Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка Кириллова Галина Александровна

Содержание к диссертации

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 23

1. Линейная обратная задача с финальным

переопределением 23

1.1 Решение линейной обратной задачи с помощью

прямого перехода к уравнению составного типа 24

1.2. Решение линейной обратной задачи

с помощью перехода к нагруженному уравнению

составного типа 32

2. Линейная обратная задача с интегральным

переопределением для одного класса

параболических уравнений высокого порядка 38

1. Решение линейной обратной задачи с помощью прямого перехода к уравнению составного типа 38

2. Решение линейной обратной задачи с помощью перехода к нагруженному уравнению

составного типа 47

2.3 Линейная обратная задача с составным внешним
воздействием 55
ДОПОЛНЕНИЕ 1 62

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 63

1. Обратная задача с неизвестным
коэффициентом при решении в случае
интегрального переопределения 63

2. Обратная задача с неизвестным коэффициентом
при решении в случае финального переопределения 76
3. Обратная задача с неизвестным коэффициентом
и неизвестной правой частью 82

ДОПОЛНЕНИЕ 2 91

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 92

Введение к работе

Уравнения параболического типа встречаются во многих разделах математики и математической физики. Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих выдающихся математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались в восемнадцатом веке. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах - отметим здесь прежде всего работы А.И. Прилепко [37-48], [72], Ю.Е. Ани-конова [1], [55-58], Б.А. Бубнова [11-12], Е.Г. Саватеева [50], Н.Я.

Безнощенко [5-8], Ю.Я. Белова [9-Ю], Д.Г. Орловского [31-35], И.А. Васина [36], В.Л. Камынина [22-23], В.В. Соловьева [51-53], А. Ло-ренци (Италия) [64-65], [70], Н.И. Иванчова (Украина) [17-21], А.И. Кожанова [67-69] и других.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости линейных и нелинейных обратных задач для параболических уравнений высокого порядка.

Методика исследования. Для поставленных задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. Линейная задача исследуется с помощью перехода к локальной краевой задаче для линейного уравнения составного типа и перехода к нелокальной краевой задаче для линейного "нагруженного" уравнения составного типа.

Нелинейная краевая задача исследуется с помощью перехода к нелинейному "нагруженному" уравнению составного типа.

Доказывается существование регулярного решения преобразованной задачи и возможность построения с помощью найденной функции решения исходной обратной задачи.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях обратных задач для параболических уравнений высокого порядка.

Значение работы также определяется прикладной значимостью

исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на:

1. Научно-техническом совете Рубцовского индустриального института АлтГТУ им. И.И. Ползунова (филиал) (2000-2003 гг.)

2. Семинаре "Неклассические уравнения математической физики" (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Кожанов А.И.) (Новосибирск 2000-2003 гг.)

3. Семинаре "Избранные вопросы математического анализа" (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Демиденко Г.В.) (Новосибирск 2000-2003 гг.)

4. Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели". Челябинск. 2002.

5. Международной Школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения". Ханты-Мансийск. 2002.

6. На семинаре кафедры математического анализа Стерлита-макского государственного педагогического института (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Сабитов К.Б.) (Стерли-тамак 2004 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которых отражено ее основное содержание [24-29].

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, где дается краткое содержание работы, двух глав, разбитых на пять параграфов, и списка литературы. Нумерация формул - тройная: первая цифра указывает главу, вторая - номер параграфа, третья - номер формулы в нем. Объем диссертации составляет 102 страницы, включая список литературы, который состоит из 73 наименований.

Содержание работы

В главе 1 исследуется разрешимость линейных обратных задач для уравнений параболического типа четвертого порядка с неизвестной правой частью.

Пусть Q есть прямоугольник {(х, t) : 0<а?<1,0<*<Т} конечной высоты Т. В прямоугольнике Q рассмотрим уравнение параболического типа четвертого порядка с неизвестной правой частью.

щ(х, t) + и_хххх(х, t) + ju(x, t) = h(x, t)q(x) + f(x, t) (1)

(7 > 0 — заданная постоянная). Рассмотрим задачу одновременного определения решения данного уравнения и правой части.

В подобных задачах задается краевая информация, естественная для соответствующей прямой задачи и информация о дополнительных граничных условиях для функции и(х, t).

В 1 в качестве дополнительного граничного условия мы выбираем условие

и(ж,Т)=0, 0<ж<1. (2)

Обратная задача: найти функции u(x,t) и д(ж), связанные в Q уравнением (1) при выполнении условия (2) и условий

u(O_tt) =u_x(0,t)= и(1,t) = ^(1,^) = 0, 0(3)

и(ж,0) = 0, 0<ж<1. (4)

Для исследования обратной задачи (1)-(4) мы воспользуемся двумя подходами.

Первый подход основан на непосредственном переходе к уравнению составного типа.

Пусть выполняется условие

h(x,t)^0 (x,t)GQ. (5)

Введем обозначения

h_t{x,t)

h(x,t) '

Lu — u_t-\- и_хххх + 7«, &{х, t) =

/i(*,t) = /,(*, t)-^|/(*,t).

Вместо обратной задачи рассмотрим прямую краевую задачу: найти в Q решение уравнения

Ьщ - а(х, t)Lu = /і(ж, t), (6)

удовлетворяющее условиям (2)-(4).

Далее проводится исследование разрешимости краевой задачи

(6), (2)-(4).

Обознаим через Я пространство W}'¹(Q) nLoo(0,T; W|(0,1)). Теорема 1. Пусть выполняются условие (5) и условия

7 > 0, a(x,t) > О, a_t(x,t) < О, a_xx(x,t) < О,

Oi_XXxx{x,t) > 0 при (х,t) Є Q]

fl(x,t), flx(x,t), flxx{x,t), fl_Xxx{x,t), flxxxx{x,t) Є L₂(Q)_y

/i(0,t) = /i(M) - /1,(0,0 = fi_x(l,t) = 0. Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {u(x,t),q(x)} такое, что u(x,t) Є Я, u_t(x,t) Є Я, g(s) Є Ьоо(0,1).

Далее исследуем исходную обратную задачу другим методом -методом, основанным на переходе к нелокальной краевой задаче.

Пусть теперь выполняется условие

Цх,Т)^0 я; є [0,1]. (7)

Вычислим функцию q(x), положив в уравнении (1) t — T:

_ щ(х,Т) - f(x,T)
^q(X)~ h(x,T)

Положим

_a(xt)= Ч*>*) _F(xt)__f(xt) 4x,t)f(x,T)

С учетом этих обозначений получаем уравнение

Щ + и_Хххх + ju = а(х, t)u_t(x, Т) + F(x, t). (V)

В уравнении (1/) положим t = 0. Получим равенство:

щ{х, 0) = а(х, 0)щ(х, Т) + F(x, 0). (8)

Далее продифференцируем уравнение (1') по переменной t; если ввести обозначение v(x, t) = u_t(x, t), получим уравнение для функции v

vt + v_xxxx + 7^ = a_t(x,t)v(x,T) + F_t(x,t). (9)

Рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения (9), удовлетворяющее условиям (2), (3), (8).

Уравнение (9) в литературе принято называть "нагруженным" уравнением [30], условие (8) есть нелокальное условие — условие, связывающее значения решения v(x,t) в различных точках границы.

Таким образом, краевая задача (9), (2), (3), (8) представляет собой нелокальную краевую задачу для "нагруженного" параболического уравнения.

В п.1.2 1 именно с помощью решения v(x,t) этой краевой задачи и будет построено решение и(х, t),q(x) исходной обратной задачи.

Теорема 2. Пусть выполняются условия: а(х, 0) Є W^>(0,1), F(z,0) Є W₂²(0,1), a_t{x,t) Є оо(Ф), F_t(x,t) Є L₂(Q), а также одно из условий

7>0, ||a(x,0)||i_eo(0il) + ^|M_a;|t)||i_eoW)

7>0, ||a(x,0)||i_oo(0il) + 2T||a_f(a;,0llL(Q) < 1; (П)

₇>0, ||a(^0)||i_eo(0|1) + ||M_a;,t)||i_ooW)

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {u(x,t),q(x)} такое, что u(x,t) Є Я, u_t(x,t) Є Я, q(x) Є Lqo(0,1).

Задача, которая будет исследоваться в 2, также относится к классу линейных обратных задач, то есть таких задач, в которых вместе с решением неизвестной является и правая часть. Для нахождения правой части предлагается дополнительное условие -условие интегрального переопределения. Данная задача исследуется путем перехода к прямой задаче для нового уравнения.

В прямоугольнике Q рассмотрим уравнение (1) и краевую задачу для него: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3), (4). В качестве дополнительного условия переопределения мы выбираем следующее

f a(t)u(x, t)dt = 0,0 < х < 1. (13)

Пришли к обратной задаче: найти функции u(x,t) и q(x), связанные в Q уравнением (1), при выполнении условий (3), (4), (13).

Рассмотрим следующую вспомогательную задачу: найти функцию v(x,t), являющуюся в Q решением уравнения

vttt + Vxxxxtt - а(х, t)v_xxxxt + Л(х, t)v_tt + В(х, t)v_t = i*i(х, t), (14)

удовлетворяющую условиям

«(О,*) - w(l,t) = tfe(0,t) = tfc(l,i) = О,

г/(яг, 0) = v_t(ar, 0) = 0, v(x, Т) = 0, (15)

где a(x,t), A(x,t),B(x,t),Fi(x,t) - заданные функции.

Заметим, что (14) есть уравнение составного типа.

Обозначим через V множество функций v(x,t) таких, что v Є W₂³(Q)» v_xxxx Є L₂(Q), v_xxxxt Є L₂{Q), v_xxxxtt Є L₂{Q) и для них выполняются условия (6). Очевидно, что V есть банахово пространство; норму в V можно ввести равенством

IHIV = (ІМІИЗД) + j_Q(4xxx + ^vlxxxt + V²_xxxxtt)dxdt)^1/2.

Теорема 3. Пусть выполняются условия

a(x,t) Є СЩ, A(x,t) Є C²(Q), B(x,t) Є C²{Q), Ffat) L₂(Q), F_lx Є L₂{Q),

Fi_xx Є L₂(Q), Fi(0,t) Fi(l,t) = F_lx(0,t) = F_la;(M) = 0;

a(x,t) > 0,a_xx(x,t) < 0 при x Є [0,1];

ai + A_tt(x, t) + B_t(x, t) < 0 при (ж, t) Є Q;

A(x,t) > ao > 0 при (ж,) Є Q.

Тогда задача (14)-(15) имеет решение v(x,t), принадлежащее пространству V.

В п.2.2 2 исследуется решение линейной обратной задачи с помощью перехода к нагруженному уравнению составного типа.

Вернемся к обратной задаче (1), (3), (4), (13). Введем обозначения

A(x,t)==>y

a(t) h(x,t) ' 2а'(t) h_t{x,t) a(t) ~ h{x,t) '

п(<гі\-~(*Ш\ ,*м_, ^w_<. fr*(M) UwA «(*)%»*) "W мм)

^і)-а(*)М«,*)|[{^].

Теорема 4. Пусть относительно введенных функций а(ж,),

A(:r,), B(x,t) и Fi(:r,) выполняются все условия теоремы 3 и

условия a(t) > «о > 0> Л(М) > /г₀ > 0. Тогда обратная задача (1)-

(4) имеет решение u(x,t),q(x) такое, что u(x,t) Є V, w*(#, ) є У,

д(ж)єоо(0,1).

Покажем теперь, что обратная задача (1), (3), (4), (13) может быть исследована и иным методом - методом, основанным на переходе к так называемым "нагруженным" параболическим уравнениям. Введем обозначения:

/i(M) = l_o a(r)f(x,r)dr,

hi(x,t) = у_о a(T)h(x,r)dr,

hi{x,T)' h(x,t)h(x,T)

/?(M) =

hi{x,T)

F{x,t) = f(x,t)

Теорема 5. Пусть выполняется условие

Ч*,Т)^0 (16)

и условия

2т - ЗТтах[а(Т)/3(х, t)]² > 0, (17)

₇² - ЗГт_ах[/?М)]² Г ol²(t))dt > 0. (18)

Q 'О

Тогда обратная задача (1),(3), (4), (13) имеет решение u(x,t) Є H,q{x)eL₂(0,l).

В п. 2.3 2 гл. 1 исследуется разрешимость обратной задачи с составным внешним воздействием.

В прямоугольнике Q рассмотрим уравнение с неизвестной правой частью.

щ(х, t) + и_хххх(х, t) + "fu(x, t) =

= q^h^x, t) + q₂{x)h₂(x, t) + f{x, t), (19)

где 7 > 0 - заданное положительное число.

В качестве дополнительных условий переопределения выбираем следующие:

I ai(t)u(x,t)dt = 0, I a₂(t)u(x,t)dt = 0. (20)

В результате приходим к обратной задаче: найти функции u(x,t), q\(x) и q₂(x), связанные в Q уравнением (19), при выполнении условий (3)-(4).

Покажем, что обратная задача (19), (3), (4) может быть исследована методом, основанном на переходе к "нагруженным" параболическим уравнениям. Введем обозначения:

гТ _ . _% гТ

Рп{х) = ]_Q ai{t)hi{x,t)dt, /3₁₂(x)=J_o ai(t)h₂(x,t)dt,

rp rp

P2i{x) = J₀ a₂{t)h₁(x,t)dt, f3₂2(x)=j_Q a₂(t)h₂(x,t)dt.

h{x) = /_o^Tai(t)/(^,t)cft, f₂(x) = a₂(t)f{x,t)dt.

hi(x,t) ai[x,t) -

h₂(x,t)

a₂(x,t) =

Pii(x)fo₂(x) - p₁₂{x)p₂₁(xY Теорема 6. Пусть выполняется условие

PiiWMx) - Мх)(3₂₁(х) ф 0. (21)

и условия

7² - Г[г „ Q

₇² - T[max \а²(х, t)p²₂₂(x) jf a²(t)dt\-

-m&z\a\(x,t)(3²_l2(x)f_Q a'i(t)dt\+

-bmsK^ix.t^ix) f a'i{t)dt\-

- шах |а|(я?, *)/&(*) і а?М^|] > 0 (22)

Q ^Jv

2₇ - r[max \a\(x, t)p²₂(x)a\(T)\ - max \a²(x, t)pj₂{x)a²₂(T)\+

Q У

+ m&x\a²₂{x,t)j3²_n{x)a²₂{T)\-
-m&x\a²(x,t)(3²_2l(x)a\(T)\] > 0 (23)

Тогда обратная задача (19), (3), (4) имеет решение и(х,і) Є Н,

<7і(я)ЄЬ₂(0,1), 2(0,l).

Похожие диссертации на Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка

Краевые задачи для смешанных уравнений, порядок которых вырождается вдоль перпендикулярных линий изменения типа Зайнулабидова Заира Мансуровна

Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областяхХашимов, Абдукомил Рисбекович

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений второго порядка смешанного эллиптико-параболического типаМирсагатов, Шухрат Шавкатович

Краевые задачи для уравнения третьего порядка, содержащего параболо-гиперболический операторТалипов, Атамет

Краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с переменным направлением параболичностиКузнецов Иван Владимирович

О единственности решений первой смешанной задачи для параболических уравнений второго порядкаСливина, Наталья Александровна

Первая крайняя задача для эллиптических уравнений второго порядка в областях с коническими и угловыми точками на границеБорсук, Михаил Владимирович

Теоремы о неравенствах и двусторонние приближения для трехточечной задачи обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядкаГелдиев, Харкисухамед Ашыр оглы

Краевые задачи для параболических уравнений произвольного порядка в весовых пространствах ГёльдераЧерепова, Марина Фёдоровна

Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентамиСафиев, Эльшан Кавы оглы