Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Задача Коши и задача управления начальным условием для дифференциально-операторных уравнений первого порядка имеют важное значение как в теории дифференциальных уравнений, так и в приложениях. Эти задачи достаточно хорошо изучены в случае эволюционных дифференциально- операторных уравнений *. В общем случае задача Коши для таких уравнений исследовалась в докторской диссертации Я.В. Радыно 2 в пространствах векторов экспоненциального типа, а задача управления начальным условием оставалась нерассмотренной. В общем случае обе эти задачи в "обычных" пространствах являются некорректными в смысле Адамара - Петровского. В связи с этим, тема диссертации, посвященной исследованию этих некорректных задач, является актуальной.
Связь работы с крупными научными программами, темами
Диссертационная работа выполнена на кафедре уравнений математической физики Белорусского госуниверситета в соответствии с планом, который является составной частью госбюджетной НИР (теория дифференциальных уравнений в частных производных) по теме "Корректные X некорректные задачи математической физики с разрывными краевыми условиями и коэффициентами" (госрегистрации N 19974236).
Цель и задачи исследования
Целью исследования является решение задачи Коши и задачи управления начальным условием для дифференщіально-операторньїх
'Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. — М. :Мир, 1970. — 336 с. 2Радыно Я.В. Экспоненциальные векторы и дифференциальные уравнения-. Дис. д-ра физико-математических наук: 01.01.02— Мн.. 1985.— 185с.
уравнений первого порядка с самосопряженным знаконеопределенным операторным коэффициентом. Для достижения поставленной цели необходимо было для этих уравнений решить задачу с нелокальными условиями и найти предельные значения решений этой задачи с нелокальными условиями в граничных точках.
Объект и предмет исследования
Объектом исследования являются граничные задачи для дифференциально-операторного уравнения первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом.
Методология и методы проведенного исследования
В диссертаций разработан метод регуляризации нелокальными условиями двух некорректных в смысле Адамара - Петровского задач - задачи Коши и задачи управления начальным условием для дифференциально-операторных уравнений первого порядка. Идею применения нелокальных условий для регуляризации этих задач подсказали подходы, изложенные в монографии А.А. Дезина 3.
Научная новизна и значимость полученных результатов
Впервые решена задача с нелокальными граничными условиями для дифференциально-операторного уравнения первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом и найдены предельные значения решений этой задачи в граничных точках. На основании этих результатов впервые решена задача управления начальным условием и доказана корректность в смысле А.Н.Тихонова задачи Копш для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом.
Задача управления начальным условием для эволюционных уравнений ранее была решена методом квазиобрашения в монографии Р.Латтеса и Ж.- Л.Лионса 1. В общем случае этот метод не применим.
3Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. -- М.: Наука, 1980. -- 207 с.
При исследовании задачи управления начальным условием для эволюционных уравнений значимость предлагаемого метода регуляризации нелокальными условиями состоит в следующем.
В случае регуляризации задачи уравнением, как это сделано в монографии Р.Латтеса и Ж.-Л.Лионса 1, приходится решать две задачи. В нашем случае достаточно решить лишь одну задачу-задачу с нелокальными условиями. Это дает преимущества при практической (или численной) реализации метода. В случае регуляризации задачи уравнением в некоторых случаях возникают завышенные по сравнению с нашими требования на заданное значение .
Основные положения диссертации, выносимые на защиту
-
Решение задачи с нелокальными граничными условиями для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом и нахождения предельных значений решений этой задачи в граничных точках.
-
Доказательство корректности в смысле А.Н. Тихонова задачи Коши для дифференциально- операторных уравнений первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом.
3. Решение задачи управления начальным условием для
таких уравпений.
В совокупности положения 1-3 представляют собой метод регуляризации рассмотренных некорректных в смысле Адамара -Петровского задач с помощью нелокальных условий. Этот метод по сравнению с методом Р.Латтеса и Ж.- Л.Лионса позволяет не только охватить более общие случаи задач, но и в изученном частном случае эволюционного уравнения улучшить результаты.
Личный вклад соискателя
Все результаты, изложенные в диссертации, получены лично автором. Научный руководитель поставил задачу исследований, предложил идею применения нелокальных условий для регуляризации этих задач и принимал активное участие в обсуждении полученных результатов.
Апробация результатов диссертации
Результаты диссертационных исследований докладывались на следующих конференциях:
VII Белоруской математической конференции, Минск, ноябрь 1996г.,
международной .математической конференции " Еругинские чтения- IV", Витебск, май 1997г.,
международной конференции "Математическое
моделирование и комплексный анализ", Вильнюс, июнь 1997г.,
межвузовской математической конференции памяти С.Г. Кондратени, Брест, апрель 1998г.,
международной математической конференции "Еругипские чтения-V ", Могилев, май 1998г.,
научных семинарах механико - математического факультета Белгосуниверситета, Минск, 1995-1998 г.г.
Опубликованность результатов
Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав и заключения. Текст работы изложен на 76 страницах. Перечень использованных источников насчитывает 81 наименование.
