Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Постановка задач и их обобщенные решения. некоторые вспомогательные свещения. 19
I. Основные функциональные пространства 19
2. Краевые задачи для стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости 23
3. Некоторые концепции метода конечных элементов 29
4. Кусочно-полиномиальная аппроксимация 35
ГЛАВА II. Внешняя аппроксимация уравнений навье-стокса 43
Введение 43
I. Понятие внешней аппроксимации. Схема внешней аппроксимации для уравнений Навье-Стокса 43
2. Концепция дискретной сходимости 49
3. Внешняя аппроксимация линейной задачи 55
4. Аппроксимация нелинейной задачи с квадратичным оператором 58
5. Оценки меры внешней аппроксимации для пространства 65
ГЛАВА III. Построение внешних аппроксимаций 69
Введение 69
I. Внешняя аппроксимация в ортогональных криволи нейных координатах 69
2. Вспомогательные результаты 76
3. Аппроксимационные свойства пространств Jt 84
4. Внешняя аппроксимация повышенной точности 92
5. Базис в пространстве квазисоленоидальных функций 100
6. Усиленно-квазисоленоидальный базис НО
ГЛАВА ІV. Метод итераций длн уравнений типа навье-стокса. свойства дискретной задачи. 116
Введение 116
I. Уравнения типа Навье-Стокса 116
2. Операторное уравнение с нелинейностью второго порядка 119
3. Неявные итерации для уравнений типа Навье-Стокса 126
4. Возмущение уравнения с нелинейностью второго по рядка 131
5. Проекционная схема с параметром (абстрактный подход) 134
6. Схема с параметром при условии соленоидальности в среднем 137
Заключение и выводы 141
Литература
- Краевые задачи для стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости
- Внешняя аппроксимация линейной задачи
- Внешняя аппроксимация повышенной точности
- Неявные итерации для уравнений типа Навье-Стокса
Введение к работе
Проблемы динамики вязкой несжимаемой жидкости, представляя большой теоретический и прикладной интерес, требуют развития эффективных численных методов. Известно, что задачи вязкого течения, как правило, могут решаться только приближенно. Предлагаемая работа посвящена вопросам обоснования и реализации для стационарной системы Навье-Стокса проекционного метода, использующего принцип внешней аппроксимации и конечно-элементную технику.
Практическое значение проекционных методов в математической физике ощутимо возросло в связи с возникновением их гибкого и эффективного варианта - метода конечных элементов (МКЭ). Развитие здесь, начиная со статьи Р.Куранта '75', идет в сторону все более широкого понимания идей аппроксимации; появление "нестандартных" схем МКЭ сопровождается более общим взглядом на дискретизацию, отвечающим идеям общей теории приближенных методов (см. /I7»It2,6/^ дта теНденция нашла выражение в концепции внешней аппроксимации краевых задач (Сеа, ' 4'). Плодотворность общего подхода, еще до работы Сеа, выявили труды О.А.Ладыженской (см. ' '), которая выдвинула методику аппроксимации интегрального тождества в качестве универсального источника проекци-онно-разностных схем (ПРС). Разнообразные примеры ПРС рассмотрены в работах Л.А.Оганесяна '4І/, Л.А.Оганесяна, В.Я.Ривкинда и Л.А.Руховца '42', Ю.К.Демьяновича /12-13/, Е.Г.Дьяконова 'I4', В.Г.Корнеева '23/, Г.Й.Марчука ж В.А.Огошкова '35/, А.А.Самарского и В.Б.Андреева '53/, М.М.Карчевского и А.Д.Ляшко '18'; сошлемся еще на книги Стренга и Фикса ' ^, Сьярле ' ^.
Численное исследование течения вязкой жидкости методом конечных элементов осуществляется сейчас для все более широкого круга задач. Первоначально в работах прикладного характера вводились в основном схемы ЖЭ в терминах функции тока (или функции тока и завихренности). Между тем схемы в терминах исходных величин U и (о (скорость и давление жидкости) имеют целый ряд достоинств и весьма перспективны. Одна из характерных трудностей при численном моделировании течений в терминах U , jo - аппроксимация условия неразрывности (соленоидальности U ). Концепция внешней аппроксимации имеет здесь принципиальное значение, так как позволяет использовать проекционный метод с подпространствами функций, которые только квазисоленоидалыш. Теоретическое исследование и практическая реализация этого метода в настоящий момент далеки от завершения и актуальны.
Состояние проблемы. При широком толковании '7>61/ концепция внешней аппроксимации приложима ко многим проекционно-разностным схемам, в том числе весьма нестандартным (ситуации "несовместности элементов", "вариационных нарушений", "искажений функционала" ' ') Для вычислительной гидродинамики интерес к нестандартным вариантам ЖЭ весьма показателен; укажем здесь на статьи В.Я.Ривкинда /47»8/f п.Равьяра /76t84/. Достоинства общего подхода к методам такого типа отчетливо выявляются уже при анализе достаточно характерных модификаций ЖЭ. Поэтому в дальнейшем ограничимся концепцией внешней аппроксимации /94»65/t эффективной для целей данной работы.
Под методом внешней аппроксимации понимается обобщенный проекционный метод, при котором задача в пространстве v аппроксимируется с привлечением более широкого пространства Н э V , а именно, решается проектированием на Vi СН (вообще говоря, у, <р у ). Условия сходимости метода (в частности, требования к \Z ) рассматривались в ряде работ - как для вариационных задач, так и для некоторых операторных уравнений (см. ''4,40,94/^ Эти работы, однако, не касаются уравнений с фредгольмовым оператором или уравнений с "квадратичной нелинейностью" (характерной для системы Навье-Стокса). Вопрос о точности метода достаточно общо не ставился (для линейных эллиптических задач некоторые оценки даны в книге Обэна '40'). Чтобы прояснить проблему напомним, что точность обычного метода Галеркина зависит от качества аппроксимации элементов из V элементами того подпространства, на которое проектируется уравнение. Возникает вопрос, можно ли в ситуации внешней аппроксимации наглядно выразить зависимость точности метода от внешне-аппроксимативных свойств подпространств vfc.
Краевые задачи стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости допускают обобщенную постановку, обладающую свойством эллиптичности (положительной определенности и самосопряженности) линейной части. Именно, скорость U. определяется интегральным тождеством в пространстве соленоидальных функций J^JL (/30,.58^ В рамках МКЭ возникла идея искать приближенное решение U^ среди функций, соленоидальных в среднем *', т.е. в пространстве J^ Ф J ' Это означает, что сохранение массы жидкости предполагается не в любом бесконечно-малом объеме, а в малом элементе к. ( JiCzJl). Обоснование некоторых схем с проектированием на впервые дал Фортен (см. его обзорные статьи /"9"81/). тот же круг вопросов рассматривается для задачи Стокса в /'6»"f'3/^a в нелинейном случае (задача Навье-Стокса) - в /92,84/^ q более общей точки зрения трактует подобные схемы Темам '61/. он Эф_ фективно использует некоторые общие условия сходимости внешних аппроксимаций. Однако широкий круг возникающих здесь проблем внешней аппроксимации остался в ' ' не затронутым; в частности - вопрос об аппроксимации несингулярных решений нелинейной задачи х'. Нет в ' ' и общего анализа точности метода. Сюда примыкает и вопрос об оценке аппроксимативных свойств "квазисоле-ноидальшх" подпространств Jh . В шдроданашке шроко исполь-зуется система криволинейных координат. В связи с этим весьма существенным представляется вопрос о распространении рассматриваемого варианта МКЭ на случай криволинейных координат.
Схемы с проектированием на J/, позволяют находить скорость независимо от давления. Особое достоинство этих схем в том, что они сохраняют Положительную определенность и самосопряженность, свойственные исходной задаче (в пространстве J ). Однако до последнего времени эти достоинства не реализовывались. Темам / ст / ' ох ' объясняет это трудностью построения базиса локальных функций в Jj, . На практике квазисоленоидальное решение (^*А обычно искали в схеме, содержащей также давление (в линейном случае она представляет собой задачу с седловой точкой). При ж^ Для отдельных схем МКЭ этот вопрос изучали Жиро и Равьяр' ', для одной конечно-разносшной схемы - Н.К.Корнеев '22'. этом привлекались "алгоритмы седловой точки" (типа Удзавы-Гур-вица, см/^»"1'), имеющие ряд негативных сторон.
Таким образом, практические возможности схем с проектированием на чД представляются мало изученными. Почти не разрабатывалась методика построения координатных систем локальных квазисоленоидальных функций (базисов в J к). Отдельные примеры таких систем предложили Е.Н.Горовая, В.Я.Ривкинд ' 'на основе кусочно-линейных функций. Привлечение координатных функций с улучшенными аппроксимативными свойствами позволяет ввести схемы повышенного порядка точности. Гриффите / 85~86' дал примеры такого рода функций, используя кусочные полиномы степени не ниже третьей. В то же время усложнение координатных функций ухудшает вычислительные свойства проекционной схемы. Тем самым встает вопрос о поиске наиболее эффективных координатных систем.
В теоретическом плане вопросы итерационного решения дискре-тизированных уравнений Навье-Стокса исследованы лишь частично. Недостаточно выявлена и природа этих вопросов с точки зрения теории операторных уравнений /Г7»25,44/в отдельные результаты для специальных внешне-аппроксимационных ПРО изложены в /84,96, 97Читерации для ПРС, содержащих давление,изучаются в /20')
Каждый шаг итераций требует решения линейной системы с разреженной матрицей. Проблема эффективного решения таких систем имеет обширную литературу; сошлемся на книги А.А.Самарского, Е.С.Николаева '54', Г.И.Марчука /^/, Л.А.Оганесяна, Л.А.Рухов-ца /43у/; см.также ^52/'.
Выше мы ограничились обзором тех вариантов МКЭ, в которых условие несжимаемости (соленоидальности) аппроксимируется в - II ~ среднем. Упомянем, однако, альтернативный способ штрафной аппроксимации /7Of72,9I/^ КОТОрый представляется нам более косвенным. В основе этого способа лежит идея перехода к слабосжимаемой жидкости (Н.Н.Яненко '71'; см.также А»61»28»15»57/). Добавим еще, что обсуждаемые здесь методы представляют интерес и для. неньютоновских жидкостей (см. /7t32/^
Цель работы - развитие и обоснование метода внешней аппроксимации для операторных уравнений, реализация метода на основе конечно-элементной техники применительно к стационарной системе Навье-Стокса, анализ итерационных процессов решения соответствующих проекционно-разностных схем (ПРО).
Методика исследования. Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса представляются в слабой форме (в виде интегральных тождеств) и уже после этого дискретизируются. Вопросы внешней аппроксимации краевых задач трактуются с общей точки зрения теории дискретной сходимости приближенных решений операторных уравнений, развитой Г.М.Вайникко. При исследовании внешней аппроксимации соленоидальных функций квазисоленоидальными привлекается прием введения специального интерполирующего оператора /9»76» ' . Построение координатных систем квазисоленоидальных функций стимулировано статьями Е.Н.Горовой и В.Я.Ривкинда. Для анализа итерационных методов решения дискретизированных задач вводится некоторый вариант принципа мажоранты.
Содержание работы. Рассматривается стационарная система уравнений Навье-Стокса в ограниченной лилшицевой области ( h. = 2 или 3). На границе "3ї ставятся условия прилипания или несколько более общие (на 1^ с (3&2, ставятся условия, актуальные для задач со свободной границей, см. ' '). Выбор именно таких условий (причем однородных) не исчерпывает возможности развиваемого здесь метода внешней аппроксимации.
Обобщенная постановка краевой задачи состоит в отыскании У = У-(Х) такого, что
Здесь-ті выделено из [Wz(l)j условием U\ - О f Ц.-КІ . =о; J выделено из Л условием соленоидальности ( div\L-=s.o ). Форма & ) в (I) - билинейная симметрическая ограниченная и положительно-определенная в Ж. ; форма ( ,, ) - трилинейная ограниченная и такая, что Mtt&W) - ~ 4(и-,ЩУ) Vu&wr У (2)
Задача (I) аппроксимируется в работе следующей дискретной задачей (с параметром об ):
При переходе от (1)к (Ik) использовалось свойство (2). Вообще говоря, считаем 7д ф J. Это расширяет возможности реализации схемы ( іО по сравнению с галеркинской (случайте J), нуждающейся в указании системы координатных соленоидальных функций. Разумеется, пространства \ должны быть в определенном смысле близки к J . Допущения близости оказываются выполненными, если определять Jl на основе условия квазисоленоидаль- - ІЗ - ности ' у» »bj-/. Именно, считая, что область &2. разбита на элементы ), вводим JL так, что uivlX^O V1^ є J/, в следующем смысле:
С^ЩСІх = О 1/^е !PJK.) 1/Кеб . (3) К ( ^т(К. J - множество полиномов в К. степени ^№ ). Основным для данной работы является следующее Определение._!) Пусть Н - гильбертово пространство, - подпространства, Pv , Р - орто-проекторы из Г1 соответственно на v . Vu (fxeloA !) Мерой внешней аппроксимации V посредством у^ на элементе XO-eJi назовем число
II ^11н = И(й-Р*МИ . (4)
2) Пространства у. (h-+o) аппроксимируют у внешним обра-, если \\frvvby\\H-*>0 \/к7єН . т-е. P4^-^Pvw \/ureH.
Охарактеризуем содержание глав диссертации.
Краевые задачи для стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости
Существенный вопрос векторного анализа - описание ортогональных разложений пространств вектор-функций. Излагаемая ниже характеристика пространства 7 =r /L & J основана на результатах О.А.Ладыженской и В.А.Солонникова 3 (см. также » ). Нам понадобится обозначение dx-oL. (1.7) Лемма I.I. Пространство J есть совокупность таких Zg}{, что для каждого из них выполнено тождество [?? J = (Р,divvy) \/ш %. (1.8) с некоторым единственным в = Ф/. 2 є LJQ). Оператор J отображает J на L.fWj и является линейным, непрерывным и непрерывно обратимым. Добавим, что оператор Ас си div непосредственно определяется представлением Рисса функционала b(w)=(p,oUvyy) (ясно, что Ір є Л при р L2№/ ): (p,c ur)=: [А, р,га] УвГ6 . (1.9)
Исходные уравнения. Ниже Ц = U(x) = Ц ІХ Х Х ) ( m = 2 или 3) - стационарное поле скоростей жидкости; р(эс)=:р - плотность жидкости, постоянная для несжимаемой жидкости; if - у(х) - плотность распределения внешних (массовых) сил. Внутренние силы жидкости характеризуются симметричным тензором напряжений Т =(х)(см. ). Мы будем рассматривать несжимаемую ньютоновскую жидкость; свойства вязкости такой жидкости описываются соотношением T=-pI +Z0p Й(Ц.), (2.1) где 0 = const О - кинематический коэффициент вязкости, [э х р(эс)- давление жидкости, 1 - единичный тензор, 3)(У?) -тензор скоростей деформаций: Ч1! al?xj Ьх-J Стационарное движение несжимаемой вязкой жидкости описывается уравнениями (см. /33t45/) (U-V)U = divT + I (2.2) p/cv U - О . (2.3)
Уравнение (2.3) при сделанных допущениях выражает в дифференциальной форме закон сохранения массы, а (2.2) - второй закон Ньютона. Не теряя общности, можно считать р = I. С учетом (2.1) уравнение (2.2) преобразуется в уравнение Навье-Сток-са (см. /33//) -l) AU + (a V)U + ОШб(р = I . (2.4) При линеаризации этого уравнения по Стоксу конвективный член (и-Ъ)и =U U опускается; при линеаризации по Озеену он заменяется на (q.v)U с заданной функцией Q .
Постановка краевой задачи. Описание движения жидкости, занимающей ограниченную область ft , требует задания граничных условий. Условия могут ставиться как на скорость Ц(х), так и на вектор напряжения X =Tf2 (i -f P)) шт на какие-то его составляющие (подобные условия известны и в теории упругости, см. /30,19,87/ g g ш 0(5ОЗНачаем через касательную компоненту t : І = t-(t-/j[)3- ( U - PT внешней нормали к доь) (2.5) Предполагается, что Эй =Т ІУІ , , JtU ЛН/ Г ) = О
Основн _кдаевая,_з дача, рассматриваемая в данной работе, состоит в нахождении поля скоростей U (а также поля давлений р ) из уравнений (2.4), (2.3) и граничных условий: линеаризованный по Стоксу вариант задачи (2.6) - (2.8) рассмотрен В.А.Солонниковым и В.Е.Щадиловым 58/. авторы трактуют условия (2.8) как имитирующие на Г свободную поверхность. Иногда на \х ставят условие Кгг= или соответствующее неоднородное условие (см. /45t63»96/)j похожие условия вво дятся в . Близкая к (2.6) - (2.8) задача с разрывной вязкостью рассмотрена Наконец, в случае Э2 = Г условие (2.8) есть просто условие прилипания на всей границе. Соответствующая задача и ее неоднородный вариант исследованы в монографии О.А.Ладыженской
Внешняя аппроксимация линейной задачи
Пусть однородное уравнение r\.vU - О ) имеет лишь нулевое решение, и пусть \ = \СН аппроксимирует внешним образом. Тогда для уравнение (3.4) имеет единственное решение "U , а уравнение (3.4f, ) с h .sho - единственное решение Ц , причем и— U ( п е X , h - О) с оценкой II U -(lbII (J lTll 4 11 11), (3.5) где z Au -?eV\
Доказательство. Покажем, что выполнены условия теоремы I (2). Имеем /v(Av) = {o] по условию теоремы 3.1; Ауь-фредгольмовы с нулевым индексом; Jfcy.— Еу- ( п— О) в силу (Ш ). Осталось убедиться в регулярной сходимости Bi = Ау — Ь—Ау. Согласно леммам 2.3, 2.4 Л.о г- А-оу устойчиво, Ту—цТу компактно; но тогда их сумма сходится регулярно (теорема 2.1). Ишак, теорема I применима. Чтобы завершить доказательство теоремы (3.1), получим оценку (3.5) на основе (2.7). Согласно (2.7)
Приложения. Непосредственная приложимость теоремы 3.1 к внешним аппроксимациям линеаризованной по Озеену (в частном случае - по Стоксу) задачи для уравнений Навье-Стокса - очевидное следствие замечания I.I (п.1.3). Оценке (3.5) (с Оуу Ом -Р -Рн, ) позже придадим более ясный вид, введя в (3.5) давление ь (вместо ).
Описание уравнения. Пусть ГІ - гильбертово пространство, V=V-cH ,VK = VhcH . Рассмотрим, в соответствии с п.1.3 оператор А вида Здесь самосопряжен и положительно определен; отображение и непрерывно относительно слабой сходимости. Ниже ,. . т.е.таково, что
Ясно, что отображение jv: = 1 . Ji$rv Xі V V VJ обладает теми же свойствами; аналог (4.2) верен с Л - N (это же относится к Jt-yr). Сформулируем лемму о такого рода отображениях (для определенности будем говорить о Д, а не о Лемма 4.1. Оператор вполне непрерывен и имеет во всем пространстве производную Фреше, удовлетворяющую условию Липшица и являющуюся вполне непрерывным оператором. Доказательство. I. Положив G" X:=: V 7 GpXi V/,, Б=Ау ГА0+-Юу; В А ІРі К.)у-И оказываемся в ситуации теоремы II (п. 2.3.3). Действительно, Av , А-\п Дифференцируемы по Фреше соответственно в V , V), . Условие I) теоремы II выполнено согласно (4.12). Условие 2) теоремы II выполнено (с (2.90 вместо (2.9)) в силу леммы 4.1 и замечания 4.1; условие 3) - в силу леммы 2.2 и основного допущения (Шо ) (именно, М «FyJ— Iv» = Ч т к Fyh— Т ) Наконец, условие 4) теоремы II выполнено в силу следствия леммы 4.2. Таким образом, теорема II здесь применима. Это означает, что в некотором шаре уравнение (4.11 ) имеет единственное решение li\ для Ь п0 ( К« зависит от , но не наоборот); при этом U —+U дискретно с оценкой (2.7). Как отмечалось, тем самым Ц — U. .
Результаты 4 непосредственно приложимы к внешним аппроксимациям стационарных уравнений Навье-Стокса (см. п.1.3). Аппроксимация несингулярных решений этих уравнений ранее исследовалась в для одной конечно-разностной схемы и в для некоторых схем МКЭ при специфических предположениях о пространствах J/, . Б этих работах исходят из схем, априорно разрешимых (чего мы не предполагали).
Результаты о сходимости классического метода Галеркина дяя нелинейных уравнений хорошо известны (см. 25 ) и восходят к М.А.Красносельскому /24 ; применительно к уравнениям Навье-Стокса укажем на работу И.И.Воровича и В.И.Юдовича Анализ аппроксимативных свойств 7 составляет первый аспект работы (точная постановка вопроса впервые намечена нами в 64 ). Второй аспект работы ориентирован на практическую реализацию метода: описывается способ построения координатных систем квазисоленоидальных функций с малыми носителями. Внешне-аппроксимативные схемы тем самым воплощаются в конкретные ПРО с характерными для таких схем достоинствами.
Построение Jj, мы проводим на основе конечных элементов в ортогональных криволинейных координатах; постановка задач в таких координатах типична для гидродинамики (/33»62/)f но соответствующие схемы МКЭ почти не разрабатывались.
В работе вводятся кусочно-квадратичные квазисоленоидальные функции, обеспечивающие, как это показывается, второй порядок точности соответствующей ПРО. Ранее такой точности достигали только на основе кусочно-полиномиальных функций третьей (или более высокой) степени
Внешняя аппроксимация повышенной точности
Рассмотрим схему с параметром (П. 1.6) -(11.1.6(, ) при выборе J/, = J% JX д ( =1,2) ив предположении, что исходная задача (II 1.6) имеет несингулярное решение VL . Тогда дискретная задача (II I.6j, ) имеет при к п0 единственное решение соответственно в Ul(bCy8)r)Jj ь CZ-=I) и в Щ(и )Г\ J$ ( = 2) ih0 Ji0(PJ ) . Решения \и = !d U сходятся к U, с оценками Если известно, что it И Г -И ИЖ « в к ( Ц\)Л + ffyj . (3.29) С учетом теоремы 3.2 и рассуждений п.П.5.3 теорема 3.3 является прямой конкретизацией основной теоремы
Аналогично конкретизируется теорема сходимости для линеаризованной задачи. О сходимости по норме «Н/./дч скажем позже.
В этом параграфе используем пространства « только типа 2 (см.п.I.1.3), т.е. степени УУЬ0 = 2. МЫ ограничимся декартовыми прямоугольными элементами: К =Р (Х ). Тем самым ($[\(&о) вполне определено (см. (4.7)). Б) Согласно замечанию 4.1 в (4.5) можно заменить Х на любую линейную функцию от X , в частности, на J)C - До ( Qo- центр Р ). Соответственно ОС / заменится на (х-Оо) (К =1,2) в правой части (4.14), а левая часть не изменится
Проверяется (4.5) явным вычислением ( Ъ0 либо кусочно-квадратична, либо биквадратна в ). Например, если 6 состоит из кусочно-квадратичных функций, то Р- Ц U T;L И Ь0\Ъ - элементная базисная функция, соответствующая середине стороны треугольника. Такая функция есть известный полином второй степени относительно барицентрических координат вершин треугольника ( 9: hо f МЛа/Ла с ДРУГОЙ стороны, если хЛг, Лт , Лда барицентрические координаты вершин треугольника, то согласно7 60/
Сформулированные в 3-4 результаты по аппроксимации непос редственно относятся к специальным криволинейным областям (сос тавленным из криволинейных прямоугольников); в случае "декарто вых" элементов - к области, являющейся объединением обычных прямоугольников. Улучшения аппроксимации области можно добиться, исдользуя вблизи грашщы треугольники (состыкованные с "внутрен ними" прямоугольниками). При этом оценки меры внешней аппрокси мации (и скорости сходимости решений !/, ) остаются в силе (точ ность 0(h ) достигается при использовании известного семиузло вого треугольного элемента / 6 61/)# Другая возможность - ис пользовать элементы того же типа, что и в 4, но не обязатель но прямоугольные (разбиение ё , вообще говоря, не афинно-поро жденное, но при некоторых условиях регулярности Єї, точность аппроксимации остается
Сходимость приближенных решений по норме (( „ J/ чимеет место для описанных в 3-4 схем с порядком погрешности, на единицу большим, чем по норме . Л ; сошлемся на 6 и нашу статью /50 . Анализ здесь основывается на известном приеме Л.А.Огане сяна и Л.А.Руховца, Нише и Обэна. По вопросу об аппроксимации давления, здесь не рассматривае мому, сошлемся на /76,50/ - 100 Базис в пространстве квазисоленоидальных функций
Вводные замечания. В 5-6 мы предлагаем технику построения базиса в пространствах д . Вводимые нами коорди натные функции оптимальны с точки зрения малости носителей.
Пространства Jh вводились на основе ортогональной (вообще говоря, криволинейной) сетки; но предлагаемую методику нетрудно распространить на разбиения более общего вида, включающие треугольные элементы.
Неявные итерации для уравнений типа Навье-Стокса
Ниже мы рассматриваем введенную в п.1.1.3.дискретную задачу в пространстве J c К. , не уточняя (пока что) требований к J . Ищется U,j такое, что Итерационная разрешимость. Форма "К-/у, О трилинейна и ограничена; при этом ясно, что
Теоремы I.I, 1.2, 1.3 здесь непосредственно применимы и дают условия однозначной разрешимости (5.1) и оценки скорости сходимости итераций в зависимости от величины д-ЧЬ . Принципиальным является допущение
Построение дроекционно-разностных схем обычно включает в себя замену некоторых интегралов квадратурами. Это бывает целесообразно даже при возможности точного интегрирования . Применение в галеркинской схеме численного интегрирования можно трактовать как ее возмущение. Наоборот, "искажение" схемы может быть равносильным некоторому специальному численному интегрированию. Ниже мы анализируем влияние такого рода возмущения схемы (5.1) на ее решение, для определенности полагая cL= 0.
Пусть \joV\\ - регулярное семейство конечно-элементных разбиений области Ьи , сГ = - соответствующая кусочно-постоянная аппроксимация произвольной функции О еЬ2\& ) (поэлементное усреднение, см. 1.4.21).
Научные итоги данной работы состоят в следующем.
1. Проведено исследование внешней аппроксимации операторных уравнений. При этом получены наглядные оценки точности приближенных решений, приложимые к ряду краевых задач (как линейных, так и нелинейных). Показана эффективность этих оценок применительно к уравнениям Навье-Стокса.
2. Для стационарных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости введены и исследованы ПРО первого и второго порядка точности, позволяющие находить скорость течения независимо от давления и использовать преимущества положительной определенности и самосопряженности (в пространстве J ), свойственной этим задачам. В предложенных схемах соленоидальные функции внешним образом аппроксимируются на основе конечно-элементной техники.
3. Развита методика построения координатных систем квази-соленоидальных функций с малыми носителями. Разработан метод конечных элементов для решения задач в ортогональных криволинейных координатах. 4. Предложены и обоснованы итерационные процессы решения введенных ПРО. 5. Оценено влияние численного интегрирования в ПРС на их точность. 6. При исследовании нелинейных ПРС установлены некоторые результаты общего характера, относящиеся к принципу мажоранты для операторных уравнений. 7. Результаты численного эксперимента (см. Приложение) свидетельствуют о возможности практического применения разработанных ПРС для решения с высокой точностью задач плоского течения. Отметим, что численное опробирование подтвердило теоретические оценки точности метода. Матрица (Ритца-Галеркина), порождаемая системой координатных функций, обладает типичными достоинствами матриц МКЭ (разреженность, "хорошая обусловленность" в смысле 4с5 ) и, по данным эксперимента, допускает эффективное примвнение итерационных методов для соответствующих систем уравнений.
Предложенные координатные квазисоленоидальные функции могут применяться при численном решении ряда других задач механики сплошной среды /3" 60!?0/. Числеиному испытанию были подвергнуты усиленно-квазисоле-ноидальные координатные функции fpJ (кусочно-квадратичные). Мы ограничились рассмотрением следующих вопросов:8
1. Обеспечивает ли проекционный метод с координатными функциями Ф к ожидаемую высокую точность решения тестовой задачи?
2. Помимо этого мы тлели целью получить некоторые данные "вычислительных качествах" матрицы Ритца-Галеркина (порождаемой системой 1 У 1 ). Конкретнее, проводилось испытание метода верхней релаксации для соответствующей системы уравнений
