Введение к работе
Актуальность темы диссертации.
Задачи для дифференциальных уравнений с особенностью в коэффициентах давно и хорошо известны. Однако методы их решения не являются стандартными и, как правило, зависят от характера особенностей уравнения. Один из подходов, развитый И. А. Куприяновым и его научной школой (Л.А. Иванов, В.В. Катрахов, М.И. Ключанцев, Л.Н. Ляхов и др.), заключается в использовании интегральных преобразований, приспособленных именно к данной особенности. В диссетрации исследуются уравнения с Db -оператором Бесселя, появление которого можно проследить даже в классических задачах. Например, применение интегрального преобразования Фурье-Бесселя для определения фундаментального решения m,n,7 полигармонического уравнения Дт/ = 0 в Rn приводит к следующей задаче Копій с весовыми начальными условиями, определяемыми младшими Db -производными:
уравнение — jr-im,n,7W = Sn-1, где Вп_х = ^2 + ^ * ;
( limr^o г^ Д|т~1^т,П;7(г)= {s ) ){, ц=п-1,
начальные условия — < "^ ' 1&итаЛ
[ limr^o r^DBSm^7(r)=0, k=0,1,... , 2m - 2,
где |Si(n)| — площадь единичной сферы в Rn , а
Пк - J BfX ' к = 21, _
В~{ ІВГ1)/2, fc = 2J + l ' '-1-2---
Как видим, даж;е при исследовании классических задач приходится иметь дело с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя DB порядка к . Этот оператор появляется и совсем в простых задачах, например, B{uv) = Buv-\-2u'v', но здесь первые производные это и есть оператор DB (первого порядка). Уравнения с DB -оператором Бесселя естественно исследовать, используя специальное „полное" смешанное преобразование Фурье-Бесселя (введено НА. Киприяновым и В.В. Катраховым), поскольку в его образах этот оператор имеет весьма обычный символ — (і)к Ясно, что соответствующая методика оказывается общей и может применяться к более широкому классу операторов, например, к оператору с особенностью на координатных
гиперплоскостях: — оператор Лапласа в Rn ,
г г
г=1
-\-х^ , LOi—0, 1 , a / — действительные числа. Конечно, и сама методика нахождения фундаментального решения, и возможности ее применения к новым сингулярным уравнениям открывают новые перспективы в теории сингулярных дифференциальных уравнений, поэтому ее разработка представляется актуальной. Интерес вызывает и другая проблема: как решать (в рамках полного преобразования Фурье-Бесселя) задачи для наиболее общих дифференциальных уравнений и систем с DB -оператором Бесселя. В 50-х годах исследование систем дифференциальных уравнений в рамках теории обобщенных функций (распределений), с применением интегрального преобразования Фурье, было инициировано И.М.Гельфандом, Г.И. Шиловым. В.М. Борок применила теорию мультипликаторов для построения интегральных представлений решений таких систем. Известен подход В.М. Борок, развитый Я.И. Житомирским еще в 1955 году к системам с оператором Бесселя одного индекса (изотропная сингулярность), когда роль преобразования Фурье выполнило преобразование Фурье-Бесселя. Fb -мультипликаторы (смешанного преобразования Фурье-Бесселя) введены в 1997 году И.А.Куприяновым, Л.И. Ляховым. Распространение подхода Гельфанда-Шилова-Борок для исследования систем уравнений с DB -оператором Бесселя, используя при этом теорию Fb -мультипликаторов, является актуальной задачей для современной теории дифференциальных и сингулярных дифференциальных уравнений. Кроме того, актуальной задачей для математического анализа представляется изучение и приложения „полного" преобразования Фурье-Бесселя, введенного ранее И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым. Цель работы. 1) Разработать методику применения полного преобразования Фурье-Бесселя к исследованию операционным методом задач Копій для обыкновенных сингулярных уравнений с D1^ -оператором Бесселя и весовыми начальными условиями. Найти фундаментальное решение оператора с особенностью типа — на
Х^
координатной гиперплоскости. 2) Исследовать нормальные системы дифференциальных уравнений с D^ -операторами Бесселя разного индекса по разным направлениям (анизотропная сингулярность). Доказать соответствующие теоремы о существовании и единственности решения. 3) Примененить вариант критерия Fb - мультипликатора для
вектор-функций к исследованию решений систем линейных сингулярных дифференциальных уравнений. 4) Получить интегральную форму решений нормальных систем линейных сингулярных уравнений и сингулярных параболических уравнений с DB -оператором Бесселя.
Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприянова и его учеников при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.
1. Найдено фундаментальное решение сингулярного
(
2 \ГП
тг~2 + ~ тг~ ) Для случая, когда 7і —
ОХ^ Х{ OXi J
действительные числа, удовлетворяющие условию п-\-^2^ > 1 .В случае, если все числа 7« — 0 5 этот оператор называется В-полигармоническим. Дано интегральное представление фундаментального решения
более общего оператора А_в+ У] ki г тг~ , гДе ^в — оператор
X -j С/ X -j
i=l
Лапласа-Бесселя в Rn , f=v^+...+x^, u>i = 0, 1 при условии
п+|7| + Е^ > 1-
Доказана теорема о представлении фундаментального решения обыкновенного сингулярного уравнения с постоянными коэффициентами, сингулярность которого порождена соответствующими степенями Db -оператора Бесселя.
Доказаны теоремы существования и единственности решения систем сингулярных уравнений с D1^ -операторами Бесселя разных индексов по некоторым переменным.
Получена интегральная форма решений систем сингулярных параболических систем уравнений с D7^ -операторами Бесселя разных индексов по некоторым переменным.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, в теории сингулярных дифференциальных уравнений и др.
Апробация работы. Основные результаты работы
докладывались и обсуждались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль в 2008 г., в 2010 г., на научной конференции "Герценовские чтения" в г. С.-Петербурге в 2009—2010 гг., на международной конференции "Современные проблемы математики и их приложений" в г. Москве, в 2009 г., на международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" в г. Воронеже в 2009—2010 гг., на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" в г. Минске, Беларусь в 2009 г., в Российской Школе-конференции с международным участием "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании" в Российском университете дружбы народов, Москва 2009 г., в Воронежской зимней математической школе в 2010 г.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [1] — [11] . Из совместных публикаций [1],[2],[5],[9],[11] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [11] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав и списка цитируемой литературы, включающего 42 наименования. Общий объем диссертации 110 стр.
