Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Энтропийные решения модельного уравнения пограничного слоя
1.1. Основные результаты 14
1.2. Доказательство предложения 1.1.5 17
1.3.Доказательство теоремы 1.1.6 24
1.4.Доказательство теоремы 1.1.7 36
1.5. Доказательство теоремы 1.1.8 43
Глава 2. Сингулярные пределы решений псевдопараболического уравнения с малым параметром при старшей производной
2.1.Основные результаты 45
2.2.Доказательство теоремы 2.1.1 47
2.3. Коммутационное соотношение 51
2.4.Параметризованные меры 59
2.5.Доказательство теоремы 2.1.2 68
Глава 3. Дополнение к первой главе
3.1. Существование следа решения в смысле L 71
3.2.Доказательство предложения 3.1.3 75
3.3.Доказательство теоремы 3.1.5 76
3.4. Относительная компактность решений уравнения (3.3.6) 80
Список литературы 92
- Доказательство предложения 1.1.5
- Доказательство теоремы 1.1.8
- Коммутационное соотношение
- Относительная компактность решений уравнения (3.3.6)
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию корректности краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка с переменным направлением парабол и чности. Такие уравнения возникают при математическом моделировании турбулентного теплопереноса в стратифицированном потоке, течений в пограничных слоях, а также при моделировании процессов эволюции популяции. В классической постановке краевые задачи для уравнений переменного типа парабол и чности являются некорректными. Они не вкладываются в общую теорию параболических уравнений и требуют отдельного рассмотрения. В исследовании краевых задач в большей мере применяются методы, развитые для гиперболических систем и уравнений. Приведенные в настоящей диссертации результаты носят исключительно теоретический характер.
Линейное уравнение переменного направления парабол и чности имеет вид a(t} х)щ - ихх = О, где <т - функция неопределенного знака. При cr(t, х) = x2k+1f это уравнение впервые было рассмотрено в [1], [2]. В [3] был подробно изучен случай : a(ty х) = х. Первая краевая задача для уравнения хщ - (\их\р-2их)х = / была поставлена в [4, гл. 3, п. 2.6]; там же был сформулирован вопрос о возможной гладкости решения в окрестности особой линии х = 0. Случай cr(t, х) = х, —oo
Отметим, что в настоящей диссертации рассматриваются только квазилинейные уравнения переменного типа параболичности, которые можно разделить на уравнения с неотрицательной и, соответственно, с знако-неопределе иной квад-
I ратичными формами.
I Типичным примером квазилинейного уравнения переменного типа парабо- личности с неотрицательной квадратичной формой есть модельное уравнение пограничного слоя в переменных Мизеса : -(u2)t = uxx, (1) с соответствующими краевыми условиями ^ «U=o = 0, «1^=1 ~ 0, 2) u\t=o = «, u\t=T = ит. (3)
О.А. Олейник на одной из лекций, прочитанных в летней математической шко ле, см. [11, стр. 117-256], отметила важность развития теории краевых задач і для квазилинейных уравнений с неотрицательной квадратичной формой. В ка- S честве примера была рассмотрена задача (1)-(3), которая возникает в теории пограничного слоя, см. также [12]. Аналогичная краевая задача для уравнения sign(u) щ = ихх была рассмотрена в [13]. Раскроем гидродинамический смысл уравнения (1). Модельное уравнение пограничного слоя (1) получается после перехода к переменным Мизеса из уравнений Прандтля, описывающих плоское стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое. Здесь t - направление вдоль стенки, ограничивающей поток; х - функция тока; u(t,x) -горизонтальная компонента скорости. Обычно предполагается, что уравнение (1) описывает пограничный слой без отрывов, т.е. и > 0. Однако, если предположить, что уравнение (1) может быть применено к описанию явления отрыва пограничного слоя, то следует учесть, что вблизи точки отрыва появляется область с возвратным течением, и скорость и меняет знак. Таким образом, при изучении отрывных течений в пограничном слое мы имеем дело с квазилиней ным уравнением второго порядка с переменным направлением параболичности. Поскольку течение стационарное, то (3) краевые условия задают профили гори- \ зонтальной скорости и" и «г в начале и, соответственно, в конце пограничного ( слоя. Граничные данные (2) соответствуют предположению о прилипание жид- кости к стенке.
Краевую задачу (1)-(3) можно рассматривать, как пересечение двух задач Коши для уравнений с положительным и, соответственно, с отрицательным направлениями параболичности. Согласно теории вырождающихся параболи ческих уравнений [11, стр. 262], для непрерывно дифференцируемых гранич ных данных и,ит Є Cq(0, 1), удовлетворяющих условию ит < 0 < и0, най- * дутся достаточно большие ti, ^2) Т Є R+, и существует единственное непрерыв- ное решение и краевой задачи (1)-(3), такое, что u(ttx) — 0 при t (^1,^2), О < h < t 0, решение краевой задачи (1)-(3) может и не существовать в пространстве непрерывных функций. В [11] была поставлена задача о построении классов решений, в ко-f торых эта краевая задача приобрела бы корректность.
В [14] было доказано существование ограниченного обобщенного решения уравнения (1). Опишем схему доказательства этого результата. Важнейшим методом построения слабого решения служит метод эллиптической регуляриза ции. Эллиптическая регуляризация задачи (1)-(3) записывается в следующем 4 виде : -(и% = иє<хх + eujtu (4) «eU=o = 0, щ\х=і = 0, (5) w^l^o = u, us\t=T = ит. (6)
При произвольных є,Т > 0 и любых граничных данных и,ит Є (»(0,1) П #о(0,1), задача Дирихле (4)-(6) имеет решение иЕ Є L^Gt) Л H1(Gt)1 Gt —, (0,Т) x (0,1), см. [15, гл. 8], и справедливы оценки :
IWIWGr) ^ maX{llUIUoo(0,l): ll«T||Leo(0,l)}» v4K*IU2(gt) + К,*іиг(сг) < о, |«J(t +ft, О-«*(<,.) 11^(0,1) Л
В первой главе настоящей диссертации рассматривается первая краевая задача для уравнения с переменным направлением парабол и чности и с неотрицательной квадратичной формой: dtA{u) = Аи, (7) и\гт = 0, u\t=o = «, u\t=T ~ иту (8) при предположении на функцию А С2(Щ, что каждое компактное множество из Ж. содержит не более конечного числа нулей производной функции А. Здесь Gt = (0, Т) х П, Гу = (0, Т) X dQ, U С Rd - ограниченная область с гладкой границей класса С2, Т - произвольное положительное число, u,wT Є L^Q) -граничные данные. Помимо задачи (7)-(8), в первой главе рассматривается эллиптическая регуляризация : dtA(ue) = Ащ + єиЄ}іи щ\гт = 0, ue\t=0=u, иеЬ=г = «т, при естественных ограничениях на граничные данные: «, ит Є L^Q) ПН^(0,).
В первой главе настоящей диссертации показано, что щ стремится в L\ к энтропийному решению задачи (7)-(8). Более того, именно в классе энтропийных решений краевая задача (7)-(8) однозначно разрешима.
Исторически, понятие энтропийных решений возникло в процессе изучения квазилинейных уравнений первого порядка и построения единственных решений в целом по времени : dtu + divF(u) = 0, (9) где F Є C2(M.)d - произвольная гладкая вектор-функция. Энтропийное решение уравнения (9) удовлетворяет в смысле распределений следующему неравенству: діф(и) + divtf (и) < 0, (10) для любой выпуклой функции ф и соответствующего энтропийного потока Н, Н' = $F*. Для квазилинейных уравнений первого порядка существование и единственность энтропийных решений задачи Коши были доказаны в [16-19] при налагаемых условиях на начальные данные и функцию F, Корректность начально-краевых задач в классе энтропийных решений установлена в [20-25]. Особенность начально-краевых задач для (9) заключается в том, что если граничные и начальные данные из BV, то существует единственное энтропийное решение ограниченной вариации, см. [20], удовлетворяющее краевым условиям в следующем смысле sigru> - uD) v(x). (F(u) - F(k)) > 0, \/к Є (min(u,uD), max(uyuD)). (11)
В работах [24, 25] доказывается, что, если начальные и граничные данные из іоо, то существует единственное ограниченное энтропийное решение, удовлетворяющее краевым условиям в смысле Ф. Отто, которые задаются граничными энтропийными парами (см. [25]). Поскольку энтропийное решение (7)-(8) является всего лишь ограниченным, то при доказательстве единственности энтропийного решения задачи (7)-(8) применяются методы, развитые в [16, 24-25]. Пусть функция F Є C3(R)d удовлетворяет условию сильной нелинейности : V(r,0eRxEd, |r| + |C|^0, mes({6R: г + С *"() = 0}) = 0.
В работе [34] доказывается, что при условии сильной нелинейности энтропийное решение уравнения (9) имеет след на границе в смысле L\. Тогда всего лишь ограниченные решения (10) удовлетворяют не только краевым условиям в смысле Ф. Отто, но и в форме (11).
У энтропийного решения существует эквивалентная кинетическая формулировка. Вводится новая переменная Є (—L, L), изменяющаяся в области значения функции и, тогда справедливо представление функции и в виде
Тогда неравенство (10) сводится к транспортному уравнению dtf + *"«) - V/ = д^т, где т - неотрицательная мера - kinetic defect measure. Эта формулировка была введена в работе [26] и изучалась во многих работах, как, например: [27-29]. Компактность решений этого уравнения установлена и изучена в полной мере в [30-33]. В [34] применяется метод blow-up к кинетической формулировке энтропийного решения уравнения (9) для обоснования существования следа у энтропийного решения в смысле L\. Применение метода blow-up к энтропийным решениям было впервые предложен в [35] для доказательства гладкости обобщенных решений одной гиперболической системы двух уравнений.
Отметим, что в работе [36] изучаются энтропийные решения уравнений параболического типа. Кинетическая формулировка энтропийных решений рассматривается в работе [37].
При условии сильной нелинейности на коэффициенты уравнения, компактность кинетических решений установлена в [38] для более узкого класса уравнений - ультрапараболических уравнений Гратца-Нуссельта. Результат компактности был установлен с помощью теории Я-мер, предложенной в [39] и развитой в [18], и теории сингулярных операторов [40]. Более того, эти результаты компактности можно распространить на более широкий класс уравнений переменного направления параболичности.
Вышеупомянутые методы применяются при обосновании существования следа энтропийного решения задачи (7)-(8) при более слабых у слови-ях на функцию А : невырожденность производной функции А почти всюду: Этому результату посвящена третья глава.
Перейдем к рассмотрению квазилинейных уравнений переменного типа с знаконеопределенной квадратичной формой. В работах [41-45] были построены мерозначные решения для уравнения где функция (р Є СХ(ЕЙ) удовлетворяет условиям: (АИ|1+* - 1)+ < <р(А) < к\А\1-* + 1, \*Ч>(А)\ < Л|Л|* для всех А є Rd, J Є [0,1].
В работах [46-49] исследованы уравнения переменного направления парабо-личности, содержащие оператор гистерезиса : dt(v + w) - Av ~ f, где vhw связаны между собой соотношением : и = a(w) := w(w2 — 1), либо (-00,(] w = — 1, u Є а(гу) = < ^ ((ai — аг)ги + ai + а2) -1 < ги < 1, [аі, оо) го = 1.
В работах [50-52] было показано, что уравнение vt = (v3 - v\ имеет бесконечно много ограниченных слабых решений. Отметим, что в работах [53-55] построен класс энтропийных решений для этого уравнения, являющийся более узким классом, чем класс мерозначных решений. Энтропийные решения этого уравнения строятся, как предельные точки начально-краевой задачи с граничными условиями Дирихле : dtv = (vj - ve + edtVe)^ {vl ~ve + edtv) Uo^i = 0, Ue|f=o = «.
В [55] было показано, что множество {vf — v}>q относительно компактно в L2.
Во второй главе настоящей диссертации изучается следующее уравнение с переменным направлением парабол и ч пости dtv = ДФ(«). (12)
Функция Ф : К.4" —Y Ж+ не монотонна и имеет на интервале единственную точку максимума; стремится к нулю на бесконечности; обращается в нуле в нуль; кроме того, эта функция интегрируема на положительной полуоси. Поясним гидродинамический смысл этого уравнения. Уравнение (12) является уравнением теплопроводности для положительных градиентов температуры по вертикали в сдвиговом по горизонтали потоке жидкости и возникает при моделировании процессов турбулентного теплопереноса в океанологии. Пусть х -вертикальное направление (ось х - направлена вверх), в - температура, t - время, v = дхв ~ градиент температуры. В общем случае, абсолютная величина теплового потока зависит от многих факторов. Но в некоторых моделях океанологии, в предположениях относительной устойчивости погоды и отсутствия интенсивных течений, турбулентный поток тепла Ф, в основном, зависит от вертикального градиента температуры, т.е. v. Такой случай типичен для центральной части Черного моря и северной части Японского моря. При наличии сильного гравитационного поля и линейной зависимости плотности жидкости от температуры, положительность градиента температуры по вертикали является следствием уменьшения плотности жидкости по х. Устойчивое распределение плотности по вертикали приводит к тому, что любая турбулентность гасится, и при достаточно больших градиентах температуры турбулентный тепловой поток мал. Начиная с некоторого критического значения v, тепловой поток Ф(у) убывает. Малый параметр є - время релаксации теплового потока относительно малой вариации градиента температуры. Учитывая є в уравнении теплопроводности (12), тепловой поток Ф принимает форму:
Ф(ї>(* - е, х)) « $(v(t, х)) + edtV{v(t} аг)), где Ф = Ф(г) - ограниченная непрерывная монотонно возрастающая функция. В этих предположениях, процесс теплопереноса описывается начально-краевой задачей с граничными условиями Дирихле для псевдопараболического уравнения с малым параметром при старшей производной: $і> = (Ф(«) + ей*(іО)м, (13) v\x=o,x=i = 0, (14)
4=о = «. (15)
Эта математическая модель была предложена в работе [56].
Следующая начально-краевая задача с граничными условиями Неймана dtv=((v)+edtVe)xx, (16) (() 4- eftwe) J„=o,«=i = 0, (17) Ve\t=Q = V} (18) была рассмотрена в работах [57, 58] при описании процессов динамики популяции. Перечислим одинаковые свойства решений задач (13)-(15) и (16)-(18). Для любых положительных начальных данных -у0 є А»(0, 1)) при любом значении положительного малого параметра , при любом Т > 0, у краевых задач (13)-(15) и (16)-(18) существуют положительные почти всюду решения в Cl(0,T; 1/^(0,1)), которые стремятся асимптотически по времени к функции Я Є L>oo(0,1). Если Ф'(у(х)) > 0 при всех х Є (0,1), то решение принадлежит пространству С^О, oo;BV(0,1)), и функция q равна почти всюду нулю. Если Ф'{у) < 0, то решение принадлежит Са(0, оо; /^(0,1)), и функция q является только почти всюду неотрицательной. Вопросы, касающиеся предельных точек по малому параметру є множеств решений задач (13)-(15) и (16)-(18), остаются все ещё не до конца изученными.
Во второй главе настоящей диссертации исследованы предельные точки множества решений начально-краевой задачи Неймана для псевдопараболического уравнения с малым положительным параметром при старшей производной: dtve = A({ve) + edtv), v V(<&(v) + edtVe)\dUx(o,T) = 0, 12 «є|(=0 = « » где w Є Loo(fi) - почти всюду неотрицательные начальные данные. Доказано, что множество {Ф(ие)}е>о относительно компактно в Li. При обосновании компактности используются методы, развитые в [55].
Доказательство предложения 1.1.5
Отметим, что в настоящей диссертации рассматриваются только квазилинейные уравнения переменного типа параболичности, которые можно разделить на уравнения с неотрицательной и, соответственно, с знако-неопределе иной квад- I ратичными формами. I Типичным примером квазилинейного уравнения переменного типа парабо- личности с неотрицательной квадратичной формой есть модельное уравнение пограничного слоя в переменных Мизеса : с соответствующими краевыми условиями О.А. Олейник на одной из лекций, прочитанных в летней математической шко ле, см. [11, стр. 117-256], отметила важность развития теории краевых задач і для квазилинейных уравнений с неотрицательной квадратичной формой. В качестве примера была рассмотрена задача (1)-(3), которая возникает в теории пограничного слоя, см. также [12]. Аналогичная краевая задача для уравнения sign(u) щ = ихх была рассмотрена в [13]. Раскроем гидродинамический смысл уравнения (1). Модельное уравнение пограничного слоя (1) получается после перехода к переменным Мизеса из уравнений
Прандтля, описывающих плоское стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое. Здесь t - направление вдоль стенки, ограничивающей поток; х - функция тока; u(t,x) -горизонтальная компонента скорости. Обычно предполагается, что уравнение (1) описывает пограничный слой без отрывов, т.е. и 0. Однако, если предположить, что уравнение (1) может быть применено к описанию явления отрыва пограничного слоя, то следует учесть, что вблизи точки отрыва появляется область с возвратным течением, и скорость и меняет знак. Таким образом, при изучении отрывных течений в пограничном слое мы имеем дело с квазилиней ным уравнением второго порядка с переменным направлением параболичности. Поскольку течение стационарное, то (3) краевые условия задают профили гори- \ зонтальной скорости и" и «г в начале и, соответственно, в конце пограничного ( слоя. Граничные данные (2) соответствуют предположению о прилипание жид- кости к стенке. Краевую задачу (1)-(3) можно рассматривать, как пересечение двух задач Коши для уравнений с положительным и, соответственно, с отрицательным направлениями параболичности.
Согласно теории вырождающихся параболи ческих уравнений [11, стр. 262], для непрерывно дифференцируемых гранич ных данных и,ит Є CQ(0, 1), удовлетворяющих условию ит 0 и0, най- дутся достаточно большие ti, 2) Т Є R+, и существует единственное непрерыв- ное решение и краевой задачи (1)-(3), такое, что u(ttx) — 0 при t ( 1, 2), О h t i Т, х Є (0,1). Легко видеть, что при произвольном Т 0, решение краевой задачи (1)-(3) может и не существовать в пространстве непрерывных функций. В [11] была поставлена задача о построении классов решений, в ко-f торых эта краевая задача приобрела бы корректность. В [14] было доказано существование ограниченного обобщенного решения уравнения (1). Опишем схему доказательства этого результата. Важнейшим методом построения слабого решения служит метод эллиптической регуляриза ции. Эллиптическая регуляризация задачи (1)-(3) записывается в следующем
Доказательство теоремы 1.1.8
В предыдущем разделе мы доказали, что при произвольных граничных данных и0, ит Є Ах ( ) П о( )) У краевой задачи (1.1.1)-(1.1.2) существует единственное энтропийное решение. Покажем, что этот результат имеет место при любых граничных данных и0, ит Є Loo ( )- Выберем последовательности {и}, {и[} С АхФ) П оСФ» которые сходятся в Li(Q) к функциям и0, ит. По {и} и {uf} построим последовательность {щ} С L GT) П- 2(0, Т;Яр(Гї)); по определению 1.1.4, решение щ удовлетворяет неравенству (1.1.8): - / для любой граничной энтропийной пары (H}Q)t произвольного к Є И. и любой неотрицательной функции 7 CQ(RX fi). В силу теоремы 1.1.6, последовательность {щ} является фундаментальной и ограниченной последовательностью в пространстве LI(GT), что означает её сходимость. Кроме того, в силу равномерной ограниченности последовательности {щ} в Аю(Ст) П 2(0,Т;Яр(О)), предел « удовлетворяет определению 1.1.4 и, соответственно, является единственным энтропийным решением краевой задачи (1.1.1)-(1.1.2) при любых и,ит Є Loo( )) что завершает доказательство теоремы 1.1.8. В настоящей главе рассматривается начально-краевая задача для псевдопараболического уравнения с малым положительным параметром при старшей производной.
Особенность этой задачи состоит в том, что предельное уравнение, соответствующее нулевому значению малого параметра, является уравнением с переменным направлением парабол и чности, и как следствие, эта начально-краевая задача становится некорректной в классическом смысле. Доказывается, что при стремлении малого параметра к нулю найдется последовательность решений рассматриваемой задачи, для которой предельная мера Янга является атомарной, и, как следствие, имеет место компактность. 2.1. Основные результаты В настоящей главе рассматривается следующая начально-краевая задача: Здесь GT = (О, Т) х П, Тт = (О, Г) х дП, где Т - произвольное число, П С Rd -ограниченная область с границей класса С2. Функция и0 является почти всюду неотрицательной функцией из Ь СЇ). Относительно функции Ф предполагается выполненным следующее Условие Z. Функция Ф : Ш+ — Ш+ является гладкой функцией, которая имеет единственную точку максимума, Ф(0) = 0. Кроме того, функция Ф удовлетворяет оценке /0 Ф(з) ds оо и стремится к нулю на бесконечности. Доказательство этой теоремы приводится во разделе 2.2. При є = 0, в силу немонотонности функции Ф, уравнение (2.1.1) есть уравнение с переменным направлением парабол ичности, и при произвольных положительных начальных данных v начально-краевая задача (2.1.1)-(2.1.3) теряет корректность в классическом смысле. В настоящей работе исследуется вопрос о поведении решения начально-краевой задачи (2.1.1)-(2.1.3) при стремлении малого параметра є к нулю.
Основным результатом этой работы является следующая Теорема 2.1.2. Пусть {%}є о - множество решений задачи (2.1.1)-(2.1.3). Тогда найдутся подпоследовательность {vk} и функции к\, к і Є L {GT), ш Є L Gx) C\L2(0,T\Hl(Q)) такие, что Здесь функции 5i : [0,0] —» [0, а] и 5г : (0,0\ -+ [а, оо) обозначают нижнюю и верхнюю ветви обратной функции к функции Ф : [0,оо) — [О,/?]. В разделах 2.3 и 2.4 приводятся необходимые сведения, а в разделе 2.5 непосредственно дается обоснование утверждениям теоремы 2.1.2. 2.2. Доказательство теоремы 2.1.1 Докажем существование решения задачи (2.1.1)-(2.1.3). Сведем эту начально-краевую задачу к задаче Кош и для обыкновенного и нте гро-дифференциального уравнения. С помощью равенства
Коммутационное соотношение
Доказательство теоремы 2.1.2 начнем с доказательства сходимости подпосле довательности { &(ufc)}fceN в пространстве LP(GT), р 1- Для этого достаточно установить относительную компактность множества {$(V)} Q В LP{GT)- До казательство компактности этого множества основывается на теории -слабых пределов ограниченных подпоследовательностей в пространстве L GT)- В этом разделе будет выведено вспомогательное соотношение на -слабые пределы, ко торое называется коммутационным соотношением. Это соотношение было вве дено в работе [55] при изучении решений класса уравнений с переменным на правлением парабол и чности, отличного от изучаемого в этой главе. Наподобие + с работой [55], введем в рассмотрение вспомогательные функции при 5 Є [0, со). Рассмотрим следующие множества функций {F(v)}, {Q{v)}} {F(v)Q(v)} o С L00(Grr). По теореме Алаоглу, найдется подпоследовательность {vk}k =N которая не зависит от выбора функций F, Q, а также, найдутся функции F ,Q ,(FQ) Є A»(GT)I что для любой функции ц є CCO(GT) выполнены соотношения Другими словами, функции F , Q , (FQ) являются -слабыми пределами в LooiGr) подпоследовательностей {F{vk)},{Q(vk)}, {F(vk)Q(vlc)}k&n. Оформим в виде теоремы следующий вспомогательный результат. Заметим, что из соотношения (2.3.5) очевидным образом следует коммутационное соотношение: Доказательство. Рассмотрим множество функций Ft — /(Ф(у) -(- v). Из оценок (2.1.5) и (2.1.6) следуют соотношения
Покажем, что -слабыЙ предел в L Gr) подпоследовательности {FCftQ(vfc)}AeN равен произведению функций F и Q . Другими словами, докажем, что для ліси бой функции tp є C(Gx) выполнено соотношение Приведем необходимые сведения из анализа. Введем в рассмотрение орто-нормированный базис {т?/} С Я!(П) в пространстве Ь%{И), состоящий из собственных функций дифференциального оператора —Д; собственная функция щ удовлетворяет следующей краевой задаче: Как известно, собственные числа оператора — Д являются неотрицательными и образуют монотонно возрастающую последовательность {/xj} , где 0 = о А і Легко видеть, что (Et) = E nfi Е(ІЇ) = L2(Q), ES(Q) компактно вкладывается в C(fi), s = [d/2\ + 1. Для любой функции и Є El(U) 00 ОО р. ОО - Легко видеть, что для любых функций и Є El(l), v Є ?(Q) имеет место равенство Продолжим доказательство. Выберем в (2.3.7) функцию , как произведение функций С С7(0,Г) и f C(f2). Замена функции на не ограничивает общности, поскольку пространство С(0,Т) х C(Q) плотно вложено в C(GT)- В равенстве (2.3.8) сделаем замену
Аналогично, из равенства (2.3.8), с помощью замены и — F , v = Q , следует равенство Легко видеть, что доказательство соотношения (2.3.7), из которого следует справедливость теоремы 2.3.4, сводится к доказательству следующего соотношения: Обоснование справедливости соотношения (2.3.9) опирается на Предложение 2.3.5. Имеют место следующие утверждения : 1. Подпоследовательность \ \/I — A(FkC) \ сходится слабо в L2(GT) К функции VI -A(F () Є L2(Gr). 2. Множество \ A(Q(ve)) относительно компактно в (GT). Из этих утверждений следует справедливость соотношения (2.3.9). Доказательство. Оценим по норме в L G?) функцию у/1 — A(F) : где С не зависит от е. Подпоследовательность {V Д(- Є С)}ЙЄИ имеет в L/2{GT) слабый предел у/1 — A(F (I) Є 1 ((). Первое утверждение предложения 2.3.5, очевидно, выполнено. Докажем второе утверждение предложения 2.3.5. При 0с построенным выше базисом {щ} свяжем ортогональный проектор Пе : 1 ( ) — 2 ), который действует по правилу: для любого и Є г( )
Относительная компактность решений уравнения (3.3.6)
Поскольку начальные данные задачи Кош и постоянны по у, то из теоремы [67, theorem 6.1.1] следует тождество (3.3.7), что завершает доказательство теоремы 3.1.5. анный раздел является изложением работы [38] с тем лишь отличием, что здесь рассматривается иной класс уравнений, а именно, уравнения переменного типа парабол ичности. Этот результат не вкладывается в общую теорию усреднений кинетических решений, развитую в [26]. Доказательства основаны на применении модификации Н-мср Л. Тартара, предложенной Е.Ю. Пановым. Рассмотрим уравнение Условие сильной нелинейности из работы [38] на коэффициенты левой части уравнения (3.4.1) есть в точности условие D. Пусть функция Д есть х-функция с носителем в П X (—L, L), тогда справедлива следующая Теорема 3.4.8. Множество {fk}kN относительно компактно в Lij Q). Доказательство. Пусть функция / есть -слабый предел последовательности {Д} в Loo(Q), и, соответственно, мера v есть -слабый предел {vk} в M(Q). Для доказательства теоремы 3.4.8 понадобятся дополнительные сведения из функционального анализа. Введем в рассмотрение множество для любой интегрируемой функции ip. Из леммы [18, лемма 4] и теоремы Е.Ю.
Панова о модификации Я-мер Л. Тартара [18, теорема 3] непосредственно вытекают два следующих утверждения: Лемма 3.4.9. Дополнение к S в № не более, чем счетно, и для любого Є справедливо предельное соотношение Д( ,) —У /( ,) -слабо в (П). 4 Псевдо-дифференциальный оператор нулевого порядка TZ-j (j — 0,..., d) с символом — iyj называется преобразованием Рисса [40, гл. 3]. Обозначим через А) псевдо-дифференциальный оператор нулевого порядка с символом уа, где у = (уо,..., yd) Є Sd. Оператор AQ О IZj является самосопряженным оператором. Потенциал Рисса Ха (0 а d + 1) для любой функции if Є Co(Rrf+1) определяется формулой Теорема Харди-Литтлвуда-Соболева [40, глава 5, 1] утверждает, что потенциалы Рисса определены на Lp(M.d+1) при любых р Є (1, +со) и являются ограниченными отображениями Lp(Rd+1) в Lg(Rd+1) при q_1 = р 1 — a(d + I)"1, т.е. Потенциалы Рисса и псе вдо-дифференциальные операторы нулевого порядка коммутируют друг с другом и с операторами дифференцирования и удовлетворяют следующим равенствам при всех допустимых функциях (например, при р Є Cg(Rd+1)): Из теоремы вложения Соболева и из изложенных выше свойств потенциалов Рисса вытекает следующая Лемма 3.4.16. Еслир d+І, то потенциал РиссаХ\ является компактным оператором, действующим из Lpjoc (R +1) в Cioc(E +1). Если 1 р d + 1, то потенциал Рисса Х\ является компактным оператором, действующим из LPMRi+1) в LqJoJFt1) для любых q Є [l,p(d+l)/(d+1-р)). Далее, приведем лемму, которая установлена в [39]: Лемма 3.4.17. Пусть Л - псевдо-дифференциаяъный оператор нулевого порядка с символом ф Є CK(d), к (d + 2)(d+ 1)/2, и В: Ь2(ШІ+1) м- Ь2(ШІ+1) - оператор умножения на функцию В Є C(Rf+1). Тогда [Л,В] := Л о В - В о Л Є (L2(Rf+1), W}(Ri+1)), и оператор ip Н dZj[At B]((p) (j — 0,..., d) имеет структуру где Ajr - псевдо-дифференциалъный оператор нулевого порядка с символом Вг - оператор умножения на функцию BZr) и Cj - некоторый компактный оператор из (L2(Rd+1), L2(Rd+1)). Замечание 3.4.18. В терминах переменных у Є d, у = г)\\г)\, rj Є Rd+lf формула (3.4.10) для псевдо-дифферепциального оператора нулевого порядка До о "R,j принимает вид Применяя теорему Планшереля к равенству (3.4.2), Н-меры можно эквивалентно определить по формуле где Л пссвдо-дифферендиальный оператор нулевого порядка с символом ф. Поскольку компактный оператор С переводит слабо сходящуюся последовательность {Д(-, А)} в сильно сходящуюся, имеем В предельном случае по А;, уравнение (3.4.1) принимает вид : уравнений (3.4.1) и (3.4.13): T1 85 Переопределим в этом равенстве пробную функцию , как = С(г,, Л), и проинтегрируем это равенство по Л: Подставляя в (3.4.12) вместо компактного оператора С следующие компактные операторы І2, Х\ о 72.J, перейдем к пределу по к в (3.4.15): В силу плотности C(R ) х С(П х ЕЛ) в С(П х Кд), вместо функции СіСгСз возьмем С4(г, , А) = &( ) JW KK ) Произведем замену г = р : Переходя к пределу по є к нулю, учитывая J Сб(т) dr = 1, получим Таким образом, равенство (3.4.4) очевидно выполнено.
