0 W5 o)±f + —-— «^ ^; -f (3.27) где X^ , XD - начальные детерминированные значения хШ , /5 е. . и? ц)Л - <* cos озД1 4 1 10 *- «4l oJ ' Из (3.27) определяем среднее значение и корреляционную функцию решения - зо - 'I W. )^0^^ C ІЬ~Ь>4_ІЬ~&)сІ& *<л fc^cvtj -^5^ SCs^^}x ^ о 0 где "v>v C"t) KoqCfcJ - среднее значение и корреляционная функция внешнего случайного воздействия а С) . - ЗІ -
интеграл Л
сима от "ускорений" X и "перемещения" к .
должны выполняться условия |
^+І«і ТУ + «* ^ ПСІ) (з.2)
Ш II<С Хо Хо '/ отличен от нуля и система (3.4) допускает :
<
/V^N . (3.18)
Л , fc ч (3-28)Похожие диссертации на Некоторые вопросы теории случайных колебаний в нелинейных стохастических дифференциальных уравнениях высших порядков
