Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О геометрических свойствах конформного радиуса и его градиента 14
1.1. Дифференциальные свойства поверхности конформного радиуса 14
1.1.1. Случай выпуклых областей 14
1.1.2. Случай областей с конечными выпуклыми дополнениями 22
1.2. Квазиконформные отображения, определяемые градиентом конформного радиуса 31
1.2.1. Исключительные случаи квазиконформности градиента конформного радиуса 32
1.2.2. Особенности строения образа градиента конформного радиуса 50
Глава 2. О единственности решения внешних обратных краевых задач 57
2.1. Радиус Гахова и теоремы единственности для решения внешних обратных краевых задач 57
2.1.1. Единственность решения внешней задачи в классе функций М.Т. Нужина 65
2.1.2. Единственность решения внешней задачи в классе дуг Н.Е. Жуковского 70
2.2. Теоремы существования и единственности для интегралов Кристоффеля-Шварца и их аналогов в двусвязном случае 75
Глава 3. Конформный и внутренний радиусы для двусвязных областей 82
3.1. Конформный радиус, определяемый поверхностью наложения для двусвязной области 82
3.2. Исследование внутреннего радиуса для двусвязной области 92
Литература 97
- Квазиконформные отображения, определяемые градиентом конформного радиуса
- Особенности строения образа градиента конформного радиуса
- Единственность решения внешней задачи в классе функций М.Т. Нужина
- Конформный радиус, определяемый поверхностью наложения для двусвязной области
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию свойств конформного радиуса, его градиента и их приложениям в теории внешних обратных краевых задач для аналитических функций [21], [25], [52], [51], [6].
Одно из направлений изучения конформного радиуса определяется его связью с различными характеристиками плоской области (трансфинитным диаметром, площадью области, длиной её границы и др.), широким применением в математической физике и вовлечением всех этих понятий в изопериметрические неравенства. Изучением конформного радиуса занимались ещё Д. Полна и Г. Сегё [44], и интерес к получению различных оценок упомянутых величин подтверждается появлением новых достижений в этой области [61], [33], [37], [1].
Д. Минда, С.-А. Ким и Д. Райт [65], [64] доказали, что необходимым и достаточным условием выпуклости (вверх) поверхности конформного радиуса над конечной областью D является выпуклость D. Л.В. Ковалёв [63] установил, что критерием выпуклости (вниз) поверхности конформного радиуса над бесконечной областью D , схэ Є D , является выпуклость граничной кривой dD . Выпуклость области D остается необходимым условием выпуклости поверхности конформного радиуса, построенной над основанием Е, но не достаточным.
В настоящей работе выделены классы областей, для которых поверхность конформного радиуса теряет свойство выпуклости при построении над кругом Е для конечной области D или над внешностью круга Е для бесконечной области D (со Є D ).
В данной диссертации получены результаты, характеризующие градиент конформного радиуса в терминах квазиконформных отображений [Ц], и выделены не отмеченные в [60] эффекты для S7R(f(rE), /(?")), 0 г 1, при переходе из Е в rE.
Интерес специалистов по геометрической теории функций к конформному радиусу вызван также его связями с различными экстремальными и граничными задачами, в частности, с внешней обратной краевой задачей (окз).
Как известно [21], в процессе решения задачи сначала восстанавливается функция x{w) = ndw в области Dw, ограниченной кривой Lw с уравнением (0.3), а затем определяется функция z(w), обратная к искомой. В постановке М.Т. Нужина ([52], с. 35) при фиксированном значении гу(оо) = WQ для однозначности функции z(w) в Dw необходимо выполнение одного условия разрешимости. В постановке Ф.Д. Гахова ([21], с. 303), когда значение WQ не фиксируется, это условие служит для определения полюса WQ функции z(w) и известно в теории внешних окз как уравнение Ф.Д. Гахова, который впервые его получил и доказал разрешимость [20].
Исследованию числа решений уравнения Ф.Д. Гахова и получению условий единственности решения внешней окз посвящен ряд работ [3], [36], [5], [59], [8], [56], [42], [29], [9], [11], [10]. Ф.Д. Гаховым [20], [21], B.C. Рогожиным [47], [48], М.Т. Нужиным [52], С.Н. Кудряшовым [34], [35] построены примеры неединственности решения уравнения Ф.Д. Гахова.
В настоящей диссертации по функциям, определяющим неединственность решения внешней окз, получены классы единственности решения на базе понятия радиуса единственности (или радиуса Ф.Д. Гахова).
Вопрос разрешимости внешней окз возникает и для многосвязных областей. П.Л. Шабалиным [57] получено интегральное представление для решения такой задачи и выведен аналог уравнения Ф.Д. Гахова. Л.А. Ак сентьевым [7], [8] установлено, что точка WQ является решением уравнения Ф.Д. Гахова тогда и только тогда, когда она является стационарной точкой некоторой поверхности в R3. Используя этот факт, М.И. Киндер [27], [28] доказал, что число решений уравнения Ф.Д. Гахова не меньше порядка связности области. А.В. Киселёв и СР. Насыров [29] выяснили структуру множества корней этого уравнения.
Градиентный подход к внешней окз даёт следующий результат: однократное покрытие нуля в множестве значений градиента будет соответствовать однократному решению внешней окз, а многократное покрытие нуля приведёт к неединственному решению окз.
Перейдём к детальному изложению результатов работы.
Диссертация состоит из шести параграфов, объединённых в три- главы. Нумерация теорем, лемм, примеров и формул сквозная.
В первой главе речь идет о дифференциальных свойствах конформного радиуса (0.1). В § 1.1 исследуется поверхность конформного радиуса (0.1) для области с выпуклой границей, включающей прямолинейный отрезок. Через П+ будем обозначать поверхность конформного радиуса над конечной областью D, через П — поверхность над бесконечной областью D (со Є D ). Имеют место
Теорема 1. Поверхность С1+ конформного радиуса для выпуклой области D с прямолинейным участком границы I С 3D, построенная над основанием Е, не является поверхностью, выпуклой вверх.
Теорема 2. Поверхность Q конформного радиуса для внешности выпуклой области D с прямолинейным участком границы I С dD, построенная над основанием Е = {( G С : \(\ 1}, не является поверхностью, выпуклой вниз.
Как уже было отмечено, задача такого построения инициирована статьей [60], результаты которой дополняются материалами данного параграфа.
Достижение равенства в (0.4) «слева» связано с улучшением свойств градиентного отображения.
Теорема 3. Градиент (0.2) конформного радиуса (0.1) осуществляет конформное отобраэюение области D тогда и только тогда, когда граница D является окружностью в С.
Другие случаи квазиконформности (в том числе и вырожденные в связи с достижением равенства в (0.4) «справа», соответствующие случаям вырождения диффеоморфности в [60]) представлены в следующих трёх теоремах.
Глава 3 посвящена исследованию поверхности конформного и внутреннего радиусов в двусвязном случае.
Понятие конформного радиуса согласно [67], [55] распространяется на многосвязные области двояким образом: с помощью универсальной поверхности наложения и с помощью отображения многосвязной области на круг с концентрическими разрезами. Будем отождествлять конформный радиус универсальной поверхности наложения многосвязной области и конформный радиус самой многосвязной области.
В первом параграфе третьей главы изучено строение поверхности конформного радиуса для кольцевой канонической области.
Для кольца JK[9)I] формулируется аналогичная теорема 14. В [60] имеется результат о строении множества значений градиента для двусвязной области, когда одна из двух выпуклых граничных компонент вырождается и область представляет собой проколотую в со внешность выпуклой кривой. Дополнением к этому результату является
Теорема 15. Градиент конформного радиуса для кольцевой области #[I,Q] (E[q,i]) осуществляет отображение кольца на вырожденную ри-манову поверхность, состоящею из двух кругов радиуса 2 с единственной точкой скрепления в нуле и кольцевой складкой вдоль границы одного из них.
— Доказано, что поверхность конформного радиуса для области с выпуклой границей, включающей прямолинейный участок, теряет свойство выпуклости при переносе её основания на каноническую область (теоремы 1,2).
— По всему классу выпуклых функций на г-линиях уровня этих функций обоснована невырожденность градиента конформного радиуса с коэффициентом квазиконформности К (г2) jzlps, 0 г 1 (теоремы 4,5).
— Для г-линий уровня решений внешней обратной краевой задачи введено понятие радиуса Ф.Д. Гахова и даны оценки этого радиуса в классе профилей Н.Е. Жуковского и классе примеров М.Т. Нужина (теоремы 8-10).
— Даны сравнительные характеристики внутреннего и конформного радиусов в двусвязном случае (на примере кольцевых областей) (теоремы 13, 14).
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17], [19] и тезисах [16], [18]. В статье [17], написанной совместно с Л.А. Аксентье-вым и А.В. Хмельницкой, автору принадлежат теоремы 3-6, теорема 7 получена совместно. В кратком сообщении [19] в соавторстве с Л.А. Ак-сентьевым формулировки (и идеи доказательств) теорем принадлежат научному руководителю, доказательства — автору. В диссертацию включены результаты, принадлежащие только автору.
Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель — профессор Л.А. Аксентьев), на итоговых научных конференциях Казанского университета (2006-2009), на семинаре отдела математического анализа НИИММ им. Н.Г. Чеботарева КГУ (руководитель — профессор Ф.Г. Авхадиев), на VI и VII международных Казанских летних школах-конференциях (2005, 2007).
Квазиконформные отображения, определяемые градиентом конформного радиуса
. При п = 3 интегральное представление (0.5) опре-деляет однозначную функцию с а = 0 тогда и только тогда, когда егвк, к = 1,3, являются вершинами правильного вписанного в единичную окружность треугольника, при п = 4 - тогда и только тогда, когда егвк, к = 1,4, являются вершинами вписанного в единичную окружность прямоугольника.
При п 5 достаточным условием однозначности функции (0.5) с а = 0 является расположение ег9к в вершинах правильного вписанного в окружность п-угольника. В случае двусвязной полигональной области справедлива Теорема 12. Существует однозначное представление аналога интеграла Кристоффеля-Шварца в двусвязном случае где ?i — эллиптическая тета-функция. При вырождении одной из граничных компонент в точку оно совпадает с (0.5). Глава 3 посвящена исследованию поверхности конформного и внутреннего радиусов в двусвязном случае. Понятие конформного радиуса согласно [67], [55] распространяется на многосвязные области двояким образом: с помощью универсальной поверхности наложения и с помощью отображения многосвязной области на круг с концентрическими разрезами. Будем отождествлять конформный радиус универсальной поверхности наложения многосвязной области и конформный радиус самой многосвязной области. В первом параграфе третьей главы изучено строение поверхности конформного радиуса для кольцевой канонической области. Теорема 13. Поверхность конформного радиуса над кольцом E[i,Q\ — {z 1 И Q} состоит из следующих трёх частей: а) поверхность над кольцом 1 \z\ Qa является выпуклой вниз, б) поверхность над кольцом Q@ \z\ Q является выпуклой вверх, в) поверхность над кольцом Qa \z\ Q0 состоит из седловых точек, 0 а (5 1. В [60] имеется результат о строении множества значений градиента для двусвязной области, когда одна из двух выпуклых граничных компонент вырождается и область представляет собой проколотую в со внешность выпуклой кривой. Дополнением к этому результату является Теорема 15. Градиент конформного радиуса для кольцевой области #[I,Q] (E[q,i]) осуществляет отображение кольца на вырожденную ри-манову поверхность, состоящею из двух кругов радиуса 2 с единственной точкой скрепления в нуле и кольцевой складкой вдоль границы одного из них. Предельные положения теорем 13 и 14 (при q — 0 и Q — со)и соответствующие предельные положения для внутреннего радиуса приводят к выводу о существенном геометрическом различии конформного и внутреннего радиусов в двусвязном случае. Выделим основные результаты работы. — Доказано, что поверхность конформного радиуса для области с выпуклой границей, включающей прямолинейный участок, теряет свойство выпуклости при переносе её основания на каноническую область (теоремы 1,2). — Проведена классификация градиентных отображений (определяемых конформным радиусом) областей с выпуклыми границами. Выявлены четыре случая: і) конформность градиента, ii) квазиконформность градиента в замкнутой области, iii) квазиконформность градиента в открытой области с вырождением на границе, iv) глобальное вырождение градиента (теоремы 3-6). — По всему классу выпуклых функций на г-линиях уровня этих функций обоснована невырожденность градиента конформного радиуса с коэффициентом квазиконформности К (г2) jzlps, 0 г 1 (теоремы 4,5). — Для г-линий уровня решений внешней обратной краевой задачи введено понятие радиуса Ф.Д. Гахова и даны оценки этого радиуса в классе профилей Н.Е. Жуковского и классе примеров М.Т. Нужина (теоремы 8-10). — Даны сравнительные характеристики внутреннего и конформного радиусов в двусвязном случае (на примере кольцевых областей) (теоремы 13, 14). Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17], [19] и тезисах [16], [18]. В статье [17], написанной совместно с Л.А. Аксентье-вым и А.В. Хмельницкой, автору принадлежат теоремы 3-6, теорема 7 получена совместно. В кратком сообщении [19] в соавторстве с Л.А. Ак-сентьевым формулировки (и идеи доказательств) теорем принадлежат научному руководителю, доказательства — автору. В диссертацию включены результаты, принадлежащие только автору. Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель — профессор Л.А. Аксентьев), на итоговых научных конференциях Казанского университета (2006-2009), на семинаре отдела математического анализа НИИММ им. Н.Г. Чеботарева КГУ (руководитель — профессор Ф.Г. Авхадиев), на VI и VII международных Казанских летних школах-конференциях (2005, 2007).
Особенности строения образа градиента конформного радиуса
Выражения (27) и (28) являются соответственно уравнениями гипо- и эпициклоиды ([50], с. 109-111) и описывают движение некоторой фиксированной точки на производящей окружности радиуса 1 — а\, катящейся по неподвижной окружности радиуса 2. (Изучением циклоидальных кривых занимался ещё Птолемей [46]. Их систематизация представлена в [50].)
Особым является случай а = 1: радиус производящей окружности будет равен 0 и две концевые точки, определяемые интервалом изменения (или г), стянутся в одну, т. е. циклоида выродится в точку. Таким образом, доказана
Теорема 7. Предельным множеством для угловой точки z = 0 многоугольной области D под действием градиентной функции V-R(-D,z) при приближении к z = 0 по радиальным направлениям будет кривая: при 0 а 1 - гипоциклоида, при 1 а 2 - эпициклоида. В случае а — 1 точке z = 0 будет соответствовать единственная точка на \w\ = 2. Схематично утверждение теоремы пояснено на рис. 5. Наиболее простое представление линии (25) в декартовых координатах (при исключении параметра t) получается в случае астроиды ([2], с. 24) при а = . Докажем, что одна ветка астроиды получается из параметрического уравнения Градиент конформного радиуса для прямоугольника отобразит круг Е на внутренность астроиды, вписанной в круг радиуса 2 (рис. 6). Нетрудно убедиться и в том, что для внешности прямоугольника областью значений градиента будет внешность астроиды, описанной около круга радиуса 2. В общем случае параметр t можно исключить следующим образом. В представлении отделим вещественную и мнимую части Поэтому уравнение линии (31) запишется в двух эквивалентных формах и = (а + 1) cos[/3 + (а - При a = 1/2 и (3 = 7г/4 из них можно получить уравнение астроиды в виде (ЗО). Никаких других выражений вида (ЗО) получить из (32) или (33) не удается. В этом проявляется уникальность астроиды с уравнением (30). При введении натуральных характеристик (длины дуги и кривизны) можно привести (25) к весьма простому каноническому виду ([50], с. 114) - натуральному уравнению циклоид. В качестве заключения к первой главе отметим следующее. Вся разработанная градиентная теория формирует подход к однозначной разрешимости обратной краевой задачи с помощью построения области значений градиента конформного радиуса. Если она однолистно покрывает нуль, то внешняя задача имеет единственное решение. Градиентный подход в решении внешней задачи применим и для невыпуклых областей в случае сохранения гладкости, и для многосвязной области. Хотя в этих случаях область значений градиента может значительно ухудшаться по сравнению с выпуклыми областями, многократное покрытие нуля будет означать неединственность решения внешней задачи. Радиус Гахова и теоремы единственности для решения внешних обратных краевых задач При доказательстве единственности решения в обратных краевых задачах часто используется неравенство Геометрически оно означает, что линия, которая является пересечением поверхности конформного радиуса с плоскостью, проходящей перпендикулярно кругу вдоль любого луча, будет графиком строго убывающей функции. В работах Ф.Д. Гахова, B.C. Рогожина, М.Т. Нужина, С.Н. Кудря-шова были предложены примеры неединственности решения уравнения Гахова, для которых неравенство (34) теряет силу. Данный параграф посвящен дальнейшему изучению примеров неединственности решения внешней задачи и преобразованию этих примеров в классы единственности решений. Именно, в случае областей гЕ, О г 1, вложенных в единичный круг, в уравнении Гахова для функции /(г)
Единственность решения внешней задачи в классе функций М.Т. Нужина
Разрешимость этого уравнения следует из общей теории [21], количество решений будет столь же разнообразно, что и для обычной внешней задачи.
Приведем в качестве теоремы те случаи, когда полярная особенность интегрального представления (44) будет в точке а = 0 и представление будет однозначным. Итак, имеет место Теорема 11. При п = 3 интегральное представление (44) определяет однозначную функцию с а = О тогда и только тогда, когда егвк, к = 1,3, являются вершинами правильного вписанного в единичную окружность треугольника, при п = 4 - тогда и только тогда, когда егвк, к = 1,4, являются вершинами вписанного в единичную окружность прямоугольника. При п 5 достаточным условием однозначности функции (44) является расположение ег9к в вершинах правильного вписанного в окружность п-угольника. Доказательство. Пусть а — 0 является корнем уравнения (45). Тогда расположение прообразов угловых точек подчиняется тождеству При п = 3 эти прообразы составят вершины правильного треугольника, при п = 4 — вершины прямоугольника. Два этих результата получаются на основе векторных диаграмм (рис. 11). Действительно, сопоставляя каждому прообразу его радиус-вектор и составляя сумму этих векторов, придем к равностороннему треугольнику в случае п = 3 и ромбу в случае п = 4. Производя параллельный перенос этих векторов так, чтобы они исходили из одной точки, получим при п = 3 вершины правильного треугольника. При п = 4 после подобного переноса придем к тому, что векторы будут попарно составлять два диаметра единичной окружности. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми. Следовательно, прообразы составят вершины прямоугольника. При п 5 построение векторной диаграммы будет неоднозначным и не приведет к эффектам, подобным описанным, то есть никаких выводов о строении прообразов на основании рассматриваемого тождества сделать не удастся. При этом если функция (44) будет отображать круг на внешность правильного п-угольника, то (46) выполнится автоматически. Заметим, что в силу выпуклости полигонального контура других корней, кроме а = 0, не будет. Если выпуклость границы нарушится, а тождество (46) выполнится, то отсутствие других корней гарантироваться не будет . Теперь перейдем к исследованию разрешимости внешней задачи для аналогов интеграла Кристоффеля-Шварца в двусвязном случае. Будем использовать интегральное представление для искомой функции, отображающей круговое кольцо на двусвязную область, ограниченную двумя многоугольными контурами, которое было найдено в 30-ее гг. прошлого века Н.И. Ахиезером [15] и Г.М. Голузиным [22] независимо друг от друга. Итак, пусть D — область в плоскости z, представляющая собой внешность двух замкнутых многоугольников MQ И МІ без точек самопересечения. Все вершины многоугольной области занумеруем по порядку от 1 до п (соблюдая обход, чтобы область оставалась слева), внутренние углы при вершинах обозначим соответственно тгаь, к — 1,п, 7Г о к 27г. Тогда представление для искомой функции, отображающей на область D круговое кольцо К = ЩЧ)\] = {w : q \w\ 1} с соответствием вершин Ak их прообразам а/-, к = 1,п, будет иметь вид ([15], с. 181):
Конформный радиус, определяемый поверхностью наложения для двусвязной области
Данный параграф посвящен изучению особенностей строения поверхности внутреннего радиуса (50), построенной над концентрическим кольцом.
Рассмотрим функцию = ш (1-і) П.!(і- 1)(1 -g»f) w к,г; (і-гОП?=і(і-?2 2С)(і-?2 ) отображающую кольцо 1[?д] на круг с концентрическим разрезом ([22], с. 609). Действительно, для введенной функции справедливы соотношения X ) M2F(c ) следовательно, на окружности = 1 имеем \F{t,z)\2 = Д , и F(LZ\= 1 с ) пі, ) следовательно, \F(t,z)\2 — 1 на \t\ = q. При обходе точкой границы \t\ = 1 кольца ?[дд] аргумент функции w = F(, z) получит приращение, отличное от нуля, которое определится парой Q — z и С-15 симметричной относительно этой окружности: С - z Дг=і argii? = A arg j- = 27Г — 0 = 2тт. Остальные пары точек, симметричные относительно \t\ = д, окажутся лежащими по одну сторону от указанной граничной окружности и никакого вклада в приращение аргумента F(, z) при обходе точкой С, границы = q не внесут: A)i==9argw = 0. Итак, образом концентрического кольца ?[g,i] будет круг радиуса А с радиальным разрезом по окружности радиуса 1. Каждое бесконечное произведение, входящее в .F(CJ Z) сходится абсолютно и равномерно. Действительно, по ([38], с. 434) для абсолютной сходимости, например, бесконечного произведения ПЛ1І(1 42kz) необходима и достаточна абсолютная сходимость ряда Ti Lx ln(l—q2k ). Ряды S =1ln(l — g2fcj) и S i1g2fc сходятся одновременно. Сходимость последнего следует из оценки і z q Функция Грина ?(, z) = /i(, z) — In \( — z\ — это гармоническая функция двух переменных, обращающаяся на границе кольца Щд,і] в нуль. Возьмём т. е. непрерывная в Щд,і] функция обращается в нуль на границах кольца. По теореме Вейерштрасса r(D,z) достигает максимума внутри #[9д], значит, поверхность внутреннего радиуса (62), построенная над кольцом -Е д], прикреплённая к его границе, имеет по крайней мере одну точку максимума. На самом деле, М.И. Киндер ([27], с. 37) доказал, что внутренний радиус для n-связной области имеет не менее п критических точек. Особый интерес представляет случай, когда q — 0. При этом Іішг(Дг) = 1 - Ы2, q— 0 и поверхность предстает в виде выпуклой вверх шапочки. Переходя к построению внутреннего радиуса для кольца ?[I,Q], рассмотрим теперь функцию w_F (i-j) n1(i- j)(i- f)i переводящую это кольцо на круг с радиальным разрезом. Окажутся вер ными соотношения (U- г .С J ПС, У следовательно, на окружности = 1 имеем \F(t, z)\2 = 1, и С ) \z?F(C,,zY следовательно, на \t\ — Q \F(t z)\2 = 7.
Как и в случае кольца д], приращение аргумента функции F(, z) относительно внешней граничной окружности \t\ = Q будет равно 2-7Г, относительно внутренней \t\ = 1 — нулю. Легко видеть, что функция обращается в нуль на границах кольца -Б[і, 2], следовательно, достигает максимума внутри.
Предельный случай, когда Q — со, описывается выражением и внутренний радиус над внешностью единичного круга представляет собой поверхность, выпуклую вниз. Хотя допредельные варианты поверхностей внутреннего и конформного радиусов представляются довольно близкими по строению, неидентичность их для предельных случаев кольца очевидна (рис. 13). Конформный радиус в пределе строится над двусвязной областью, и поверхность его будет иметь целый континуум максимальных точек. Внутренний же радиус «затирает» изолированную граничную точку, и поверхность строится над односвязной областью с единственной точкой максимума в нуле или бесконечности.
