Введение к работе
Актуальность темы. Предлагаемая диссертация посвящена одному из аспектов теории систем уравнений вида
ди- "
-5-1 = Е aik(x)uk + fk(x), і = l,...,n, (1)
где x = (xi,...,xn) - точка n-мерного евклидова пространства. Результаты по исследованию таких систем находят применение в теории разрешимости краевых задач для важных в теоретическом и практическом отношении дифференциальных уравнений смешанного типа.
В случае п = 2 у системы (1) имеется тесная связь с уравнением второго порядка
Ицх2 + a{x)uXl + b(x)uX2 + с(х)и = /(ж). (2)
Это уравнение хорошо известно в математической физике в связи с его приложениями в теории колебаний и при изучении динамики сорбции газов. Основные краевые задачи для (2) рассматриваются в областях, у которых хотя бы часть границы совпадает с характеристиками Х\ = constt x
авторы. Наиболее основательные исследования проведены Т.В.Чекма-ревым. В его монографии 1 имеется обзор основных результатов в данной области.
Из названных выше задач наиболее близкой к теме представляемой диссертации является задача Гурса. В случае п = 2 она рассматривается в характеристическом прямоугольнике D = {хю < х\ < хц, Ж2о < Х2 < 2i} и состоит в отыскании решения щ, щ системы (1) по известным значениям искомых функций на двух смежных сторонах D:
"іСЕїО.Хг) = ф\{щ), «2(11,120) = Ф2{Хі). (3)
Коэффициенты системы и функции ф\, ф2 предполагаются непрерывными. Наряду с термином "задача Гурса" часто употребляется название "характеристическая задача". Ее решение существует, единственно и может быть записано с помощью некоторых вспомогательных функций, определяемых через a;fc, в виде равномерно сходящихся рядов. Если ф\, фъ считать произвольными, то полученные формулы можно рассматривать в качестве общего представления решений системы уравнений.
При внимательном рассмотрении формул (1) и условий (3) нетрудно заметить некоторое несоответствие: щ, щ входят в (1) равноправно, а в граничных условиях (3) каждая из этих функций жестко
1Чекмаров Т.В. Системы уравнений смешанного типа. - Н.Новгород. Нижегородский гос. техн. университет. - 1995. - 199 с.
связана с определенной характеристикой. В связи с данным обстоятельством естественной представляется мысль о замене (3) на следующие соотношения
ап(х2)щ(хіо,Х2) + ai2(z2)u20cio, z2) =тгіі(:е2),
а2і(а:і)-иі(:2;ь х20) + (222(2:1)^(^.яго) = т2(хі), (4)
Очевидно, в .постановку задачи включается тогда частный случай, когда (1) имеет вид
щХ1 = 0, щХг = О, (5)
а условия (4) -
щ(х1,х2о) = т2(хі), и2(хіо,х2)-тпі(х2). (6)
Из (5) следует, что и\ должна зависеть лишь от х2, а щ - лишь от х\. Поэтому (6) не могут выполняться в своей общей форме: необходимо, чтобы 7711(12) и тп2{хі) были константами. Если они равны соответственно А и /л, то
щ = /л + Фі(х2), и2 = \ + Ф2(х1)
с произвольными функциями Фх(х2), $2(^1), обращающимися в нуль при Х\ — сею, Х2 = х2о, дадут решение задачи (5) - (6). Следовательно, в общей постановке (даже при п = 2) задача (1), (4) может быть как неразрешимой, так и разрешимой, причем во втором случае решение может быть как единственным (случай Гурса), так и содержащим произвольные функции. Таким образом, естественно возникает
вопрос об условиях, обеспечивающих тот или иной характер разрешимости задачи для системы (1) с дополнительными соотношениями типа (4). Исследование этого вопроса при п = 2,3,4 и составляет содержание предлагаемой диссертации.
Целью настоящей работы является выяснение ограничений на исходные данные (коэффициенты системы уравнений и краевых условий), обеспечивающих разрешимость рассматриваемой задачи либо в терминах резольвент интегральных уравнений, либо в явном виде.
Методы исследования. Используются результаты из теории интегральных уравнений, метод Римана решения дифференциальных уравнений гиперболического типа, метод каскадного интегрирования, некоторые сведения из теории специальных функций математической физики.
Научная новизна. Впервые исследована линейная характеристическая задача для системы (1) в столь общей постановке. Выяснено, что в смысле разрешимости эта задача качественно отличается от ранее изученной задачи этого типа - задачи Гурса. Получены достаточные условия алгебраического вида, обеспечивающие определенный характер разрешимости рассматриваемой задачи. Впервые выявлены определенные структурные представления коэффициентов системы уравнений, позволяющие записать решение задачи в явном виде.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Автору представляется, что имеются возможности использования полученных результатов в качестве основы для дальнейших исследований. Например, можно ожидать, что разработанную методику удастся распространить на случаи систем уравнений с сингулярными коэффициентами, или использовать ее при рассмотрении более сложных задач, например, с нелокальными граничными условиями. Не исключена возможность и практических приложений.
Апробация работы. Результаты работы, по мере их получения, докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета и на итоговых научных конференциях КГУ (1996 - 1997гг.).
Также были сделаны доклады:
-
На VI и VII межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1996 и 1997гг.).
-
На научной конференции, посвященной 100-летию проф. Б.М.Га-гаева (Казань, 1997г.).
Публикации. Список публикаций, содержащий 9 работ, приводится в конце автореферата. Из них [2], [6] выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат здесь постановки
задач и общие указания о возможных путях их решения.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 113 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 38 наименований.
