Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Квазилинейные уравнения нечетного порядка и, соответственно, смешанные задачи для таких уравнений широко используются для моделирования волновых процессов в средах с дисперсией. Подобные волновые процессы играют исключительно важную роль в современной физике и являются предметом изучения в гидродинамике, нелинейной оптике, физике плазмы, теории ноля, физике элементарных частиц, биофизике и т.д. Примерами квазилинейных уравнений нечетного порядка являются уравнения Кортевега — де Фриза, Кавахары и другие уравнения более высоких порядков. Для уравнения Кортевега — де Фриза существует достаточно хорошо разработанная теория смешанных задач, но для других уравнений подобного типа, например, для уравнения Кавахары подобных результатов известно мало. Поэтому, исследование смешанных задач для квазилинейных уравнений нечетного порядка является актуальной научной задачей. Цели лиссертационной работы
Целью настоящей работы является доказательство глобальной корректности смешанных задач для уравнения Кавахары при естественных условиях гладкости на граничные данные. Эти условия индуцированы точными свойствами решений задачи Кошн для линеаризованного уравнения Кавахары и описываются в терминах пространств Соболева нецелой гладкости. Методы исследования
В диссертации использованы элементы функционального и комплексного анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для получения необходимых результатов в диссертации строятся и изучаются специальные решения потенциального типа для линеаризованного уравнения Кавахары.
Научная новизна
Научная новизна результатов состоит в том, что установлена глобальная корректность смешанной задачи в полуполосе и в ограниченном Прямоугольнике для уравнения Кавахары при естественных условиях гладкости на гра-
ничные данные в широкой шкале функциональных пространств, включающей как слабые решения, так и сколь угодно гладкие. Ранее подобные задачи рассматривались только в случае нулевых краевых функций1 (отдельные результаты в полуполосе при ненулевых краевых функциях также были ранее получены2). В случае ненулевых гранпчных данных задачи возникает вопрос о том, какие условия гладкости краевых функций могут считаться естественными. В диссертационной работе предложены условия, которые следуют из точных свойств решений задачи Коши для соответствующего линеаризованного уравнения Кавахары.
Для получения требуемых результатов в диссертационной работе построены и изучены специальные решения типа "граничных потенциалов". При этом но сравнению с ранее полученными результатами для уравнения третьего порядка3 рассматриваемый случай уравнения пятого порядка приводит к принципиально новым трудностям, связанным с невозможностью точного нахождения корней алгебраического уравнения пятого подрядка. Полученные результаты о граничных потенциалах представляют самостоятельный интерес. Практическая ценность работы
Диссертация имеет теоретический характер. Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях смешанных задач для квазилинейных уравнений нечетного порядка.
2N.A. Larkin, G.G. Doronin, "Kawahara equation in a quarter-plane and in a finite domain", BoJ. Soc. Pnrmi. Mat. (3s.), 25:(1-2) (2007), 9-10.
N. A. Lai'kin, "Correct initial boundary value; problems for dispersive equations", J. Math. Anal. Appl., 344:2 (2008), 1079-1092.
G.G. Doronin, N. A. Lai'kin, "Kawahara equation in a boundary domain", Discr. and Contin. Dyn. Syst., 10:4 (2008), 783-799.
2K. Caitrape, "Смешанная задача в полуполосе для обобщенного ураішепня Капахарм н пространстве бесконечно дифференцируемых экспоненциально убывающих функции", Вестник Рос. ун-та дружбы пародов, сер. матсм, 10:1 (2003), 91-107.
К. Сапгаре, А.В. Фамннскип, "Слабые решения смешанной :шдачи п нолуполосс для обобщенного уран-пения Канахары", Математические заметки, 85 (2009), 98-109.
3A.V. Faminskii, "An initial boundary-value problem in a half-strip for the Kortcwog-de Vries equation in fractional-order Sobolev spaces", Coram. Pmtial Differential Equations, 29:(11-12) (2004), 1G53-HJ95.
A.V. Faminskii, "Global well-posedness of two initial-boundary-value problems for the Korteweg-de Vries equation", Differentia! Integral Equations. 20:6 (2007), 601-Є42.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры "Нелинейного анализа и оптимизации" под руководством профессора Арутюнова А.В., кафедры "Дифференциальных уравнений и математической физики" под руководством профессора Скубачевского А.Л. и кафедры "Математического анализа и теории функций" иод руководством чл.-корр. РАН, профессора Степанова В.Д. Российского университета дружбы народов, на семинаре Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН иод руководством профессора Доброхотова С.Ю., в Институте математики с вычислительным центром УНЦ РАН. Представленные материалы докладывались на всероссийских и международных конференциях: XL Всероссийская конференция но проблемам математики, информатики, физики п химии, Москва, РУДН, 19-23 апреля 2004 года; Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского (XXII Совместные заседания семинара имени И. Г. Петровского и Московского математического общества "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы"), Москва, 21-26 мая 2007 года; XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, РУДН, 21-25 апреля 2008 года; Пятая международная конференция но дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям DFDE-2008, Москва, Россия, 17-24 августа 2008 года; XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, РУДН, 19-23 апреля 2010 года; Публикации
Результаты диссертации опубликованы в 7 работах, из них 3 статьи в рецензируемых научных журналах по списку ВАК и 4 тезиса докладов на международных и всероссийских конференциях. Материал диссертации достаточно полно представлен в опубликованных работах. Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 74 страницы.
