Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения
1 Некоторые определения, связанные с понятием линейной выпуклости
2 Интегральная формула Коши-Фантанпьс
2 Линейно выпуклые области с гладкими границами
1 Стягиваемость сечений комплексными прямыми (О-выпуклость)
2 Связь между локальной и глобальной линейной выпуклостью
3 Гомеоморфность шару линейно выпуклых областей с гладкими границами .
3 Интегральные представления в ограниченных кусочно-регулярных линейно выпуклых областях
1 Смешанные левианы и формулировка основной теоремы об интегральном представлении
2 Доказательство теоремы
3 Интегральные представления в линейно выпуклых круговых полиэдрах .
Заключение
Литература
- Интегральная формула Коши-Фантанпьс
- Связь между локальной и глобальной линейной выпуклостью
- Гомеоморфность шару линейно выпуклых областей с гладкими границами
- Интегральные представления в линейно выпуклых круговых полиэдрах
Введение к работе
Данная диссертационная работа посвящена описанию геометрических свойств линейно выпуклых областей с гладкими границами и получению интегральных представлений для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами.
Понятие линейной выпуклости было введено в середине 30-х годов прошлого столетия в работе Генриха Венке (Henrich Belmkc) и Эрнста Нешля (Ernst Peschl) [22] для областей в С2; их цель была построить комплексный аналог выпуклости, в котором роль опорных гиперплоскостей играли бы комплексные гиперплоскости.
Область D С С" называется линейно выпуклой [локально линейной выпуклой), осли для каждой точки z0 Є 0D существует комплексно (и — 1)- мерная аналитическая плоскость, проходящая через z0 и не пересекающая D (в некоторой окрестности точки Со)
Для областей D в С2 (или в проективном пространстве) с дважды гладкой границей Бенке и Пещль [22] указали дифференциальное необходимое и отдельно достаточное условие локальной линейной выпуклости в точке zQ Є 3D, а также доказали, что для таких областей из локальной линейной выпуклости следует и их линейная выпуклость. Линейная выпуклоеть-это понятие, лежащее между понятиями обычной выпуклости и псевдовыпуклости.
Напомним, что свойство выпуклости для областей D = {x = (xh...,xM):g(x)<0}cnm с дважды гладкой границей выражается дифференциальным неравенством, а именно положительной определенностью d2g(x) \та — сужения второго дифференциала (t2g(z) на касательную гиперплоскость Та в точке а Є 0D. В комплексном пространстве С" = Ргп второй дифференциал (вещественный гессиан) представляется в виде HR{z;s) = 2{RcH{z,t)+L{z,t)),z Є С"\ * Є R2\t3 = s2j-x + is2j, где H(z,t) — это комплексный гессиан a L(z,t) — форма Леви
Хорошо известно, что псевдовыпуклоеть области выражается свойством положительной определенности L(z,t) {-^-сужения формы Леви на комплексную касательную плоскость Т в течке а Є OD. В то же время, как недавно доказал К. Киеельман (C.Kisehnan) [27], свойство неотрицательное ти HH(z,x) j/<- — сужения формы Hk(z,s) на комплексные касательные плоскости Т в точках а Є 3D характеризує! линейную выпуклость области. Здесь также любопытно отметить, что форма Леви (отвечающая за псевдовыпуклоеть) будет играть существенную роль в интегральных представлениях для линейно выпуклых областей (см. главу 3).
В 60-70-х годах прошлого столетия было продолжено изучение линейно выпуклых областей в С" многими математиками, прежде всего в красноярской школе по комплексному анализу. С одной стороны, глубоко изучалась теория функций в линейно выпуклых областях в статьях Л.А. Айзенберга [1], А. Марти-но (A. Martiucau) [29], [30], Л.Я. Макаровой, В.М. Трутнева. С другой стороны, появилась потребность изучения геометрического аспекта понятия линейной выпуклости. В этом направлении прежде всего следует отмстить результаты — 5 —
А.П. Ю жакова, Ш.А. Даутова, В.А. Степаненко, B.C. Зиновьева С.С. Знаменского [10], [11] и др.. В последнее десятилетие возродился интерес к линейной выпуклости и близкому к нему понятию С-выпуклости в работах скандинавских математиков ( М. Andersson, М. Passare, R. Sigurdsson [21]; L. Honnander [25], С. Kiscluiau [27] и др.).
В упоминавшейся пионерской статье Бенке и Пешля отмечалось, что существует бесконечное множество топологически различных ограниченных линейно выпуклых областей в Сп(п ^ 2) с негладкой границей. Ни, например, вопрос о топологическом типе ограниченных линейно выпуклых областей с гладкой границей оставался открытым многие годы.
Отметим, что для ограниченных линейно выпуклых областей с гладкими границами Л.А. Айзенбергом ([3], формула (8.6)) было получено интегральное представление для голоморфных функций с голоморфным ядром. Формула Коши-Фантаппье-Лерс позволяет получать удачные интегральные представления в областях с кусочно-гладкой границей. Такие формулы были получены на основе техники, развитой Г.М. Хенкиным [17], для строго псевдовыпуклых полиэдров, включающих в себя кусочно-строго псевдовыпуклые области и полиэдры Вейля, и для областей Зигсля, которые являются выпуклыми областями с негладкой границей. Указанная техника предполагает интегрирование по дополнительным параметрам над сингулярными точками границы области, а явно рсализовагь это интегрирование удается весьма редко. В частности, весьма любопытным является вопрос о возможной реализации интегрирования для линейно выпуклых областей с кусочно-гладкими границами.
Цель диссертации состоит в описании геометрических свойств линейно выпуклых областей с гладкими границами, в частности их топологического типа, и получении интегральных представлений для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами.
Данная работа состоит из трех глав.
Первая глава носит вспомогательный характер. В первом параграфе этой главы приводятся предварительные сведения о линейно выпуклых областях.
Во втором параграфе изложена интегральная формула Коши-Фантаппье-Лере и ее некоторые детализации для областей с кусочно-гладкими границами.
Основными результатами второй главы являются следующие утверждения, полученные в совместной статье с А.II. Южаковым.
Теорема 2.1. Пусть D С Сп (п ^ 2) ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей, 7- комплексно одномерная плоскость. Если DC\~i ф 0, то D П 7 односоязнап область в ^ с гладкой границей.
Отметим, что в 1968 г. А. Мартино (A. Maxtiiieciu) [30] ввел понятие сильной линейной выпуклости (fortement liiu'clement convexcc»), для которого в настоящее распространен термин С-выпуклость.
СВ. Знаменским [10], [11] было дано описание класса С-выпуклых множеств: он состоит из таких линейно выпуклых областей или компактов, сечения которых комплексными прямыми ацикличны (в случае областей в С" ацикличность сечения комплексной прямой означает его связность и односвязность).
Со свойствами ацикличности сечений области или компакта комплексными прямыми был связан ряд гипотез, проблем и результатов многомерного комплексного анализа [10], [11], [15], [21], [29], раскрывающих это свойство как естественный комплексный аналог выпуклости. Все это дало основание шведским математикам [21], [25] называть такие множества С-выпуклыми.
В силу теоремы 2.1 ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей С-выпукла.
В упоминавшейся уже статье [30] А. Мартино ввел понятие линейчато выпуклого (lineelement convexcc) множества, у которого через каждую точку его дополнения проходит комплексная гиперплоскость, не задевающая это множество. За такими множествалш в отечественной литературе 70-х годов закрепился термин множеств линейно выпуклых но Мартино.
СВ. Знаменским в [10] было доказано, что С-выпуклые области в Сп являются линейно выпуклыми по Мартино. Из его результатов и теоремы 2.1 следует, что ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей в С" является и линейно выпуклой по Мартино.
Теорема 2.2. Пусть область D С Сп ограничена и имеет гладкую границу. Если D локально линейно выпукла, то она линейно выпукла.
Следующий пример показывает, что теорема становится неверной, если не требовать гладкости границы. Возьмем область D = D\ х D2 С С2, где >i = {>! : 0,9 < |гі| < 1}, D2 = {z2 : \Rez2\ < l,\Imz2\ < 0,1}, и аналитическую плоскость 7 = {(гь22) : z\ = z2}. Множество D П 7 = {(-ь^г) : -і = z2, 0,9 < |гі| < 1, |imzi| < 0,1} состоит из двух связных компонент. Обозначим их Bi(Rezi > 0) и В2. Области D и D \ 7 линейно выпуклы. Область D\ В[, оставаясь локально линейно выпуклой, не является линейно выпуклой. Действительно, через произвольную точку (СьСз) Є Ві С d(D\Bi) проходит единственная аналитическая плоскость j, не пересекающая D\Bi в окрестности (Сі, Сг); при этом 7 П {D \ Bv) = В2 ф 0.
Теорема 2.3. В Сп (п ^ 2) всякая ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей гомеоморфна шару.
Заметим, что Ш. А. Даутов и В. А. Степаненко [С] привели простой пример ограниченной линейно выпуклой, но нсвыпуклой области с гладкой границей.
Требование ограниченности в теореме существенно: например, D — {(^1,) : 1 < |^11 < 2}, будучи линейно выпуклой областью с гладкой границей (но неограниченной !), не является односвязной и, следовательно, не гомеоморфна шару.
Перейдем к изложению результатов третьей главы.
Рассмотрим в пространстве С" ограниченную линейно выпуклую область G={z:gl(z,z)<04 1 = 1,. ..,Л'}, где функции gl{z,z) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности за- мыкания этой области. Граница 0G области G состоит из граней S1 = {z є G: g4z,z) = 0}, / = 1 iV.
Будем предполагать, что G имеет кусочно-регулярную границу: на всяком непустом ребре S>1'-^:5>1n...n5^ = {C5G:^(C,C) = 0,...,^(C,0=0} выполняется неравенство дуп Л ... Л ду}к ф 0, эквивалентное тому, что /ЧучссЛ \vJ'fc(CO/ v
Ориентация граней Sl,...,SN индуцирована ориентацией границы <9G', и OG = U 5*. В свою очередь ориентация каждой грани S\i = 1,..., Лг индуциру-
1=1 ег ориентацию (2/г —2)— мерного ребра 5'', OS1 = (J S',?, и с учетом ориентации j мы имеем 5''7 = —SJ''. Индуктивным образом определяется ориентация ребра
5-^------^, которая фактически задается порядком следования граней Sn,... :SJk.
Прежде чем сформулировать основную теорему, введем для мулыииндекса J = (jі,...,jfc) обозначение dC, A d( dgn A ... Л dgJk іде выражение w./, су?кенное на ребро 5J, представляет собой корректно определенную дифференциальную форму со свойством дуп А ... Л dgJk А и;j = d( A d(. _ 9 —
С подходящих координатах, где JPk
ЛР1,---,Рк Л.-Л JPk форма u)j записывается в виде к(к + 1) dC,\p\,...,Pk]bd(, _і -\р[+...+Рк U)j =
ДРі, —,PA ilvii*
Здесь f/СЬь ,j>jt] - внешнее произведение дифференциалов (1(^,... ,d(n, среди которых отсутствуют дифференциалы d( ... , rf(/>fc-
При получении интегральной формулы для любой ограниченной кусочно-регулярной линейно выпуклой области было востребовано понятие смешанных левианов дин системы функций (гиперповерхностей), предложенное А. К. Цихом. Эго понятие навеяно известной конструкцией Минковского для смешанных объемов системы выпуклых тел в евклидовом пространстве [5]. Известен также алгебраический аспект понятия смешанного объема в виде смешанного дискриминанта (инварианта) системы квадратичных форм [4]. А именно, если Qb ... ,Qjt система квадратичных форм переменных хи...,хН1 то смешанным дискриминантом порядка / = (гь ... , /fc) называется коэффициент Di = Dj(Qx,..., Qk) в представлении det(X1Ql + ... + \kQk) = ^2DIXI= Y, п(п,.,гк)У1 ...Ук-
Г («і,-,«'*)
С другой стороны, по аналогии с общей теорией инвариантов [12] определитель Леви
Ця) = -
0 <п .9«
0 а и
ВД,/,,...Л) =
0 ... 0 o-jti .. . а-кп an «ЛТ С'п . . . Сіп U In <^кп ('пі спп
Теперь приведем следующее.
Определение. Смешанным левианом порядка I = (г'ь...,и) семейства функций r/i,..., (д. на^ьшаешся коэффициент L/ — Li{gu ... ,<д,.) с представлении L{XiQi + ... + AfcQt; /ь ... , 4) = Y, L,X'i "і- — где Q, = Y1 у-..% 7ljr)s~ эрмитова форма, сопоставленная gt, а /,— линейная j,s=i' "Jl "** $о/ша (V
Основным результатом третьей главы является
Теорема 3.1. Пусть G = {z:: gl(z, z) < 0, I = I,... , N} - ограниченная кусочно-регулярная линейно выпуклая область в Сп. Тогда всякая функция f(z), голоморфная в области G и непрерывная на G, представима в виде: ^ /-/(0^(^,.--,.^) n(v^,c-2)^ ft=l U=k \I\=n-k V '' *, П где 53 означает суммирование no упорядоченным мулътииндексам J длины t)J=fc & : 1 ^ ji < ... < jk ^ ЛГ; ]P -суммирование no мулътииндексам I = l/U=U-fc (г"і,...,г*) со свойством \І\ — г\ -f- ... + h — п — к; L і -смешанный левиан порядка I, наконец V. := і^. ... г а,!.
В заключительном параграфе третьей главы приводится интегральное представление в п— круговых линейно выпуклых полиэдрах.
Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном симпозиуме по теории голоморфных функций многих комплексных переменных (Красноярск, 1969г.), Всесоюзной конференции по теории функций комплексного переменного (целые и мероморфныс функции и функции многих переменных) (Харьков, 1971 г.), Международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск, 2002 г.); также полученные результаты неоднократно докладывались на семинаре в лаборатории теории функций Института физики СО АН СССР им Л.В. Киренского (1969-1973гг.) и на городском семинаре по многомерному комплексному анализу в Красноярском государе гвен ном университете (1995 - 2003 гг.).
Автор выраркает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе.
Интегральная формула Коши-Фантанпьс
Область D С С" называется линейно выпуклой (локально линейно выпуклой), если для каждой точки границы 3D области D существует комплексно (д—1)-мерная аналитическая плоскость, проходящая через z и не пересекающая D (в некоторой окрестности точки Z0). Будем говорить, что область D С Сп имеет k-гладкую границу, если в окрестности любой точки , 3D 3D задается уравнением f(z,z) — О, где /-вещественная к раз непрерывно дифференцируемая функция gradf ф 0, в окрестносги этой точки. С помощью разбиения единицы легко показать, что область D с ft-гладкой границей можно задать глобально: D = { z = (гь ..., zn) : 4 (z,z) 0}, где Ф- к раз непрерывно дифференцируемая функция в Сп дгасІФ ф 0 в точках 3D. Для ограниченных линейно выпуклых областей с гладкой границей справедлива теорема: Теорема 2.1. Пусть D С Сп(п 2) ограниченная линейно выпуклая об дасть с гладкой границей, -комплексно одномерная плоскость. Если DP\ f ф 0, то D П 7 односвязная область в 7 с гладкой границей. Доказательству теоремы предшествует доказательство ряда лемм. Лемма 2.1. В евклидовом пространстве Rn двумерная плоскость j, проходящая через точку ц гладкой гиперповерхности F = {х = (xi,... , х„) : f(x) = 0} и не касательная к F в точке , пересекается с F в некоторой окрестности Ъ\ точки по простой гладкой кривой. При этом Ь\ можно выбрать так, чтобы множество {х : f{x) 0} П 7 П 11% было связно, а его замыкание содержало множество F П 7 П / . Лемма становится очевидной, если выбрать систему координат так, чтобы 7 = {х : х3 = ... = х„ = 0}, и взять U = {х : /2(х) + xj + xj + ... + x2n є, j -1,2}. Лемма 2.2. Ограниченная локально линейно выпуклая область с гладкой границей пересекается с комплексно одномерной аналитической плоскостью не более чем по одной связной компоненте. Доказательство. Пусть область D — {z : (z, z) 0}, где Ф-вещественная непрерывно дифференцируемая функция в С" ,угасІФ ф 0 в точках сШ, локально линейно выпукла. Предположим, что существует комплексно одномерная аналитическая плоскость 7, для которой множество DC\ несвязно ( DPI7 открыто в 7). Возьмем точки z, zl, принадлежащие различным компонентам Df\j, и соединим их в D непрерывной кривой z = Z(T), 0 т 1, z(0) = z, z(l) = z1.
Рассмотрим семейство комплексных одномерных аналитических плоскостей, определяемых парами точек Z{T), Z, положив для простоты z = 0 = (0,... ,0) : 7(т) = {z = (гь..., „) . z = a{r)t,t Є С, а{т) = ),0 г 1, г = (]Cj=i kjP) 7(1) = 7- Сечение D П 7(т) изомстрично открытому множеству DT = {t : F(t,r) = Ф(а(т),а(г)і) 0} С С/, так как z = a(r)t гомеоморфно отображает С/ на -,(-) С С" и а(г)ґ - a{r)t \ = \a{r)\\t - t \ = \t - t \. Точкам :( ), : Є D П - (г) соответствуют точки t(r) = ( ), 0 Dr. Так как кривая z — ;:(т) непрерывна, то для г. достаточно малых :(г) и : лежат в одной компоненте ЙП (г). Положим г0 = inf{r : 0 г 1. для которых г(г) и г" не лежат в одной компоненте D П i(r)[. О rCJ 1. : и :(г) лежач в различных компонентах D П-, (Го), так как, очевидно, множество значений т. для которых : и Z(T) лежач в одной компоненче Dn-(ru), открыт. Обозначим :ТГИ компоненты Д, Д соответственно Д ,, Д-компоненты Dr(1. содержащие 0. f(r). Именно Так как область D ограничена, то найдется круг І "/? такой, что А7 С 1 л для 0 г 1. С л у ч а й 1. Аг„ \ В\ замкнуто (АГ() несвязно). Тогда в С,] существуют огкрычыс множесі на V и V такие, что Имеем F(!\ 7„) 0 на компаніє ] / \ (Г U Г) . іак как АТп = {/ : F(t.Tu) 0} С UUV. Функция F(f,r) - Ф(а{г)Г.а(г)і) непрерывна при / Е С". І) г 1. Под і ому найдеіся іакое Л 0. ччо при всех г с \т — г„{ и / Е V/ \ (Г U Г) будет F(t.r) 0. т.е. DT С С U Г. При том 0 Е Д С Аг„ \ Д С Г. а при о. достаточно малых. f(r) С Д С С. Таким образом, для м, — ) г С г,) :" и (г) принадлежит разным компонсп там Df\ {r). Но это противоречит определению 7-,,. С1 л у ч а й 2. Множество АГ(\Д (сооїветсівенно П (т-„)\ Д. где D = {.г : Ф(.;\3) (.)}) незамкнуто. Тогда, чак как -ОП--(г()) замкнучо. существует с," Е о Д С 0ОП {г{]}. в любой окрестности которой лежач точки Z)n-,(го), т.е. либо точки компонент П ,(то). or личных оч Д, либо точки сШП (го). нс являющиеся предельными для Z?b Согласно лемме 2.1 (г0) лежит в касательной гиперплоскости к 0D в точке . Гак как D локально линейно выпукла, то существует комплексно (/)-1) мерная плоскость L, проходящая через іочку с, и такая, что ЬП DC\L\ 0. где . -некоторая окрестность точки . В силу гладкости OD эта плоскость един ственная и лежит в касательной гиперплоскости к 0D в точке С ([І]- стр.1126). Комплексно одномерная и комплексно (// — 1)-мсрная плоскости (г0) и L (ве щественные- размерности соответственно 2 и 2п — 2), лежащие в одной (2/) — 1) мерной гиперплоскости (касательной) и имеющие общую точку С, имеют по крайней мерс общую вещественную прямую. Следовательно (г0) С L. Но, так как ( Є 0Ви 10 В{П1\ С ВГ) (т(і)Г\1\ С DHLDU ф 0 для любой окрестности U точки С (противоречие). Доказательство теоремы 2.1. По лемме 2.2 JQ П -область в -,. Докажем, что она односвязна. Предположим, что d(D П ) не связна. Тогда для точек С, (\ принадлежащих различным компонентам d(DD")-), существует замкнутая жорданова кривая Г С д(ОГ\-). разделяющая в - точки с, 0, ( . Соединим точки. С, 0, С1 непрерывной кривой Это возможно, гак как 0D связна ([1], стр.1134). В каждой точке С(г)- 0 г 1 проведем к dD — {:: : Ф(:,3) = 0} касательную аналитическую плоскость D П L(T) = 0 в силу линейной выпуклости D. Поэтому f_ L(T). Комплексно (// — 1)-мсрная плоскость L(r) и. не лежащая в ней, комплексно одномерная плоскость -), если они не параллельны, имеют одну общую точку (г). Так как семейство плоскостей Ь(т) непрерывно зависти от параметра т. то и = -(г) непрерывна в точках г, для которых Ь{т) не параллельна -.. Гхли L(r0) параллельна 7- то при т —у г() -(г) — ос. Таким образом Г2 — {-"- : z = (т), 0 г 1} непрерывная кривая, соединяющая точки ,:(0) = (. (1) = ( в расширенной плоскости ",. Гак как замкну гая кривая Г разделяет точки С, С1-10 Г П Г ф (/). Значит для некоторого т — т Цг )ПГ2 С L(r )C\D ф 0 (противоречие). Глад кость [ раницы D( } вытекает из того, что в силу линейной выпуклости D -) не касатсльна к 0D в точках d(D П - ), и из леммы 2.1. Следствие 2.1. Сечение ограниченной линейно выпуклой области с /ладной границей комплексной г -мерной плоскостью у . если оно не пусто является линейно выпуклой областью с іладной траницей н у .
Связь между локальной и глобальной линейной выпуклостью
Данная диссертационная работа посвящена описанию геометрических свойств линейно выпуклых областей с гладкими границами и получению интегральных представлений для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами. Понятие линейной выпуклости было введено в середине 30-х годов прошлого столетия в работе Генриха Венке (Henrich Belmkc) и Эрнста Нешля (Ernst Peschl) [22] для областей в С2; их цель была построить комплексный аналог выпуклости, в котором роль опорных гиперплоскостей играли бы комплексные гиперплоскости. Область D С С" называется линейно выпуклой [локально линейной выпуклой), осли для каждой точки z0 Є 0D существует комплексно (и — 1)- мерная аналитическая плоскость, проходящая через z0 и не пересекающая D (в некоторой окрестности точки Со) Для областей D в С2 (или в проективном пространстве) с дважды гладкой границей Бенке и Пещль [22] указали дифференциальное необходимое и отдельно достаточное условие локальной линейной выпуклости в точке zQ Є 3D, а также доказали, что для таких областей из локальной линейной выпуклости следует и их линейная выпуклость. Линейная выпуклоеть-это понятие, лежащее между понятиями обычной выпуклости и псевдовыпуклости. Напомним, что свойство выпуклости для областей D = {x = (xh...,xM):g(x) 0}cnm с дважды гладкой границей выражается дифференциальным неравенством, а именно положительной определенностью d2g(x) \та — сужения второго дифференциала (t2g(z) на касательную гиперплоскость Та в точке а Є 0D. В комплексном пространстве С" = Ргп второй дифференциал (вещественный гессиан) представляется в виде Хорошо известно, что псевдовыпуклоеть области выражается свойством положительной определенности L(z,t) {- -сужения формы Леви на комплексную касательную плоскость Т в течке а Є OD. В то же время, как недавно доказал К. Киеельман (C.Kisehnan) [27], свойство неотрицательное ти HH(z,x) j/ - — сужения формы HK(Z,S) на комплексные касательные плоскости Т в точках а Є 3D характеризує! линейную выпуклость области. Здесь также любопытно отметить, что форма Леви (отвечающая за псевдовыпуклоеть) будет играть существенную роль в интегральных представлениях для линейно выпуклых областей (см. главу 3).
В 60-70-х годах прошлого столетия было продолжено изучение линейно выпуклых областей в С" многими математиками, прежде всего в красноярской школе по комплексному анализу. С одной стороны, глубоко изучалась теория функций в линейно выпуклых областях в статьях Л.А. Айзенберга [1], А. Марти-но (A. Martiucau) [29], [30], Л.Я. Макаровой, В.М. Трутнева. С другой стороны, появилась потребность изучения геометрического аспекта понятия линейной выпуклости. В этом направлении прежде всего следует отмстить результаты А.П. Ю жакова, Ш.А. Даутова, В.А. Степаненко, B.C. Зиновьева С.С. Знаменского [10], [11] и др.. В последнее десятилетие возродился интерес к линейной выпуклости и близкому к нему понятию С-выпуклости в работах скандинавских математиков ( М. Andersson, М. Passare, R. Sigurdsson [21]; L. Honnander [25], С. Kiscluiau [27] и др.). В упоминавшейся пионерской статье Бенке и Пешля отмечалось, что существует бесконечное множество топологически различных ограниченных линейно выпуклых областей в Сп(п 2) с негладкой границей. Ни, например, вопрос о топологическом типе ограниченных линейно выпуклых областей с гладкой границей оставался открытым многие годы. Отметим, что для ограниченных линейно выпуклых областей с гладкими границами Л.А. Айзенбергом ([3], формула (8.6)) было получено интегральное представление для голоморфных функций с голоморфным ядром. Формула Коши-Фантаппье-Лерс позволяет получать удачные интегральные представления в областях с кусочно-гладкой границей. Такие формулы были получены на основе техники, развитой Г.М. Хенкиным [17], для строго псевдовыпуклых полиэдров, включающих в себя кусочно-строго псевдовыпуклые области и полиэдры Вейля, и для областей Зигсля, которые являются выпуклыми областями с негладкой границей. Указанная техника предполагает интегрирование по дополнительным параметрам над сингулярными точками границы области, а явно рсализовагь это интегрирование удается весьма редко. В частности, весьма любопытным является вопрос о возможной реализации интегрирования для линейно выпуклых областей с кусочно-гладкими границами. Цель диссертации состоит в описании геометрических свойств линейно выпуклых областей с гладкими границами, в частности их топологического типа, и получении интегральных представлений для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами. Данная работа состоит из трех глав. Первая глава носит вспомогательный характер. В первом параграфе этой главы приводятся предварительные сведения о линейно выпуклых областях. Во втором параграфе изложена интегральная формула Коши-Фантаппье-Лере и ее некоторые детализации для областей с кусочно-гладкими границами. Основными результатами второй главы являются следующие утверждения, полученные в совместной статье с А.II. Южаковым. Теорема 2.1. Пусть D С Сп (п 2) ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей, 7- комплексно одномерная плоскость. Если DC\ i ф 0, то D П 7 односоязнап область в с гладкой границей. Отметим, что в 1968 г. А. Мартино (A. Maxtiiieciu) [30] ввел понятие сильной линейной выпуклости (fortement liiu clement convexcc»), для которого в настоящее распространен термин С-выпуклость. СВ. Знаменским [10], [11] было дано описание класса С-выпуклых множеств: он состоит из таких линейно выпуклых областей или компактов, сечения которых комплексными прямыми ацикличны (в случае областей в С" ацикличность сечения комплексной прямой означает его связность и односвязность). Со свойствами ацикличности сечений области или компакта комплексными прямыми был связан ряд гипотез, проблем и результатов многомерного комплексного анализа [10], [11], [15], [21], [29], раскрывающих это свойство как естественный комплексный аналог выпуклости. Все это дало основание шведским математикам [21], [25] называть такие множества С-выпуклыми. В силу теоремы 2.1 ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей С-выпукла. В упоминавшейся уже статье [30] А. Мартино ввел понятие линейчато выпуклого (lineelement convexcc) множества, у которого через каждую точку его дополнения проходит комплексная гиперплоскость, не задевающая это множество. За такими множествалш в отечественной литературе 70-х годов закрепился термин множеств линейно выпуклых но Мартино.
Гомеоморфность шару линейно выпуклых областей с гладкими границами
СВ. Знаменским в [10] было доказано, что С-выпуклые области в Сп являются линейно выпуклыми по Мартино. Из его результатов и теоремы 2.1 следует, что ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей в С" является и линейно выпуклой по Мартино. Теорема 2.2. Пусть область D С Сп ограничена и имеет гладкую границу. Если D локально линейно выпукла, то она линейно выпукла. Следующий пример показывает, что теорема становится неверной, если не требовать гладкости границы. Возьмем область D = D\ х D2 С С2, где i = { ! : 0,9 гі 1}, D2 = {z2 : \Rez2\ l,\Imz2\ 0,1}, и аналитическую плоскость 7 = {(гь22) : z\ = z2}. Множество D П 7 = {(-ь г) : -і = z2, 0,9 гі 1, imzi 0,1} состоит из двух связных компонент. Обозначим их Bi(Rezi 0) и В2. Области D и D \ 7 линейно выпуклы. Область D\ В[, оставаясь локально линейно выпуклой, не является линейно выпуклой. Действительно, через произвольную точку (СьСз) Є ВІ С d(D\Bi) проходит единственная аналитическая плоскость j, не пересекающая D\Bi в окрестности (Сі, Сг); при этом 7 П {D \ Bv) = В2 ф 0. Теорема 2.3. В Сп (п 2) всякая ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей гомеоморфна шару. Заметим, что Ш. А. Даутов и В. А. Степаненко [С] привели простой пример ограниченной линейно выпуклой, но нсвыпуклой области с гладкой границей. Требование ограниченности в теореме существенно: например, D — {( 1,) : 1 11 2}, будучи линейно выпуклой областью с гладкой границей (но неограниченной !), не является односвязной и, следовательно, не гомеоморфна шару. Перейдем к изложению результатов третьей главы. Рассмотрим в пространстве С" ограниченную линейно выпуклую область дважды непрерывно дифференцируемы в при этом 7 П {D \ Bv) = В2 ф 0. Теорема 2.3. В Сп (п 2) всякая ограниченная линейно выпуклая область с гладкой границей гомеоморфна шару. Заметим, что Ш. А. Даутов и В. А. Степаненко [С] привели простой пример ограниченной линейно выпуклой, но нсвыпуклой области с гладкой границей. Требование ограниченности в теореме существенно: например, D — {( 1,) : 1 11 2}, будучи линейно выпуклой областью с гладкой границей (но неограниченной !), не является односвязной и, следовательно, не гомеоморфна шару. Перейдем к изложению результатов третьей главы. Рассмотрим в пространстве С" ограниченную линейно выпуклую область дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности за мыкания этой области.
Граница 0G области G состоит из граней Будем предполагать, что G имеет кусочно-регулярную границу: на всяком непустом ребре выполняется неравенство дуп Л ... Л ду}к ф 0, эквивалентное тому, что Ориентация граней Sl,...,SN индуцирована ориентацией границы 9G , и OG = U 5 . В свою очередь ориентация каждой грани S\i = 1,..., Лг индуциру 1=1 ег ориентацию (2/г —2)— мерного ребра 5 , OS1 = (J S ,?, и с учетом ориентации j мы имеем 5 7 = —SJ . Индуктивным образом определяется ориентация ребра 5- ------ , которая фактически задается порядком следования граней Sn,... :SJk. Прежде чем сформулировать основную теорему, введем для мулыииндекса J = (jі,...,jfc) обозначение іде выражение w./, су?кенное на ребро 5J, представляет собой корректно определенную дифференциальную форму со свойством _ 9 — С подходящих координатах, где Здесь f/СЬь ,j jt] - внешнее произведение дифференциалов (1( ,... ,d(n, среди которых отсутствуют дифференциалы d( ... , rf(/ fc При получении интегральной формулы для любой ограниченной кусочно-регулярной линейно выпуклой области было востребовано понятие смешанных левианов дин системы функций (гиперповерхностей), предложенное А. К. Цихом. Эго понятие навеяно известной конструкцией Минковского что G имеет кусочно-регулярную границу: на всяком непустом ребре выполняется неравенство дуп Л ... Л ду}к ф 0, эквивалентное тому, что Ориентация граней Sl,...,SN индуцирована ориентацией границы 9G , и OG = U 5 . В свою очередь ориентация каждой грани S\i = 1,..., Лг индуциру 1=1 ег ориентацию (2/г —2)— мерного ребра 5 , OS1 = (J S ,?, и с учетом ориентации j мы имеем 5 7 = —SJ . Индуктивным образом определяется ориентация ребра 5- ------ , которая фактически задается порядком следования граней Sn,... :SJk. Прежде чем сформулировать основную теорему, введем для мулыииндекса J = (jі,...,jfc) обозначение іде выражение w./, су?кенное на ребро 5J, представляет собой корректно определенную дифференциальную форму со свойством _ 9 — С подходящих координатах, где Здесь f/СЬь ,j jt] - внешнее произведение дифференциалов (1( ,... ,d(n, среди которых отсутствуют дифференциалы d( ... , rf(/ fc При получении интегральной формулы для любой ограниченной кусочно-регулярной линейно выпуклой области было востребовано понятие смешанных левианов дин системы функций (гиперповерхностей), предложенное А. К. Цихом. Эго понятие навеяно известной конструкцией Минковского для смешанных объемов
Интегральные представления в линейно выпуклых круговых полиэдрах
Основные результаты, изложенные в диссертации являются новыми и состоят в следующем: —результат Бенке и Пешля об эквивалентности понятий локальной и глобальной линейной выпуклости распространен на ограниченные области в Сп с гладкими границами; —доказано, что линейно выпуклая область с гладкой границей гомсоморфна шару; — получено интегральное представление для голоморфной функции в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярными границами. Результаты диссертации могут быть использованы в многомерном комплексном анализе и других областях математики, связанных с геометрией комплексного пространства и интегральными представлениями для голоморфных функций многих комплексных переменных. [і] ЛПЗЕШіЕРГ Л.Л. О разложении голоморфных функций многих комплексных переменных на простейшие дроби)J Сиб. мат.ж. 1967. r[\Vt. №5. С. 1221 1242. [2] ЛиТїЕПВЕРГ .П.Л. Линейная выпуклость в С" и разделение особенностей голоморфных функций]/ Bull. Acad. Pol. Sc, ser. math. 19(57. T.15, №7. C. -187 495. Щ ЛЙЗІІПИКРГ Л.Л., Южлков А.И. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск:
Наука. Сиб. отд-ние, 1979. ІМбс. [4] Л.ИЕКСЛНДРОИ А.Д. (. мешанные дискриминанты п смешанные объемы. Матом, сб.- 1938. [5] БУЗЕМЛН Г. Выпуклые поверхности. - М.: Наука, 19()8. [6] ДАУТОН 111.Л., СТЕПЛШОНКО В.А. Простой пример ограниченной линейно выпуклой, но неиыпук.юй области с гладкой границей// Голоморфные функции многих комплексных переменных. Красноярск: Институт физики СО All СССР, 1972. С. 175 179. [7] ВЛРЧЕНКО А.Н. Определитель матрицы многомерных геометрических интегралов// Докл. ЛИ СССР. 1989.-Т.308.-№1.-С. 777-780. [8] ЗИНОВЬЕВ B.C. Аналитические условия и некоторые вопросы аппроксимации линейно выпуклых- областей с гладкими границами в пространстве С"// ВИНИТИ, 1970. Ml743- -70. [9] ЗНАМЕНСКИЙ СВ. Сильная линейная выпуклость//Комплексный анализ и математическая финика. Красноярск: Институт физики им. Л.В. Кирснского СО АН СССР.-1988-(.:.39-52. [10] ЗНАМЕНСКИЙ СВ. Геометрический критерий сильной линейной выпуклости // Функц. анализ и его приложения.-1979.-Т. 13.-№3.-С. 83-84. [11] ЗНАМЕНСКИЙ СВ. Сильная линейная выпуклость. I. Двойственность пространств голоморфных функций/ j Спб. мат.т.-1985. Т.26.-№ З.-С. 31-43. [12] КЛЕЙН Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Том II. Геометрия. М.: Наука, 1987.-416 с. [13] ЛЕРЕ Ж. Дифференциалыюе и интегральное исчисление на комплексном аналитическом многообразии . - М.: Мир, 1901. 145 с. [14] МАРКУШЕВИЧ Л.И. Теория аналитических функций. Том II. Дальнейшее построение теории. - М.: Наука, 1968.-624 с. [15] ТРУТНЕВ В.М. Инвариантные подпространства и сюрьективность дифференциальных операторов// Исследовании по линейным операторам и теории функций / 99 задач линейного и комплексною анализа. Ленинград.: Наука, 1978. С. 128 129. [1С] ХЕІІКИІІ Г.М. Интегральное представление функций голоморфных в строго псевдовыпуклых областях и некоторые приложения// Матем. сб. 1969. Т.120, №78. С. 611 632. [17] ХЕІІКИІІ Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе// ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Т.7 1985. С. 23 125. [18] Цих А.К. Многомерные вычеты и их применении.- Новосибирск: Наука. 1988.-239 с. [19] ANDERSSON М. Unuque linearly convex support of an analytical functional // Preprint No 199I-15/1SSN0347-2809. Goteborg. 1991.-P 116. [20] ANDERSSON M., PASSARE M. Complex К ergin interpolation and Fantappie transform /j Mathematische Zcitsclirift 1991.-V. 208.-P. 257-271. [21] ANDERSSON M., PASSARE M., SIGURDSSON R. Complex convexity and analiUc fnnetionals 1 j j Science Institute University of Iceland Dunhaga 3 IS Reykjavik June 1995. - 71 p. [22] BEHNKE II., PESCHL E. Zur Theorie der Funktionen mehreren komplexer Verunderlichen. Konvexitut in bezug auf anuiylisclie Ebe.ncn im kleiuen und yrossen // Math. Ann. 1935. 111. №2.-1458-177. [23] BREMERMAN H.J. Die Charakterisierung Rungescher O ebietes durch plurisubliarmonisclie Funktionen IJ Math. Ann. 1958. 136, P. 158 177. [24] CONRAD M. Nicht-isotrope Abschdtzungen fur lineal konvexe Gebiete endlichen Typs // Dissertation, Universitat Wuppertal, Dezembcr- 2002,-68pp. [25] H.ORMANDER L. Notions of Convexity /j viii +414pp. Boston:Birkhuuser, 1991. [26] KlSELMAN CO. Duality of functions defined, in lineally convex sets /j Universitatis lagellonicae Acta Math. T. 35.- 1997.-P. 7-36. [27] KlSELMAN CO. A differential inequality characterizing weak lineal convexity // Math. Ann. T. 311.- 1998.-P. 1-10. [28] KlSELMAN CO. Lineally convex Haiiogs domains // Acta Math. Vietnamir.a, T. 21.- 1996.-P. 69-94. [29] MAHTINEAU A. Sur la topologie des espaces des functions holomorphes// Math. Ann.- 1966. 163.-№l. P.-62-68.
