Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Задачи дирихле и неймана для слабо связанных эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
I. Исследование неоднородной задачи Дирихле для эллиптических систем (І) в классе разрывных функций 15
2. Исследование однородной задачи Дирихле для эллиптических систем (І) в классе разрывных функ ций 30
3. Задача Неймана для эллиптических систем (І) в классе разрывных функций 40
4. О существовании решения задачи Дирихле и Неймана для системы (І) в полуплоскости, когда граничная функция имеет произвольное поведение в конечном числе точек 48
ГЛАВА II. Задача пуанкаре для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными граничными условиями
I. Некоторые вспомогательные предложения 52
2. Исследование задачи 60
Литература
- Исследование однородной задачи Дирихле для эллиптических систем (І) в классе разрывных функ ций
- Задача Неймана для эллиптических систем (І) в классе разрывных функций
- Некоторые вспомогательные предложения
- Исследование задачи
Введение к работе
Фундаментальным вкладом в теорию граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений являются работы А.В. Бщадзе [4 - 8]. В работе [4] построено общее решение эллиптической системы с главной частью в виде оператора Лапласа и общая краевая задача для такой системы редуцирована к эквивалентной системе однородных сингулярных уравнений с ядрами Коши. Отсюда, в частности, следует задачи Дирихле (с данными).
В работе А.В.Бицадзе [б] показано, что в отличие от одного уравнения, в случае систем требование равномерной эллиптичности, вообще говоря, не гарантирует ни фредгольмовости, ни нетеровости задачи Дирихле.
В работе Гб], а также в монографии А.В.Бицадзе найдено общее решение эллиптической системы (I) в односвязных и многосвязных областях. На основе полученного представления введены условия слабой связанности системы (I), выполнение которых обеспечивает фредгольмовость задачи Дирихле в классах Гельдера. Этому же вопросу посвящены работы Е.В.Золотаревой [9 - Ю], в которых для некоторых классов эллиптических систем вида (I) доказано, что условие слабой связанности системы является необходимым и достаточным условием фредгольмовости задачи Дирихле.
В работе А.В.Бицадзе [s] на простых примерах разобраны принципиальные вопросы о правильности постановок краевых задач для эллиптических систем.
Новизна полученных результатов.
Новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в том, что в отличие от работ, указанных выше авторов, задачи А, В, С исследуются в случаях, когда граничное условие имеет особенность в конечном числе точек границы, причем, особенность необязательно слабая.
Применяемая методика.
При исследовании поставленных задач использованы: общее представление решений через аналитические функции, задача Римана со сдвигом, аналитическое продолжение решений эллиптических уравнений через аналитическую границу.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40], [41 ], [42] .
Исследование однородной задачи Дирихле для эллиптических систем (І) в классе разрывных функ ций
Используя следущее неравенство в окрестности бесконечности lf(x)J c rui locjc/) (1.71) из (1.68)-(1.70) получим оценку для вектор-функции SK (х,у) \SK( t )\ »iM (г\ і . (1.72)
Из того, что вектор-функция EK(XJ&) ограничена в окрестности бесконечности, а вектор-функция SK.№J&) ограничена в окрест-ности нуля, из неравенств (1.66) и (1.72) следует, что вектор-функция Ufa?) , определяемая формулой (1.46), принадлежит классу М$ (о, ОО; J). Теорема I доказана.
2. Исследование однородной задачи Дирихле для эллиптических систем (І) в классе -разрывных функций. В этом параграфе рассматривается однородная задача А и строится ее общее решение. Докажем теорему 2 для задачи А, которая сформулирована во - ЗІ введении. Рассмотрим тот случай, когда характеристическое уравнение (І.І) имеет только простые корни. Все обозначения І в этом параграфе сохраняются и для простоты рассматривается случай, когда
Пусть Iffy у) _ решение однородной задачи А: Аих + 2ВиХу + Са 0, (I) -и(х,о) = 0, осфО, (1.73) удовлетворяющее следующим дополнительным условиям: Ч (х,yjнепрерывна и имеет непрерывные частные производные в замкнутой полуплоскости $ 0) , кроме, быть может, точки 0(о;о) , в окрестности которой удовлетворяются неравенства а в окрестности бесконечности выполняются неравенства Ъи СъУ) ) du Cwjl 4 I / J lln HI, M i (1.75) эх Г І г? І" Так как вектор-функция U (x,y) - решение системы (I), то она дается формулой J i где фуніщии Уі(Хф У) 0 1ігі,%% ) аналитические относительно x+2j% в верхней полуплоскости. Составим аналитическую функцию H( )=i1%( )+ zii( +-+oL» t »( )j 3 г 0. (1#?7) - 32 Очевидно, что Ч\ , )\ =КеН( 1 л + 0 (1 78) Следовательно, Hi. ) можно аналитически продолжить в нижнюю полуплоскость по следующему закону: Имеем Обозначим а через J матрицу, столбцаїли которой являются векторы о ot p «., о , тогда т//(г; = Лі Кф, (1.80) Ясно, что « - Uefa% (b) + № )+--+ )) (1 81) Ъиъ ) = Кг о гШ ) ) (1 82) Или W + . =йЩ), (1.83) b&&s р( й - . ЧШ. " яЖ) (I-84) Так как (см. [зб]) - 33 то из (1.83), (1.84) и (1.85) следует, что ( ( у Іі ш-нейно выражаются через -QX! И ЪЧ! Отсюда, в свою очередь, следует, что Й Ф, " » « Ф непрерьшны в замкнутой полуплоскости «XtE c? , кроме, быть может, точки 2=0 , в окрестности которой удовлетворяют неравенству jf/C l j -in/i/ (Сґ„ї с, /=/,2,..., п.;, (1.86) а в окрестности бесконечности V teb ; (2) удовлетворяют неравенствам Значит, I%( ! J, (I-88) Из (1.77), (1.79), (1.80) и (1.88) следует, что #( ; (j= ,2y..jn) аналитически продолжаются в нижнюю полуплоскость и там тоже удовлетворяют соотношениям (1.88). Следовательно, они представляются в виде f. (г) (1.89) J Тогда & Х , )--С0+Яе2_, {а- »Ъ + "+ ; Ц Zj+ cts 2j) } (1.90) j i где ак (tcz-ю ч;-і,4г,"ч s) -постоянные, a Co - произволь - 34 ный постоянный действительный /г -мерный вектор. Учитывая условия (1.73), из (1.90) получим систему Со О (I.9I) и п. (J) IUl lMjCLK=o (К = -Ку..-1; і,гґ..з) . (1.92) Условие (1.92), в свою очередь, можно написать в виде j=i где С - произвольный постоянный действительный п. -мерный вектор. Пусть е1; ?); еЛ столбцы: = 9-.., 0 1 , =1 -- 0 е Н У" ) И ( a j-jOi 0), O V V -Решение системы п. U) 2 о/ at = et (1.94)
Так как векторы oLi}L2)—j п линейно независимы, то определитель системы (1.94) отличен от нуля, поэтому относительно (xf? а?Г ;аГ система (1.94) имеет единственное решение. Ясно, что векторы OL±) GLD -J OLn. линейно независимы и решение (UK," , OL) системы (1.93) определяется формулой К"; а?,- ) -- + aA+...+ а.си, (1-95) где c,i,Ci -") Сл. - компоненты вектора С , входящие в правую часть системы (1.93). Обозначим через UntO ,y) вектор-функцию - 35 где Ctt (at )CLt " CLi )- решение системы (1.94). Очевидно, что вектор-функция UKt (х-,%) , определяемая формулой (1.96) при K--fnr -j-ij l,2,- S ъ t ij2j-"j п. , является решением однородной задачи (І), (1.73). Подставляя общее решение (1.95) в (1.90) и учитывая (І.9І), получим, что общее решение однородной задачи А определяется формулой S И i/foy; = 11 CKtUKt(4Z) у (1.97) гДе Є кг- произвольные действительные постоянные. Докажем, что вектор-функции U fa -) » входящие в формулу (1.97), линейно независимы. Пусть линейная комбинация Ц Ц tiKtUKt(.x #) = У 0 (1-98) Имея ввиду (1.96) и обозначая левую часть тождества (1.98) через Щ чУ) получим Ч , ) - Re fd-J (Т. ( Л + » ф0, , С (1-99) Из (1.99) следует, что ИЩЮ,0/ ъ s0j у о. (1.100) Как уже отмечено выше, производные функции s 0) t пО)\п р.{гл =]Г (hK1 а[% ...+ А „ а? )г;, Ти ? 0j (j Zr ) (і.юі) J f - -»Vt линейно выражаются через o i /« / и —... f следовательно, - 36 Ft: (ij) = СЄ7Чir при %i? 0 (J= i, Ij -jn,) Так как CU Ay 0 , то последнее равенство можно записать в виде ftj(г;= со» !: приУ/»г ?, (j- i,Zj . , п) (і.Ю2) С другой стороны, Я; (2) - рациональная функция по комплексной переменной Ъ , поэтому отсюда следует, что Rj{i)=Co + при 210 (J = 1j2j---jn)) (І.ЮЗ) а из (I.I03), в свою очередь, следует, что Так как векторы ОС1)( л, " а линейно независимы, то из (I.I04) получим, что Ігкг 0 (K -my.-j-ijijZj-jS; г 1,2г., п) . (I.I05)
Следовательно, вектор-функции сх Ю линейно независимы. Теперь покажем, что любое решение однородной задачи А без дополнительных условий (1.74) и (1.75) также представляется линейной комбинацией решении U L fag) . Пусть и (ху#) - решение однородной задачи А. Рассматриваем следующую функцию: WJ (х,у) = и ( ;У+к) -Vk(x,f), (I.I06) где Ч { ) = \ ( , ) + Чг(ЪУ; (I.I07) - 37 In. - полошітельное число, a Q&) - функция, определяемая формулой (1.5). Очевидно, что " h(x ) является решением однородной зада чи А. Легко проверить, что при любом фиксированном к 0, функ дии —к и — J в окрестности ТОЧКИ h-O удовлетворяют ) Д \ \ - И -jy rtnMj(o / / l y o)j (і.по) а в окрестности бесконечности ограничены.
Непосредственно проверяется, что функции — ЗЕ— и оУл(.х ч) в окрестности бесконечности удовлетворяют неравенствам J f 1Ж2(ъ#)1 , , (і.пі) а в окрестности нуля ограничены. Следовательно, вектор-функция Wh(x,y) является решением однородной задачи А и удовлетворяет дополнительным условиям (1.74) и (1.75), поэтому она представляется в виде w ( ) = І1 c [k) u«i & (ІЛІ2) к о где CKt (к) - постоянные, зависящие от параметра /г , а вектор-функция UK t(3C;#) определяется формулой (1.96).
Задача Неймана для эллиптических систем (І) в классе разрывных функций
Рассмотрим задачу В, постановка которой приведена во введении. Как и в случае задачи Дирихле, сначала исследуем неоднородную задачу В.
Пусть характеристическое уравнение (I.I) для слабо связанной системы (I) имеет только простые корни. Тогда общее решение системы (I) дается формулой (1.2). Докажем теорему 3 в частном случае, когда р-1 , х,-0 . В общем случае доказательство аналогично.
Обозначим через lL-l, / /э"Ь 4 = М" s; s = r Рассмотрим функцию + ь&і ї&7 Ш&№ (1Л22) где ij-oc + Xjg , 20=эгв Ду#в, = $ + і 1 все указанные точки из , tj и Yj - постоянные векторы, входящие в формулу (1.7) - ( , (х) - функции, определяемые формулой (1.4).
Для определенности возьмем JC„= о , %о = 1 . Докажем, что функция, определяемая формулой (I.I22), является решением задачи В.
Очевидно, что вектор-функция ЇЇ.(х;&) , определяемая формулой (I.I22), удовлетворяет системе (I). Покажем, что эта функция удовлетворяет и граничному условию (17).
Докажем, что вектор-функция (ж, ,) принадлежит классу Для этого оценим вектор-функцию U(Xj&) в окрестности точек і - о и г = оо , представляя ее в виде Сначала оценигл первое слагаемое в правой части формулы (I.I25). В первом параграфе показано, что в окрестности точек г -о и 2 = »о функция, определяемая формулой (I.I23), удовлетворяет соответственно оценкам
Следовательно, в окрестности бесконечности имеет место неравенство Теперь оценим второе слагаемое, входящее в правую часть формулы (І.І25). Из формулы (І.І22) имеем X + Xj 4о Я/ -1 м.шЛ \ . I я; с , J і Я/ -о Ясно, что (« = J (I.138) и ф(Ы = fiHl (I.I39) аналитические функции по комплексной переменной = з -!, следовательно, в формуле (I.I37) можно интегрировать по отрезку, соединяющему точки Я/ и эс+ Д . Очевидно, что на прямой -- Ум.Я; » переменная имеет вид = / і 7т у . Функция YQj = ф (+№ У) непрерывна на действительной оси . Оценим ее в окрестности бесконечности. Для этого представим функцию
Используя (I.140) и оценки (I.144) - (I.146), а также ограниченность функции &( ) на прямой у=У«гЗу , из (I.I37) получим lu(x,i)\i. /2-/ -/2/ в окрестности Ъ = оо . (I.I47) Из оценок (I.I32), (I.I36), (I.I47) и из равенства (I.I25) следует, что вектор-функция й (x,yj , определяемая формулой (I.I22), принадлежит классу /М О?, ; , /,)
Таким образом, мы показали, что неоднородная задача В (задача Неймана) имеет решение в классе / (o j ,J) , когда граничная функция fc .) принадлежит классу JV (о, t, J) , тем самым первая часть теоремы 3 доказана.
Теперь рассмотрим соответствующую однородную задачу В в классе М (О, со; tjdy ЛиХ0С+ Zau + Cuyy =0 , (I.I48) (1.149) Рассмотрим тот случаи, когда характеристическое уравнение (I.I) для слабо связанной системы (I) имеет только простые корни. Пусть вектор-функция и (х,У} - решение задачи (I.I48), (I.I49), удовлетворяющее дополнительным условиям Ъи0(эс;&) _ ex. непрерывна в замкнутой полуплоскости Jb (Зъ-о), кроме, быть может, точки 0(о, о) , в окрестности которой удовлетворяет неравенству Рассмотрим задачу В, постановка которой приведена во введении. Как и в случае задачи Дирихле, сначала исследуем неоднородную задачу В. Пусть характеристическое уравнение (I.I) для слабо связанной системы (I) имеет только простые корни. Тогда общее решение системы (I) дается формулой (1.2). Докажем теорему 3 в частном случае, когда р-1 , х,-0 . В общем случае доказательство аналогично. Обозначим через lL-l, / /э"Ь 4 = М" s; s = r Рассмотрим функцию + ь&і ї&7 Ш&№ (1Л22) где ij-oc + Xjg , 20=эгв Ду#в, = $ + і 1 все указанные точки из , tj и Yj - постоянные векторы, входящие в формулу (1.7) - ( , (х) - функции, определяемые формулой (1.4). Для определенности возьмем JC„= о , %о = 1 . Докажем, что функция, определяемая формулой (I.I22), является решением задачи В. Очевидно, что вектор-функция ЇЇ.(х;&) , определяемая формулой (I.I22), удовлетворяет системе (I). Покажем, что эта функция удовлетворяет и граничному условию (17). Имеем + fie. 2-У J J I згі J "l(t-г.-) 1 I (1.123) В первом параграфе доказано, что функция yt » определяемая формулой (І.І23) при (х;#)- (xojO) (# oJ, имеет предел ,4ч - /с .;, . 1Л24) Докажем, что вектор-функция (ж, ,) принадлежит классу / (о,о; , c/j . Для этого оценим вектор-функцию U(Xj&) в окрестности точек і - о и г = оо , представляя ее в виде Сначала оценигл первое слагаемое в правой части формулы (I.I25). В первом параграфе показано, что в окрестности точек г -о и 2 = »о функция, определяемая формулой (I.I23), удовлетворяет соответственно оценкам Unul /2/" г 1ъГ , ЄСЛИ 1-Ш (I.I26) о&тЦЪ1 , если = о или / / и Из неравенства (I.I26) в окрестности точки =? получим - 42 где 7(4у) = Г, 4 \ikL (I.I29) Очевидно, что в окрестности 2-=о можно считать і. Оценим (функцию J(x/#) в окрестности ТОЧКИ 2= о . Возможны следующие два случая. Случай I: . ос , тогда і fo# сомі ( -%- 2«і з сспн в (і.130) Случай 2: ос # , тогда х. w /4г /- » (І.ІЗІ) Так как в окрестности JC=O функция гІСх і) ограничена, то из неравенств (І.128), (I.130) и (І.ІЗІ) в окрестности ї-0 получим оценку \VL .,±)\$ const \ъГе L f1 . (1.132) С другой стороны, для достаточно больших /2/ имеем con tf/2/ /2/ , при # jf; , U.I33) сеы (х.гН) z in (ocz+i)z , при о 2 1 . Ясно, что в окрестности бесконечности при о +І шлеет место неравенство - 43 x\i4 ZM% (І-І34) поэтому (ochif U(ocz+if$ с-/2/ УіфІ - (1.135) Следовательно, в окрестности бесконечности имеет место неравенство V / j" Щ і сіг\і с- щ JHLW (і.ізб) Теперь оценим второе слагаемое, входящее в правую часть формулы (І.І25). Из формулы (І.І22) имеем X + Xj 4о Я/ -1 м.шЛ \ . I я; с , J і Я/ -о Ясно, что (« = J (I.138) и ф(Ы = fiHl (I.I39) аналитические функции по комплексной переменной = з -!, следовательно, в формуле (I.I37) можно интегрировать по отрезку, соединяющему точки Я/ и эс+ Д . Очевидно, что на прямой -- Ум.Я; » переменная имеет вид = / і 7т у . Функция YQj = ф (+№ У) непрерывна на действительной оси . Оценим ее в окрестности бесконечности. Для этого представим функцию - 44 (І) в виде где (I.140) (I.141) iiU (і-ї-із»,у) (I.142) 0)- \ (I.143) Имеем / Г / / $ Сльбї/У J -г / соті/її j (I.144) ГУМ ik- ii i {imitiMAL HI 2ISI 1Н 2Ш - 45 Используя (I.140) и оценки (I.144) - (I.146), а также ограниченность функции &( ) на прямой у=У«гЗу , из (I.I37) получим lu(x,i)\i. /2-/ -/2/ в окрестности Ъ = оо . (I.I47) Из оценок (I.I32), (I.I36), (I.I47) и из равенства (I.I25) следует, что вектор-функция й (x,yj , определяемая формулой (I.I22), принадлежит классу /М О?, ; , /,)
Таким образом, мы показали, что неоднородная задача В (задача Неймана) имеет решение в классе / (o j ,J) , когда граничная функция fc .) принадлежит классу JV (о, t, J) , тем самым первая часть теоремы 3 доказана.
Теперь рассмотрим соответствующую однородную задачу В в классе М (О, со; tjdy ЛиХ0С+ Zau + Cuyy =0 , (I.I48) / = J х (1.149) Рассмотрим тот случаи, когда характеристическое уравнение (I.I) для слабо связанной системы (I) имеет только простые корни. Пусть вектор-функция и (х,У} - решение задачи (I.I48), (I.I49), удовлетворяющее дополнительным условиям Ъи0(эс;&) _ ex. непрерывна в замкнутой полуплоскости Jb (Зъ-о), кроме, быть может, точки 0(о, о) , в окрестности которой удовлетворяет неравенству
Некоторые вспомогательные предложения
Доказательство. Пусть U(x ) решение задачи Д. Так как оно является решением системы (I), то имеет вид /г Ufoy) = /Єє І % ( ) , (2.8) к-і где 4 .{ък) - произвольная аналитическая функция аргумента 2К -= эс+ Я у при (xfy) d . Известно, что в представлении (2.8) производная функции (2 ) линейно выражается через производные решения Щх,#) , поэтому {%( ))") %(г)} также принадлежит классу MQ (ОІ to ) .
Подставляя (2.8) в граничное условие (2.1), получим Re[J0w Y W %( ) ПЛ Ъ хе С Е Л (2,9) где 4 (х.) и «/ сопредельные значения f(2) и У (г J, при 2 стремящемся К X (?бQ. . Из (2.9) следует, что вектор-функция аналитична в области \10 Г) 0-/с и аналитически продолжается через отрезок (-,) в симметричную область L20 относительно оси ох. по принципу симметрии: ф(г)=ф(&)
Так как 4 (г-)е Ма ( ) т0 Ф &) аналитична в окрестности нуля всюду, кроме точки = э , и удовлетворяет оценке Поэтому функция ф(г) в окрестности точки 2 = о представляется в виде: (2.13) где Ск - постоянные векторы, yrt - целая часть числа Со , а фо(г) аналитическая функция в окрестности точки ї-O . Из (2.9) и (2.10) следует, что Ск - действительные векторы. Подставляя ф (2) из (2.13) в (2.10), получим гл. 10(г)Ч (г) + В.(г)Ч (г)= J2 Lc K Ф.&), аеД, (2Л4) Общее решение уравнения (2.14) в окрестности точки х о представляется в виде: vw = (г; + Фгсг), (2Л5) гДе ФІС ) - частное решение уравнения (2.14) при фс(2-)-о , аф(г) является общим решением уравнения (2.14) при Ск-О (к-dfZy) -) Ясно, что в качестве функции Ф1С ) можно взять линейную комбинацию функций % №) с действительными коэффициентами, а функцию ф (2) можно аналитически продолжить в окрестность нуля.
Обозначим через G пересечение области П0 с достаточно малой -окрестностью нуля. Подставляя полученную функцию fCi) из (2.15) в общее решение (2.8), получим где V(x,y) - бесконечно дифференцируемая функция в Gfc . Следовательно , любое решение задачи Д в малой окрестности точки ї о представляется в виде (2.16). Пусть теперь itCX/g) _ произвольное решение задачи Д. Тогда 11(ж,у) в малой окрестности точки Ъ-0 представляется в виде (2.16), Если мы обозначим часть условия (2.18), () - финитная, бесконечно дифференцируемая функция на действительной оси, в интервале (- 6, ) равна единице, а ее носитель находится в интервале (-е, Л Є ) .
Из оценки (2.22) следует, что производная решения системы (2.19) в окрестности г = 0 удовлетворяет оценке (2.21). Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Частное решение задачи (I), (2.18) в классе MQ(o-l0) задается форглулой п. Ч ( ,# = Яе 1 к «fc ( + \i), (2.23) где y(z) = 1%(ъ) } является частным решением дифференциального уравнения (2.19).
Доказательство. Применяя формулу Сохоцкого-Племеля (см.(38/, стр.55), получим ,KfU± T-LMffW" = Ы4 ,ЬК}. (2.24) Используя равенство (2.24) и оценку (2.21), убедимся, что функция V0(X;#) , определяемая формулой (2.23), является решением задачи (I), (2.18) в классе Ma(OjL0) . Лемма 3 доказана. Пусть G - область, сформулированная в задаче С, - ее - 58 граница, - матрицы в зада че С, тогда имеет место следующая Лемма 4. Если в области G решение и(х,#) системы (I) принадлежит классу /V& fo to) и удовлетворяет граничному условию ЩЪ)их i- &{ъ)щ c(iju = f(z) » при - = xfO; xe(,b) то оно представляется в виде Щх, ) - Ъ(Ъ ) +СЕ % Цу-Ъ ) + w ) , (2.25) где u#j(x;2) и VeC y) -вектор-функции, определяемые соот-ветственно формулами (2.6) и (2.23), CHJ- - действительные постоянные, Woix/Z) решение системы (І) в классе функций, имеющих непрерывные производные в замкнутой области G- .
Доказательство. Пусть Q. - пересечение области G с -окрестностью точки 2=0 , где - достаточно малое положительное число. Согласно лемме I, вектор-функция и(эс,у) Уо(х/У) удовлетворяет всем условиям леммы 2, поэтому она в области Я представляется в виде (2.7), т.е.
Исследование задачи
Если f(x.,y) = о , то задачу (2.36) будем называть однородной задачей. Задача вида (2.36) является краевой задачей Римана со сдвигом, которая хорошо исследована в монографиях [34], [зв], [зэ] . Эта краевая задача, содержащая также неизвестные постоянные, исследована в работе [33J . Применяя результаты работы [ЗЗ] для краевой задачи (2.36), получим, если clti МЛЪ)+ j z Y , то
1) однородная задача (2.36) имеет конечное число линейно-независимых решений (это число обозначим через К );
2) для разрешимости неоднородной задачи (2.36) необходимо и достаточно, чтобы вектор-функция f (scy у) удовлетворяла конечному числу условий вида [$& )№ ) & 0, (J b -jK J, (2.38) Ї где 01(х,з) &zfax);--j 0 ,( 2) - действительные /г -мерные линейно-независимые вектор-строки на Г
Линейная независимость рассматривается относительно поля действительных чисел. 3) индекс задачи дб - К-К , где X определяется формулой (19). Ясно, что задача С и задача (2.36) эквивалентны и условие (2.38) является необходимым и достаточным также и для разрешимости задачи С. Решение же задачи С получается из решения задачи (2.36) по формулам (2.31) и (2.35). В частности, решение однородной задачи С получается из решения однородной задачи (2.36) по формуле щ ,#) = XI 21 CKJ UHJ (XJV + п. + fceTZ j (х+Уї-Хо-У&ЇЩІх + у) +elj (2.39) где вектор-функция VKJ (xj2) ( = -f,-" -} j-b—j n) определяется формулой (2.6).
В формуле (2.39) аналитические функции cOj (эс+Xjy) и постоянные ск-, dj (к-1у т-]-=1, ")П) определяются через UfayJ единственным образом. Действительно, если Щх, )? о , то согласно (2.38) вектор-функция будет принадлежать классу С (&) и согласно лемме 5 коэффициенты с . -о (K-1/ \ M;J= /, - п) , следовательно, N «. Яе Ц, ( + &- .- j&)u)j(xtlj2)+J=i о в Q. (2.40) J-J Отсюда получим, что ь%(х+уу)зо {!- " п) и с/-О . Поэтому число линейно-независимых решений однородной задачи С равно чис лу линейно-независимых решений однородной задачи (2.36). Подставляя вектор-функцию -f(x #) из (2.37) в (2.38), получим 3Lj(f)=0 (J Wr-iK1), (2.41) где cLj (f) - линейные функционалы от вектор-функции -ffay). Докажем, что эти линейные функционалы также линейно независимы. Действительно, пусть CtZAfJ+bZtCf) -" ск № = (2-42) Возьмем в качестве f произвольную функцию, равную нулю в ок-рестности нуля. Тогда в окрестности нуля f t и с?/ if) = I 9J & ffa ) S ( 1 Г К ) (2.43) Подставляя (2.43) в (2.42), получим JYQ0ifo ;+ "+ CM,% (x &)fte Jc/s = 0. (2.44) Из (2.47), в силу произвольности / , следует СІ QX( ,V) + Ск, 6k,(x,jJ = О . (2.45)
Но, так как 65(x,« ---; К, (X;&J - линейно независимы, то из (2.45) получим CL-c -" = Ck,- О . Следовательно, эти функционалы линейно независимы, т.е. число условий разрешимости задачи С равно числу условий разрешимости задачи (2.36).
Таким образом, индексы этих двух задач совпадают и индекс задачи С также определяется формулой (19). Если в окрестности точки разрыва граничной функции -f (ъ) контур у является аналитической дугой, то при помощи конформного отображения области Or , задачу С можно привести к исследованному случаю и доказать справедливость теоремы 5 и в этом случае.
