Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. О существовании обобщенного решений 22
I. Некоторые вспомогательные предложения 22
2. О множестве Рч/(а,, А,В) 25
3. Леммы о разрешимости краевой задачи (0.1), (0.2) 29
4. О вектор-фувкндях, обладающих свойствами V(6*,],t) и^(&,]Д) 39
5. Теоремы существования обобщенного решения 47
ГЛАВА II. Свойства обобщенных решений 60
6. Обобщенное решение и краевые условия 60
7. Дифференщгруемость обобщенного решения 61
ГЛАВА III. О существовании и единственности классического решения 78
8. Регулярная задача 78
9. Сингулярная задача Дирихле 92
10. Смешанные задачи с сингулярностями 115
Список литературы
- Леммы о разрешимости краевой задачи (0.1), (0.2)
- Теоремы существования обобщенного решения
- Дифференщгруемость обобщенного решения
- Смешанные задачи с сингулярностями
Введение к работе
0.1. Основные обозначения и термины.
[^ - h.-мерное евклидово пространство, \{ zz R >
X — (х J-L_,j Є R - вектор-столбец с компонентами
ос1,...,**.
' Ееж 4^^ = (^^6^^ = (^).^6^..0 v*3C>ty) "" вектор из Ь2-^1 с компонентами 1:,3^,.../^1... k.h.
X-ty - скалярное произведение векторов Х>ЧЄ R^ » а \lОС \\ — уХ-Х - евклидова норма вектора ХЄ R*
Если io^R^Se^+ooC и Xo,ft0RK , то
ІІв(*..ї.^.)={^ї)^К+1:1к-і.|^,І^^8.ІІЇ-!ЬІІ^У T](a,)={(i)x1^>i[xR2h:H)V^>0}(j^)2).
Imes J) - лебегова мера множества 2) R. ^» 0 - промежутки, т. е. множества типа [а,] э ІРД [.](*>] или]а,Е[ ,где-оо^а<-^-нсхэ.
л / і k \n ік
Д г (a Jtl<=i - И. xh.-матрица с элементами ее
(U=l,-.h), i|AI|-Z|cilk|.
Q - нулевая, а Е - единичная КхК-матрицы.
Д" - матрица, обратная А
Ах - произведение h xh.-матрицы Д на вектор-столбец X R, .
Запись Д>0 означает, что А - hxh.-матрица и для любого ненулевого вектора X R Д X -X > 0.
Д^0 означает, что либо А> Э , ««о А=9.
- 4 -
Пусть . Тогда
у (А) Л ^{-^--115111=1 пРЙ А>0 V0 при А = 9
Легко видеть, что если Д>У , то
\/ (х) - полная вариация функции ос: [а> Ъ J —* к на сегменте
X — (Ос1) ^ _ . : [а, % ] -* К называется вектор-функцией ограниченной вариации на а, j , если каждая ее компонента X имеет ограниченную вариацию на этом сегменте.
- множество непрерывных вектор-функций
, 6]»J ) "" множество интегрируемых по Лебегу функций X*. [а Д]-*5 (5cR), a UoC(^5) -множество функций X: > —> j , сужение которых на [d, В J принадлежит L»(p,8]}j) для любого сегмента [о( В] с ^ . Ясно, что если J - сегмент, то IjjUc(^''S)-L(J;S).
С ( [а,8] *i S) "" множество вектор-функций X: [к і о]"* J (S^ t?^)» каВДая компонента которых абсолютно непрерывна на [а &] вместе со своей первой производной. C-jLc( Т' j S ) " множество вектор-функций X: л- -^j ($ С ]R,n ) » сужение которых на [сі, V J принадлежит "СЧ [d, 6] -^ ) Для любого сегмента [d, 8] С ^-
kffToi {»1 X R*** S) ~~ KJiacc Каратеодори, т. е. множество вектор-функций f: [pSoJXK '"^2(ГкСКП) таких» что i!(-t )'. IR^-^S непрерывна при почти всех І^[а,й> $(/*) *-ІЯЙ]-»$ измерима при любом ХЄ R и
{IIf(-,xMI'-11*11^ eUMhRJ
при любом «ее R+.
кіз (/f X Rm і S ) "" шожество вектор-функций
f'UxR^-^^f^cR") ' сужение которых на Й, (SJ X R принадлежит |фі,6] х **; 5) ^^ жх3ого сегмента [?l,p]c>f-Цусть р>05 г^О и - оо < ^ ^ |2 ^ + оо. Тогда
і при О ^ S р XpCs)r^ SPp-5_ при f
О при $j>*S
О при \\У\\ її
Groa,^ilWz| u-tjCb-T) при ^^
V CT-tOUft-i) при -t^T^-l^"
Будем говорить, что тот или иной факт имеет место внутри промежутка \к , если этот факт имеет место в каждом сегменте, содержащемся внутри этого промежутка. Например, если последовательность ( 0С\ ), равномерно сходится в каждом сегменте, содержащемся внутри интервала Зс^ъС , то будем говорить, что она равномерно сходится внутри J (*,&[_
0.2. Постановка задачи. Всюду ниже предполагается, что
*eRJ]a,+~L, А,В^9 и cvcRnCL=i,a).
диссертация посвящена вопросу разрешимости и однозначной разрешимости краевых задач вида
х"=|М ,*>*'), (од)
осСа) = Ах'(а)+С1)х^)=-Вх'(«)+Сг5 (0.2)
Частными случаями краевых условий (0.2) являются краевые условия Дирихле
ЭС(а)=С19 ЭС(^-С2? (0.3)
ЗС(а)-0? Ос(Е)г О (0.3о)
и смешанные краевые условия
ос (60 = /^(0)+0,, a() = cs, <-4>
х(ос)-Азс'(«)) ос(6)= О. (0.40)
вектор-йгавдш XcC("[a,g]-Rn)n^c(]a,g[; flh)
называется решением краевой задачи (0.1), (0.2) в классическом смысле, если она почти всюду на J а, ь L удовлетворяет дифференциальной системе (0.1) и краевым условиям (0.2) *'.
Вектор-функцию ограниченной вариации ОС ' 194 о J "*" к назовем обобщенным решением краевой задачи (0.1), (0.2), если найдутся последова-тельности функций (Al ),„,, .и l^k)W4 такие, что
каздом конечном отрезке
И^ Au(s)- 1-
2) для любого натурального к вектор-функция
ОСієСЧСи, ^]-^н)является решением дифференциальной системы
oc"="Xkfllx'll)f(^,*')>
удовлетворяющим краевым условиям (0.2);
3) последовательность (ЭскУ~ равномерно ограничена
на Са о 1 и в каждой точке этого отрезка
I) Подразумевается, что если ), то
Существует Предел J? і Yc\ х (-Ь) ( J? І hn ОС Чі)) '
Хью. ос. (-0 = xc-fc). х)
Краевые задачи вида (0.1), (0.2) называются регулярными, если а1\(ьЛ'0 J Х(5 , х ) » и сингулярными, ее-
ли |KMW\h).
В диссертации изучаются разрешимость и однозначная разрешимость в классическом смысле регулярной краевой задачи (0.1), (0.2), сингулярной задачи Дирихле (0.1), (0,3) и смешанной сингулярной задачи (0.1), (0.4). Кроме того, исследуется вопрос о существовании обобщенного решения регулярной задачи (0.1), (0.2) и изучаются свойства такого решения.
0.3. Краткий обзор литературы. При К-1 как регулярным, так и сингулярным задачам вида (0.1), (0.2) посвящено большое число работ (см. [II, 12, 13, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 28, 33 3) и указанную там литературу). В основу многих из них положены классические работы С. Н. Бернштейна [I], М.На-гумо Ц32] и л# Тонелли [35] (сказанное особенно касается задачи Дирихле (0.1), (0.3)). При [\>і такие задачи преимущественно изучались в регулярном случае в работах да. Скор-ца-Драгони [ 34], Ф. Хартмана [18, 22], 10. А. Клокова[14] , А. Ласоты и да. А. Йорка [29], да. Мауэ[30, Зі] и др. Ниже мы приведем некоторые результаты из этих работ, непосредственно связанные с настоящей диссертацией.
Стараясь обобщить теорему Бернштейна-Нагумо [32] для векторного случая, Ф. Хартман доказал следующую теорему:
I) Если К-1, А=В = 0 И ?K(W!]X{?a..|R) , то введенное нами обобщенное решение является обобщенным решением краевой задачи (0.1), (0.3) в смысле работы [іб] (см. определение 3 из [іб] и теорему I из [15]).
- 8 -Теорема 0.1 [22]Х). Пусть | С ([a ,(^.^ )
ІІСііиго(іи,2), (0.W
OC.f(i,x,yH||^||40 приХ-^О и[|х||=г0)(0.6)
II \ U ДД)|| < к (ocf ttASWIjJIl'j +1f(||x||j (0#7)
при (i,a,^)[«J]xR2k
Uf^x^lU^fW ^ U>oc4)e[^g]xRh (0.8) где^М0ЛС^іи^С(+;3,+^Пи
-J- oo
\ SdS_- ^ (0.9)
J ui(S)
Тогда краевая задача (0.1), (0.3) имеет хотя бы одно решение
X » удовлетворяющее оценке
ЦхШН^о при а±{б g 2). (0.10)
В [22] показано также, что если вместо (0.8) выполняется условие
Ц?«,*,&)||бРЗН+1г, гтЬмМШ**, (0.П)
где 1о^ и Y^0^ ' 'то y^0BIIe (-7) становится излишним.
В работе А. Ласоты и Две. А. Иорка [29] установлены условия разрешимости краевой задачи (0.1), (0.2), которые но-
См. также [18], стр. 508.
В [22] эта теорема сформулирована несколько иначе. Именно, определена и удовлетворяет неравенствам (0.7), (0.8) не на всем множестве [<*, ь J X к » а лишь на его
части P(fto)-{tt^,3)[^>6]xK2h0l^ll^o]J . Эта разница несущественна ввиду оценки решения (0.10).
сят характер односторонних ограничений, налагаемых на вектор-функцию ^ .
Теорема 0.2 [29] . Щгсть |єС([а,ЙХ|? \ № >
+ М?(^ХЛ)Ц при U5X^)[aJ]yR2K. Тогда краевая задача (0.1), (0.2) разрешима.
Теорема 0.3 [29] . Цгсть \ Є C([(Xl6]xR2h^hj
\d>/> k*>, <ч= 0(ri,2j
.2
-tonsil да (tpc,a)[q^]yR2^
Предположим далее, что соблюдается (0.8), где Со є С(|^ -,]0 +оо [) Удовлетворяет условию (0.9). Тогда краевая задача (0.1), (0.2) разрешима.
М» Мауэ [ЗО, Зі] предложил теоремы существования, касающиеся небернштейновского случая, когда порядок роста I ({7 ЗС> у-) по ty превышает два.
Теорема 0.4 [ЗІ]1). Пусть | ЄС (kgJX^R'j,
k;>,o (1=0,1), iJ-^rWl, ^C([4l«-,R+) -
up» алїіеЬ.ШК"
(0.14)
(0.13)
Предположим далее, что
ll?tt,a.a)|U^(t,s)U,(ll!fll) ih при (4.,хЛ)[о,ЙХ|? »
где Х^{[.аЛШ*-Я+\ uteC0V,]O;+-n д
I) Аналогичный результат содержится в [ЗО].
+ со
Тогда краевая задача (0.1), (0.3Q) разрешима.
Заметим, что в теореме 0.4 вместо (0.14) можно потребовать условие
*|(t,x,if)>-k1||x||u-k,lllHI*-?(t)lliir' (014/,
Полученная при такой замене теорема и теорема 0.4 охватывают один и тот же класс дифференциальных систем.
Приведем теорему единственности решения:
Теорема 0.5 [30] . Пусть ^ Є С(їа і ] X R2h. Rh),
І^оои.и, 1,(^-)4(^) <1
(x,-a2)-(f(± ^0-^,. )Ь "Ul V*/-
-k4ll*i-»»llllfc-MI
при (t,ocbal)e[a>g]xR8K Cv=1.«)-
Тогда краевая задача (0.1), (0.3Q) имеет не более одного решения.
Следует отметить, что вышеприведенные теоремы доказывались различными методами. Поэтому трудно было заметить существующую между ними внутреннюю взаимосвязь. Далее, при \г — \ их условия являются более жесткими, чем условия известных ранее теорем, касающихся скалярного случая. Например, при К - 1 оба варианта теоремы 0.1 накладывают более жесткие ограничения на рост функции f относительно третьего аргумента, чем известное условие Бернштейна-Нагумо, не говоря уже об односторонних условиях, принадлежащих X. Ефе-зеру [21] и И. Т. Кигурадзе [II, 12] . Это обстоятельство
- II -
не является случайным, ибо, как показывает приведенный в[22] пример Хейнца ' [24] , для К > 1 -мерных вектор-функций лемма Бернштейна-Нагумо об априорных оценках, лежащая в основе теории двухточечных краевых задач для скалярных уравнений, уже не справедлива.
Отметим также, что при W-\ условие (0.6) теоремы 0.1 выполняется в том и только в том случае, когда Т-о - верхняя, а -Ъ0 - нижняя функции уравнения (0.1)(т. е. f ("ЬДо,0)>0 и І- (Ч,-Ъо,0) 6 0). Поэтому естественно возникает вопрос об обобщении условия (0.6) таким образом, чтобы при h.= 1 охватывались более общие случаи наличия пары верхних и нижних функций уравнения (0.1).
В данной диссертации сделана попытка в какой-то степени избавиться от вышеупомянутых недостатков. Доказанные нами теоремы обобщают теоремы 0.1-0.5 и, с другой стороны, служат К > 1 -мерными аналогами для теорем, касающихся скалярных задач.
0.4. Основные результаты диссертации. В первой главе ( 1-5) исследуется разрешимость регулярной краевой задачи (0.1), (0.2) в обобщенном смысле.
Определение I.I. Вектор-функ
ция V^j^j ]<*,(*[-> R принадлежит мно
жеству
N : J^jfL —* J-oo)0J измерима,
jtt-<*)(p-t)|V«|cH
и любое ненулевое решение 1L дифференциального уравнения I) Пример Хейнца - это множество двумерных вектор-функ-
(cOSpt,SLhpt) , Где рс|? .
имеет не более одного нуля на \_d} f] , какова бы ни была измеримая функция Ч'-ІЧРС"^ R * Удовлетворяющая неравенству
Определение 2.1. Цусть 0^^6^ , Скажем, чтов е к т о р - фу н к ция (^Д2) :]<*,[-» * принадлежит множеству Ру(я, &; А;В) » если г сЦ[а,6] j R+) , ^0<*JiМ-,] измерима ,
)(i-a-v(m%MB)-i)\U^\ ^ ^ ^
и C(^)Ro^)ep0(a^,«+)ja) ,РДе
Kl \о пРиа^<і,аияи^и«+42і
Замечание 2.1, леммы 2.1-2.2 и предложение 2.1 характеризуют множество Ру[<Х % А В)*
Определение 4.1. Пусть ^К^раДх^ ;R ) и ^ > О . Вектор-функция ^ обладает
своиством
если для любого неотри-
цательного числа Р найдется Ч^У/О такое, что
JllOc'WlU-Ut., (0.15)
каковы бы ни были а іл . {% ^ о5 JC Є С(к+ ) [Р> 1J )
и решение ос Є С дІІ^У "> R ) дифференциальной системы
х^хо^ини^^ (олб)
удовлетворяющее условиям
\\ ЭСВ)|| ^ f при i^-U-U? (0.17)
- ІЗ -
Заметшл, что для любого t>0 функция j?|( (]a,8[xR*,R) заведомо обладает свойством V(іа;ь]д) » причем в качестве rt1 для числа Р можно взять %f-
Определение 4.2. Пусть | |<^([Ь g] xRh- fthJ и |VL>0. Вектор-функция f обладает
свойством V(&>] Д) » если ^1 -и^01,0 неотрицательного числа р найдется 't^O такое, что,каковы бы ни были (ХІ, <: 4:^ и функция #V С (R+; [О, {]) . решение ОС Є Сл (U ц, "t J } I? h) дифференциальной системы (0.16), удовлетворяющее наряду с (0.17) и (0.18) условию |х(4)-ЗС7(і)| ^f при -t^-U-t*,
удовлетворяет и оценке (0.15).
В предложениях 4.1-4.6 содержатся эффективные признаки
наличия свойств VilQ,^] X) ж V(La,&] ї.) У ьек-тоНй | . Отметим, что если выполняется условие (0.7), то, ввиду предложения 4.3, вектор-функция ± обладает свойством V ([_а} 3 1) ^сли же 4- удовлетворяет условиям теоремы 0.2 (или теоремы 0.3), то она обладает свойством \/([a, ^],i) (см. предложения 4.4 и 4.5).
Определение 5.1. Цгсть ^^[^Л]х^^)-Пара функций vf ,"2) называется парой Нагумо дифференциальной системы (0.1), ес-
^P(t)>0 при a <.i *%
и найдется последовательность положительных чисел ($V). таких, что J? і to Pk - + оо и
при 0L'i4p-mihV№ ірї&М-ґіфШШ (к=і,2г..).
Определение 5.2. Пару Нагумо (^2) дифференциальной системы (0.1) назовем парой Нагумо регулярной краевой задачи (0.1), (0.2), если
^ $Щкогда а -_. в^с,,Ца-адН1 >W
Эти понятия тесно связаны с понятиями нижних и верхних функций скалярных уравнений и задач. Именно, наличие пары Нагумо скалярного уравнения (0.1) (скалярной задачи (0.1), (0.2)) эквивалентно наличию нижней ( 6Г-, ) и верхней ( & ) функций уравнения (0.1) (задачи (0.1), (0.2)), удовлетворяющих условию
Єг(«>Є1Н)при см Ї ^ g
(см. замечание 5.2). Отметим также, что если выполняются условия (0.5) и (0.6), где Yo>0, то (to,0) является парой Нагумо краевой задачи (0.1), (0.3) (см. замечания 5.1 и 3.2).
Теорема 5.1. Пусть вектор-функция
tel(([a,g]XR2hitn обладает свойством V(i>JU) и существует пара Нагумо (^ Z) краевой задачи (0.1), (0.2). Тогда краевая задача (0.1), (0.2) имеет хотя бы одно обобщенное решение х » удовлетворяющее неравенству
ИэсШ-З^Н^Щпри a&iut (0.19)
Эта теорема по своему характеру аналогична теореме 3 из
работы [Іб]1).
Теорема 5.3. Пусть соблюдаются следующие условия:
либо А>^ , либо А= 9 и Q= О t (0.20-j-)
либо В> , либо B-S и C2rO f (о#202)
вектор-функция Р^мЬ*,?»] XR ; R ) обладает свойством \/ ([а, 6] ) ^) и, кроме того,
где (~WlL С L(U,bR+) (=0,4, JZ.) и
(&i, fta) Є Ri (d, &, А, В) Тогда краевая задача
(0.1), (0.2) имеет хотя бы одно обобщенное решение.
Теорема 5.4. Пусть соблюдаются условия (0.20-L)
при [і&МеІаЛІУІЇ***
где 0^<15 (-1)1 СЦІЛШ+) 0=Л*] и (^1,^) Р^ (^ > , А > В ) ТогДа краевая задача (0.1), (0.2) имеет хотя бы одно обобщенное решение.
Вторая глава диссертации ( 6-7) посвящается изучению свойств обобщенного решения регулярной задачи (0.1), (0.2).
В 6 доказывается, что обобщенное решение краевой задачи (0.1), (0.2) всегда удовлетворяет краевым условиям (0.2) ( теорема 6.1).
В 7 исследуются дифференциальные свойства обобщенного решения. В частности, доказано, что если выполняются условия какой-либо из теорем 5.1, 5.3 и 5.4, то обобщенное
I) См. сноску на стр. 7.
решение удовлетворяет дифференциальной системе (0.1) на открытом всюду плотном множестве из LC^> Ъ J (теоремы 7.1 и 7.2). Теоремы 7.3-7.6 содержат условия, при соблюдении которых мера этого множества равна т> - <Х . '
В третьей главе ( 8-Ю) изучаются разрешимость и однозначная разрешимость краевых задач в классическом смысле.
В 8 рассматривается регулярная задача (0.1), (0.2). Теоремы существования классического решения этой задачи получаются с помощью теорем существования обобщенного решения добавлением к их условиям односторонних ограничений на рост вектор-функции X. по Ч/ . Доказательство этих теорем сводится к установлению факта, что любое обобщенное решение краевой задачи (0.1), (0.2) является решением в классическом смысле.
Теорема 8.1. Пусть вектор-функция
существует пара Нагумо (Ip^) краевой задачи (0.1), (0.2), (Д й а0 ^-60 й % , на ]a0)-[XR соблюдается неравенство
а на 3<*> "EoCxR4h ~~ неравенство
?(^x^)-\(y)>^-^(imi)w(iiaiiJUW+ll^l)> где U ЦМ]-,ЫЛеС(1?^1и"С(^0'+ооС) и
4- оо
\Д—З+оо- (0.21)
J (л) (5) х
Тогда краевая задача (0.1), (0.2) имеет хотя бы одно решение
, удовлетворяющее условию (0.19). І) В частности, при h-1 обобщенное решение почти всюду на [а, 6] удовлетворяет дифференциальному уравнению (0.1) (см. теоремы 7.1 и 7.6, а также определение 7.2 и замечание 7.4).
Эта теорема обобщает теорему 0.1 (см. замечание 8.1). Определение 8.1. Пусть t > О . Запись 4 Z;M] означает, что ^ КШЫ**; D и если
то найдутся число X > 0 и функция >i^L([V^>^>+3 > P+) такие, что при (i>X,y)eU8(io,^o;^el
х.|а,а^) + ІІ^І|2>-Д(ЛІх-у|.
Если І K([a,g]xR2i R). T0 I Z^C«J] при любом 1>о. Теорема 8.3. Пусть вектор-функпдя обладает свойством V (Ca,6]) t) , существует пара Нагумо (lf*H) краевой задачи (0.1), (0.2), соблюдаются условия (0.20^)(1-1,2.) и при каждом j-[l,l справедливо неравенство
(-1)J-^(W)\W) <^(ІІїН)и(вд)(Х«]+ им) где іеЦ&.й-.рД ^С(№),ахС(№,+«>[) и
выполняется условие (0.21). Тогда краевая задача (0.1),(0.2) имеет хотя бы одно решение хє С([д,ьЗ,К ) , удовлетворяющее условию (0.19).
Теоремы 8.1 и 8.3 являются векторными аналогами теорем И. Т. Кигурадзе [іі]и X. Ефезера[2і]. См. также [23, 32, 33].
Теорема 8.4. Пусть выполняются условия теоремы 5»3» (X ^ 0.0 г~ёо <^% » на З^оь^К соблюдается неравенство
-а(*)+Ш)Ю{Ш)>
а на ^а, 0^Х Р2" ~ неравенство
1(1^^^,(^)^-^(11^^^)(1^-^^+11^^
где icL([a,«:hlU 4C(R^IUuC(Kt-J
выполняется условие (0.21). Тогда краевая задача (0.1),(0.2)
имеет хотя бы одно решение ос є CYCa> "2] > h).
Теорема 8.4 обобщает как теорему 0.2, так и теорему 0.3 (см. замечание 8.5).
Теорема 8.7. Пусть выполняются условия теоремы 5.4, а^йо^ёо^в, Ъ > О , на"]ао,|[хК h соблюда-
ется неравенство
4(+^^)^^^(11^11,1^1)(^.^^^)1+
(0.22)
+ Л(тіШІ*)(л)(ІІЇІІ)> а на ІсхДоІ* Reh -неравенство
-кЄ(*)-ИШІ*)ИіІ!МІ)»
где iL([«i]-,Rt)^C(Rt^+),weC(Uo^n н
выполняется условие (0.21). Тогда краевая задача (0.1),(0.2) имеет хотя бы одно решение ОС Є С ([<*,-] ;(^и)
Теорема 8.7 обобщает теорему 0.4 (см. замечание 8.7).
Теорема 8.9. Пусть выполняются условия теоремы
5'4» f 2_> La,C) и при каждом j^I^^l справедливо неравенство
(-^^,*>*ЛМ)$У(\\П1Щ{\эс.$<,х,^ (024 ,
+ Мш\іяН\щ\) црн(іі3с,ї)77Мі ' J
где Ub,]MW^k),ooeC(IVjo,+«4) и
выполняется условие (0.21). Тогда краевая задача (0.1),(0.2)
ИМееТ ХОТЯ бы ОДНО решение X 6 С ( *-q> ^J > Гч )
I) Если функции "&.((.= 0,1) , фигурирующие в теореме 5.4, ограничены на 3d, 6[ » то это условие можно опустить (см. замечание 8.10).
Теоремы 8.7 и 8.9 охватывают небернштейновский случай, когда порядок роста \ (.-^ОС,^) по ^ превышает два.
Примеры показывают, что если в неравенствах (0.22), (0.23) и (0.24j)(j-a) ^(llXHjx.ai)(|x.^l,^)| +
-viW+liy-||a)CO(ll^)l) заменить на k+^||3+(k,e>0), то теоремы 8.7 и 8.9 перестанут быть верными (см. замечание 8.6). Теорема 8.10. Пусть соблюдается условие
>/ ^m||xr3C||2-^({)|(oc,-0c2).(^-^)|
при U^b^J^aiCx^a-l^); r#e (Ч^Лі) Є PyW> А, В) ТогДа краевая задача (0.1), (0.2) имеет не более одного решения.
Теорема 8.10 обобщает теорему 0.5 и теорему П.6 из [12].
Из приведенных нами теорем с применением предложений 4.1-4.6 и 2.1 можно получить эффективные признаки разрешимости и однозначной разрешимости краевой задачи (0.1),(0.2).
В 9 устанавливаются теоремы существования и единственности решения краевой задачи (0.1), (0.3) в сингулярном случае, когда |^ (За,[х|^21\ [^П ) Доказываются теоремы, аналогичные приведенным для регулярной задачи (теореглы 9.1-9.7). Отдельно (в п. 9.4) рассматривается случай, когда дифференциальная система (0.1) имеет вид
Х"=|(*,зс). (од')
Те о р ем а 9.8. ЦгоТь |= ((^ ё|< ,>,№-, К) и на _|а,"ь1_Хк соблюдаются неравенства
где функции tM-t-aH-g-t)lj'(-0(i,jH.-,h), ЬІНІЙІЙ'И]
неотрицательны и суммируемы на |_а , - J , причем система
дифференщальных неравенств
п . і X
^ ZZi ^Lj(-k)J0CJ| (1=1,...» (0.26)
при краевых условиях (0.3Q) имеет только нулевое решение. Тогда краевая задача (O.l'), (0.30) разрешима.
С л е д о т^э и е . фо*ф(| * )^ |(oc(MLx№) и на 1 01, oL^k. соблюдаются неравенства (0.25), где функция і -» ({-a)(-t)-^.(-(:) неотрицательна и суммируема на [а, «] ,
^ljU)=oiy(t-a)-sfii(|.t)"iu4P«a^'Uy=l,...,h))
0^6^)Gg<'1) ^^^ и все характеристические числа матрицы Q— (|,lJ)iir-i по модулю меньше, чем
Jt_^
Тогда краевая задача (0.1 ), (0.3Q) разрешима.
Предложенная в следствии оценка характеристических чисел является неулучшаемой (см. замечание 9.6).
Теорема 9.9. фиь|= (ПГ=,К Ja.ttx№) и на jq} ъ[хР соблюдаются неравенства
>s-hti4i)\*i-^\ (-і.-». (0-27)
где функции і-> (і -а) (-6-"t )() (ч-1>---,К) неотрицательны и суммируемы на Ll, ъ] , причем система дифференциальных неравенств (0.26) при краевых условиях (0.3о) шлеет только нулевое решение. Тогда краевая задача (0.1 ), (0.30)
имеет не более одного решения. При этом если существует ненулевое решение системы (0.26), удовлетворяющее (0.30), то найдется такая вектор-фувкция |- (^ )^ є |(^с (]а,g[х|^\ Rhj» удовлетворяющая неравенствам (0.27), для которой задача (0.1 ), (0.3о) имеет бесконечное множество решений.
Теорема 9.10. Пусть удовлетворяются условия теоремы 9.9 и
S(i-a)№-t)|fM,...,o)f^^+oofiH,...,h).
Тогда краевая задача (0.1 ), (0.3Q) имеет одно и только одно
решение.
В 10 изучаются разрешимость и однозначная разрешимость краевой задачи (0.1), (0.4) в сингулярном случае, ког-
Основные результаты диссертации изложены в работах {з-9]. Они докладывались на научных семинарах Института прикладной математики им. И. Н. Векуа Тбилисского государственного университета, на. IX и X конференциях математиков вузов Грузинской ССР (г. Батуми, 1981 г., г. Телави, 1983 г.), на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов по актуальным проблемам прикладной математики и механики (г. Тбилиси, 1981 г.) и на 7III школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Рига, 1983 г.).
Леммы о разрешимости краевой задачи (0.1), (0.2)
Дяя доказательства этой леммы нам понадобится Лемма 3.2. фота (И,Ді)Ру(а,&А,&) 0 "К Ltf Uс(, Г; Рц.) и выполняется условие (3.2). Тогда найдется Z ,0 такое, что, какова бы ни бьшахєСця ])! ) удовлетворяющая наряду с (0.2) дифференциальному неравенству 4oWaW придав ИІІ Н)ІЙ0, (з-4) справедлива оценка xtt) 0 ПРИ ae -g. (3.5) Доказательство. Согласно леммам I.4-I.6 и определению 2.1, найдется )о 4- [_ такое, что где - г .(±) при cut % ( L -0» 4,z ). Подберем с О по лемме 1.8 и положим - ЗІ V(A)_ ПІ А 1 II ПРИ А Є ГЦВ-1Ц при В Є и _ Г 2MB) + 1MB) Ш + \1Щ и -ъ- л Y0 - VAOIDC {[ги)] W : ел Ц.
Пусть вектор-функция ос Є С ([а,&] ) удовлетворяет условиям (0.2) и (3.4). Очевидно, что имеет место один из следующих случаев: Цос(а) (ЯД, )Н , oc(B) (uspV, (3.) 11 )1 ( ) , 1Ы) (u2 )4 , (3-62 х(а) ±(%)А у эс(011 (11,) (3.63) Dc(a)U(U,)TV, oc(i) (Us) . (3-64
Для определенности будем считать, что выполняется (3.6j). В этом случае f\ Q . Положим \j({) — эс(4) . Тогда -32 и Ч5Н IN ) II а(а)-эс( ) OCCrt).QC(a) CC(o().QC(a) КА) Я(«) V(A) , Пусть Ш) \ . у(А) Из последнего неравенства вытекает существование точки " Є ] a " a[ такой что 4/(- ) = о. (з.?) Положим fi -I WJSl Caw-a )) при cx -ug и рассмотрим краевую задачу UttiJrU,, 1/(4) = . (3.9)
В силу леммы 1.8, краевая задача (3.8), (3.9) имеет единственное решение U Cjoc 0 ,-ЕС ; R+)» причем - 33 ПРИ @ , T. Є. U() t( ) при GLk. (3.10) Кроме того, с помощью леммы 1.7 легко покажем, что ии\ ЛУ при t -w. w_ D. (З.П) Ввиду неравенства (3.10) и определений числа с 0 и функции \f , для доказательства оценки (3.5) остается показать, что -\J(t) U(i) при (X . Допустим противное. Тогда, в силу (3.6j), (3.7) и (3.9).найдутся точки Х Є jbi -[ и { ]{ ,] такие, что и ЯД U) І7( ) при { І ± . (3.13) Поскольку Ц ( ) эс({) w , у Tf[xU)- u(U + X\\0L (4)H ) НасиЛГ ПРИ ІЄ-]{Х)ПМаЛ[, в силу (3.4), (З.П) и (3.13), находим Н/і \ п. „\ її /мо",/, \ п#,.,г / при i l t Отсюда с учетом (3.8) вытекает, что f"m -u"U) Лі )1(+№)-гш) - 34 - (t)v №-U R)np« ± th i Ввиду (3.12) и (3.13), из леммы 1.7 получаем равенство U() = 4JH) при что противоречит неравенству (3.13). Итак, мы доказали, что если выполнены неравенства (3.6j), то справедлива оценка (3.5). Остальные случаи рассматриваются аналогично. Лемма доказана.
Замечание 3.1. Из доказательства леммы 3.2 вытекает, что если с; — О С — С -0 и f(0 равна нулю почти всюду на ] я-[ то о-0« Очевидно также, что если Д-9 » то условие X Є СдЬ1! Ъ R ) может быть заменено более слабым ХЄ C(fo,] М )Г\ Z\oC (]а,) -,( )-Аналогичным образом усиливается лемма 3.2 и в тех случаях, когда В=Э н А= В-6 Доказательство леммы 3.1. Подберем число 0 по лемме 3.2 и положим Ввиду (3.1) и (3.14), выполняется условие (I.I), где $(t)=Sup{„( ,iV-11 11 0-Н} Поэтому, согласно лемме 1.3, краевая задача (1.2), (0.2) имеет хотя.бы одно решение X Є С (Da, 6] , R ) виду (3.3) и (3.14), выполняется неравенство (3.4). Следовательно, соблюдены все условия леммы 3.2 и справедлива оценка (3.5). В силу (3.14), очевидно, что X является решением краевой задачи (0.1), (0.2). Лемма доказана. Лемма 3.3. Пусть
Теоремы существования обобщенного решения
Определение 5.1. Пара функций (If Н ) на зывается парой Нагумо дифференциальной системы (0.1), если выполняются соотношения (3.15), (3.16) и найдется последовательность положительных чисел ( Рк) таких, что І і т j k - (5.1) — и - 48 (x-Zft}){4(ll ll)fftA»)-2, (t))+lf-Z ft)i-(1P,Wf )rftJ mea t g, lX-2ft=1pftJ (3c-?ft)j-{3- ft)J-= f}Y (ijMX-.X Замечание 5.1. Пусть вектор-функция (t)=0 , "Ч -С/ ([ ];+)» выполняется (3.16) H tiJ O . Тогда /1p Q) является парой Нагумо системы (0.1) в том и только в том случае, когда ОС- f (±, . ) + Ш - (YW) ;4W"W (5.2) приагг Если же ip() = to 0 , то (5.2) эквивалентно условию (0.6).
Определение 5.2. Пару Нагумо (if "И ) дифференциальной системы (0.1) назовем парой Нагумо регулярной краевой задачи (0.1), (0.2), если выполняются соотношения (3.17) и (3.18).
Замечание 5.2. Пусть ft- 1,6 - нижняя, а 6 - верхняя функции уравнения (0.1) (т. е. 6 . С1 ([ ,]",$) и (-1/(1( ), ))- (0) 0 (b U)), причем 61U) И) при CU-Ug. (5.3) Тогда пара функций (IP "2 ) . где является парой Нагумо уравнения (0.1) ( и наоборот). Кроме того, условия (3.17), (3.18) и (3.20) эквивалентны условиям и Є ї) й Х(і)4ЄгЦ) при c(h 6%.
Определение 5.3. Вектор-функцию ограниченной вариации ОС назовем обобщенным ре - 49 шением краевой задачи (0.1), (0.2), если найдутся последовательности функций (ЛіЛ_ и (хк) такие, что 1) \ C(R+; [о/])0с = Д...) и равномерно на каздом конечном отрезке ііиЯ, (S)-1\ (5.5) k-+-veo k 2) для любого натурального вектор-функция X, С1((а,ъ] , IP ) является решением дифференциальной системы Oc"= k(lx )(i,oc,a ), (5.6) удовлетворяющим краевым условиям (0.2); 3) последовательность (Х ) равномерно ограничена на Iа, "о J ив каждой точке этого отрезка Хіт ос, (4)- XU). (5.7) / \ 4-00
Последовательность (Ik)kri будем называть опре-деляющей последовательностью обобщенного решения X. Теорема 5.1. Пусть вектор-функция 4- обладает свойством V(D ,"Ej і) и существует пара Нагумо ( ) краевой задачи (0.1), (0.2). Тогда краевая задача (0.1), (0.2) имеет хотя бы одно обобщенное решение X , удовлетворяющее условию (3.20). Теорема 5.2. Пусть вектор-функция . обладает свойством \/(Ь,1] ) и выполняется (3.3), где s0 » летворяет условию (3.2). Тогда краевая задача (0.1), (0.2) имеет хотя бы одно обобщенное решение. Замечание 5.3. Если к условиям теоремы 5.2 добавить, что )(-0 , С _Сг0 и 0 L([a,{ThR ), то - 50 будут выполнены и условия теоремы 5.1. В самом деле, построим пару Нагумо краевой задачи (0.1), (0.2). Положим .(1)-/ 1 ПрИ Ct t 1 \рщпа т ±± ш U -f»(B) (5 8) ( I - 0 j \, 5 ) и рассмотрим краевую задачу 1P"= W1p- )Г-Ш (5.9) 0p(a-y(A))- + 1, чр(«+у(В)Ы.И. (5-I0) Так как ( ) с Э (d- W), + V(BJ) » согласно предложению 2.3 [12], краевая задача (5.9), (5.10) имеет решение C la-VfA +yfB)]; R). С помощью леммы 1.7 легко покажем, что 1рШ Д„+1 при a-v(A)«Ug+v(B). Ввиду (3.3) и (5.9), выполняется условие (5.2). Кроме того, в силу (5.8)-(5.10), ТР(а) Тр (а)у(А), («) P («)wfBl Поэтому, согласно замечаниям 3.2, 3.3 и 5.1, (ЯР 0) является парой Нагумо краевой задачи (0.1), (0.2).
Определение 5.4. Пусть "Х Хл О . Запись ОС Wnttp,-Q,t,t) означает, что ОСЄ С (Ь ]; R J и на каждом сегменте Е ДЛ С[а, ] » где выполняется (4.4), имеет место оценка (4.1).
Лемма 5.2. Цусть ї,\ ,0, 5с №к (& Д Ъ Д J и а і L ї% % . Тогда {lIx Kllht U } knax }. (5.18) Доказательство . Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда Цх (±) , 1 при i ijg. (5.19) Согласно определению 5.4 и условию (5.19), находим 5 ИХ ЦСН . (5.20) Следовательно, справедливо неравенство (5.18). Лемма доказана.
Лемма 5.3. Пусть оД, i - неотрицательные постоянные» (Pk) - последовательность положительных чисел, удовлетворяющих условию (5.1), а ЭС Є W fja, ], Ъэ tj) Сk = Л,3,.--) - последовательность вектор-функций таких, что при любом натуральном Х является решением дифференциальной системы X"= ft(ll ll)4(t, . 4 (5-2I) lSk(t) to при U«til (5.22) Тогда для любого сегмента Qi.tJ с [a,-] найдется промежуток О с І3 ъ] и возрастающая последовательность натуральных чисел (kj)-_ , такие, что П 3 и і 0 и равномерно внутри j где x С\ (ty-y j?h) является непродолжаемыгл решением дифференциальной системы (0.1). Доказательство. Согласно лемме 5.2, для любого натурального к найдется точка ТкЄ И4 J такая, что Ц5ск (Тк)) й Vn«Dc{- , rt (5.23) Не ограничивая общности, можно считать, что последовательность (/ ), сходится. Пусть "L- ллУпТк щ
Дифференщгруемость обобщенного решения
Теорема 6.1. Обобщенное решение краевой задачи (0.1), (0.2) всегда удовлетворяет краевым условиям (0.2).
Доказательство. Ввиду определения 5.3 достаточно показать, что если X - обобщенное решение краевой задачи (0.1), (0.2) и А Э ( В Э ), то при некотором х{а)- А ( +с, (a(6)--BxW+c2j. Пусть foe. Ґ — определяющая последовательность ОС Со-гласно определению 5.3, найдется t0 0 такое, что Цоск(Ч:)\\ г0 при af-U-g(\ HA...). (6.D
Для определенности будем считать, что Д Э Тогда, ввиду (0.2) и (6.1), llXklajlU aClc i,...), (6.2) где "ta - постоянная, определенная равенством (5.38). Отсюда с учетом неравенств (6.1) и определения 5.3 вытекает, что при некотором S О llodttlH VH при a i-fcia+Sfkrl,l..\ (6.3) т. е. последовательности (0Ck ), _ и (0Ck j равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на [a,d-SD. Докажем, что эти последовательности равномерно сходятся на &,d + SD
В силу (5.7), достаточно показать, что при любом c[p,oi+Q последовательность (ОС/(4)), сходится. Допустим противное. Тогда, ввиду (6.3), найдутся точка ї0 &, +] и под-последовательности (ЭС\,\Д (LH,2) последовательности ( ОкП такие, что Ру л Ыф Літ Qc tto). (6.4) Согласно лемме Арцела-Асколи, без ограничения общности можем считать, что і ік/к- и l lk/id равномерно сходятся на [p,a+S] (і-1,і). Тогда, ввиду (5.7), ІШ oz,lJlc) = cc (U(i= \,n что противоречит (6.4). Итак, последовательности (осi )k i и {X )VTA равномерно сходятся на [ci,d+S] . Поэтому XC4(b,a+S] , Г) и ОС (a) г Ax CcD + C-, . Теорема доказана.
В этом параграфе будем предполагать, что X - обобщенное решение краевой задачи (0.1), (0.2) с определяющей последовательностью (Хи)+со, причем Хо 0 -постоянная, для которой выполняется (6.1). Введем множества
Теорема 7.1. Множество 9)C(xk). D открыто в [я,?] Кроме того, если сегмент У CS Ct klk-l J » то равномерно на J выполняются равенства liWi X, ( ) = x( h і і X W-OcVJ (7.3) k- +oo K 1 k—»+oo и ОС на Й является решением дифференциальной системы (0.1) в классическом смысле.
Доказательство . Пусть t0 3)1 ( )?Тл Тогда, ввиду (6.1), (7.1) и определения 5.3, найдется такое число 8 0 , что SUP {llX aill U ЙДЫЗЛ [«, ], bU- - 7-4 Следовательно, ЯХ$ i o) f] [а, ] 9) [( k ) - J » т е- множество 9Щхк)кГЛ открыто в [а, ]. Теперь допустим, что сегмент С 2) [( ) -4 ] . Тогда SWpfllxJftlH-.te k = iSr..} 4co. (7.5) В противном случае найдется такая последовательность вложен ных один в другой сегментов что ЛІУЛ hneS3j - О (7.6) И SUP \ И , )11 -fcctJj, 1(=-1,5,...3=+000=18,-).(7.7)
В силу известной леммы о вложенных сегментах, существует точка Л З С 2) [( klk-i J Тогда, как было доказа-но выше, найдется число с \J , для которого выполняется (7.4), что противоречит (7.6) и (7.7). Итак, соотношение (7.5) доказано. Следовательно, последовательности ( k)icd и (Х )к-4 равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на сегменте о . Отсюда с учетом (5.7) получаем, что равномерно на J выполняются равенства (7.3) ( доказательство аналогично приведенному в теореме 6.1 для сегмента [a,ct+Sl ).
Смешанные задачи с сингулярностями
Рассмотрим краевую задачу (0.1), (0.30) в том случае, когда tj- не зависит от ЧҐ , т. е. Перепишем эту задачу в координатной форме: 4 =1 ...,0 )( ,...,4 (9.45) oft J xi(d)=o, х1Щ=0 (і = і...,к). (9-46) Основные результаты этого пункта содержатся в трех тео I) ремах. I) При 1 = аналогичные результаты получены в [і2, 2(3 .
Теорема 9.8. Пусть на За Сх соблюдаются неравенства к (l(t X\...,Xh) S L hXl -Z: Щ І-ІШ(ІЧ.... K), (9.47) где фикции Mt-«)()#W(CJ-l...,h),i-(4-cO(-±]f« неотрицательны и суммируемы на [сх, ] » пРичем система дифференциальных неравенств 4V к J + №И (r-1v,h) (9.48) при краевых условиях (9.46) имеет только нулевое решение К Тогда краевая задача (9.45), (9.46) разрешима.
Следствие . Цусть на ]аДГх соблюдаются неравенства (9.47), где секция t- (-a)() (і) неотрицательна и суммируема на Qa -"] &tjM- $[i-df (l)2eknp CUt g(g=1,..,K\ (9.49) О & 6g I % и все характеристические числа матрицы Q - ( ) :- по модулю меньше, чем те Тогда краевая задача (9.45), (9.46) разрешима.
Замечание 9.6. Предложенная в следствии оценка характеристических чисел является неулучшаемой. Действительно, пусть a = 0 , %-4 , б гбізОї h 4 и с гЯ?. Нетрудно проверить, что скалярная задача и(о)-о, гсМ) = о не имеет решения. I) Решения подразумеваются в классе C([a,] $K)f])J СЦ8ЬРІ
Теорема 9.9. Пусть на ІаДСх] 1 соблюдаются неравенства №v\ i- f\ (M»--hb (9"50) где функции "t- (l:-ot)(-b-f )n уч v -w-- ) неотрицательны и суммируемы на L0 -) oj » причем система дифференциальных неравенств (9.48) при краевых условиях (9.46) имеет только нулевое решение. Тогда краевая задача (9.45), (9.46) имеет не более одного решения. При этом если существует ненулевое решение системы (9.48), удовлетворяющее (9.46), то найдется такая вектор-функция \ \\ ) удовлетворяющая неравенствшл (9.50), для которой задача (9.45), (9.46) имеет бесконечное множество решений. Теорема 9.10. Пусть удовлетворяются условия теоремы 9.9 и ](-a)()jf %О,...,OjIdWooflrV, ). (9.5D а Тогда краевая задача (9.45), (9.46) имеет одно и только одно решение.
Следствие . Пусть на "З С Р соблюдаются неравенства (9.50), где функции определены равенствами (9.49), причем 0 6 , 6 2 \ } qfuJ 0 и все характеристические числа матрицы Q— ( )м:Н п0 мо дулю меньше, чем st Пусть, кроме вышесказанного, выполняется (9.51). Тогда краевая задача (9.45), (9.46) имеет одно и только одно решение.
Замечание 9.7. Пусть функции - (-oO(-)K ft) (ь,І = 1,---, -) неотрицательны, суммируемы и система дифференциальных неравенств (9.48) при краевых условиях (9.46) имеет только нулевое решение. Тогда, каковы бы ни были измеримые функции п -]а -ь[— R , удовлетворяющие неравенствам l WU kiSW при a i--g(U = i3--,n)?(9.52) линейная дифференциальная система T-Z L ( =1,-- ) (9.53) at }-Л при краевых условиях (9.46) имеет только нулевое решение. С другой стороны, если Х=Ц9С ). - ненулевое решение системы (9.48), то X является решением системы (9.53), где ( 1,)-1,...,10. ). Очевидно, что функции удовлетво-ряіот неравенствам (9.52).
Прежде чем приступить к доказательству сформулированных выше теорем, нам придется привести некоторые вспомогательные предложения об оценке решении системы дифференциальных неравенств.
