Введение к работе
Щ Актуальность темы. В начале двадцатого столетия развитие теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления потребовало расширения класса функций, среди которых ищется решение. В 20-х годах прошлого века при решении многих задач стали использоваться различные обобщения производной функции и расширенное понимание решения. В конце 30-х годов С. Л. Соболев ввел то понятие обобщенной производной, которое сейчас является общепринятым, и определил пространства функций W'p, называемые сейчас пространствами Соболева. Для введенных им классов функций С. Л. Соболевым была разработана теория вложений пространств, нашедшая многочисленные приложения в теории дифференциальных уравнений, механике, прикладной математике.
Суть теории вложений может быть описана следующим образом:
|
а достаточно широкой совокупности функций вводится семейство орм, зависящих от некоторых параметров, характеризующих свойства гладкости и свойства суммируемости функций. Задача заключается в том, чтобы из принадлежности функции одному из порождаемых этими нормами функциональных пространств вывести принадлежность ее другим.
Большое значение пространств Соболева и теорем вложения для теории уравнений в частных производных, других разделов математики и приложений обусловило их интенсивное изучение и к настоящему времени привело теорию пространств Соболева па всем пространстве Ш" или на областях с гладкой границей к практически завершенному виду. Однако для пространств функций, определенных на областях с негладкой границей, теория еще весьма далека от
завершения.
Основные результаты диссертации относятся к теоремам вложе-( имя разных измерений или, как их еще называют, теоремам о следах. Первые результаты о следах функций класса WJ, получены С. Л. Соболевым (см. [27., гл. 1]). Теоремы С. Л. Соболева давали определенный ответ па вопрос, какими свойствами обладает след функции из W'(Q) на многообразии Г С Q, по он давался в терминах класса W и не давал полного описания следов.
Первые окончательные результаты по проблемам следов фупк-.ций из пространств Соболева были получены при р = 2 Ароншай-иом [33] и независимо от пего Л. Н. Слободецким [26], Фрейдом и Краликом [36], Проди [39], [40]. Дальнейшие исследования Гальярдо [34], О. В. Бесова [2], [3], П. И. Лизоркипа [15], [16] и С. В. Успенского [28] привели к полному решению проблемы о следах функций классов WJ, при любом конечном /; > 1 и при условии достаточно!*'] гладкости многообразия Г. Обратимая характеристика следов функ-{ ций из WL па Г С Q дается в терминах пространств О. В. Бесова
Следы функций на липшицевом многообразии охарактеризованы О. В. Бесовым [5], [6]. Более общая ситуация рассмотрена в работах Йопсопа [37] и Йопсопа и Валлипа [38]. В работах [5], [6], [37] п [38] описание следов дано с помощью пространств на многообразии, элементами которых являются наборы функций. Так, если F Є VI/'(П), I > 1, то элементом такого пространства на множестве Г С 2 будет набор функций {./«}|„|<л-< где fa = DaF\r и к зависит от /, /;, // и размерности Г. Упомянем еще работу С. К. Водопьянова, в которой использован модифицированный подход Уитпи для описания граничных значений функций из пространств Соболева Wl,(Q.)
и Никольского #ІД2), заданных в произвольной области евклидо-вого пространства. Особенность этого метода состоит в том, что он Вгрименим к любой области, независимо от гладкости ее границы.
Представляет интерес задача описания граничных свойств функций, определенных в области с кусочно-гладкой границей. В этом случае на гладких участках границы определены производные по нормали и, следовательно, правомерно рассматривать задачу о следах в постановке, близкой к классической. При этом оказывается, что при наличии на границе нерегулярных точек описание граничного поведения функций существенно зависит от геометрии области. Так, например, пространства следов функций из W* на границе пика будут различными для пика, направленного наружу, и для пика, направленного внутрь области [21], [42].
Для области Q с кусочно-гладкой границей сШ, имеющей непулевые углы, С. М. Никольский дал в работах [23] описание следов ^fei пространств Никольского Н!,(1), а Г. Н. Яковлев получил [30], [32] обратную характеристику следов для областей такого же тина для пространств Соболева Wj,{n).
Задача о следах функций на кусочно-гладкой границе области с ненулевыми углами рассматривалась многими математиками, прежде всего — в связи с краевыми задачами математической физики (см., например, [35] п приведенную там литературу).
В работах [30] и [31] Г. Н. Яковлев рассмотрел граничное поведение функций из пространств Соболева, определенных в областях на плоскости, границы которых имеют изолированные особенности, нарушающие липшицевость границы, в том числе и нулевые углы.
В работе [18] В. Г. Мазья получил необходимые и достаточные условия па следы функций из W-] (2) для случая области в Ш", п ^ 3,
граница которой содержит пики. При доказательстве В. Г. Мазья использовал преобразование Фурье, что не позволяет перенести пспо^ средствешю методы доказательства на случай произвольного р ^ 1г В работе В. Г. Мазьи и С. В. Поборчего [21] получено описание следов для областей с пиками на границе для произвольных р є (1,)-Одновременно и независимо этот же результат был получен в работе [42]. В работе [20] рассмотрен случай р—\.
В работах [22], [42] и [48] рассмотрена задача о следах для функций класса Wl и для других областей, кроме пика, имеющих на гра-. нице нулевые углы — некоторые случаи гребней, области между и вне касающихся гиперповерхностей.
В диссертации рассматриваются теоремы о следах только для пространств Соболева WJ,(Cl). Аналогичные рассмотрения можно было бы провести и для некоторых других функциональных пространств, например, для пространств Бесова B"q{Q.). Но наша главная цель — изучить граничное поведение функций, определенных в областях^^ нулевыми углами на границе, исследовать зависимость этого поведения от геометрии области. Для этой цели пространства Соболева подходят наилучшим образом. С одной стороны, они наиболее просто определяются и наиболее изучены, что позволяет избежать многих технических сложностей, которые появились бы при исследовании других пространств. С другой стороны, пространства Соболева и сейчас наиболее используемые функциональные пространства, что делает важной любую новую информацию об этих пространствах.
Одним из важнейших инструментов при изучении пространств Соболева W* при / ^ 2, является метод интегральных представлений, идущий от работ С. Л. Соболева (см. [27]). После работ С. Л. Соболева метод получил свое развитие в работах О. В. Бесова [4],
[7], В. П. Ильина [13], Ю. Г. Решетияка [24], [25], С. В. Успенского [29], В. Г. Мазьи [17] и других математиков (см. [9] и приведенную ^Рам литературу).
Преимущество метода интегральных представлений состоит в том, что представление функции в данной точке х строится по значениям этой функции в точках контролируемого (независимого от функции) множества, содержащегося в области определения (носитель представления). Благодаря этому появляется возможность для изучения функциональных пространств функций, заданных па множестве достаточно общего вида. С использованием интегральных представлений доказаны теоремы вложения Соболева для областей, имеющих на границе угловые точки (см., например, работы [7]—[8]). В диссертации интегральные представления функций применяются при изучении граничного поведения функций.
ЦЕЛЬ работы. Целью данной работы является исследование
«
їшичного поведения функций из пространств Соболева W'(Cl), ределенных на областях, имеющих на границе нулевые углы и приложение методов этого исследования к задаче о разрешимости эллиптической краевой задачи.
Методика исследования. Методика исследования базируется на построении и систематическом использовании интегральных представлений функций, определенных в областях с нерегулярными точками па границе, в использовании методов теории функций, математического и функционального анализа.
Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работьг могут быть применены в теории функциональных пространств, пріг исследовании свойств дифференцируемых функций, в теории уравнений с частными производными. Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории функций вещественных переменных, по теории функциональных пространств.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на всероссийских и международных конференциях: на XII Школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 1987 г.), на XIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев, 1989 г.), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ"(Москва, 1995 г.), на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования"(Москва, 1998 г.), иМ международной школе-конференции по анализу и геометрии (Новосибирск, 2004 г.), на Международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения"(Волгоград, 2004 г.), на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный апализ"(Москва, 2005 г.), на семинарах Новосибирского государственного университета (руководитель профессор С. К. Водопьянов), па семинарах Института Математики СО РАН им. С. Л. Соболева (руководитель академик Ю. Г. Решетпяк).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [41]—[53].
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы из 75 наименований.
