Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Пополнение по метрике мазуркевича и продолжение квазиизометрий на евклидовы замыкания областей из Rn 41
1.1. Билипшицевы и квазиизометрические отображения, определения 41
1.2. Типы граничных точек 49
1.3. Пополнение областей по метрикам pD и 5D 54
1.4. Продолжение 5-квазиизометрий на евклидовы замыкания областей 60
ГЛАВА 2. Простые концы пространственных областей 71
2.1. Простые концы: определения, общие свойства 72
2.2. Строение множества общие свойства 88
2.3. Относительное расстояние XD области D и простые концы 101
2.4. Классификация по К.Каратеодори простых концов пространственных областей 109
2.5. Соответствие по простым концам при 5-квазиизометрических гомеоморфизмах 120
ГЛАВА 3. Простые предконцы пространственных областей 133
3.1. Множество V[D] предконцов области D из Rn: основные определения и общие свойства 133
3.2. Метрика на множестве V[D] 145
3.3. Различные обобщения понятия предконца 153
3.4. V0-условие для кривых из области D 159
3.5. Условия отделимости элементов из V0[D] 170
3.6. Свойства элементов из OV0[D] HNV0[D] 179
3.7. О соответствии по предконцам при 5-квазиизометрических отображениях 184
ГЛАВА 4. Общие свойства элементов из Ф[Б] ИФ0[Б] 190
4.1. Основная классификация элементов из Ф[Б] и O0[D] 190
4.2. Строение элементов из Ф21Р] 195
4.3. Теоремы о последовательностях точек из D, сходящихся к элементу из Ф2 [D] , но не сходящихся к его цоколю 203
4.4. Некоторые теоремы о строении элементов из Ф[Б] и Ф2[Б] 220
4.5. Секвенциальная предкомпактность области D в пространстве БиФ0[Б] 228
4.6. Поведение 8-квазиизометрий на элементах из Ф[Б] и Ф0[Б] 234
ГЛАВА 5. Свойства полных брусков области D 239
5.1. Общие свойства полных брусков из Ф[Б] 240
5.2. Однородные относительно элементов из Ф[0] последовательности точек из D и классификация точек носителей элементов из Ф[Б] 248
5.3. Связность цоколя полного бруска из Ф[Щ 258
5.4. Взаимосвязи между полными брусками из Ф0[Б] и элементами из Ф[Б] 266
ГЛАВА 6. Пространство M[D] молекул областей из Rn 286
6.1. Взаимосвязи между полными брусками из 286
6.2. Множество M[D] молекул области D 290
6.3. О строении молекул области D 296
6.4. Поведение 5-квазиизометрий на множестве M[D] молекул области D.. 304
Литература 308
Приложение. 313
- Пополнение областей по метрикам pD и 5D
- Относительное расстояние XD области D и простые концы
- Условия отделимости элементов из V0[D]
- Однородные относительно элементов из Ф[0] последовательности точек из D и классификация точек носителей элементов из Ф[Б]
Введение к работе
Цели работы. Изучение метрических и граничных свойств различных классов квазиизометрических гомеоморфизмов областей
евклидова пространства R",n>2, а также описание строения различных геометрических объектов (областей из R", поверхностей и топологических многообразий без края) с помощью инвариантов рассматриваемого класса отображений.
Диссертация посвящена решению следующей общей задачи. Основным объектом исследования является семейство {>} областей-
R", л>2, гомеоморфных шару, с заданной на каждой из них некоторой внутренней метрикой \D(x,y) и, соответственно, класс
^.-квазиизометрических гомеоморфизмов этих областей. Рассматривается следующая задача: используя инварианты Х-квазиизометрий, построить множество T[D] граничных элементов любой области De{D} такое, что ее пополнение Lkjr[D] секвенциально компактно и хаусдорфово, элементы T[D] инвариантны при Х.-квазиизометриях и любая Х.-квазиизометрия/: D—+G, D, Ge{D} продолжается до го-меоморфного отображения /*:DuT[D] ->GuT[G].
В работе рассмотрены следующие часто используемые на практике четыре внутренние метрики области: метрика Мазуркеви-ча 5D(x,y), метрика Римана — Александрова pD(x,y), квазигиперболическая метрика kD(x,y) и емкостное расстояние rD(x,y). Соответственно изучаются свойства четырех классов 5-, р-, к- и г-квази-изометрических гомеоморфизмов областей R". За модельный взят случай метрического пространства (D,8D),De{D}, и, соответственно, класс 8-квазиизометрий областей из {D}.
Исходя из постановки задачи, естественным образом возникает следующая общая концепция исследования: используя всевозможные инварианты рассматриваемого класса квазиизометрий (предварительно описав их), как можно более детально изучить строение областей, на которых заданы отображения этого класса, а также их образы. В частности, при этом почти автоматически мы изучим и поведение отображений рассматриваемого класса.
Актуальность темы. Исторические сведения. Следующие две проблемы являются основными в теории функций. ,
I. Граничное поведение отображений изучаемого класса.
П. Теоремы существования для отображений этого класса.
~*
Обе эти проблемы сводятся к решению поставленной выше общей задачи: найти с помощью инвариантов рассматриваемого класса отображений такое множество Г[Щ граничных элементов области De{D}, чтобы ее пополнение XjT[D] было, например, ха-усдорфовым и элементов из Г[Щ было «достаточно много» (т.е. чтобы DuF[D], например, было секвенциально компактным).
Впервые проблему I для класса плоских конформных отображений решил К. Каратеодори. В 1913 г. в работе [1] он построил теорию простых концов плоских односвязных областей и показал, что любой конформный гомеоморфизм /: D—+G плоских областей D, G продолжается до гомеоморфизма/*: KjE[D]->GkjE[G]. Причем пополнение LKjE[D] любой плоской ограниченной односвязной области D по множеству E[D] ее простых концов является компактным и хаусдорфовым топологическим пространством. Таким образом, простые концы по Каратеодори оказались граничными элементами плоских областей, инвариантными при конформных отображениях, и с их помощью удается достаточно детально описать строение границы любой плоской односвязной области. В частности, элементы E[D] оказались инвариантными для более общих классов плоских квазиконформных и с ограниченным интегралом Дирихле гомеоморфизмов (см. монографии Г.Д. Суворова [2-4]). Риманом доказана теорема существования для конформных отображений.
Пространственный случай оказался намного сложнее. Здесь до сих пор нет теоремы существования типа теоремы Римана, и в полном виде не доказана теорема о граничном соответствии, аналогичная теореме Каратеодори, ни для одного нетривиального класса гомеоморфизмов пространственных областей.
Теория простых концов пространственных областей началась разрабатываться в работах Кауфмана (1930), Мазуркевича (1936), Фрейденталя (1952) и А.Д. Мышкиса (1949), и в них не было применений к теории функций. Теорему о соответствии по простым концам для пространственных квазиконформных отображений, заданных на шаре, впервые установил В.А. Зорич в начале 1960-х г. [5-7]. Дальнейшие продвижения здесь для этого класса получены в работах С.К. Водопьянова, В.М. Гольдштейна (1978) и Р. Някки (1979). Случай пространственных гомеоморфизмов с ограниченным интегралом Дирихле рассмотрен И.С. Овчинниковым, Г.Д. Суворовым [8] в 1960-х г.; граничное поведение квазиконформных отображений в среднем изучались В.И. Крутиковым, В.И. Пайковым [10] в 1980-х гг.; случаи р- и 5-квазиизометрий рассматривались автором в 1980-х гг. [16-21].
Подчеркнем значительный вклад школы Г.Д. Суворова в теорию простых концов, в особенности работ самого Суворова, И.С. Овчиннико-^Ьва, О.В. Иванова. В частности, упомянутые выше работы его учеников [10; 19; 21] являются окончательными в направлении реализации схемы Каратеодори построения граничных элементов областей R".
Ни в одной из этих работ пополнения по граничным элементам, построенные там, для общего случая областей R",п > 3, гомео-
морфных шару, не являются секвенциально компактными и хаус-дорфовыми. Более того, в работе А.Д. Мышкиса [12] показано, что если в этом общем случае множество Г[Щ граничных элементов области D строится по схеме Каратеодори, то класс областей, для которых пополнение LKjT[D] хаусдорфово и секвенциально компактно, составляет узкий подкласс в семействе областей R",n>3, го-
меоморфных шару. Таким образом, для этого семейства областей R" давно стоит вопрос о нахождении принципиально нового подхода для решения задачи о «хорошем» и «достаточном» пополнении любой такой области.
Свойства различных классов квазиизометрий интенсивно изучаются в последние три десятилетия в связи с вопросами теории функций, анализа и в различных прикладных задачах; они рассматривались в работах Л. Альфорса, Ф. Джона, Ф. Геринга, Ю. Вяйсяля и многих их последователей, а также в работах С.К. Водопьянова, В.В. Асеева, А.П. Копылова, Т.Г. Латфуллина и др. В последнее время весьма актуальными становятся вопросы изучения границ различных поверхностей и топологических многообразий без края, а также граничного поведения квазиизометрий, заданных на этих объектах (В.М. Миклюков, М. Громов и их последователи).
К сожалению, важные вопросы граничного поведения квазиизометрий рассматривались в этих работах лишь эпизодически и не были достаточно подробно изучены. Поэтому задача о достаточно полном исследовании граничных вопросов различных классов квазиизометрий, заданных на различных геометрических объектах, давно стоит, и вопрос о решении этой проблемы весьма актуален в настоящее время.
Методы исследования. Исходя из общей концепции наших рассмотрений, основным методом исследования в работе является использование различных инвариантов рассматриваемого класса отображений при изучении строения их областей задания и значения, а также при исследовании граничных и метрических свойств
отображений. Заметим, что для классов именно квазиизометрических гомеоморфизмов этот метод оказывается весьма эффективным. Так как мы используем многие топологические инварианты, то в наших рассмотрениях широко применяются различные методы топологии и теории множеств. Одними из основных характеристик у нас являются всевозможные внутренние метрики областей, поэтому в работе используются различные методы анализа и функционального анализа. Например, это различные схемы пополнений областей, понятия отношений эквивалентности и частичного порядка, а также различные типы сходимости последовательностей точек и подмножеств области, и их взаимосвязи между собой.
Научная новизна. Основные результаты работы. В работе предложен принципиально новый подход к решению задачи о «хорошем» и «достаточном» пополнении пространственных областей из достаточно широкого семейства с помощью граничных элементов этих областей, инвариантных при отображениях рассматриваемого класса гомеоморфизмов. Основной результат работы — построение теории предконцов областей из {>}. На основе множества V[D] этих граничных элементов области Dg{D}, построенных по схеме Каратеодори, приведены две общие конструкции построения новых граничных элементов областей из {>}.
Первая из них, основанная на факторизации элементов V[D] ^ по их общему цоколю, позволяет получить новое множество Ф[>] граничных элементов Dt множество минимальных элементов Фо[Щ которого делает любую область De{D} секвенциально предком-пактной в пространстве ZXjO0[D]. Вторая конструкция, используя специальные элементы Ф[0] и полные бруски, дает множество M[D] граничных элементов D, названных молекулами, такое, что LXjM[D] еще и хаусдорфово. В виде следствия теории предконцов получен полный аналог теоремы Каратеодори о граничном поведении Х-квази-изометрий областей из {D}.
Подробнее, в работе получены следующие новые результаты. Под {)} всюду ниже понимается семейство ограниченных гомео-
морфных шару областей R", п > 2.
-
Изучено строение пополнений любой области Dg{D}tio ее внутренним метрикам 8D и pD.
-
Найдены условия на точки евклидовой границы областей из {)}, при которых 5-квазиизометрия /: D->G продолжается до не-
прерывного, гомеоморфного либо билипшицева отображения
/:)-» G евклидовых замыканий областей D, G.
> 3. С помощью инвариантов 5-квазиизометрий в точности по
схеме Каратеодори построена теория простых концов областей из {D}, дана подробная классификация этих граничных элементов, изучены их свойства и их поведение при 5-квазиизометриях.
-
С помощью инвариантов 5-квазиизометрий по схеме Каратеодори определены новые граничные элементы областей из {>}, названные предконцами, дана их классификация, изучены их свойства и их поведение при 5-квазиизометриях. При этом предконцы оказываются мельче концов, удобнее в работе и позволяют точнее описывать строение областей.
-
Множество V[D] предконцов области De{D} факторизует-ся по их общему цоколю. Изучены элементы полученного фактор-пространства Ф[>], которые представляют собой граничные элементы области, инвариантные при 5-квазиизометриях. Показано, что множество Фо[Щ минимальных элементов Ф[>], присоединенное к любой области Dg{D}, компактифицирует ее.
-
На основе специальных элементов Ф[Щ, полных брусков, построено множество M[D] новых граничных элементов, молекул,
\ областей из {>}, такое, что пополнение XjM[D] еще и хаусдорфо-во. При этом элементы M[D] инвариантны при 5-квазиизометриях, и любая 5-квазиизометрия/: D->G областей D, G из {D} продолжается до гомеоморфизма/* : LXjM{D]—>G^jM[G]. Таким образом, впервые для широкого семейства областей {D} получен полный аналог теоремы Каратеодори для нетривиального класса гомеоморфизмов пространственных областей.
7. В приложении к диссертации показано, как основные схе
мы построений и результаты теории 5-предконцов переносятся на
случаи теорий предконцов, построенных на основе метрик
pD, rD, kD. Соответственно изучаются свойства р-, г- и -квази-
изометрий. Для любой области Dg{D} изучены взаимосвязи между метрическими 5-, р-, г- и ^-структурами этой области.
8. Методами теории предконцов изучена риманова структура
областей Джона и равномерных областей и поведение р-квази-
изометрических и билипшицевых гомеоморфизмов на них.
Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные результаты, общие схемы построений и методику работы
можно применять при изучении граничных и метрических свойств областей из различных линейно связных метрических пространств или поверхностей и топологических многообразий без края, используя индуцированные на них всевозможные внутренние метрики; а также при изучении граничных и метрических свойств различных классов отображений, заданных на этих геометрических объектах.
Приведенные в работе разработки могут быть применены в прикладных вопросах, где используются различные классы отображений, и где необходимо рассматривать вопросы граничных расширений областей задания и значений этих отображений, и где важно знание строения этих областей. Например, это могут быть задачи с различными краевыми условиями из математической физики или теории дифференциальных отображений. Отметим, что в данной работе на практике показано, как основные идеи и схемы общих построений работы можно применить к конкретной модели, т.е. работа имеет дополнительно еще и четко выраженный прикладной характер (например, при применениях в теории функций).
Результаты работы имеют теоретическое значение и могут служить основанием для дальнейшего развития теории отображений областей из Л", различного типа поверхностей и топологических многообразий без края и общих метрических пространств, а также при изучении граничных и метрических свойств этих геометрических объектов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах отдела математики НИИ ПММ при Томском госуниверситете, на семинарах кафедр математического анализа, теории функций и общей топологии в Томске, Казани, Волгограде, Москве, Сургуте, а также на семинарах отделов теории функций и геометрии в целом в ИМ СО РАН в Новосибирске. Результаты работы докладывались на различных конференциях в Томске, Новосибирске, Донецке, Казани, Волгограде, Сургуте и, в частности, на всех четырех Международных конгрессах ИНПРИМ, проходивших в Новосибирске в 1994, 1996, 1998 и 2000 гг., а также на Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 1999 г.).
Диссертационная работа выполнялась сначала в отделе математики НИИ ПММ при Томском госуниверситете, а затем на кафедре прикладной математики Сургутского госуниверситета в рамках научно-исследовательских работ НИИ ПММ и СурГУ по темам: «Модуль», «Метрические и граничные свойства отображений»,
«Геометрия пространственных областей и поверхностей» и в рамках фонда «Университеты России» по теме «Теория предконцов пространственных областей».
Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ. Основные результаты содержатся в работах [16-30].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, шести глав, списка литературы и приложения с дополнительным списком литературы. Объем работы - 409 с, из них основной текст составляет 313 с, и приложение — 93 с. Библиография к основному тексту имеет 63 наименования, и 18 наименований составляет дополнительный список литературы к приложению. Все результаты и понятия в работе имеют трехзначную нумерацию: первая цифра означает номер главы, вторая — текущий номер параграфа данной главы, и третья - текущий номер пункта данного параграфа.
Пополнение областей по метрикам pD и 5D
Обозначим через [D]p пополнение области Dc Rn по метрике pD, а через [D]5 - пополнение D по 8D. Пусть f:D— G есть р-квазиизометрия. По определению, отображение f билипшицево относительно метрик рв И pG. Тогда, как известно из анализа, f продолжается до гомеоморфизма Аналогично, если f:D— G есть 5- квазиизометрия областей D,Gc Rn , то f продолжается до гомеоморфизма f : [D]5 [G]5. Отсюда возникает интерес к вопросу о строении множеств [D]p и [D]s. Сразу отметим, что так как любая 5-квазиизометрия f: D— G одновременно является и р-квазиизометрией, то 8-квазиизометрия так же всегда продолжается до гомеоморфизма f : [D]p— [G]p. Более обще, любой результат о граничном поведении р-квазиизометрических гомеоморфизмов справедлив также и для класса 8-квазиизометрий. Обратное в общем случае неверно. Подробно граничное поведение р-квазиизометрий изучалось в нашей работе [12], и мы здесь приведём только результаты оттуда, необходимые нам в дальнейшем при изучении граничного поведения и свойств 8-квазиизометрий. Следующая лемма доказана в работе [12]. 1.3.1. Лемма.
Последовательность точек {хт} из D фундаментальна по метрике рв О она лежит на некотором спрямляемом пути L:[0,1)— D, окан чивающемся в точке b из D. При этом d(xm,b)—»0 при т—и». Следствием данной леммы является следующее утверждение. 1.3.2. Теорема. Пополнение [D]p области D по метрике pD присоединя ет к D все точки 3D, достижимые некоторым спрямляемым путём из D. Заметим, что "носителем" элемента из [D]p\ D всегда является точка 3D. При этом одна и та же точка 3D может быть "носителем" нескольких и даже бесконечно многих элементов из [D]p. Следующие две теоремы доказаны в [12]. 1.3.3. Теорема. [D]p = D о- область D сильно R-достижима на границе. 1.3.4. Теорема. [D]p компактно о область D R-достижима на границе. При этом в случае 1.3.3 область D локально связна на границе, а в слу чае 1.3.4 D обязана быть конечно связной на границе. Приведём соответствующие предыдущим утверждениям результаты, касающиеся пополнения [D]s области D по метрике 8D. 1.3.5.Лемма.Последовательность точек {xm }с D фундаментальна по метрике 5D = она лежит на некотором пути L:[0,1)— D, оканчивающемся в точке из D. Доказательство. Пусть {хт} с D фундаментальна по метрике 5D. Тогда {хт } фундаментальна также и по метрике евклида d и, следовательно, сходится по метрике d к некоторой точке be D. Имеем: sm = 8D(x m, xm+] ) —»0 при m— x в силу условия Копій. Тогда найдётся простая ломаная Кт с D, соединяющая точки х т, хт+і , такая, что D(Km)=d(Km) 2em. Кривая К = u Kmc D содержит последовательность m=l точек {хт} и оканчивается в точке Ь. Действительно, d(Km)— 0, m— оо, и, следовательно, d(Kra,b)— 0, m— со. Пусть Lm : [1-1 /2m_1,1-1 /2m]- Km есть гомеоморфизм такой, что Lm(l-l/2m_1) = = xm, m=l,2,... и Lm(t) є Km при t є [1-1/2"1" ,1-1/2ш]. Такой гомеоморфизм, кусочно-линейный, легко построить. ( Заметим, что ломаную Кт, являющуюся простой, то есть не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания, всегда можно выбрать в нашем случае области D, гомеоморфной шару). Тогда L : [0,1)-+К, L(t) [\-112тА,l-l/2m]= Lm(t) есть требуемый непрерывный ( и даже жорданов ) путь, содержащий {хт }, лежащий в D и оканчивающийся в точке b є D. Обратное утверждение леммы тривиально. Следствием леммы 1.3.5 является следующее утверждение. 1.3.6. Теорема.
Пополнение [D]g области D по метрике 8D присоединяет к D все точки сЮ, достижимые некоторым путём из D. Заметим, что как и в случае [D]p , "носителем" любого элемента из [D]s\D всегда является точка 3D. При этом одна и та же точка 3D может быть "носителем" нескольких, и далее бесконечного числа элементов из [D]5 . Кроме того, так как из фундаментальности {xm} по pD следует её фундаментальность и по 8D, то это означает, что [D]p "мельче" [D]5 и, вообще говоря, множество [D]s \ [D]p 0. Любая точка dD, недостижимая из D спрямляемым путём, но достижимая некоторым неспрямляемым путём, оканчивающимся в этой точке, является "носителем" некоторого элемента из [D]5 и не может быть "носителем" никакого элемента из [D]p. 1.3.7. Теорема. [D]8 = D oD локально связна на границе. Доказательство. 1) Предположим, что область D локально связна на границе. Покажем, что последовательности точек из D, удовлетворяющие условию Коши по метрикам 8D и d, совпадают друг с другом. Отсюда будет следовать совпадение множеств [D]s и D. Пусть последовательность точек {хт} из D фундаментальна по метрике d. Тогда {хт} сходится в евклидовой метрике к некоторой точке Ьє D. Если точка beD, то d(xm,b)= 5D(xm,b) при всех достаточно больших т, и {хт} фундаментальна по d и 8D одновременно. Предположим, что точка Ьє дD. По условию, найдется последовательность окрестностей {Uk} точки b в R11 такая, что UkC Uk+i , k=l,2,..., Uk П D связно при каждом к и d(Uk)—И), к— со. При этом для каждого k Зт(к) такое, что все хт є Uk П D, если т т(к). Отсюда для точек хь Xj є Uk, і, j m(k) будем иметь, что SD(xi, Xj) d (Uk) = Sk, и, следовательно, последовательность {Хщ} фундаментальна по метрике 8D. 2) Пусть [D]s = D. Покажем, что в этом случае область D локально связна на границе. Выберем точку be 9D, и пусть последовательность точек {хт} из D сходится к точке b в метрике d. Тогда она фундаментальна по метрике d, а, следовательно, и по метрике 8D в силу условия [D]s = D. Лемма 1.3.5 тогда даёт, что найдётся путь L:[0,1)— D, содержащий {xm} и оканчивающийся в точке Ь.
Следовательно, область D сильно достижима в точке b, а поэтому и конечно связна в этой точке в силу 1.2.2. Выберем связные множества Fb F2 из D такие, что beFinF2, и пусть последовательности точек {um} из Fb {vm} из F2 таковы, что d(um,b)— 0, т—»оо, d(vm,b)— 0, т— оо. Тогда {um}, {vm} фундаментальны по метрике d и эквивалентны друг другу по этой метрике. Условие [D]s = D даёт, что тогда {ura}, {vm} одновременно фундаментальны по метрике SD и эквивалентны по этой метрике. Следовательно, 8D(um, vm)—»0, m— х и 8D(Fi, F2)=0. Это означает, что область D 8-гладка в точке Ь. Из предложения 1.2.3 тогда получаем, что область D обязана быть локально связной в точке Ь. Теорема доказана. 1.3.8. Теорема. [D]g компактно о область D конечно связна на границе. Доказательство. 1) Предположим, что пополнение [D]8 компактно. Пусть точка be 9D,{xm}czD и d(xm,b) - 0,m -» со. В силу компактности, {хт} имеет подпоследовательность (Ук), фундаментальную по метрике 8D. Тогда, см. 1.3.5, {ук} лежит на некотором пути L:[0,1)— D, оканчивающемся в точке Ь. По определению, область D сильно достижима в точке b и поэтому является конечно связной в этой точке в силу 1.2.2. 2) Пусть D конечно связна на границе. В силу 1.2.2, D сильно достижима на границе. Предположим сначала, что последовательность элементов {хт} с [D]5 "составлена" из точек D, xm=xm,xmeD,m = 1,2,... (то есть точки хтєБ являются "носителями" элементов xme[D]5 ). Тогда либо существует подпоследовательность {ym}c{xm}, сходящаяся к точке из D ( в этом случае всё доказано ), либо существует точка ЪедВ, предельная для (xm}:d(ym,b) - 0,m -» со для некоторой подпоследовательности из {хт}. В силу свойства сильной достижимости D в точке Ь, существует путь L:[0,1)— D, содержащий подпоследовательность {zj}c:{y m} и оканчивающийся в точке Ь. Следовательно, {zj фундаментальна по метрике 8D и является представителем некоторого элемента be[D]5. Ясно,
Относительное расстояние XD области D и простые концы
В данном параграфе, следуя идеям работы С.Мазуркевича [38], мы определим относительное расстояние XD области D, пополнение по которому даёт граничные элементы этой области, "совпадающие" с нормальными простыми концами области D. 2.3.1. Метрика A,D. В области D зафиксируем континуум А такой, что d(A) 0, d(A,SD) 0 и D\A состоит из единственной компоненты связности. Для точек x,yeD\A положим A,D(x,y;A) = inf{d(F),FGF(x,y;A)}, где F(x,y;A) есть совокупность всех связных относительно замкнутых подмножеств F из D, отделяющих точки х,у от А в D таким образом, что х,у лежат в одной компоненте D\F. (См. также работу [43]). 2.3.2. Лемма. Величина A,D (х, у; А) определяет метрику в DVA. Доказательство. Очевидно, XD(x,y;A) 0, Vx,y eD\ А. Равенство D(x,y;A) = XD(y,x;A) тривиально. Ясно, что если х=у, то A.D(x,y;A)=Q. Предположим, существуют точки x,yeD\A, хфу такие, что A,D(x,y;A)=0. По определению, найдётся последовательность множеств {Fm} из F(x,y;A) таких, что d(Fm) - 0, m - со и каждое Fm отделяет точки х,у от А в D. Пусть ; , Gm есть компонента D\Fm, содержащая точки х,у. Соединим некоторую точку z из А с точками х,у соответственно ломаными y1?y2c:D так, что у1пу2={г}. В последовательности {Fm} найдётся только конечное число множеств таких, что Fm n 3D пусто. Иначе 3 {Fmk} с: {Fm} такая, что Fmk пЭБ пусто и 5D(Gmk) 5D(Fmk)- 0,k- co. Отсюда 8D(x,y) = 0 и, следовательно, х=у.
Таким образом, Fm n 3D непусто при всех m m0 для некоторого т0. Выберем точки xm eFm nyl5 ут eFm пу2. Условие d(Fm)- 0, т- со даёт, что lim 8D(xm,ym) = 0, и, следовательно, т- оо # хт Ут z т "с0- Условия Fm n8D непусто при всех m m0, d(Fm) - 0, m - со и d(xm,3D) d(Fm) показывают, что тогда d(z,3D) = 0, и точка z є 3D, вопреки условию d(A, 3D) 0. Следовательно, условие XD (х, у; А) =0 возможно, только если х = у. Неравенство треугольника для величины A,D(x, у; А) доказывается точно теми же рассуждениями, что и в лемме 6.1 из [43]. 2.3.3. Пополнение области D по метрике XD. Пополним обычным образом область D по метрике A,D. По определению, последовательность точек {хт} из D\A фундаментальна по метрике XD, если A,D(xm,xk;A)-»0 при m,k-»oo. Фундаментальные последовательности точек {хю},{ут} из DYA эквивалентны, если A,D(xm,ym;A)— (). Все последовательности точек одного и того же класса эквивалентности либо сходятся к точке из D, либо все их предельные точки лежат на 3D. В последнем случае класс эквивалентных последовательностей точек из DYA назовём граничным элементом области D, а множество всех граничных элементов области D обозначим через [D] . Обычным образом на [D] определим метрику: где {xm},{ym} есть представители соответственно элементов x ,y e[D]1. Тогда множество Du[D] с метрикой X D есть полное метрическое пространство. Покажем, что элементы из [D] не зависят от выбора континуума А с D при определении метрики A,D. 2.3.4. Лемма. Пусть АІ5А2 есть континуумы из D, удовлетворяющие условиям из 2.3.1. Тогда множества граничных элементов области D, получаемые при помощи метрик X,D (х, у; Aj) и D (х, у; А2), совпадают. Доказательство. Пусть d(Ai) = а}, d(Aj, 3D) = р;, і = 1,2.
Нам достаточно показать, что, например, из фундаментальности {xm} c=D\{A1 и А2} по XD (х, у; А{) следует её фундаментальность по A,D (х, у; А2). Из отношений A,D(x,y;A1),A,D(x,y;A2) 8D(x,y) для точек из D \ {А{ и А 2} следует, что фундаментальность {xm)cD\{A1uA2} по 5D(x,y) влечёт фундаментальность {хт} одновременно в метриках (x.yjA H A,D(x,y;A2). Предположим, что 8D (xm, xk) а 0, Vm, k = 1,2,..., m Ф k, XD(xm,xk;A1)- 0, m,k -oo и все предельные точки последовательности Ш {хт} лежат на 3D. Для любого р=1,2,... существует ш(р) такое, что X,D(xm,xk;A1) l/p при m,k m(p). Пусть l/p min{a,a1,P1,a2,P2}, и пусть множество Fmkp є F(x m, x k; A l), m, k m(p) таково, что d(Fmkp) 11 p. Так как F1Tlkp отделяет точки xm,xk от Aj в D, то условие l/p min{a,a1} даёт, что Fmkp r\8D непусто. Дополнительное условие l/p min{Pl5a2,P2} и условие max d(x, 9D) d(Finkp) 11 p дают, что множества xeFmkp Fmkp пА, и Fmkp пА2 пусты. Покажем, что при всех достаточно больших р выбранные таким образом множества F принадлежат также и F(xm,xk;A2). Если утверждение неверно, то найдётся последовательность натуральных чисел {ps} (1/р! тіп{а,а1,Р1,а2,Р2Ь Ps монотонно возрастая при s - оо) такая, что Fs = Fm k _ F(xm , xk ; A2), s = 1,2,..., и, при этом, Fs n A2 пусто при любом s и d(Fs) 1 /ps - 0, s -» оо. Следовательно, точки xm , xk и множество А 2 лежат в одной компононте множества D\FS; обозначим её оо через Gs. Таким образом, A2cnGs. Выберем точки а1єА1,а2єА2 и s=l соединим их ломаной у с D так, что d(y, 3D) О. Условия Fs є F(xm , xk ; A{), xm ,xk ,A2 лежат в одной компоненте D\FS влекут, что множество 9DGS cFs отделяет точки а.х и а2 в D, s=l,2,... .
Тогда yndDGs непусто при любом s, и пусть bs принадлежит у ndDGs .Условия FsndD непусто, d(Fs) - О, s -» оо дают нам, что d(bs, 3D) - 0, s - оо и мы получаем противоречие с условием d(y, 3D) 0. Лемма доказана. Мы будем часто кратко писать A,D(x,y) вместо A,D(x,y;A), если это не будет вносить путаницы в тексте. Очевидно, любая последовательность точек {хт} из D, фундаментальная по метрике 8D и сходящаяся к точке beSD, будет фундаментальна и по метрике A,D, и, следовательно, образует некоторый элемент из [D] . Таким образом, [D]sc[D] для любой области D. Рассмотрим, как себя ведут представители элементов из [D] \[D]5. 2.3.5. Лемма. Предположим, что элемент х є [D]x не имеет представителей, фундаментальных по метрике 8D. Тогда если {хт}єх , то
Условия отделимости элементов из V0[D]
Доказательство. Пусть 0 а а, А - фиксированный континуум из D, d(A,3D) 0, d(A) 0. Рассмотрим множество VD(xk,a ). По определению функции 5(х, Р(у)), где Р(у) есть конец области D, индуцированный кривой у, ни одна из компонент множества 3DVD(xk,a ) не является сечением области D, принадлежащим концу Р(у). Следовательно, если t достаточно близко к 1, то множества А и y[t,l) лежат в одной и той же компоненте множества D \ VD (xk, a ). То есть множество dD VD (xk, a ) не разделяет А и y[t,l) в D. Условие 5(xk,P(y)) a 0, k=l,2,... даёт, что последовательность точек {хк} не может быть фундаментальной по метрике 8D. В силу леммы 2.3.5, найдутся подпоследовательность {ук} из {хк} и число X О такие, что 8Е)(уі,у:) X, Vi j. Пусть Ро = min{?i/2,a/4}. Тогда Кроме того, не ограничивая общности, будем предполагать, что при каждом к=1,2,... множество 3DVD(yk,p0) не разделяет А и y[t,l) в D, если t достаточно близко к l,t t(k). Обозначим y2k = ик, у2кч = vk, Ок = VD (uk, (30), Мк = VD (vk, 30), к=1,2,.... Можно предполагать, что t2k4 t2k t2k+1, к = 1,2,..., y(t2k) = uk, y(t2k_1) = vk. Пусть yk есть поддуга у[0,1), содержащая vk+1 и соединяющая Ок и Ок+1. В силу предыдущих условий можно считать, что все ук, к=1,2,... оо лежат в одной и той же компоненте множества D\(и Ok). Существует ком k=l понента множества 5DOk, разделяющая точку uk и множества yk, yk_j (см. [17], т. 2, с. 436). Так как множество Ок связно, то нетрудно заметить, что эта компонента единственна и соединяет ук и yk_j в D. Таким образом, пусть ук есть компонента множества 3DOk, соединяющая ук и ук-1 в D. При этом ук делит D точно на две подобласти, одна из которых содержит точку uk, а другая -множества уk и yk_j. Обозначим у = и (yk и ук), V = V(y ). Тогда к=1 и {ук} лежит вне некоторого V o, {V }eV. Пусть VQ єЦ[У], VQ V и у о :[0,1)-»D - образующая элемента VQ. Через ук обозначим компоненту множества Mk+1 nyk, M k+i =VD(vk+1,p0/4), содержащую точку vk+1, d(yk) Ро /4. Покажем, что у 0 содержит и ук, а, следовательно, и последова к=1 тельность точек {vk} . Достаточно показать, что Предположим, что это соотношение неверно.
Существуют точки wkeyk, к=1,2,..., и число 0 )i (30 /4 такие, что построению, ук сук, ук сМк+1,к=1,2,...,иусловия дают, что ук п у т = 0, к,т=1,2,.... Условие означает, что у 0 не содержит последовательности точек {wk}cy . С другой стороны, V{w k}cy 0, 8D(wk,y )-»0, k-»oo. В противном случае мы получим противоречие с условием, что V(yo ) V(y ). Рассмотрим y,y ,y 0,{wk} и VD(wk,i). Пусть wk =y(sk), sk -И, k-+oo. Через % обозначим компоненту множества у п VD(wk,)Li), содержащую точ ку wk. Так как ц (30 / 4, то мы будем иметь, что VD (wk, \х) с: Mk+1 и, следовательно, yk с yk, Vk = 1,2,..., yk n yk 0, wk є yk n yk. Возможны следующие ситуации, по аналогии с доказательством теоремы 3.4.5, часть 2). (а) Существуют {тк} с [0,1), тк -»1, к -» оо и є 0 такие, что при любом к=1,2,... VD (у о (тк), с) п у = 0. Этот случай невозможен, так как противоречит условию, что V(Y O ) V(y ). (б) Найдутся последовательности чисел тк - 1, єк - 0, к -» оо такие, что VD(yo(xk),8k) содержат при каждом к точки y(sk), y(sk) такие, что парамет ры s k sk sk. Тогда множество y[sk,sk] содержит точку wk =y(sk). Следо вательно, и мы получим противоречие с тем, что кривая у удовлетворяет V0 -условию в D. (в) Предположим, последовательность чисел тк - 1, к- со и число є 0 таковы, что VD(Yo(xk),s) при каждом к содержит точку y(s)eyk такую, что s sk, и не содержит точек y(s) с s sk. Повторяя все рассуждения из 3.4.5, 2), случай (в), мы, как и там, придём в противоречие с V0 -условием кривой у. Таким образом, sup 8D(X,YQ ) = ik -»0, k-»oo, а это означает, что все хеГк 00 ук лежат в V(y 0) и, следовательно, можно предполагать, что и ук су 0 . Тем к=1 самым, теорема доказана. 3.5.5. Теорема. Элемент V є V0 [D] отделим в V0 [D] тогда и только тогда, когда lim 5(y(t), Р(у)) = 0, где у: [0,1) - D есть образующая кривая просто t-я го предконца V, Р(у) - конец области D, индуцированный кривой у.
Доказательство. 1) Пусть VeOV0[D] и y:[0,l)- D есть образующая кривая V. В силу теоремы 3.5.4, тогда Hm5(y(t),P(y)) = 0, где Р(у) - простой t- i конец, индуцированный кривой у. В частности, любая последовательность точек {хт } из D, сходящаяся к V, фундаментальна по метрике A,D. Ф 2) Пусть теперь VeV0[D], y:[0,l) D есть образующая кривая V и lim 6(y(t), Р(у)) = 0. Обозначим Р = Р(у). Условие 8(y(t),P) - 0, t - 1 даёт, что t-»i Р содержит цепь {qk} такую, что: (і) (Як} регулярна, d(qk) = sk - 0, к - со; (ii) 5D(qk,qk+1) = 8k- 0, к- со. Это означает, что Р є SE[D]. Выберем по точке Ак є qk, к = 1,2,.... Тогда имеют место следующие соотношения: Соединим в D точки Ak,Ak+1 ломаной ak диаметром d(ak) 2sk, и пусть a = и ak. Очевидно, a сходится к V и является образующей кривой для V. При этом а принадлежит V0 -кривой Г(у) и удовлетворяет V0 -условию в D. Пусть элемент V eV0[D] имеет общую последовательность точек с V, хк - У к)-У (1 к) Y :[0,1)- D есть образующая V. Так как {хк} сходится к V, то у пересекает все qk, к = 1,2,.... Пусть Ак ey nqk, к = 1,2,.... Соединим щ точки Ак,А к+] в D ломаными ак так, что d(ak) 2s k, є к - 0, к-»со, и пусть a = и ак. Так как {А к} сходится к V, то {a k} сходится к V вместе с k=l {A k} в силу условия d(a k)- 0, k-»oo. Следовательно, а сходится к V и является образующей V. Так как {qk} сходится к V, то {А к} сходится к V вместе с {qk} и, следовательно, а сходится к V и является образующей элемента V. Отсюда V = V(a ) = V. Но тогда V = V и V не может иметь общих последовательно W стей точек ни с каким элементом V є V0[D], отличным от V. Теорема доказана.
Однородные относительно элементов из Ф[0] последовательности точек из D и классификация точек носителей элементов из Ф[Б]
В данном параграфе мы продолжим изучение необходимых нам далее общих свойств элементов из Ф[Щ. Одним из основных для нас является вопрос об особенностях сходимости различных последовательностей точек из D к элементам из Ф[Т)], то есть классификация таких последовательностей. Мы здесь введём понятие однородных относительно элементов из Ф[Б] последовательностей точек из D и рассмотрим свойства таких последовательностей. Затем мы рассмотрим точки носителей элементов из V[D] и ФТ)] и выделим различные типы таких точек, как это сделано в теории простых концов областей. Как следствие этих рассмотрений мы получим важный для нас результат: если ф єФ[Б] есть полный брусок, то обязательно найдётся последовательность точек из D, лежащая в ф и сходящаяся одновременно ко всем элементам из [ф]. 5.2.1. Определение. Пусть элемент ф єФ[Б] и последовательность точек {хт} из D сходится к ф при т — со. Через 0[{хт}] будем обозначать совокупность всех элементов из [ф], если это множество непусто, к которым сходится одновременно {хт}, и называть это множество гнездом последовательности точек {хт} в ф. Будем говорить, что {хт} является однородной для ф относительно множества 0 с [ф], если 0 является гнездом для {xm} в ф, и не найдётся никакой подпоследовательности из {хт}, сходящейся к какому-либо элементу из Ч [ф]\ 0. Возникает вопрос о существовании однородных для ф последовательностей точек из D. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема. 5.2.2. Теорема. Из любой последовательности точек {хт} области D, сходящейся к элементу ф єФ[Б], всегда можно выделить однородную для ф относительно некоторого множества 0схі/[ф] подпоследовательность точек (Уш) Доказательство.
В силу теоремы 4.5.2, из {хт} всегда можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу из [ф]. Поэтому можно сразу предполагать, что {хт} сходится к некоторому элементу ф0 є є[Ф]. Очевидно, любая подпоследовательность из {хш} тоже сходится к ф0. Если никакая подпоследовательность из {хт} не сходится ни к какому элементу из [ф]\ф0, то это означает, что {хт} однородна относительно множества 6={ф0},ив этом случае утверждение теоремы доказано. Рассмотрим общий случай. Скажем, что две подпоследовательности точек {ym},{zm} из {хт} эквивалентны, если они сходятся одновременно к одному и тому же подмножеству из Р[ф]. Каждый такой класс эквивалентных подпоследовательностей из {хт} будем обозначать через а, 0(а) - их общее гнездо в [ф], и А[{хт}] - полученное нами факторпространство. Пусть {ym},{zm} есть подпоследовательности из {хт}. Под {ym}u{zm} будем понимать подпоследовательность из {хт}, состоящую из точек {ym} ,{zm} , причём нумерация в {ут} u {zm} индуцирована нумерацией из {хт}. Если теперь {ym},{zm} є а єА[{хт}], то {ym}u{zm} є а . Следовательно, { u{ym}, {ут}єа}єа и эта подпоследовательность из {хт} будет наибольшей в а в следующем смысле: любой представитель {ут} є а является подпоследовательностью построенной нами суммы представителей а. Обозначим её через {ym(a)}. « Введём на множестве А[{хт}] отношение частичного порядка следующим образом: элементы al5a2 еА[{хт}] сравнимы и aj a2, если 9(а1)с0(а2). При этом {УиДа } есть подпоследовательность из {ут(а2)}. Ясно, что элемент а0, {хт} є а0, является наименьшим элементом в А[{хт} ]. Пусть А есть некоторая линейная цепь из А[{хт} ], и пусть Очевидно, 0(A) есть подмножество Р[ф], и оно является наибольшим на множестве { 0(a), а є А}, упорядоченном по включению. Покажем, что найдёт ся элемент а є A[{xm} ] такой, что 0 (a) = 0(A).
Так как А линейно упорядоче но, А ограничено снизу элементом а0, то в А найдётся наименьший элемент ос1э для которого 0(aj) = {n 0(a), а є А}. Далее, так как мощность А не превышает мощности континуума, то в А найдётся конфинальная множеству А счётная последовательность элементов {ak}:a] a2 ... ak .... Пусть {Ут } = {Ут(ак)} к = 1,2,.... Составим последовательность точек и, таким образом, {zm} есть представитель некоторого элемента ос, принадле жащего множеству А[{хт}], и любой элемент из А подчинён a. Следователь но, любая линейная цепь из А[{хт}] имеет верхнюю грань и, в силу леммы Цорна, любой элемент из А[{хт}] подчинён некоторому максимальному элементу из А[{хт}]. Очевидно, при этом любой представитель этого максимального элемента образует последовательность точек из D, однородную для ф относительно его гнезда. Теорема доказана. 5.2.3. Факторизация однородных для ф последовательностей точек из D. Пусть элемент ф єФТ)]. На множестве всех однородных для ф последова тельностей точек из D введём отношение эквивалентности следующим образом. Скажем, что две однородные для ср последовательности точек из D эквивалентны, если их гнёзда из Ч ср] совпадают. Полученное факторпространство обозначим через [ф]: если со є П[ф], то 0(со) есть общее гнездо из Р[ф] любого представителя {хт} из со.
Очевидно, при этом 0(со) является бруском в Ф0[Б]. Пусть со є П[ф]. Тогда любая последовательность точек {хт} из со обладает следующими свойствами: {хт} сходится к элементу ф; {хт} сходится одновременно к любому элементу из 0 (со) с [ф]; такими же свойствами обладает любая подпоследовательность точек из {хт}; не найдётся никакой подпоследовательности точек из {хт}, сходящейся к какому-нибудь элементу из [ф]\ 0 (СО). На множестве 2[ф] введём отношение частичного порядка: скажем, что элементы со1,со2 из П[ф] сравнимы друг с другом и со j со 2, если выполнено следующее соотношение: 0 (coj) с 0 (со2) Пусть со ш" и {гт}єсо". Тогда {zm} сходится одновременно ко всем элементам из 0(со") вместе с любой своей подпоследовательностью. Так как 0(со ) с 0 (со"), то {zm} сходится одновременно также и ко всем элементам из Э(со ) вместе с любой своей подпоследовательностью. Но, по определению однородности для представителей из со , никакая подпоследовательность из {zm} не может служить представителем элемента со , если 0(со")\0(со ) о. С другой стороны, по определению, если {ут} є со и 0(со")\0(со ) о, то не найдётся никакой подпоследовательности из {ут}, сходящейся к какому-либо элементу из 0(со")\0(со ). Таким образом, любые представители {ym}eco , {zm} є со" не имеют ни одной общей подпоследовательности точек из D в случае, если элементы со ,со" различны. В частности, отсюда мы можем сделать заключение о корректности определения отношения частичного порядка на множестве П[Ф].
