Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа-посвящена некоторым фактам
гармонического анализа, иллюстрирующим "принцип неопределенности'',
который запрещает ненулевой функции быть слишком ьалой, если мало ее
о преобразование Фурье.
Большая часть диссертации (главы I и II) относится к теории преобразований Фурье-Ватсона. Мы распространяем на них принцип неопределенности Амрейна-Бертье (глава І), а в главе II показываем, что для ши-ро кого;класса таких преобразований имеет место явление принудительной гладкости для функций со спектром конечной длины. Интересно, что при этом конкретная аналитическая форма ядра, опре делящего преобразование, почти не играет роли, а важен лишь факт унитарности соответствующего оператора и его связь с преобразованием подобия. В главе III речь идет о принципе неопределенности для гиперфункции на единичной окружности. Мы, в частности, находим условие редкости спектра, обеспечивающее совпадение носителя ненулевой гиперфункции о окружностью. Это условие в известном смысле точно и в определенном отношении дает больше, чем классическая теорема Фабри о степенных рядах с пропусками.
Цель работы. Целью настоящей работы является перенесение теоремы Амрейна-Бертье и теоремы Зигмунда о принудительной гладкости лакунарного ряда на преобразования Фурье-Ватсона, а также выяснение связи между размером носителя гиперфункции и редкостью ее спектра.
методы исследования. В работе применяются методы геометрии гильбертова пространства, теории операторов в гильбертовом пространстве, а
также методы комплесного анализа ( в частности, оценки целой фушции, ассоциированной с данным степенным рядом)
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
- доказано неравенство типа неравества Амрейна-Бертье, применимое к .
широкому классу преобразований Фурье-Ватсона;
доказаны теоремы о принудительной гладкости и аналитичности функций со спектром конечной длины (относительно данного преобразования Фурье-Ватсона);
дана точная оценка размеров носителя гипофункции через некоторую плотность ее спектра.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы могут -казаться полезными при доказательствах теорем единственности для различных интегральных преобразований и для оценок спектра обощешшх функций и гиперфункций.
Апробация работы. Результаты докладывались на семинаре по спектральной теории функций (ПОМИ РАН, С-Петербургский университет).
Публикация. Результаты работы подготовлены к публикации в журнале "Вестник Сб-ПГУ*.
Структура и объем работы. Диссертация состоится из введения и трех глав, разбитых в общей сложности на й\ параграфов. Работа занимает 6& стршшц машинописного текста. Библиография содержит 11 наименований.
