Введение к работе
Актуальность темы. Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы французского математика М. Жевре в 1913-1914 гг. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения.
В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии (поверхности) или при достижении граничных точек. Это прежде всего линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направле-нии, образования больших научных групп.
В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы А.В. Бицадзе, И.Н. Векуа, В.Н. Монахова, С.А. Терсенова, Т.И. Зеленяка, А.П. Солдатова, Т.Ш. Кальменова, М.М. Смирнова и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследований В.Н. Врагова, Г.Д. Каратопраклиева, А.Г. Кузьмина, А.И. Кожанова, С.Г. Пяткова, И.Е. Егорова, А.Г. Подгаева и других авторов.
Большое число работ посвящено изучению линейных сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. Простейшей моделью является уравнение
(1)
где – эллиптический оператор второго порядка с оператором Бесселя . Данное уравнение при является параболическим, причем на прямой коэффициент при производной по имеет особенность. Для него задача Коши с данными при не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных уравнений такого вида была построена в работах С.А. Терсенова, И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, Н.В. Кислова, И.М. Петрушко, С.В. Попова и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа решение существует и единственно. Но более гладкие решения существуют только при выполнении конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С.А. Терсенов изучал эти задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, сводил их разрешимость к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде. При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны заключаться в непрерывности решения и ее первой производной по .
В представляемой работе рассматривается случай условий склеивания с полной матрицей с постоянными или переменными коэффициентами, более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.
Цель работы. Целью диссертации является исследование корректности краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции в случае условий склеивания с полной матрицей, включая условия с переменными коэффициентами.
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению некоторых интегральных уравнений. Отметим в этом отношении монографии Н.Ф. Гахова (1963), Н.И. Мусхелишвили (1962), а также В.Н. Монахова (1977), С.А. Терсенова (1985).
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
– исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решений краевых задач для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с постоянными коэффициентами;
– исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решения краевой задачи для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с переменными коэффициентами.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в данной работе, основываются на строгих математических доказательствах, и в частных случаях из них следуют известные результаты.
Область применения полученных результатов – краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные результаты также могут послужить основой при постановке и исследовании новых краевых задач.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладыва-лись и неоднократно обсуждались на семинарах «Уравнения с меняющимся направлением эволюции» (ИМИ ЯГУ, руководитель профессор С.В. Попов), «Неклассические задачи математической физики» (ИМ СО РАН, Новосибирск, руководитель профессор А.И. Кожанов), на Всероссийской конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск: 2003, 2005), на Лаврентьевских чтениях Республики Саха (Якутия) (Якутск: 2002–2008), на Республиканской конференции «Математика. Информатика. Образование.», посвященной 25-летию математическиго факультета ЯГУ (Якутск, 2002), на Всероссийской школе-семинаре для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка" (Якутск: 2004–2008), на IV–V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск: 2004, 2007), на Всероссийской научной конференция с международным участием «Математические моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008) и на Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий – 2008» (Красноярск, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях в научных журналах и сборниках, а также отражены в тезисах 8 докладов на научных конференциях.
Работа частично поддержана конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе «Университеты России»: в 2002–03 г.г. (УР.04.01.048), в 2004 г. (УР.04.01.047), ведомственной научной программой «Развитие научного потенциала высшей школы»: раздел 2. «Университеты России» (№ 2047–05); раздел 3.3 (проект 8427) в 2005 г.
Работа поддержана Федеральным агентством по науке и инновациям программой "Проведение научных исследований молодыми учеными" (2006-РИ-19.0/001/711, IV очередь) за 2006 г. стажировкой в Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 99 страниц. Список цитируемой литературы содержит 113 наименований.
