Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В большинстве работ, посвященных построению и исследованию разностных схем для решения задач математической физики, в качестве расчетной рассматривается прямоугольная область, покрытая равномерной ортогональной сеткой. Однако, при решении реальных задач чаще всего приходится иметь дело с областями сложной геометрии. Ограничивая выбор лишь равномерными расчетными сетками, записать разностную схему для решения таких задач в общем случае, невозможно. В связи с этим в вычислительной практике широкое распространение получили алгоритмы на неравномерных сетках. Их использование дает ряд преимуществ, однако, в то же время создает ряд объективных сложностей в качественном изучении свойств используемых разностных схем. Тем не менее, существенная экономия вычислительных ресурсов, которую способны дать разностные схемы на неравномерных сетках, заставляют искать пути к их теоретическому изучению.
В диссертационной работе рассмотрены некоторые подходы к построению и изучению разностных схем повышенного порядка аппроксимации на неравномерных пространственных сетках на стандартных шаблонах. В рамках выбранного направления исследований предпринята попытка дальнейшего развития теории разностных схем для решения задач математической физики в областях сложной геометрии и экономичных разностных методов для решения многомерного уравнения теплопроводности.
Связь с крупными научными программами. Исследования проводились в рамках Государственной программы фундаментальных исследований Алгоритм 04 "Вычислительные методы высокого порядка точности на адаптивных сетках", включенной на 1996 — 2000 г.г. в план НИР, выполняемых отделом численного моделирования Института математики Национальной академии наук Беларуси (№ 1997 4680), а также в соответствии с договором с Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований № Ф96 — 173 от 17 февраля 1997 г. по теме "Разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений математической физики".
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является развитие теории разностных схем повышенного порядка аппроксимации на неравномерных по пространству сетках в областях сложной геометрии.
Для достижения этой цели в ходе работы над диссертацией были
поставлены следующие задачи:
построить разностную схему второго порядка локальной аппроксимации для эллиптического уравнения в расчетной области сложной геометрии и получить априорные оценки устойчивости и сходимости разработанных методов; для построения алгоритма использовать равномерное разбиение области и стандартные шаблоны;
для двумерного уравнения теплопроводности в произвольной цилиндрической области построить разностные схемы повышенного порядка аппроксимации;
— построить и обосновать монотонные экономичные разностные
схемы на неравномерных по пространству сетках повышенного порядка
точности для многомерного уравнения теплопроводности.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются разностные схемы на неравномерных пространственных сетках для уравнений математической физики в произвольной расчетной области.
Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы уравнений математической физики, функционального анализа, вычислительной математики. При получении конкретных априорных оценок устойчивости и сходимости применяются общая теория устойчивости операторно-разностных схем, принцип максимума и метод энергетических неравенств.
Научная новизна полученных результатов. Новизна полученных результатов состоит в том, что
построены и обоснованы разностные схемы второго порядка локальной аппроксимации на стандартных шаблонах для решения различных типов уравнений математической физики в произвольной расчетной области;
построены экономичные монотонные разностные схемы второго порядка аппроксимации для многомерного уравнения теплопроводности на неравномерных по пространству сетках и получены априорные оценки в равномерной норме; при исследовании применялся новый принцип максимума для производных.
Практическая значимость полученных результатов. Полученные результаты могут быть использованы при построении и исследовании разностных схем на неравномерных сетках для различных типов задач математической физики в расчетной области сложной формы.
Разработанные вычислительные алгоритмы могут быть успешно применены при численном моделировании процессов, описываемых
уравнениями математической физики, в расчетной области сложной формы, а также для решения многомерных нестационарных уравнений на неравномерных пространственных сетках.
Экономическая значимость. Работа относится к фундаментальным исследованиям, что не позволяет на данном этапе оценить экономическую значимость полученных результатов.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
В настоящей диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:
для уравнения Пуассона в произвольной расчетной области на-стандартных шаблонах построены новые разностные схемы второго порядка локальной аппроксимации и получены априорные оценки устойчивости и сходимости для различных классов областей;
построена разностная стелю второго порядка локальной аппроксимации по пространству для уравнения теплопроводности в произвольной цилиндрической области и получены априорные оценки устойчивости в энергетических нормах;
построены экономичные монотонные разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для многомерного у;ювнения теплопроводности на неравномерных'пространственных сетках и доказана устойчивость предложенных алгоритмов в сеточной норме С.
Личный вклад соискателя. Основные результаты, приведенные в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично. Из совместно опубликованных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично автором, а также результаты, полученные на паритетных началах с соавторами.
Апробация результатов. Основные результаты докладывались:
на I международной конференции "Finite Difference Methods: Theory and Applications"(г. Руссе, Болгария, август 1997г.);
на II международной конференции "Finite Difference Methods: Theory and Applications"(г. Минск, июль 1998г.);
на IV международной конференции "Mathematical Modelling and Analysis"(г. Вильнюс, Литва, июнь 1999г.);
городском семинаре по математическому моделированию.
Опубликоваиность результатов. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Среди них 5 статей в международных и отечественных журналах, 2 статьи в материалах международных конференций, 3 тезиса конференций. Общее количество страниц опубликованных материалов составляет 55 с.
Структура и объем диссертации. В диссертации имеется введение, общая характеристика работы, 4 главы, список использованных источников. Полный объем — 80 с, из них 12 с. занимает список использованных источников (113 наименований). В работе содержится 13 рисунков и 9 таблиц.
