Введение к работе
Актуальность работы. В последние десятилетия на практике все чаще приходится сталкиваться с высокотемпературными газодинамическими движениями сред, при которых собственное тепловое излучение вещества оказывает заметное влияние на картину течения. Это взрывы большой мощности, процессы, происходящие в звездных атмо-зферах, вход летательных аппаратов и метеоритов в атмосферы пла-ает, лазерная плазма, течения в плазмотронах, ртутных лампах, [процессы в двигателях с высокой температурой рабочего тела, сильноточные газовые разряды и другие явления, связанные с движением излучающего газа. Перечисленные выше процессы изучает динамика аэлучающего газа.
В настоящее время численное моделирование задач динамики изучающего газа становится исключительно актуальным ввиду высокой іебестоимости экспериментальных установок, сложности экспериментальных измерений при высоких температурах, давлениях, скоростях іротекагаших процессов. Численные расчеты задач динамики излучаю-цего газа позволяют взаимосвязать результаты отдельных экспериментов, обнаружить новые физические явления, предсказать результаты будущих экспериментов.
Успех математического моделирования задач динамики излучаю-цего газа в основном определяется наличием: а) эффективных мето-;ов численного решения данных задач, б) достаточной информации об сравнениях состояния, коэффициентах теплопроводности и, в первую эчередь, коэффициентах поглощения.
В последнее десятилетие сформировалось новое направление вы-шслительной математики - методы решения задач динамики излучаю-іего газа. На основе этих методов были решены сложные нестацио-гарные задачи динамики излучающего газа при плоской, сферической,
цилиндрической и осевой симметриях.
При решении задач динамики излучающего газа исследователи столкнулись с такой трудностью как недостаточность информации о коэффициентах поглощения. В настоящее время имеется лишь несколько таблиц коэффициентов поглощения, причем все они получены на основе теоретических моделей. Этих таблиц явно недостаточно для того, чтобы охватить большой набор веществ в широком диапазоне частот, температур и плотностей. Расчеты коэффициентов поглощения по теоретическим моделям чрезвычайно трудоемки (из-за сложной зависимости от частоты). Коэффициенты поглощения, вычисленные по разным моделям, нередко отличаются на порядок (из-за спектральных линий). Для сложных веществ нет надеады получить по этим моделям подробные таблицы коэффициентов поглощения в широком диапазоне параметров.
Возникает вопрос, нельзя ли из уравнений динамики излучающего газа с "обычными" начально-краевыми условиями, обеспечивающими единственность определения газодинамических функций, и с дополнительным краевым условием - известным из экспериментов выходящим собственным излучением (или его частью) - определять не только газодинамические функции, но и коэффициент поглощения собственного излучения? В диссертации дается положительный ответ на этот вопрос. В дальнейшем задачи динамики излучающего газа с "обычными" начально-краевыми условиями именуются прямыми задачами динамики излучающего газа, а задачи определения коэффициента поглощения собственного излучения и искомых функций прямых задач динамики излучающего газа из решения уравнений динамики излучающего газа с начально-краевыми условиями прямых задач и дополнительным краевым условием - известным выходящим собственным излучением
(или его частью) - именуются обратными задачами динамики излучающего газа.
Предлагаемые и исследуемые в диссертации обратные задачи динамики излучающего газа могут использоваться:
-
для построения таблиц коэффициентов поглощения газом собственного излучения;
-
для восстановления газодинамических функций при неполной информации о коэффициенте поглощения;
-
для экспериментальной проверки теоретических моделей определения коэффициентов поглощения.
Изучение обратных задач динамики излучающего газа представляется перспективным по следующим причинам. І) В последнее время средства диагностики плазмы бурно развиваются. В последнем десятилетии появились приборы, регистрирующие интенсивность выходящего из газа (плазмы) собственного излучения с относительной погрешностью 5+20 % с хорошей разверткой по времени (~ 10 с) и частотам ( $/&0 ^ І03) на нескольких лучах зрения, с хорошей раз-верткой по пространству (~Ю м) и частотам в некоторые моменты времени. 2) Для любой фиксированной частоты коэффициент поглощения является плавной функцией температур и плотностей газа. 3) Если из эксперимента известно все выходящее из газа собственное излучение, то известна и энергия, высвечиваемая газом, что улучшает расчет энергетического баланса в газе. 4) Энерговклад от собственного излучения в уравнения газовой динамики определяется интегралом по частотной и угловым переменным, а это повышает устойчивость определения газодинамических функций. 5) На основе обратных задач динамики излучающего газа газодинамические функции восстанавливаются лучше, чем из решения соответствующих задач га-
зовой динамики без учета собственного излучения. 6) Если при решении задач динамики излучающего газа требуется таблица коэффициента поглощения в области параметров » а она имеется лишь да области 'с С і то обратные задачи динамики излучающего газ; могут быть использованы для построения таблицы коэффициента поглощения в (?\С и одновременного восстановления газодинамических функций. В таком случае термодинамические функции восстанавливаются значительно точнее, чем из решения задач диагностики плазмы.
Цель работы. Диссертация посвящена теоретическому исследованию, разработке численных методов решения и численному решению прямых и обратных задач динамики излучающего газа. Главной целью диссертации является следующее: постановка обратных задач динамики излучающего газа; нахоадение на основе теоретических исследований и численных расчетов среди этих задач "хороших" в смысле информативности, структуры, реализации эксперимента; теоретическое исследование и разработка численных методов решения прямых задач динамики излучающего газа как составной части обратных задач динамики излучающего газа.
Для успешного использования на практике обратных задач динамики излучающего газа необходимы приборы, регистрирующие выходящее из газа собственное излучение с относительной погрешностью 5+20 % с хорошей разверткой по временной, частотной и пространственным переменным хотя бы на одном луче зрения. К сожалению, в настоящее время таких приборов нет. В задачах диагностики плазмы сталь большие массивы измерений выходящего собственного излучения не требуются. В то же время нет сомнений в возможности создания таких приборов. В связи с этим особое значение приобретает чис-
пенное исследование модельных обратных задач динамики излучающего газа.
Научная новизна. Впервые сформулированы постановки обратных задач динамики излучающего газа, проведено разработанными численими методами их исследование на ЭВМ, теоретически изучены предельные режимы движения излучающего газа при одномерной плоской, іферической, цилиндрической, осевой и двумерной плоской геометри-зс, найдены среди этих задач "хорошие" в смысле информативности, труктурЫ', реализации эксперимента.
Впервые сформулированы вариационные принципы относительно олуразности интенсивностей излучения вдоль противоположных на-равлений для уравнения стационарного переноса. На их основе обо-нован ряд краевых задач для системы уравнений Род, -приближения етода сферических гармоник и сформулированы и обоснованы некото-ае краевые задачи для системы уравнений, обобщающей систему равнений ?2м -приближения; обоснованы итерационные процессы по ространственным подобластям для Роде -приближения, ДЛЯ Рд, -эиближений с одинаковочетными номерами в этих подобластях; обо-юваны итерационные процессы по зеркально отраженному излучению и дифференциального уравнения переноса. Выведены граничные ус->вия типа Помранинга к Р^ -приближению метода сферических гар->ник в Я . Предложен ряд новых вариационных принципов относи-ільно интенсивности излучения для уравнения стационарного (не-'ационарного) переноса.
Предложен новый метод конструирования схем расчета стацио-рного (нестационарного) переноса излучения с использованием ва-ационннх принципов относительно полусуммы и полуразности интен-вностей излучения вдоль противоположных направлений для уравне-
ния стационарного переноса. На основе этого метода найдены и обоснованы некоторые новые граничные условия к системе уравнений Ру -приближения, отличные от граничных условий типа В.С.Владимирова.'
Научная и практическая ценность работы. Результаты проведенных исследований позволили заложить новое направление в динамике излучающего газа - обратные задачи динамики излучающего газа. Обратные задачи динамики излучающего газа открывают новые широкие возможности диагностики излучающего газа (плазмы).
Предложенные вариационные принципы для уравнения переноса являются существенным вкладом в теорию переноса излучения. Они позволили сделать значительно более полной теорию метода сферических гармоник. Полученные результаты по вариационным принципам для уравнения переноса, по методу сферических гармоник, по построению схем расчета переноса излучения находят широкое применение не только в задачах динамики излучающего газа, но и в задачах теории переноса нейтронов, в задачах атмосферной оптики.
Сдана в Государственный фонд алгоритмов и программ СССР программа определения коэффициента поглощения по выходящему излучению из движущегося газа. Проведена предложенными методами обратных задач динамики излучающего газа обработка экспериментальных данных.
Апробация работы. Основные положения и результаты докладывались и обсуждались на:
ХНУ научной конференции МФТИ (Москва, ноябрь 1979 г.);
ІУ Всесоюзной конференции "Динамика излучающего газа" (Москва, май 1980 г.);
совместном семинаре подразделений А.А.Абрамова, 0.С.Рыжов*
Ю.Д.Йлыглевского ВЦ АН СССР (Москва, февраль 1982 г., октябрь 1985'г., февраль 1986 г.);
ХХУШ научной конференции МФТИ (секция вычислительной физики, Москва, ноябрь 1982 г.);
7 Всесоюзной конференции "Динамика излучающего газа" (Москва, май 1983 г.);
Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Вычислительные методы и математическое моделирование" (пос. Шушенское Красноярского края, сентябрь 1986 г.);
Всесоюзном семинаре "Численные метода решения уравнения переноса" (Тарту, май 1986 г.);
УІ Всесоюзной конференции "Динамика излучающего газа" (Москва, декабрь 1987 г.);
семинарах подразделений В.Я.Арсенина, Т.А.Гермогеновой Института прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР (Москва, ноябрь-декабрь 1987 г.);
семинарах подразделения Г.М.Вайникко Вычислительного центра ТГУ (Тарту, ноябрь 1987 г.);
семинарах подразделения Ю.Д.Шмыглевского ВЦ АН СССР (Москва, февраль 1980 г., декабрь 1987 г.).
Структура и объем.работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы из 277 наименований, приложения. Объем диссертации до цитированной литературы составляет 288 страниц машинописного текста. В диссертации 17 рисунков, 4 таблицы. Приложение содержит 33 страницы.
Структура обратных задач динамики излучающего газа, единственность их решения, возможность построения регуляризующих алгоритмов во многом зависят от режима, в котором рассматривается пе ренос собственного излучения. Возможны, например, следующие режимы переноса собственного излучения: стационарный перенос, нестационарный перенос, отсутствие рассеяния, изотропное рассеяние, анизотропное рассеяние, приближение объемного высвечивания, приближение лучистой теплопроводности, серый газ, селективно излучающий газ. В диссертации при исследовании обратных задач рассматриваются следующие режимы: стационарный перенос, отсутствие рассеяния, изотропное рассеяние, анизотропное рассеяние, приближение объемного высвечивания.
Структура обратных задач динамики излучающего газа также сильно зависит от геометрии. Например, задачи с цилиндрической симметрией более информативны, чем со сферической и одномерной плоской симметрией. При цилиндрической симметрии возможно восстановление по выходящему излучению энерговклада от собственного излучения в уравнения газовой динамики без привлечения уравнений газовой динамики, в то время как при сферической и одномерной плоской симметриях необходимо совместное решение уравнений газовой динамики и уравнения переноса собственного излучения. Отметим, что на большую информативность задач с цилиндрической симметрией автору указал Ю.Д.Шмыглевский. В диссертации рассматриваются обратные задачи динамики излучающего газа при одномерной плоской, сферической, цилиндрической, осевой и двумерной плоской геометриях, то есть во всех геометриях, представляющих практический интерес.
В настоящее время нет надевды теоретически исследовать обратные задачи динамики излучающего газа. В связи с этим особое значение приобретает теоретическое исследование предельных режимов движения излучающего газа. Наиболее важным из них является режим, когда собственное излучение не влияет на движение излучающего газа. В этом режиме обратные задачи динамики излучающего газа расщепляются на обратные задачи для уравнения переноса собственного излучения и задачи газовой динамики. Важность данного режима обусловлена следующим. Все предложенные численные алгоритмы решения обратных задач динамики излучающего газа представляют комбинацию алгоритмов решения прямых задач динамики излучающего газа (или их модификаций) и алгоритмов решения обратных задач стационарного переноса собственного излучения. Для построения ре-гуляризующих алгоритмов решения обратных задач переноса излучения необходимо их детальное теоретическое исследование.
Обратные задачи переноса собственного излучения, взаимосвязанные с обратными задачами динамики излучающего газа, являются задачами определения интенсивности излучения, коэффициента поглощения и быть может еще каких-то коэффициентов уравнения переноса по падающему и выходящему (или его части) излучениям. При этом практически важными являются задачи в одномерных и двумерных геометриях, ибо возможности современных ЭВМ позволяют решать прямые задачи динамики излучающего газа только в этих геометриях. Эти задачи в одномерных и двумерных геометриях другими авторами не исследовались. В то же время ряд результатов по таким задачам в
Я получен Д.С.Аниконовым. В его работах в рамках уравнения стационарного переноса излучения с изотропным рассеянием и с источниками, не зависящими от коэффициента поглощения, по падающему и
выходящему излучениям определяются интенсивность излучения и коэффициент поглощения (при наличии падающего излучения "щелевидно го типа" и коэффициент рассеяния). В обратных задачах теории переноса излучения, взаимосвязанных с обратными задачами динамики излучающего газа, всегда источники излучения зависят от коэффициента поглощения (являются произведением коэффициента поглощения на функцию Планка).
Отметим, что в работах А.И.Прилепко и его учеников в рамках уравнения нестационарного переноса собственного излучения также изучаются обратные задачи определения коэффициента поглощения. При этом предполагается, что коэффициент поглощения не зависит пс крайней мере от одной пространственной переменной соответствующие геометрий.
В теории переноса излучения интенсивно исследуются обратные задачи определения функции источников, коэффициента рассеяния, индикатрисы рассеяния по падающему и выходящим излучениям или по наборам падающих и выходящих излучений. Эти задачи для уравнения стационарного переноса изучались-Г.И.Марчуком, Д.С.Аниконовым, Ю.Е.Аниконовым, Т.А.Гермогеновой, А.Я.Казаковым, Биркеландом, Оссом, Мак-Кормиком, Санчезом, Ларсеном; для уравнения нестационарного переноса изучались А.И.Прилепко, А.Х.Лмировым, А.Н.Бондаренко, А.Л.Иванковым, С.И.Кабанихиным, Д.Г.Орловским. Такая ситуация сложилась, во-первых, из-за того, что эти обратные задачи имеют приложение в атмосферной оптике, а во-вторых, из-за того, что данные обратные задачи являются, как правило, линейными. Это и определяет их интенсивное и успешное исследование. В то же время обратные задачи определения интенсивности излучения и коэффициента поглощения по падающему и выходящему излучениям являются
- II -
нелинейными.
Вторым важным предельным режимом движения излучающего газа является неподвижный излучающий газ. В этом случае обратные задачи динамики излучающего газа сводятся к обратным задачам для уравнений энергии и переноса собственного излучения. В диссертации представлено несколько теоретических результатов по данным обратным задачам.
Все исследуемые обратные задачи для уравнения переноса собственного излучения являются неустойчивыми к возмущениям входных данных и, следовательно, некорректными по Адамару. В настоящее время методы решения линейных некорректных задач достаточно хорошо разработаны. В то же время рассматриваемые в диссертации обратные задачи переноса собственного излучения являются нелинейными. Они существенно различны по структуре в разных геометриях, при разных режимах переноса собственного излучения. В связи с этим для каждой конкретной задачи ьозникает необходимость разработки регуляризующих алгоритмов. Даже и в тех случаях, когда обратные задачи переноса собственного излучения в качестве составной части содержат линейные некорректные задачи, возникает необходимость разработки для последних новых регуляризующих алгоритмов. Это связано со спецификой рассматриваемых задач.
Исследование обратных задач динамики излучающего газа можно условно разбить на следующие составные части.
-
Исследование свойств решений уравнений газовой динамики.
-
Разработка численных методов решения уравнений газовой динамики.
-
Исследование свойств решений прямых задач теории переноса собственного излучения.
-
Разработка численных методов решения прямых задач для уравнения переноса излучения.
-
Теоретическое исследование обратных задач для уравнения переноса собственного излучения, взаимосвязанных с обратными задачами динамики излучающего газа.
-
Разработка численных методов решения обратных задач для уравнения переноса собственного излучения.
-
Исследование свойств решений прямых задач для уравнений энергии и переноса собственного излучения.
-
Исследование обратных задач для уравнений энергии и переноса собственного излучения.
-
Разработка численных методов решения прямых задач динамики излучающего газа.
10. Разработка численных методов решения обратных задач динамики излучающего газа.
Представленные в диссертации результаты - это исследования по пунктам 3-Ю.
Во введении диссертации описывается современное состояние исследований по кавдому пункту 1-Ю.
В предисловии указывается главная цель работы, дается краткий перечень основных результатов.
Во введении описываются основные направления исследований в динамике излучающего газа и современное состояние этих исследований. Приводятся постановки обратных задач динамики излучающего газа. Обосновывается актуальность, целесообразность, практическая и теоретическая значимость исследований в этом новом направлении.
- ІЗ -
Подробно описываются результаты исследований других авторов, взаимосвязанные с результатами, представленными в диссертации. Описывается содержание работы.
Первая глава посвящена вариационным принципам для уравнения стационарного (нестационарного) переноса излучения. В ней формулируются вариационные принципы относительно у (полуразности ин-тенсивностей излучения вдоль противоположных направлений) для уравнения стационарного переноса, вариационные принципы относительно I (интенсивности излучения) для уравнения стационарного (нестационарного) переноса.
Глава I содержит два параграфа.
В I главы I формулируются вариационные принципы относитель-ю V для уравнения стационарного переноса излучения в при иіедующнх предположениях. Индикатриса рассеяния представила в ви-te ряда по сферическим функциям, функция высвечивания и индикат-іиса рассеяния могут иметь отличные от нулевых как четную, так и іечетную составляющие по угловым переменным. Краевые условия пред-тавляют произвольную комбинацию краевых условий облучения извне : зеркального отражения. Приводятся вариационные принципы относи-ельно v и для важных с точки зрения обратных задач краевых словий, когда на границе пространственной области задана функция !/" или и, (полусумма интенсивноетей излучения вдоль противопо-ожных направлений). Все вариационные функционалы являются суммой оложительно-определенной квадратичной формы и линейного функцио-ала. Вариационные принципы формулируются в рамках следующего эдхода. Сначала для достаточно гладких входных данных к уравнено переноса выводятся вариационные принципы и определяются поня-їя классического и обобщенного решений. Затем рассматриваются
і- 14 -
менее обременительные ограничения на входные данные к уравнению переноса, но такие, чтобы имели место существование и единственность обобщенного решения и совпадение обобщенного решения с кла сическим в случае существования последнего. Указывается, что на основе некоторого принципа двойственности эти результаты могут быть продублированы и в случае вариационных принципов относитель но гс . В таком случае новыми результатами являются лишь вариационные принципы относительно il для произвольной комбинации краевых условий зеркального отражения и облучения извне; а также в случае, когда на границе пространственной области задана функция v или и, .
Вариационный принцип относительно гс для уравнения стацио нарного переноса при нулевом падающем извне излучении и с четныг» по угловым переменным функцией источников и индикатрисой рассеяния предложен В.С.Владимировым. Он обобщен Т.А.Гермогеновой на случай произвольных по угловым переменным функции источников и индикатрисы рассеяния и В.А.Рыковым на случай произвольного пада ющего извне излучения.
В 2 главы I формулируются вариационные принципы относительно I для уравнения стационарного (нестационарного) переноса излучения в d . Они отличны от вариационных принципов Селенга-та, Дэвиса, В.И.Агошкова, Г.И.Марчука. По структуре они близки к вариационным принципам В.И.Агошкова, Г.И.Марчука.
В данном параграфе ограничения на входные данные к уравнеш стационарного переноса аналогичны ограничениям в I. Рассматриваются краевые условия облучения извне, зеркального отражения, а также важные для обратных задач краевые условия, когда на границ пространственной области задана функция I . Уравнение нестацио-
нарного переноса излучения рассматривается в движущейся среде. Указывается корректная постановка начально-краевых условий в таком случае.
Вторая глава посвящена методу сферических гармоник и итерационным процессам по подобластям. В ней приводятся: корректные постановки задач для Р?д/ -приближения на основе вариационного принципа относительно v для уравнения стационарного переноса; обобщение граничных условий Помранинга к Р^ -приближению на
г.
случай переноса излучения в R/ і вывод корректных условий сопряжения для Р^, -приближения с разными одинаковочетными номерами в пространственных подобластях; формулировка и исследование Р^ -приближений метода сферических гармоник на основе вариационных принципов относительно J для уравнения переноса; обоснование итерационных процессов по подобластягл для Р«„ -приближения, для ?ц -приближения с разными одинаковочетными номерами в этих подобластях; обоснование итерационных процессов по зеркально отраженному излучению для дифференциального уравнения стационарного переноса.
Глава 2 состоит из семи параграфов.
В I главы 2 приводятся корректные постановки краевых задач для Рпму -приближения метода сферических гармоник на основе вариационных принципов относительно v для уравнения стационарного переноса излучения в Z . Формулировка вариационных принципов для Рруу -приближения проводится в основном по схеме, предложенной В.С.Владимировым. Отметим только, что соответствующая система уравнений метода Ритца с ортонормированным базисом нечетных сферических функций в общем случае не эквивалентна системе уравнений Р rjj -приближения метода сферических гармоник и пред-
ставляет собой ее обобщение. Исследуется сходимость решений ряда краевых задач для обеих систем уравнений. Зги результаты усиливают результаты В.С.Владимирова, В.Ю.Пляшкевича, У.М.Султангази-на по сходимости метода сферических гармоник. На основе вариационных принципов относительно v выводятся корректные краевые условия к системе уравнений ?^ -приближения, соответствующие краевым условиям облучения извне, зеркального отражения, периодичности, задания на границе пространственной области функции и или гс для исходного уравнения переноса. В случае условий облучения извне они совпадают с граничными условиями, предложенными, но не обоснованными Дэвисом. Корректность соответствующих граничных условий независимо и практически одновременно была обоснована автором, А.Ш.Акишевым, В.Ю.Пляшкевичем, Г.Я.Румянцевым в рамках различных подходов, причем приоритет принадлежит А.Ш.Акишеву. В 2 главы 2 итерационные процессы по подобластям для Р?м+4 -приближения, предложенные и обоснованные В.В.Смеловым, обобщаются на Р^дг -приближение. При этом используются вариационные принципы для Рул/ -приближения из I главы 2. Оценивается скорость сходимости этих итерационных процессов. Указываются более сильные' оценки скорости сходимости относительно гг итерационных процессов по подобластям для уравнения стационарного переноса излучения в R, , предложенных и обоснованных В.В.Смеловым.
В 3 главы 2 формулируются и обосновываются итерационные процессы по зеркально отраженному излучению для дифференциального уравнения стационарного переноса на основе вариационных принципов относительно гс. , у для уравнения переноса из I главы I. Данные итерационные процессы обобщают итерационный процесс по
зеркально отраженному излучению, предложенный (но не обоснованный) Е.В.Шильниковим для дифференциального уравнения стационарного переноса в рамках некоторого варианта метода характеристик. Оценивается скорость сходимости этих итерационных процессов.
В 4 главы 2 излагается метод конструирования на основе вариационного принципа Селенгата (лагранжиана стационарного переноса нейтронов) строго диссипативных минимальных граничных условий облучения извне к Рд, -приближению метода сферических гармоник в ограниченной выпуклой трехмерной пространственной области. Изучается связь этих граничных условий с граничными условиями Псмранин-га к Рд, -приближению для уравнения переноса в плоском случае для слоя и с граничными условиями типа В.С.Владимирова к ?N -прибли-женига в К . Найденные граничные условия совпадают с граничными условиями Помранинга к Po/j+a -приближению в плоском случае для слоя. Показывается, что.граничные условия Помранинга к Р^и -приближению в плоском случае для слоя не являются диссипативными. Приводятся результаты численных расчетов построенных граничных условий типа Помранинга.
В 5 главы 2 на основе вариационных принципов относительно и, V из Ї главы I выводятся условия сопряжения для системы уравнений Pw -приближений с разными одинаковочетными номерами в пространственных подобластях. Показывается, что предложенные ранее условия сопряжения Дэвиса не являются диссипативными. Доказывается, что сконструированные условия сопряжения обеспечивают сидаетризуемость и положительность оператора системы уравнений Р.. -приближений с разными одинаковочетными номерами в простран-
ственных подобластях. Для одних из этих условий сопряжения (условий сопряжения I рода) доказывается сходимость решения системы
уравнениЁ Ру -приближения с разными одинаковочетными номерами в пространственных подобластях к решению исходного уравнения переноса. Для 2и -приближений с произвольными номерами в пространственных подобластях найдены минимальные диссипативные условия сопряжения, сохраняющие наибольшее число моментов u(v) . Корректность при таких условиях сопряжения задач для PN -приближений с разночетными номерами в пространственных .подобластях доказывается лишь в плоском случав для слоя (для азимутально-несимметричных задач).
В 6 главы 2 для 'Р„ -приближений с разными одинаковочетными номерами в пространственных подобластях формулируются и обосновываются итерационные процессы по подобластям, в которых Р^ -приближения имеют разные номера. 5 данном случав условия сопряжения являются минимальными диссипативными и сохраняющими наибольшее число моментов w или v . Оценивается скорость сходимости этих итерационных процессов.
В ? главы 2 формулируются и изучаются /V, -приближения метода сферических гармоник на основе вариационных принципов относительно I для уравнения переноса из 2 главы I. Схема исследования та же, что и в I главы 2 для Р^ -приближения. В частности доказывается, что приближенное решение уравнения стационарного переноса можно строить следующим образом. Приближенную функцию и. полагать равной решению задачи в P^N-i ~пРийлижв~ нии, а приближенную функцию яг - решением задачи в P«N -приближении. Тогда приближенная функция 1= 11 + v будет при
Третья глава посвящена построению и исследованию схем расче-
та переноса излучения при сферической и плоской одномерной симме-триях. Данные схемы являются разностными схемами по пространственной и временной переменным, схемами метода сферических гармоник по угловой переменной и многогруппового моментного метода по частотной переменной. Предлагаемый метод построения схем позволяет построить и обосновать два краевых условия облучения извне к R,-приближению (с фиксированным N ). Одно из них соответствует вариационному принципу относительно и. , другое - V .
Глава 3 состоит из двух параграфов.
В I.I, 1.2 главы 3 излагается метод построения схем расчета нестационарного переноса излучения при сферической симметрии в лагранжевой системе координат (в движущейся среде), являющихся однородными, консервативными и локально аппроксимирующими предельные режимы переноса излучения. Среди некоторого класса энергетических равенств находятся такие, которые при любом значении скорости света 0 < с * о представляют собой сумму положительной квадратичной формы и линейного функционала при нулевых начальных данных. Далее уравнение переноса аппроксимируется сначала по пространственной, а затем по угловой и частотным переменным, так чтобы сеточные аналогии энергетических равенств при 0 < С < оа представляли собой сумму положительной квадратичной формы и линейного функционала при нулевых начальных данных. Аппроксимация по лагранжевой координате конструктивно осуществляется двумя способами на основе вариационных принципов относительно и, , v . Аппроксимация по угловой и частотной переменным проводится методом Бубнова - Галеркина. Разностная аппроксимация по лагранжевой координате такова, что функции гс , v определяются в чередующихся друг с другом узлах сетки. Строится два типа схем, один из
которых лучше относительно гс , другой - у . Метод построения "порождает" граничные условия облучения извне к Р^ -приближению. В случае P?f/+j -приближения граничные условия "лучшие" относительно гс - граничные условия типа В.С.Владимирова, а "лучшие" относительно v - граничные условия В.С.Скобликова; в случае ^ZN -ЧРийпижения граничные условия "лучшие" относительно V -граничные условия типа В.С.Владимирова (граничные условия B.C. Скобликова совпадают с ними в данном случае), а "лучшие" относительно V, - некоторые новые граничные условия к 9^ -приближению. В данной части параграфа входные данные к уравнению переноса и его решение предполагаются достаточно гладкими, обеспечивающими правомочность выкладок.
В I.3 главы 3 особое внимание уделяется выяснению ограничений на входные данные, обеспечивающих требуемую для устойчивости и аппроксимации схем гладкость решения уравнения переноса. Доказывается абсолютная устойчивость и аппроксимация построенных схем, и, следовательно, их сходимость.
В 2 главы 3 результаты I обобщаются на случай переноса излучения в плоском движущемся слое. Существенное отличие от случая сферической симметрии возникает лишь в ограничениях, обеспечивающих требуемую для устойчивости и аппроксимации схем гладкость решения уравнения переноса.
Четвертая глава посвящена постановке и исследованию обратных задач для уравнения стационарного переноса излучения, взаимосвязанных с обратными задачами динамики излучающего газа. Рассматриваются следующие симметрии: одномерная и двумерная плоские, сферическая, цилиндрическая, осевая. Изучаются также обратные задачи для уравнения стационарного переноса излучения и уравнений энер-
гии при цилиндрической и двумерной плоской геометриях.
Глава 4 состоит из семи параграфов.
В I главы 4 рассматриваются обратные задачи определения коэффициента поглощения и интенсивности излучения по падающему и выходящему излучениям из решения уравнения стационарного переноса излучения с анизотропным рассеянием в плоском случае для полупространства и слоя. В случае полупространства доказывается единственность решения "в целом" этих задач при любом из следующих двух предположений: I) рассеяние отсутствует, функция высвечивания не имеет подобластей с постоянной величиной; 2) коэффициент рассеяния является положительным, функция высвечивания не зависит от пространственной координаты, величина интенсивности падающего извне излучения меньше (или больше) величины функции высвечивания, рассеяние является линейным анизотропным. При некоторых менее обременительных ограничениях доказывается единственность решения "в малом" этих задач. В случае слоя доказывается единственность решения "в целом" обратных задач при любом из следующих двух ограничений: I) рассеяние отсутствует, функция высвечивания не имеет подобластей с постоянной величиной, падающее извне излучение удовлетворяет некоторым специальным ограничениям (в частности, может быть нулевым); 2) коэффициент рассеяния является положительным, функция высвечивания равна константе, падающее извне излучение удовлетворяет некоторым специальным ограничениям, рассеяние является линейным анизотропным. При некоторых менее обременительных ограничениях доказывается единственность решения "в малом" этих задач.
В 2 главы 4 рассматривается обратная задача определения коэффициента поглощения, интенсивности излучения и функции высве-
чивания по падающему и выходящему излучениям из уравнения стационарного переноса излучения с изотропным рассеянием в двумерной плоской геометрии. При этом коэффициент поглощения является функцией только пространственных координат, а функция высвечивания зависит и от угла между радиальной координатой и проекцией светового луча на плоскость, ортогональную оси той декартовой координаты, от которой не зависят входные данные к задаче. Единственность решения "в целом" этой задачи доказывается, в частности, при условии, что коэффициент поглощения и функция высвечивания положительны, а величина интенсивности падающего извне излучения равна нулю. Отметим, что в данном случае по функции трех переменных (интенсивности выходящего излучения) восстанавливается функция трех переменных (функция высвечивания) и функция двух переменных (коэффициент поглощения).
В 3 главы 4 рассматриваются обратные задачи определения коэффициента поглощения и интенсивности излучения по падающему и выходящему излучениям из решения уравнения стационарного переноса излучения без рассеяния при сферической и осевой симметриях. При осевой геометрии предполагается известным выходящее излучение в плоскостях, ортогональных оси симметрии, единые обратные задачи при сферической симметрии являются частным случаем осесимметрич-ных задач. В связи с этим изучаются лишь осесиммвтричные задачи. Ццинственность решения "в целом" этих задач доказывается, например, при любом из следующих трех ограничений: 1)функция высвечивания является полояительной кусочно-постоянной невозрастающей (неубывающей) по радиальной координате, величина интенсивности падающего извне излучения на лучах, ортогональных оси симметрии, меньше минимального (больше максимального) значения функции вы-
свечивания на пересечении этих лучей с областью течения; 2) коэффициент поглощения является кусочно-аналитичным по радиальной координате; 3) перенос излучения происходит в режиме, близком к объемному высвечиванию. Указываются необходимые условия существования решений. Исследуется устойчивость решений обратных задач к возмущениям входных данных. Показывается, что эти задачи при одних ограничениях являются некорректными по Адамару, а при других - корректными по Адамару.
В 4 главы 4 рассматривается обратная задачч определения коэффициента поглощения, интенсивности излучения и функции высвечивания по падающему и выходящему излучениям из уравнения стационарного переноса излучения с изотропным рассеянием при цилиндрической симметрии. При этом коэффициент поглощения является функцией только радиальной координаты, а функция высвечивания зависит и от угла между радиальной координатой и проекцией светового луча на плоскость, ортогональную оси симметрии. Единственность решения "в целом" этой задачи доказывается, в частности, при условии, что коэффициент поглощения и функция высвечивания положительны, а интенсивность падающего извне излучения равна нулю. Отметим, что в данном случае по функции двух переменных (интенсивности выходящего излучения) восстанавливаются функция двух переменных (функция высвечивания) и функция одной переменной (коэффициент поглощения). Доказывается, что в общем случае нельзя по падающему и выходящему излучениям однозначно определить коэффициенты поглощения и рассеяния, функцию высвечивания, как функции радиальной координаты, и интенсивность излучения, то есть по функции двух переменных (интенсивности выходящего излучения) определить три функции одной переменной (коэффициенты поглощения и рассеяния, функцию высвечи-
вания). Исследуется также вторая задача - задача определения коэффициента поглощения и функции высвечивания, как функций радиальной координаты, и интенсивности излучения по падающему излучению и части выходящего излучения. Выходящее излучение предполагается известным в плоскости, проходящей через ось симметрии, и в плоскости, ортогональной оси симметрии. Отмечается, что коэффициент поглощения и функцию высвечивания, как функции радиальной координаты, лучше восстанавливать по всему выходящему излучению из первой задачи, чем по его части из второй задачи из-за того, что первая задача имеет единственное решение, а вторая задача может иметь много решений.
В 5 главы 4 обратная задача определения коэффициента поглощения по падающему и выходящему излучениям из уравнения стационарного переноса излучения с анизотропным рассеянием при сферической симметрии приводится к форме, удойной для численного решения.
В 6 главы 4 рассматриваются обратная задача определения коэффициентов поглощения и рассеяния, интенсивности излучения и температуры ионов и электронов и обратная задача определения коэффициента поглощения, интенсивности излучения, температуры ионов и электронов, уравнения состояния для электронов (ионов) по падающему и выходящему излучениям и начальным температурам ионов и электронов из уравнений энергии и стационарного переноса излучения с изотропным рассеянием в двумерной плоской геометрии. При некоторых ограничениях доказывается, что решение этих задач единственно. Изучается также обратная задача определения функции источников, температуры ионов и электронов и интенсивности излучения по падающему излучению, части выходящего излучения и начальным температурам ионов и электронов из уравнений энергии и стали-
онарного переноса излучения в приближении объемного высвечивания при осевой симметрии. Доказывается единственность решения этой задачи.
В 7 главы 4 устанавливается ряд практических выводов о структуре обратных задач восстановления коэффициента поглощения по выходящему собственному излучению из движущегося газа на основе теоретических исследований из 1-6 этой главна
Пятая глава посвящена построению и исследованию (теоретическому и с помощью вычислительного эксперимента) численных методов решения обратных задач для уравнения переноса излучения, численному решению обратных задач динамики излучающего газа.
Глава 5 состоит из четырех параграфов.
В I главы 5 предлагается и обосновывается регуляризующий алгоритм восстановления матрицы коэффициента поглощения газом излучения по выходящему собственному излучению из полупространства в одномерном плоском случае. В качестве составной части алгоритма используется один из алгоритмов Ю.Л.Гапоненко. При обосновании алгоритма существенно используются результаты I главы 4. Приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов обратной задачи динамики излучающего газа в предположении, что собственное излучение не влияет на движение газа. Точность восстановления коэффициента поглощения приемлема для задач динамики излучающего газа.
В 2 главы 5 предлагается и исследуется на основе^ численных расчетов алгоритм определения коэффициента поглощения по'выходяще-му излучению в рамках уравнения стационарного переноса излучения без рассеяния при сферической симметрии. Эта обратная задача является менее трудоемкой, чем аналогичная задача в одномерном плоском случае, ввиду того, что она сводится к нелинейному интеграль-
ному уравнению Вольтерра Ірода. Приводится и обсуждается численное решение обратных задач динамики излучающего газа при существенном влиянии собственного излучения на движение газа.
В 3 главы 5 приводится и обсуждается численное решение обратной задачи динамики излучающего газа в осесимметричном случае при существенном влиянии собственного излучения на движение газа. Прямая задача, связанная с данной обратной задачей - задача о воз действии лазерного импульса.на плоскую алюминиевую преграду. Постановка и алгоритм решения прямой задачи отвечает работе В.И.Зубова, В.М.Кривцова, И.Н.Наумовой, Ю.Д.Шмыглевского. Они любезно предоставили автору программу для ЭВМ решения этой задачи, объяснили ее структуру и оказали необходимую помощь при счете по ней. Алгоритм решения обратной задачи теории переноса излучения являет ся некоторой модификацией алгоритма из 2 главы 5. Постановка данной обратной задачи динамики излучающего газа и структура объединения алгоритма решения прямой задачи динамики излучающего газа и обратной задачи переноса излучения предложены автором.
В 4 главы 5 предлагается и обосновывается метод решения задачи определения коэффициента поглощения и'функции высвечивания по выходящему излучению в рамках уравнения стационарного переноса излучения с изотропным рассеянием при цилиндрической симметрии. На основе решения данной задачи энерговклад от собственного излучения в уравнения газовой динамики определяется без привлечения уравнений газовой динамики. Одной из составных частей регуляризу-ющего алгоритма является алгоритм, разработанный автором совместно с С.А.Яковлевым. Отметим, что при конструировании последнего алгоритма существенно используются результаты Ю.Л.Гапоненко. Приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов модельных за-
дач и-одной задачи с экспериментальными данными по выходящему излучению.
В диссертации имеются приложения А-Д. Приложения А, Б относятся к глазе 3, приложение В - к главе 4, приложения Г, Д - к главе 5.
В приложении А исследуется устойчивость рекуррентного определения элементов матрицы, порожденных произведениями ортогональных полиномов. Данные рекуррентные соотношения предложены А.А.Ча-рахчьяном. Они позволяют существенно уменьшить объем вычислений при интегрировании по частоте уравнения переноса методами момент-ного типа.
В приложении Б предлагается матричный вариант потоковой прогонки и исследуется его вычислительная устойчивость на некотором классе систем линейных алгебраических уравнений. К данному классу уравнений относятся уравнения, возникающие при использовании схем расчета переноса излучения из главы 3 диссертации в Pi -приближении.
В приложении В доказывается существование и единственность
решения системы уравнений энергии в двухтемпературном приближении
3 и нестационарного (стационарного) переноса излучения в R, на
основе метода монотонных последовательностей мажорантных и мино-рантных оценок, предложенного Пао. Конструируемые последовательности мажорантных и минорантных оценок уточняют и обобщают принцип максимума и минимума для системы уравнений энергии (в одно-температурном приближении) и нестационарного переноса излучения, предложенный Е.С.Андреевым, М.Ю.Козмановым, Е.Б.Рачиловым.
В приложении Г предлагаются двухшаговые итерационные регуля-ризационные методы решения линейных некорректных задач в гильбер-
товом пространстве с приближенно заданным оператором и правой частью. Предлагаются и обосновываются принципы невязки для таких методов. Изучается случай априорного задания номера остановки итераций. При исследовании двухшаговых итерационных регуляризационных методов существенно используются результаты А.В.Буледза по многошаговым итерационным методам решения корректных задач и результаты Г.М.Вайникко по одношаговым итерационным регуляризационным методам решения некорректных задач.
В приложении Д представлены таблицы и рисунки к главе 5.
