Введение к работе
Актуальность темы. Начиная с 70-х годов при изучении уравнений п частных производных широко используется теорий псевдодиф-ференпнальных операторов. Множество задач механики и квантовон физики, приводимые к изучению уравнепнй с псепз' дифференциальным оператором позволяют утверждать, что изучение таких уравнений имеет важное теоретическое и практическое значение. Этим, прежде всего, объясняется активное исследование псевдодифферен-ппальных уравнений п г.оявленче многочисленных работ.
В современном виде основы тсорпп псевдодпфферепцнальпых операторов были заложены в работах Дж.Копа, Л.Ннренберга и Л. Хер-ыапдера. Существенное приложение и дальнейшее раявнтпе отой теории даны в работах М.С.Аграиовнча, Л.Д.Волгвича, П.В.Глушила, Ю.В.Егорова, Х.Кумапо-го, Ф.Трева и других. Отметим, что п классической теории псевдоднфферепцнальиых операторов предпояога-ется гладкость символов п кокасателыюм расслоении.
Однако, пр Исследовании ряда задач Математической физики воз-пикает необходимость в пгевдодифференццальных операторах, спм-„ полы которых допускают особенности к кокасателыюм расслоении. Такие операторы появляются при исследовании простейших нелокальных задач: разрешающие операторы двух- (илп много-) точечных і>а-дач являются псевдоднфференшыльнымп операторами с символами, имеющими особенности. Такие операторы возникают также а квап-товой механике, стохостцческой теоріга упругости и т.д.
С начала 80-х годов началось активное пселсдованпе теория псе-вдодпфференшгальных операторов, символы которых имеют особенности относительно двойственной переменной. В настоящее время существуют несколько подходов к разработке этой теории, имеющих свои спелнфнческие характеристики.
Отметим также, что исследование задач гпдроазрортшамтпеп вязкой жидкости п идеального газа, а также многие задачи акустики привели к изучению дифференциальных Уравнений с сингулярным оператором. Среди них отметим работы Н.А.Кииршгпова, Л,.А.Ивапова, Ю.В.Засорппа, М.б.Богочгва. Ф.Г.Мухлпсова п других.
В настоящей работе рассматриваются задачи для псепдоднффе-ренпнальных ураішеїшіі, порожденных сингулярным оператором Бсс-есля. Отмеченные пыше обстоятельства позволяют утоерждать, на наш погляд, об актуальности темы диссертации.
Цель работы. Целью диссертационной работы являются:
1. f їпучение однозначной разрешимости и пг тучепне оценки устой
чивости решения краевых оадач для дифференциально^ операторных
уравнений, порожденных сингулярным оператором Бесселя с гранич
ным оператором дробного порядка.
2. Исследование корректных постановок общих граничных (во
обще говоря, нелокальных) оадач для псеидодифферсникальных ура
внений, порожденных сингулярным оператором Бесселя с вешественно-
аналнтнческими символами.
Научная новкапа. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем.
-
Найдены точные условия разрешимости для краевых оадач с дпф ференциально- операторным уравнением, порожденных сиш /лярным оператором Бесселя при граничном операторе дробного порядка в весовых классах Соболева:
-
Построены пространства беоусловной разрешимости краевых задач для дифференциально- операторных уравнений, порожденных сингулярным оператором Бесселя при граничном операторе дробного порядка;
3. Получены условия корректности общих граничных оадач для
псевдодпфференцпальных равнений, нерожденных сингулярным опе
ратором Бессоля с вещественно- аналитическим» символами п неко
торой области во /?;
4. Исследованы свойства пространств, являющихся областями v лре-
дгаення псевдоднфферонцпальных операторов с аналитическими в об
ласти па WJ символами в весовых пространствах Соболева:
5. Найдены точные условия оамыкаемостн отих пространств в
весовых пространствах Соболева:
6. Получены условия корректности граничных задач для дифферен
циально- операторных уравнении, порожденных сингулярным опера-
тором Бесселя, в весовых пространствах Соболева,
Методы исследования. В первой главе в основном использованы . методы теории линейных эллиптических краевых задач, теории самосопряженных операторов и методы функционального анализа.
Во сторон главе применен метод, опирающийся на замыкании разрешающих операторов в весовых классах Соболева. Та:;ой подход осповап на локализации особенностей символов р;. ірешдющмх операторов с помощью множества G, являющегося множеством гладкости символов и впервые применен и работе С.Р.Умароіт. Вис множества G символы могут иметь особенности произвольного 'ПІОЛ. С помощью результатов о плотности основных пространств В Весовых классах Соболева, а также замыкаемостп операторов в ЭТИХ классах, удается укапать необходимые- и достаточные условия корректности рассматриваемых задач в весовых пространствах Соболева.
Практическая и теоретически ценность. Диссертаций в основном носит 'г?оретігіескіш характер Ее результаты и методы могут бить использованы в поучении задач квантовой мехгнпхи, теории упругости, ак/стикн, а также в задачах гндроаэродшшшки вязкой жидкости и идеального газа.
Апробация работы. Основные результаты докладывались па семинарах: net современным методам математической фнзпкц на кафедре дифференциальных уравнений (рук. проф. Абдинаоаров С, проф. Ашуроп P.P., т,роф. Умаров СР.), научно- исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям з ИМ АН РУз (рук.акад. АН РУз Джураев Т.Дж., акад. АН РУз Салахптдппов М.С.), по теории оптимальных управлений и дифференциальных игр на кафедре теории оптимальных управлений (рук.чя.корр. АН РУз, проф. Сатимов Н.Ю.), ежегодно докладывались на конференциях профессорам- преподавательского состава ТашГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-3]. список которых приведен в копце автореферата.
5 .
Структура и объем работы. Диссертация состоит по введения, двух глав п списка литературы. Каждая глава разбпта па параграфы. Объем диссертации 91 страниц, включая литературы, содержащей 50 наименовании.
Похожие диссертации на Корректность краевых задач для псевдодифференциальных уравнений, порожденных сингулярным оператором Бесселя
