Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Исследование дифференциальных свойств интеграла типа Темлякова методом линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами 13
1. Интегральные представления Темлякова и интегралы типа Темлякова 13
2. Метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами 20
3. Дифференциальные свойства интеграла типа Темлякова с двоякокруговой областью типа А 26
4. Дифференциальная связь между интегралами типа Тсмлякова и типа Темлякова-Баврина и их плотностями 32
ГЛАВА II. Интегродифференциальные операторы И.И. Баврина. Исследование дифференциальных свойств интеграла типа Коши-Баврина 41
5.0 группе интегродифференциальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга 41
6. Применение интегродифференциальных операторов, специфических для поликруга, к решению функциональных уравнений 47
7. Интегралы типа Коши - Баврина в случае бикруга и общий анализ их поведения в пространстве С 49
8. Исследование интегралов типа Коши - Баврина второго порядка методом линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами 66
ГЛАВА III. Интегралы типа Тсмлякова - Баврина в случае п-круговых областей (n > 2) типа (Т) и их применение к решению пространственной краевой задачи Римаиа 95
9. Интегральные представления и интегралы типа Темлякова Баврина в случае п>2 комплексных переменных 96
10. Свойства интегралов типа Темлякова - Баврина 98
11. Постановка и решение пространстве]шой краевой задачи Римаиа 112
Заключение 122
Литература 124
- Метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами
- Дифференциальная связь между интегралами типа Тсмлякова и типа Темлякова-Баврина и их плотностями
- Применение интегродифференциальных операторов, специфических для поликруга, к решению функциональных уравнений
- Исследование интегралов типа Коши - Баврина второго порядка методом линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа относится к теории интегральных представлений голоморфных функций многих комплексных переменных и теории многомерных краевых задач. Актуальность исследования обусловлена тем, что в последние годы описан широкий класс прикладных задач в математической физике, гидроаэродинамике, теории вероятностей и др., которые с помощью соответствующего преобразования Фурье приводятся к пространственным краевым задачам. Теория решения краевых задач развивалась Ф.Д. Гаховым, Н.И. Мусхелишвили, B.C. Владимировым и другими учеными г
В одномерном случае основой решения краевых задач линейного сопряжения является интеграл типа Коши, введенный в рассмотрение на базе классической интегральной формулы Коши. Существует много различных обобщений формулы Коши на голоморфные функции нескольких комплексных переменных: формулы Мартинелли - Бохнера, Бергмана -Вейля и другие. Наиболее общее интегральное представление для голоморфных функций в С (п > 2) было получено М. Лере. Но для приложений важно иметь представления, использующие специфические особенности задач, в которых они применяются.
Среди таких интегральных представлений выделяется класс представлений, введенный АА. Темляковым в пространстве С2 для ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей. Представления АА Темлякова оказались очень удобными по двум причинам: во-первых, благодаря тому, что последний внутренний интеграл в них есть либо интеграл Коши комплексного переменного и (интегральное представление Темлякова I рода), либо линейный дифференциальный оператор этого интеграла (интегральное представление Темлякова II рода); во-вторых, ядро интеграла в формулах Темлякова является голоморфной функцией
двух комплексных переменных. Тесная связь этим представлений с ин-
СПетервдог 09 «я
- БИ5ЛМОТСКЛ j
тегралом Коши одного комплексного переменного позволила при изучении интегралов Темлякова и образованных на их основе интегралов типа Темлякова использовать хорошо разработанную теорию интеграла типа Коши одного комплексного переменного.
Развитие теории интегральных представлений Темлякова и введенных на их основе Л.А. Айзенбергом интегралов типа Темлякова велось в двух направлениях. Во-первых, были продолжены работы по распространению интегральных представлений Темлякова на более широкие классы двоякокруговых областей и обобщению на случай п (п > 2) комплексных переменных. На этом пути польские математики Z. Opial и J. Siciak получили интегральную формулу для введенного ими класса ограниченных выпуклых полных п-круговых областей типа (Т), которая включает в себя п представлений. В частном случае, при п = 2, она совпадает с интегральными представлениями Темлякова. И.И. Баврин, используя созданный им метод интегродифференцильных операторов, установил для областей типа (Т) интегральные предстаиления более общей операторной природы. Затем им же была решена задача полного распространения интегралов Темлякова на области типа (Т), а также получены операторные обобщения классической интегральной формулы Коши для одного и многих комплексных переменных. Во-вторых, изучая свойства интегралов типа Темлякова в пространстве С , Г Л. Луканкин указал приложение математического аппарата этих интегралов к постановке и решению краевых задач. Г.Л. Луканкиным совместно с В. И. Богановым, СЮ. Калягиным и другими была разработана теория краевых задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных. Определившаяся тенденция применения комплексного анализа к решению краевых задач в дальнейшем развивалась О.Д. Алгазиным, рассмотревшим в пространстве двух комплексных переменных задачи Гильберта и Шварца, А.В. Копаевым, решившим в пространстве-С2 одностороннюю задачу Римана и задачу Гильберта,
АЛ. Краснощековым, осуществившим постановку и решение в случае ограниченной и неограниченной определяющих областей в С2 пространственной задачи Римана, в краевом условии которой содержались производные.
Важно отметить, что AJ3- Латышев, разработав методы аналитического решения граничных задач для стационарных и нестационарных модельных кинетических уравнений, применил теорию многомерных краевых задач (в частности, пространственной краевой задачи Римана) к решению конкретных физических проблем. Под руководством А.В. Латышева были решены различные краевые задачи для ypat нений переноса.
AT. Хвостовым с помощью предложенного им впервые в пространстве С2 метода линейных однородных дифференциальных операторов первого порядка было начато исследование дифференциальных свойств интегралов типа Темлякова. В дальнейшем в работах А.В. Нелаева этот метод был уточнен, распространен на общий случай п (п > 1) комплексных переменных и дополнен рядом новых принципиальных положений. В настоящее время развиваемый А.В. Нелаевым метод, известный как методлинейныхдифференциальныхоператоровспеременнымикоэффи-циентами, является одним из эффективных средств изучения свойств различных классов функций в пространствах С и С" (n l> 2j, в том числе определяемых интегралами типа Темлякова, Темлякова - Баврина, Коши -Баврина.
Цель работы.
-
Вывод новых дифференциальных свойств функций, представи-мых интегралом типа Темлякова I рода и интегралом типа Темлякоьа -Баврина I рода k-го ( к є N) порядка с определяющей двоякокруговой областью типа А.
-
Наведение групповой структуры на множестве интегродиффе-ренциальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга.
-
Исследование дифференциальных свойств интеграла типа Коїли — Баврина второго порядка в случае бикруга
-
Изучение граничных свойств функций, представимых интегралом типа Темлякова - Баврина первого порядка с п-круговой (п > 2)- определяющей областью типа А, и применение разработанного математического аппарата к постановке и решению краевой задачи Римана в пространстве С (п > 2).
Методы исследования. Основными методами исследования являются развиваемый А. В. Нелаевым метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами и аппарат интеграла типа Коши и его многомерных аналогов; используется теория групп.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми, опубликованы и заключаются в следующем:
-
Установлена формула связи между частными производными интеграла типа Темлякова I рода (случай определяющей двоякокруговой области типа А) и его плотностью. Это соотношение применяется затем для вывода формулы дифференциальной зависимости между интегралом типа Темлякова - Баврина I рода к-го порядка ( к є N) с определяющей -двоякокруговой областью типа А и граничными значениями его плотности.
-
Наведена групповая структура на множестве интегродифферен-циальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга, а именно доказано, что это множество является свободной неабелевой группой с континуальной системой образующих.
3. Получены дифференциальные свойства класса функций двух
комплексных переменных, определяемых интегралом типа Коши - Баври
на второго порядка в случае бикруга. В числе установленных свойств -
дифференциальная связь с интегралом типа Коши, обобщенные условия
Копти - Римана, квазибигармоничность действительной и мнимой частей изучаемых функций.
4. Проведено исследование свойств интеграла типа Темлякова -Баврина первого порядка с определяющей п-круговой (п > 2) областью типа А. Результаты использованы при постановке и решении пространственной краевой задачи Римана в классе функций у',)-
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории интегральных представлений голоморфных функций многих комплексных переменных, теории операторов, теории квазианалитических в смысле АА Темлякова функций, теории многомерных краевых задач, а также служат основой для новых исследований.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [15], список которых приложен в конце автореферата.
Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады и сообщения на II Международной конференции, посвященной 80-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования» (г. Москва, 2003 [13]), на заседании зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003 [6]), на IV научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ "Станкин" - ИММ РАН» (г. Москва, 2001 [10]). Результаты исследовательской работы обсуждались на научных конференциях преподавателей и аспирантов МПГУ и МГОУ (1999 - 2003 г.г.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 11 параграфов,- заключения и списка литературы, содержащего 118 наименований. Общий объем работы 136 страниц.
Метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами
Первоисточником метода является предложенный А.Т. Хвостовым в 1967 году (см. [96], [97]) для исследования поведения в С интегралов типа Темлякова метод линейных однородных дифференциальных операторов первого порядка. Оказавшийся эффективным, метод в дальнейшем был взят на вооружение рядом иссле соответствующих их коэффициентов. Операция сложения операторов подчиняется, очевидно, переместительному и сочетательному законам: Hjk + (Н(2к2 + Н к )= (н к + ф )+ Н 4 Произведением двух операторов вида (2.1) называется оператор Н2к"Н," порядка k2+k,, образуемый в результате последовательного применения операторов Н, и Н2 . Операция умножения операторов подчиняется сочетательному закону: Операции сложения и умножения связаны между собой распределительным законом: Переместительный закон для операции умножения в общем случае не выполняется. Если же оказывается, что для двух операторов вида (2.1) то в этом случае говорят, что оператор Н}1 коммутирует с оператором При исследовании интегралов в основном применяют однородные операторы первого порядка вида Укажем общие для всех операторов вида (2.2) свойства, вытекающие из их конструкции. 6. Правило действия на сложную функцию {цепное правгиго): если f есть дифференцируемая функция переменного g, a g является дифференцируемой функцией z и Z,TO аналогично, если f зависит от нескольких функций: f = f(gi,g2 ... gm)» где gv = gv(z,z), v = 1,2дователей - в основном учениками профессора И.И. Баврина и профессора Г.Л. Луканкина. Начиная с 1973 года в цикле работ А.В. Нелаева первоначальная версия метода подвергается ряду уточнений (уточнены, например [86], рамки применимости основополагающего правила действия операторами на интегралы с переменными пределами интегрирования - обобщения правила Лейбница), пополняется новыми положениями (например, конструктивно решён [77] вопрос об условиях коммутативности применяемых в нём операторов), распространяется на общий случай п 1 комплексных переменных. Существенно развитый, метод известен ныне [71] как метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффгщаентами. Остановимся, следуя А.В. Нелаеву [71], на основных положениях этого метода. Введём в С (п 1) следующие обозначения: Пусть k — некоторое натуральное число. Рассмотрим дифференциальный оператор к-го порядка где v,,...,v2n - целые неотрицательные индексы, Av v =AV v (z,z) -функции, называемые коэффициентами оператора. Задание оператора Н как видим, полностью определяется заданием его коэффициентов.
Два оператора одного и того же порядка считаются равными, если равны между собой соответствующие их коэффициенты. Все операторы вида (2.1) линейные, то есть где cv = const, fv=fv(z,z), v = l,2 (здесь, разумеется, предполагается, что функции fv к раз дифференцируемы). На множестве операторов вида (2.1) вводятся операции сложения и умножения. Суммой двух операторов вида (2.1) называют оператор Н, +Hp порядка k = max{k,,k2}, который образуется из операторов Н,1 и Н22 путём сложения соответствующих их коэффициентов. Операция сложения операторов подчиняется, очевидно, переместительному и сочетательному законам: Hjk + (Н(2к2 + Н к )= (н к + ф )+ Н 4 Произведением двух операторов вида (2.1) называется оператор Н2к"Н," порядка k2+k,, образуемый в результате последовательного применения операторов Н, и Н2 . Операция умножения операторов подчиняется сочетательному закону: Операции сложения и умножения связаны между собой распределительным законом: Переместительный закон для операции умножения в общем случае не выполняется. Если же оказывается, что для двух операторов вида (2.1) то в этом случае говорят, что оператор Н}1 коммутирует с оператором При исследовании интегралов в основном применяют однородные операторы первого порядка вида Укажем общие для всех операторов вида (2.2) свойства, вытекающие из их конструкции. 6. Правило действия на сложную функцию {цепное правгиго): если f есть дифференцируемая функция переменного g, a g является дифференцируемой функцией z и Z,TO аналогично, если f зависит от нескольких функций: f = f(gi,g2 ... gm)» где gv = gv(z,z), v = 1,2,...,п,то Из формулы (2.3) вытекает, что если оператор Н обращает в нуль все промежуточные переменные: H[g,]=H[g2] = = H[gm]sO, то он обращает в нуль и сложную функцию этих переменных f = f(gi,g2 "48m) то есть H[f 0. 7. При действии операторами вида (2.2) на интегралы с переменными пределами интегрирования имеет место [83] обобщение правша Лейбница: Пусть функция F(z,z) определяется интегралом и Тогда в котором пределы интегрирования p-p(z,z) и q = q(z,z) дифференцируемые функции, a f(z,z,t) - интегрируемая по t при любых фиксированных z и z функция с условием p Из формулы (2.4) следует, что если Н[р]= H[q] = 0 (в частности, если р и q константы), то оператор Н можно вносить за знак интеграла без образования дополнительных слагаемых, то есть то есть в конечном результате отсутствует интегрирование. Имея в виду свойства (2.5) и (2.6), при исследовании интегралов часто оказывается возможным выделить такие операторы, которые для рассматриваемых
Дифференциальная связь между интегралами типа Тсмлякова и типа Темлякова-Баврина и их плотностями
Темлякова - Баврина и их плотностями В настоящем параграфеустанавливается новое свойство интеграла типа Темлякова I рода, которое далее распространяется на интеграл типа Темлякова - Баврина I рода k-го порядка. . Дифференциальная связь между плотностью интеграла типа Темлякова и его производными. Теорема 4.1. Функции, представимые интегралом типа Темлякова I рода с определяющей областью D типа А, в области D удовлетворяют дифференциальному соотношению Воспользуемся формулой (3.7) действия на интеграл типа Темляк Подействуем на интеграл (1.12) оператором Тогда, согласно следствию 3.2, формула (3.7) упрощается и принимает вид Замечание 4.1. В случае единичного гиперконуса (с, =с2 =l) формула (4.1) совпадает с дифференциальным соотношением, установленным М.И. Черновой [98] (ученица А.В. Нелаева): считая его правую часть известной (для этого, очевидно, достаточно знать функции ф ). Действительно, на основании формулы (4.1) заключаем, что в качестве решения данного уравнения можно взять интеграл типа Темлякова I рода (1.12), имеющий плотностью ту же самую функцию 9(t,r), по которой составляются ф+ иф". 2. Интегралы типа Темлякова - Баврина с двоякокруговой определяющей областью типа А и их дифференциальные свойства. Пусть в пространстве С задана область D типа (Т). С помощью метода интегродифференциальных операторов И.И. Бавриным были установлены интегральные представления Темлякова -Баврина k-го порядка, являющиеся обобщениями интегральных формул Темлякова. На основе интегрального представления Темлякова — Баврина I рода k-го порядка для определяющей двоякокруговой области D типа (Т) А.В. Нелаев [64] ввёл в рассмотрение интеграл типа Темлякова — Баврина I рода k-го порядка (к є N). Определение 4.1. Интегралом типа Темлякова — Баврина I рода k-го порядка (к eN) называется интеграл вида где плотность f(x,t,r)) принадлежит классу ц, то есть определена на топологическом произведении М = {т,t.Tj :0 т 1,0 t 2nrj = l}, непрерывна по совокупности переменных (1,1,11), 2я - периодична по t и удовлетворяет условию Гёльдера Hv (0 v l) по комплексному переменному г: постоянная К 0, причём К и v не зависят от т и t; где r,(x) и r2(x) - функции Темлякова, определённые соотношениями (1.2) (1.4), 6j - вещественные параметры, 8у, by - неотрицательные числа, удовлетворяющие условиям Yj 1, ду +5j 0, j = 1,...,к. В качестве определяющей области будем рассматривать область D типа А (1.11). Тогда компонента uk, заданная ова I рода в области D" произвольным линейным дифференциальным оператором первого порядка (3.6).
Подействуем на интеграл (1.12) оператором Тогда, согласно следствию 3.2, формула (3.7) упрощается и принимает вид Замечание 4.1. В случае единичного гиперконуса (с, =с2 =l) формула (4.1) совпадает с дифференциальным соотношением, установленным М.И. Черновой [98] (ученица А.В. Нелаева): считая его правую часть известной (для этого, очевидно, достаточно знать функции ф ). Действительно, на основании формулы (4.1) заключаем, что в качестве решения данного уравнения можно взять интеграл типа Темлякова I рода (1.12), имеющий плотностью ту же самую функцию 9(t,r), по которой составляются ф+ иф". 2. Интегралы типа Темлякова - Баврина с двоякокруговой определяющей областью типа А и их дифференциальные свойства. Пусть в пространстве С задана область D типа (Т). С помощью метода интегродифференциальных операторов И.И. Бавриным были установлены интегральные представления Темлякова -Баврина k-го порядка, являющиеся обобщениями интегральных формул Темлякова. На основе интегрального представления Темлякова — Баврина I рода k-го порядка для определяющей двоякокруговой области D типа (Т) А.В. Нелаев [64] ввёл в рассмотрение интеграл типа Темлякова — Баврина I рода k-го порядка (к є N). Определение 4.1. Интегралом типа Темлякова — Баврина I рода k-го порядка (к eN) называется интеграл вида где плотность f(x,t,r)) принадлежит классу ц, то есть определена на топологическом произведении М = {т,t.Tj :0 т 1,0 t 2nrj = l}, непрерывна по совокупности переменных (1,1,11), 2я - периодична по t и удовлетворяет условию Гёльдера Hv (0 v l) по комплексному переменному г: постоянная К 0, причём К и v не зависят от т и t; где r,(x) и r2(x) - функции Темлякова, определённые соотношениями (1.2) (1.4), 6j - вещественные параметры, 8у, by - неотрицательные числа, удовлетворяющие условиям Yj 1, ду +5j 0, j = 1,...,к. В качестве определяющей области будем рассматривать область D типа А (1.11). Тогда компонента uk, заданная по формуле (4.3), принимает вид
Применение интегродифференциальных операторов, специфических для поликруга, к решению функциональных уравнений
Укажем два применения интегродифференциальных операторов, специфических для поликруга, к решению интегродифференциальных уравнений специального вида. 1. Теорема 6.1. Функциональное уравнение относительно неизвестной функции F = F(z) где f = f(z) - известная голоморфная в поликруге U функция, имеет в U решение вида причём F - также голоморфная в U функция. Доказательство основано на том, что при указанных условиях существует оператор, обратный оператору, стоящему в правой части уравнения (6.1). 2 . Сформулируем сначала один из результатов И.И. Баврина [14] по теории интегральных представлений голоморфных функций. Пусть Д - (п-і)-мерньій симплекс Пусть функция f(z) голоморфна в поли круге U и все её частные производные до порядка ц (i = 0,l,2,...) включительно непрерывны в 1ЮТ, где Т = {z:zv - Rv, v = l,...,n - остов U. Тогда для / = 0,1,2,...,ц; / =0,1,2,... и zeU справедливо интегральное представление: выражает значения функции f(z) в поликруге U через значения интегродифференциального оператора L J-Jf] на остове Т этого поликруга. Рассмотрим функциональное относительно неизвестной функции F = F(z) уравнение (краевую задачу) где f = f(z) - голоморфная в поликруге U и непрерывная в UuT вместе со всеми своими частными производными до порядка к включительно функция. Обозначим через L k, -[f] оператор вида, аналогичного виду ЛЬЛЬМ а чеРез Я 5 л ь І " взаимно обратный оператор. Теорема 6.2. Если заданы значения оператора L ,"bkl [F0(c;,R,6)j на остове Т поликруга U, то уравнение (6.4) имеет в U голоморфное решение вида Наиболее важным результатом применения метода интегродифференциальных операторов являются установленные И.И. Бавриным интегральные представления. В этом параграфе на их основе вводятся в рассмотрение интегралы типа Коши - Баврина и изучается их поведение в пространстве С2. Введем следующие обозначения областей пространства С2 двух комплексных переменных (zi,z2): остов бикруга U2 (единичный тор) обозначим Т2: образов указанных областей в абсолютной четверть-плоскости изображено на рис.1. Пусть функция f = f(z,,z2) голоморфна в U2 и непрерывна вместе со своими частными производными i x и ї г в замыкании U2,a L 0 оператор 1 2 p,Z вида (5.1), определённый по формуле: LPtZotf(z1,z2)] = p-f(z1,z2)+51-(z1-z?)-f;(z1,z2)+52-(z2-z5)-f;i(z1,z2), где р - произвольное положительное число с условием р 1, 8i и 5г - любые неотрицательные числа с условием 8t +52 0, z = (z[\z2 J - фиксированная по произволу точка из U2.
Тогда для любой точки (zltz.2)t принадлежащей бикругу U2, справедливо интегральное представление: где т - вещественный параметр, определенный на единичном отрезке Д, «[0,1], u, =x5 z, +(l-x5l f, u2 =x52z2+(l8 ;. Аналогично тому, как на базе интегральной формулы Коши для бикруга, был введен ставший уже классическим интеграл типа Коши1 В.Ф. Миловановым [63] на основе интегрального представления (7.1) был введён в рассмотрение интеграл типа Коши - Баврина первого порядка где Р - произвольное положительное число с условием Р 1. Здесь, как и в интеграле (7.2), плотность ф( 1, 2) - произвольная непрерывная на остове у Т функция, удовлетворяющая условию Гёльдера: где Kv - некоторые положительные постоянные, показатели av - константы с условием 0 av 1, v = 1,22. В [63] было установлено следующее: Пусть 8 0 и 82 0.Тогда интеграл (7.3) определяет функцию, голоморфную в бикруге U , непрерывную в пространстве С2 и неголоморфную вне U2. Доказательство голоморфности интеграла (7.3) следует из того, что для любой точки (zpZj), принадлежащей U2, тождественно по всем тє[0,і] имеют место неравенства uv l, v = l,2. Непрерывность (7.3) могла бы нарушаться в том случае, если бы равенство [uj = I или u2 = 1 выполнялось на множестве изменения параметра т не нулевой меры. Л этого нет. Вывод о неголоморфности сделан на основании вида установленных для интеграла (7.3) формул перехода от кратного интегрирования к повторному в областях U_+, и+ ,1П (которые ввиду их громоздкости мы здесь не приводим). Дело в том, что в часть пределов интегрирования в этих формулах входят неголоморфные выражения. Замечание 7.1. Рассматривая упомянутые неголоморфные пределы интегрирования, заключаем, что они являются функциями, дифференцируемыми (любое число раз) в вещественном смысле. Отсюда, учитывая голоморфность ядра интеграла (7.3), делаем вывод о том, что в областях U +, и+ ,и функции, определяемые этим интегралом, дифференцируемы любое число раз. Вывод этот важен для нас тем. Что он обосновывает правомерность применения к рассматриваемым функциям вне бикруга метода однородных линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами. В [63] были установлены формулы дифференциальной связи в областях U +, и+ ,и между интегралом (7.3) и соответствующим (то есть имеющим ту же самую плотность 9( , 2)) интегралом типа Коши (7.2). В области U такая формула имеет вид где (разумеется, правая часть (7.5) понимается в данном случае как xi, (ziyz2)). В областях U +, U+ формулы дифференциальной связи имеют несколько иной вид. Зададимся вопросом: почему? Проведём с этой целью дополнительное исследование. Рассмотрим у поподробнее поведение функций uv, v = 1,2, в С . В бикруге U2, как уже было отмечено, тождественно по всем тє[0,і] и ju, 1, и и2 1. Это обеспечивает голоморфность интеграла (7.3) и по Zj, и по z2, и, следовательно (теорема Гартогса), просто голоморфность. В области U + при т = 0 [ut = z 1, а при т = 1 u, = jz, 1. А вот с и2 картина поведения иная: тождественно по всем т є [0,l] имеем
Исследование интегралов типа Коши - Баврина второго порядка методом линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами
Остановимся подробнее на частном случае интеграла (7.16), а именно, на интеграле типа Коши - Баврина второго порядка (zj .z") и (zj,z 2) - фиксированные точки, принадлежащие определяющей области - бикругу U2, константы р 1,у 1, Т2 - остов бикруга U2, плотность (p( ;i,q2) - определённая на Т2, удовлетворяющая условию Гёльдера функция. Кроме того, полагаем 5, 0, 52 0, о, 0, 72 0. Здесь с помощью развиваемого А.В. Нелаевым метода линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами (см., например, [71]) устанавливается формула дифференциальной связи в С2 между интегралом (7.15) и соответствующим ему (то есть имеющим ту же плотность) интегралом типа Коши - Баврина первого порядка (7.3) гдеи,=т5 2]+(і-т6)г?, u252z2+(l-x52 Отметим, прежде всего, что в бикруге U2 (области голоморфности интегралов (7.15) и (7.3)) названная связь осуществляется формулой справедливость которой вытекает из того, указанного И. И. Бавриным [16], факта, что на множестве голоморфных в бикруге U2 функций взаимно обратными являются дифференциальный оператор и интегральный оператор а также из того обстоятельства, что интеграл (7.15) можно записать в виде Заметим, что формулу (8.2) можно рассматривать не только в U2,но и в С2 (это вытекает из установленной в [63] непрерывности интеграла F(z,,z2) в С2). Теорема 8.1. Интеграл типа Коши - Баврипа второго порядка (7.15) и интеграл типа Коши -. Баврина первого порядка (7.3) в области неголоморфности связаны дифференциальным соотношением (8.4) Доказательство. Рассмотрим предварительно специфические свойствами оператора (8.4): Здесь, разумеется, предполагается, что Zj 9tzJ. Впрочем, формула (8.5) верна, очевидно, и при Zj =zj: RJ[O] = CT; -0 = 0. Имеет место тождество Отсюда на основании правила действия операторами на сложную с переменными коэффициентами (см., например, [71]) устанавливается формула дифференциальной связи в С2 между интегралом (7.15) и соответствующим ему (то есть имеющим ту же плотность) интегралом типа Коши - Баврина первого порядка (7.3) гдеи,=т5 2]+(і-т6)г?, u252z2+(l-x52 Отметим, прежде всего, что в бикруге U2 (области голоморфности интегралов (7.15) и (7.3)) названная связь осуществляется формулой справедливость которой вытекает из того, указанного И. И. Бавриным [16], факта, что на множестве голоморфных в бикруге U2 функций взаимно обратными являются дифференциальный оператор и интегральный оператор а также из того обстоятельства, что интеграл (7.15) можно записать в виде Заметим, что формулу (8.2) можно рассматривать не только в U2,но и в С2 (это вытекает из установленной в [63] непрерывности интеграла F(z,,z2) в С2). Теорема 8.1. Интеграл типа Коши -
Баврипа второго порядка (7.15) и интеграл типа Коши -. Баврина первого порядка (7.3) в области неголоморфности связаны дифференциальным соотношением (8.4) Доказательство. Рассмотрим предварительно специфические свойствами оператора (8.4): Здесь, разумеется, предполагается, что Zj 9tzJ. Впрочем, формула (8.5) верна, очевидно, и при Zj =zj: RJ[O] = CT; -0 = 0. Имеет место тождество Отсюда на основании правила действия операторами на сложную функцию (цепного правила, см. [71]) заключаем, что для любой дифференцируемой функции Отсюда делаем вывод о равенстве нулю первого слагаемого в правой части формулы (8.12). -Ri ZHZ2-Z2 z2 -z2 Таким образом, в правой части (8.12) оказывается отличным от тождественного нуля лишь второе слагаемое: (8.9) R, z2z2 z2 JL_ / П89 z2-z 2o2 -F -z + zl.z J = = о-2-z2-z 2-z2-z 2a2 F(z,,z2) o2 -z2 -z 2a, -F(zi,z2). Итак, формула (8.12) приведена нами к виду ст2 -z2 -z2 -[y (lj(z,,z2)+R, (z1,z2)]] = a2-z2 -z 2 7-F(z,,z2), или, что равносильно, y-0(z„z2)+R1Hzl,z2)] = F(z1,z2), то есть пришли к доказываемому соотношению (8.3). Отметим, что, совершив в формуле (8.2) замену параметра t на s по формуле (8.10), мы считали z2 Ф Z2 . Производя вместо этой замены замену CTj ?Zj t7Z2 (7Z2 Действительно, применяя к обеим частям формулы (8.3) оператор P + R и учитывая соотношение pF(zI,z2)+R[F(z1,z2)]s4 (z1,z2), получаем формулу (8.16), то есть формулу дифференциальной связи интеграла (7.15) с интегралом типа Коши (7.2). Используя формулу (8.16), установим дифференциальные соотношения, которым функции, определяемые интегралом (7.15), удовлетворяют вне бикруга U2 (обобщённые условия Коши - Римана). Действуя поочерёдно на обе части формулы (8.16) формальными производными - -, —— и учитывая голоморфность интеграла типа Коши 9z, dz2 (7.2), то есть выполнимость для него классических уравнений Коши - Римана в областях 1Г+, U+ , U", получаем систему двух дифференциальных уравнений в формальных производных третьего порядка -{{P + RX(y + R1Mz„z2l = 0, СІ, (8Л7) JL{(p + R)[(y + R,MZl,z2)]]) = 0. oz2 Систему (8.17) назовём обобщёнными условиями Коши - Римана интеграла (7.15).
функцию (цепного правила, см. [71]) заключаем, что для любой дифференцируемой функции Отсюда делаем вывод о равенстве нулю первого слагаемого в правой части формулы (8.12). -Ri ZHZ2-Z2 z2 -z2 Таким образом, в правой части (8.12) оказывается отличным от тождественного нуля лишь второе слагаемое: (8.9) R, z2z2 z2 JL_ / П89 z2-z 2o2 -F -z + zl.z J = = о-2-z2-z 2-z2-z 2a2 F(z,,z2) o2 -z2 -z 2a, -F(zi,z2). Итак, формула (8.12) приведена нами к виду ст2 -z2 -z2 -[y (lj(z,,z2)+R, (z1,z2)]] = a2-z2 -z 2 7-F(z,,z2), или, что равносильно, y-0(z„z2)+R1Hzl,z2)] = F(z1,z2), то есть пришли к доказываемому соотношению (8.3). Отметим, что, совершив в формуле (8.2) замену параметра t на s по формуле (8.10), мы считали z2 Ф Z2 . Производя вместо этой замены замену CTj ?Zj t7Z2 (7Z2 Действительно, применяя к обеим, которым функции, определяемые интегралом (7.15), удовлетворяют вне бикруга U2 (обобщённые условия Коши - Римана). Действуя поочерёдно на обе части формулы (8.16) формальными производными - -, —— и учитывая голоморфность интеграла типа Коши 9z, dz2 (7.2), то есть выполнимость для него классических уравнений Коши - Римана в областях 1Г+, U+ , U", получаем систему двух дифференциальных уравнений в формальных производных третьего порядка -{{P + RX(y + R1Mz„z2l = 0, СІ, (8Л7) JL{(p + R)[(y + R,MZl,z2)]]) = 0. oz2 Систему (8.17) назовём обобщёнными условиями Коши - Римана интеграла (7.15).
