Введение к работе
Актуальность.
Построение алгоритмов повышенной точности является важной задачей вычислительной гидродинамики. Причиной этого являются все более жесткие требования к точности и надежности численного моделирования как со стороны фундаментальных исследований, так со стороны промышленных приложений. Среди многих подходов к построению методов высокого порядка аппроксимации, один из перспективных и конку-рентноспособных основан на компактных конечно-разностных схемах или Падэ-аппрокснмациях, сохраняющих простоту конечных разностей и приближающихся по точности к спектральным методам. Этот класс схем был предложен еще в 20-е годы русским астрономом Нумеровым и активно использовался в алгоритмах вычислительной аэро- гидродинамики, начиная с 60-х годов в России, благодаря работам (Петухов 1966, Толстых 1972), и на Западе, начішая с работ (Collatz 1966, Krause 1971) и многих других. В последнее время компактные схемы стали одним из основных инструментов в задачах прямого моделирования турбулентности после появления работ (Lele, Pomsot,1992, Moin.,1993) по моделированию турбулентных реагирующих течений сжимаемого газа на основе центрированных компактных схем высокого порядка и использовании различных фильтров для подавления схемных осцилляции. Тем не менее методы высокого порядка с использованием компактных схем, как правило, использовались только в случае сравнительно простых геометрий. В работах с использованием компактных схем на произвольных криволинейных расчетных сетках обычно используют методы второго порядка аппроксимации, когда компактные разности используются только для аппроксимации конвективных членов в уравнениях. Этот подход достаточно экономичен и дает определенный выигрыш в точности по сравнению с традиционными методами конечных разностей или конечных объемов, обеспечивая, в частности, намного меньшую схемную диссипацию при сохранении устойчивости, однако наибольший выигрыш по точности может дать лишь использование методов высокого порядка с хорошими свойствами спектрального разрешения. Таким образом, усовершенствование свойств спектрального разрешения и построение точных и надежных компактных схем высокого порядка для задач со сложными геометриями является весьма актуальной и сравнительно мало изученной проблемой.
Цели диссертации.
Разработка, исследование и применение нового класса ориентированных компактных схем высокого порядка аппроксимации, строящихся па основе пршлпша интегрального баланса, для численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости в областях сложной формы. При этом должна обеспечиваться ошибка аппроксимации 0(h ), положительная схемная диссипация, хорошие свойства спектрального разреше-
Typeset by MgX 2Є
ния, дискретная консервативность и геометрическая консервативность, а также совместность дискретных систем при аппроксимации условия несжимаемости.
Поставленные цели подразумевали решение следующих задач:
анализ и оптимизация ошибок аппроксимации и спектральных свойств дискретных операторов в рассматриваемом классе схем;
вывод схем с положительной диссипацией на основе методов расщепления потоков и ориентированных "против потока" операторов интерполяции, основанных на компактных разностях;
обобщение предложенных схем на случай многомерных законов сохранения, основанное на аппроксимации интегральных соотношений на ячейках криволинейной расчетной сетки;
применение разработанных аппроксимаций для дискретизации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости в естественных переменных с использованием неразнесенных расчетных сеток;
разработка методики решения дискретных систем, возникающих при использовании полностью неявных методов интегрирования по времени;
получение численных оценок скорости сходимости дискретных аппроксимации к точному или "наиболее точному" решению на последовательности расчетных сеток на примере ряда классических задач с использованием как декартовых, так и криволинейных неортогональных сеток;
применение разработанной методики для численного моделирования пространственного нестационарного течения силикона в экспериментальной модели химического реактора с активным элементом смешения (импеллер с четырьмя наклонными лопастями) и с четырьмя перегородками при помощи подвижных(скользящих) блочно-структурированных расчетных сеток.
Методы исследования. В работе использованы методы вычислительной математики, дискретного Фурье-анализа и вычислительной линейной алгебры.
Научная новизна. В работе предложен новый класс компактных разностных схем высокого порядка аппроксимации для систем законов сохранения, вывод которых основан на принципе интегральных соотношений. Показано, что при аппроксимации линейных уравнений переноса подобные схемы обладают очень хорошими свойствами спектрального разрешения, т.е. очень малыми фазовыми ошибками и схемной диссипацией, которая мала для физически значимых сеточных гармоник, но эффективно подавляет схемные осцилляции.
Более того, установлено как общее свойство ориентированных компактных схем то, что само введение "ориентации против потока", т.е. схемной диссипации, позволяет резко уменьшить фазовые ошибки компактных схем, что объясняется тем, что компактные схемы являются по существу рациональными операторными аппроксимациями.
В работе удалось обобщить предложенный класс схем на многомерный
случай как аппроксимацию интегральной записи систем законов сохранения по ячейке криволинейной расчетной сеткн. Подобный подход позволил добиться как дискретной консервативности, так и геометрической консервативности (когда равномерное течение является точным решением дискретной системы) при ошибке аппроксимации 0(h4). При этом схемная диссипация имеет порядок 0(h5).
Для аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости использованы неразнесеиные расчетные сетки, при этом для того чтобы избежать возможных осцилляции давления использовались стабилизирующие члены, имеющие порядок 0(Л5), которые естественным образом возникают при использовании расщепления потоков.
Разработана надежная методика решения дискретных систем, возникающих при использовании полностью неявных схем интегрирования по времени, основанная на эффективных итерационных алгоритмах вариационного типа с неполной блочной треугольной факторизацией в качестве переобуславливателя.
Проведен ряд методических расчетов с измельчением сеток на примере таких классических задач как течение в каверне с движущейся крышкой и течение Куэтта, в которых было показано, что предложенные схемы обеспечивают численную сходимость 4-го порядка к точному или " наиболее точному" решению при использовании как декартовых, так и криволинейных неортогональных сеток.
Разработанная методика была успешно применена для численного моделирования пространственного нестационарного ламинарного течения жидкости (силикона) в экспериментальной модели химического реактора с активным элементом смешения (импеллер с четырьмя наклонными лопастями) и с четырьмя перегородками при помощи подвпжных(скользящнх) блочно-структурпрованных расчетных сеток. Сравнение с экспериментом подтвердило высокую точность расчетов даже па очень грубых расчетных сетках.
Практическая ценность работы.
Разработанная методіжа реализована в виде достаточно универсального комплекса программ, позволяющего проводить эффективное и надежное численное моделирование плоских и пространственных течений несжимаемой жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса в областях сложной формы с использованием блочно-структурированных сеток, в том числе "скользящих" сеток для адекватного представления подвижных границ. Это позволяет решать многие практически важные задачи вычислительной гидродинамики, в частности задачи, связанные с моделированием активного смешения в химических реакторах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:
International Workshop on Solution Techniques for Large-Scale CFD problems Montreal, Quebec, Canada, 1994;
International Conference on Parallel Computational Fluid Dynamics, Pasadena, USA, 1995;
5th International Conference on Grid Generation in Computational Field Simulations, Starkville, USA, 1996;
International Symposium on Finite Volumes for Complex Applications, Rouen, France, 1996;
семинар "Методы решения задач математической физики" в Вычислительном центре РАН;
семинар " Численные методы в задачах тепло- и массообыена" в Институте прикладной механики РАН.
По теме диссертации опубликовано шесть работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложений, списка использованной литературы из 45 наименовании, 18 таблиц и 38 рисунков.
