Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І. Математическая постановка задачи
1. Обзор теоретических и экспериментальных работ 8
п.1. Экспериментальные исследования 8
п.2. Аналитические решения 16
п.З. Численные решения 18
2. Краткая характеристика разностных схем и сеток, применяемых для решения полных уравнений Навье-Стокса 21
3. Общая постановка задачи 25
п.1. Исходные уравнения 25
п.2. Преобразование исходных уравнений 28
ГЛАВА II. Численное решение одномерной задачи
1. Постановка задачи и конечно-разностный метод решения 31
2. Анализ численных результатов 36
ГЛАВА III. Численное решение двумерной задачи
1. Конечно-разностная схема для решения полных уравнений Навье-Стокса 39
2. Анализ устойчивости схемы для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса 46
3. Результаты методических расчетов 55
4. Анализ результатов расчетов двумерной задачи о резонансной трубе 61
Заключение 71
Литература
- Аналитические решения
- Общая постановка задачи
- Анализ численных результатов
- Анализ устойчивости схемы для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса
Введение к работе
При исследовании некоторых проблем аэродинамики возникает ряд задач, связанных с моделированием сложных течений газа внутри закрытых областей. Наряду с натурными экспериментами все большее значение в последние годы приобретает так называемый вычислительный эксперимент, позволяющий рассматривать более широкий диапазон изменений основных определякщих параметров (например, чисел Маха и Рейнольдса). Для ряда внутренних задач газодинамики очень важен учет эффектов вязкости и теплопроводности газа, так как он позволяет проследить изменение трения и тепловых потоков на границах области, а это имеет существенное значение для получения реальной картины течения.
Одной из интересных и актуальных внутренних задач газовой динамики является задача о резонансной трубе.
В начале 50-х годов Спренгер [і] экспериментально обнаружил эффект сильного нагрева газа (до 1000. и выше) в цилиндрической полости,при натекании на нее сверхзвуковой недорасширенной ст$ги воздуха. Устройство, в котором недорасширенная струя возбуждает. ,. колебания рабочего газа в цилиндрической полости, ось которой совпадает с осью струи, называют трубой или резонатором Гартмана -Спренгера (трубой ГС). Исследования движения газа в резонаторе. ГС представляет интерес как в теоретическом аспекте, так и с точки зрения различных практических приложений, например, в области физической химии и в ракетостроении. Так, возможность использования трубы ГС для воспламенения горячих смесей рассмотрена в [13] , для создания плазмы в [l4J , а в работе [25] описывается метод, измерения скорости абсорбции в газах с помощью резонансной трубы.
-4 Из первых экспериментальных работ стало известно, что характерной чертой движения газа в цилиндрической полости является нестационарный ударно-волновой процесс. От колеблющейся поверхности, разделяющей газ струи и рабочий газ в трубе (контактной поверхности), внутрь полости распространяются волны сжатия и разрежения, которые многократно отражаются от дна трубы и взаимодействуют между собой. Точное рассмотрение такого процесса представляет собой сложную задачу, поэтому полного аналитического решения она пока не имеет. В том случае, когда проникновение струи в полость резонатора незначительно, и контактная поверхность колеблется с малыми амплитудами (что соответствует небольшому различию давления торможения струи и давления в резонаторе), с целью моделирования поверхность раздела можно заменить твердым поршнем, колеблющимся у открытого конца трубы с заданной амплитудой. Такая упрощенная модель резонансной трубы позволяет получить ориентировочную оценку ожидаемых эффектов. Задача о резонансной трубе с поршнем ранее рассматривалась численно только в одномерной постановке, причем эффекты вязкости и теплопроводности не учитывались.
Основной целью диссертационной работы является численное исследование более полной математической модели движения газа в резонансной трубе с поршнем, а именно, рассмотрение двумерной постановки задачи с учетом важных реально существующих эффектов вязкости и теплопроводности сжимаемого газа на основе полных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Задача решается конечно-разностным методом по схеме второго порядка точности по пространству и первого порядка точности по времени. .
Первая глава диссертации посвящена математической постановке задачи о резонансной трубе с поршнем. В § I дается обзор аналитических, экспериментальных и численных решений задачи о резонаторе Гартмана-Спренгера и о трубе с поршнем. В § 2 приводится обзор некоторых работ, посвященных разностным методам и сеткам, применяемым для решения полных уравнений Навье-Стокса. Особый интерес представляли методы с использованием различных преобразований координат, позволящих сгущать разностные сетки в области больших градиентов функций. В § 3 описывается двумерная постановка задачи о резонансной трубе с поршнем, колеблющимся по гармоническому закону. Приводится исходная система дифференциальных уравнений для плоского и осесимметрического случаев, описывается преобразование координат, которое позволяет сгущать разностную сетку вблизи границ и делает область интегрирования постоянной, не зависящей от временной координаты. Формируются граничные условия в новых переменных.
Вторая глава посвящена решению одномерной задачи о резонансной трубе с поршнем. В § I описывается постановка и алгоритм численного решения этой задачи. Система дифференциальных уравнений интегрируется конечно-разностным методом с помощью схемы с расщеплением по физическим процессам. Схема имеет второй порядок точности по пространству и первый порядок по времени, а также обладает полной апроксимацией и реализуется скалярными прогонками на каждом дробном шаге. В одномерном случае учитываются только эффекты диссипации в ударных волнах, возникающих и движущихся вдоль трубы. Трением газа о стенки пренебрегаем. Рассчитаны варианты с дорезонансной и резонансной частотой колебаний поршня. Численные результаты сравниваются с экспериментальными данными [18] и с численными расчетами Ґ45] , проведенными для идеального газа в такой же одномерной постановке. Исследование одномерной модели позволило, во-первых, оценить порядки искомых величин, что послужило основой для построения численного алгоритма решения двумерной задачи. Во-вторых, сравнение решения одномерной вязкой задачи с численными расчетами для идеального газа и с последующими расчетами по двумерной модели для вязкого газа дало возможность корректно оценить влияние вязкости и теплопроводности газа, с одной стороны, и, с другой стороны, влияние трения газа о стенки на тепловые процессы в трубе.
В третьей главе излагается методика численного решения двумерной задачи о резонансной трубе с поршнем. В § I приводится трехслойная неявная конечно-разностная схема расщепления по координатам и по физическим процессам, обладающая вторым порядком точности по пространству и первым порядком точности по времени. В § 2 исследуется устойчивость схемы на примере модельной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Доказано, что в этом случае схема условно устойчива, получен критерий устойчивости. В § 3 описываются методические расчеты, которые проводились с целью апробации численного алгоритма. В качестве тестовых примеров были рассмотрены две плоские двумерные задачи: о течение газа в каверне и задача о "тепловой волне". С помощью численных экспериментов выяснялась устойчивость разностной схемы для нелинейного случая, точность численного решения на конечных сетках, а также зависимость численного решения от основных параметров задачи. В § 4 проведен анализ численных результатов двумерной задачи. Рассмотрены дорезонансные, резонансные и послерезонансные частоты колебаний поршня. Изучалась зависимость течения в трубе от теплового режима на границах.
Получены следующие основные результаты вычислительного эксперимента.
1. С приближением частоты колебаний скорости поршня к первой собственной частоте столба газа в трубе заметно возрастают амплитуды колебаний давления и температуры. Формы профилей колебаний давления по t и численные значения амплитуды хорошо согласуются с экспериментальными данными [I8J .
2. Численно подтверждено впервые наблюдавшееся в эксперименте [29J появление ударных волн при частоте возбуждения, вдвое меньшей первой собственной частоты столба газа.
3. В рассмотренном диапазоне определяющихся параметров и при выбранных граничных условиях не обнаружено заметного нагрева дна трубы (примерно за 10000 шагов по времени).
4. Обнаружено, что в исследованном диапазоне частот колебаний поршня нагревается горизонтальная стенка трубы, причем неравномерно: сильнее около поршня и дна трубы. Аналогичные выводы можно сделать из экспериментальных данных [I8J .
5. С увеличением числа Рейнольдса амплитуды колебаний давления и температуры на дне трубы увеличиваются.
Автор выражает большую благодарность научному руководителю Павлову Б.М. за помощь и постоянное внимание к работе.
Аналитические решения
Работа Бетчова [3IJ была одной из первых теоретических работ о резонансной трубе с поршнем. Автором было получено решение для случая N взаимодействующих между собой ударных волн для малых амплитуд колебаний поршня. При частоте, близкой к резонансной, при учете эффекта вязкооти проведена оценка диссипации энергии.
Вилсон и реслер [32 изучали малые возмущения в резонансной трубе, порождаемые сверхзвуковой струей воздуха. Эффекты отражения ударных волн от стенок трубы игнорируется. Получена формула для расчета максимально достижимой температуры внутри т;рубы. Делается вывод, что при создании модели течения внутри трубы необходимо учитывать влияние вязкости и эффект отражения ударных волн от дна трубы.
Работа Шапиро [33 также посвящена теоретическому объяснению роста температуры в такой же резонансной трубе. Полученные формулы показывают, что без тешюотвода температура возрастает от открытого конца трубы к закрытому в несколько раз по сравнению с температурой в струе. Одной из основополагающих теоретических работ является работа Честера [34] , в которой в рамках акустической теории исследовалась_ частота колебаний столба_газа в резонансной трубе с поршнем. Прказа-нр влияние пограничного слоя на частоту колебаний газа в трубе. Найдеш область, частот, при которых решение имеет особенности, то есть возникают ударные волны. Она соответствует области резонансных частот, определенных экспериментально в работе L4J .
В статье Темкина [Зб] аналитически определяется диссипация в ударной волне в случае, пилообразных и стоячих акустических волн, конечной амплитуды, а также диссипация, вызванная нелинейностью. Получены результаты для затухающих плоских, щшшдрических,сферических пилообразных волн. Решения получены в рамках акустических теорий
В работе [Зб] исследуются мало-амплитудные резонансные движения невязкого далитрошого газа в трубе с поршем на одном конце, а другой конец рассматривается закрытым и открытым. Движение газа представляется в виде наложения двух мало-амплитудных простых волн, которые взаимодействуют только на границе. Проблема сводится к решению нелинейного уравнения в инвариантах Римана, в предположении, что решение существует в окрестности линейной стоячей волны.
Джименез 37] теоретически изучал амплитуду и форму волны в резонансной трубе с поршнем на одном конце и различными граничными условиями на другом: от совершенно открытого до полностью закрытого. С использованием методики Честера [34] определяется диапазон частот, при которых наступает резонанс в обоих случаях.
Ротт [38] предложил упрощение акустической теории Томанна и Меркли [I8J в предположении, что диссипативные эффекты существуют только в очень тонком слое по сравнению с радиусом трубы. Ядро течения _считалось невязким. Результаты сравнивались с экспериментами
Работа Келлера [39] основывается на теории Честера [34] .В ней рассматривается особый случай, когда главная функция представляется суммой нескольких обертонов, имеющих одну резонансную частоту. , Проводятся сравнения с экспериментом [їв] по форме кривой давления.
Решению уравнения Честера в невязком случае для частоты колебаний газа в резонансной трубе с поршнем посвящена статья 40] этого же автора. Решение ищется при условии, малого трения в пограничном слое и...при условии интенсивного трения,
Келлер в [4l] излагает акустическую, теорию третьего порядка для закрытой резонансной трубы с поршнем. Решение получается путем корректировки резонансного уравнения Честера второго порядка [34]. В работе [42] определяются резонансные частоты для открытой резонансной трубы с поршнем при малых числах Маха. Делается заключение о том, что большие амплитуды резонансных обертонов приводят к большому диссипативному эффекту. В [43J рассматривается резонансная труба, колебания в которой инициируются струей газа. Исследуются периодические колебания давления вблизи входного поперечного сечения трубы.
В работе аналитически, а также с применением некоторой численной процедуры, изучаются нелинейные колебания идеального газа в трубах. Особое внимание уделено около резонансному режиму, для которого нелинейные эффекты и образование скачков особенно важны. Предложен специальный численный алгоритм для построения скачков, использующий упрощенные уравнения. Авторы считают, что исследование околорезонансных режимов возможно либо в рамках модели, учитывающей отвод тепла через стенки, либо в рамках модели упрощенных уравнений, в которых не учитывается рост энтропии на скачках. В задачах о нелинейных периодических колебаниях такое упрощение уравнений оправдано потому, что колебания малы вблизи и вдали от резонанса. Это обстоятельство гарантирует аккуратность приближенных уравнений. Приведены некоторые результаты расчетов для случаев колебаний скорости и колебаний давления.
Общая постановка задачи
Расчет поля течения вязкого сжимаемого газа при достаточно больших числах Рейнольдса наталкивается на существенные трудности. В областях с характерными размерами I/VJEe)пограничные слои) и 1/е (ударные волны) из-за резкого изменения искомых функций возрастает погрешность аппроксимации конвективных членов уравнений. Для таких течений равномерные сетки и схемы первого порядка точности по пространству могут обеспечить лишь грубое приближение к искомому численному решению.
В работе описывается подход, позволяющий преодолеть в некоторых случаях эти трудности путем растяжения областей с большими градиентами в зависимости от получаемого решения. Метод растягивающихся преобразований позволяет строить разностные схемы третьего порядка точности по пространственным переменным на гладких решениях полной системы уравнений Навье-Стокса. Суть метода состоит в том, что вводится новая ортогональная система координат ($} 1Ъ), связанная с обтекаемой поверхностью и обладающая тем свойством, что в поле течения области пограничных слоев или ударных волн пересекаются линиями $ = СО net. Затем вводятся новые переменные (3, )» где J = J(ЬСУ If, S, IfL), и на функцию накладываются некоторые ограничения. Это преобразование отличается от сгущения узлов расчетной сетки тем, что не требует априорной информации о положении растягиваемых областей в поле течения, и растягивает эти области в соответствии с характером получаемого решения. В статье [49 идея построения разностных схем третьего порядка точности до пространству распространяется на многомерные задачи. Применение схем повышенности точности для числен -22 ного исследования течений вязкого газа описывается в [50J . Рассматривается модельное одномерное уравнение и для него применяется преобразование, сгущающее разностную сетку в процессе решения.
В работе [8IJ предложен ряд неявных схем повышенной точности для систем уравнений. В [82J одна из этих схем (до четвертого порядка в невязкой области и второго порядка в пограничном слое) на трехточечном шаблоне узлов сетки в каждом пространственном направлении применена для расчета стационарного течения вязкого газа около хвостовой части мотогондолы. Применяется некоторое преобразование координат, сгущающее координатные линии к поверхности тела. Абсолютная устойчивость схемы в приближении "замороженных коэффициентов" доказана в J8IJ . В общем нелинейном случае авторы F82J , рассчитывая на достаточных запас устойчивости этой схемы, обращаются к численному эксперименту. В работах /5I-52J рассматриваются уравнения газовой динамики в специальных подвижных координатах. В /53j выводятся уравнения газовой динамики в подвижных координатах в тензорном виде. Применяется вариационный принцип для построения подвижных координат. Для построения подвижных сеток, зависящих от потока, в J54J применяется вариационный принцип, который выбирается исходя из требований, налагаемых на сетку: а) сгущение в области высоких градиентов; б) близость лаг-ранжевым координатам; в) минимальное искажение сетки. Приводится численный расчет одномерного уравнения Хопфа и течения Блазиуса на пластике в специальных координатах.
В работе при помощи вариационного принципа получена система дифференциальных уравнений, решение которых задает отображение двумерной области О в единичный квадрат. Приведены примеры численного построения криволинейных сеток, сгущающихся в области больших градиентов функции, заданной в D .
В монографии [бб] рассматриваются методы построения координатных функций с привлечением конформных и квази-конформных отображений, где задача отыскания физических координат сводится к вариационной задаче минимизации некоторых функционалов.
Некоторый "геометрический" подход к построению сеток в сложных областях, позволяющий сгущение координатных линий, изложен в [57, 58] .
Для численного решения полных уравнений Навье-Стокса в ортогональных координатах предлагается в [59] безусловно устойчивая разностная схема, основанная на расщеплении уравнений по физическим процессам и по пространственным направлениям. Дяя повышения точности расчетов используются подвижные разностные сетки, построенные на основе вариационного принципа.
В работах [60-65J для решения полной системы уравнений Навье-Стокса для вязкого сжимаемого газа предлагается ряд неявных абсолютно устойчивых разностных схем первого и второго порядка точности. Схема первого порядка точности [6IJ модифицируется с целью получения абсолютной аппроксимации исходных уравнений [б2] , а также консервативности (при установлении) для решения многомерных уравнений газовой динамики [63-65J .
В [67J проведено сопоставление неявных схем [бі] и [бб] на двумерной задаче конвекции для сжимаемого газа, которое показало, что по схеме [61J стационарное решение получается в три раза быстрее. Однако, в Гб8] сократить время расчета нестационарного процесса с помощью схемы [бі] не удалось. При расчете нестационарных течений значительно уменьшается эффективность счета из-за необходимости выбирать шаг по времени значительно меньше того, который диктуется саим физическим процессом. Такая ситуация возникает из-за сильного различия характерных скоростей и длин в задаче.
Один из вариантов решения этой проблемы рассматривается в [68j , где предлагается неявная конечно-разностная схема покоординатного расщепления, обладающая свойством полной аппроксимации. При решении нестационарных задач схема дает существенный выигрыш во времени расчета. Реализуется она матричными прогонами. Схема апробирована на решении двумерной нестационарной задачи о конвекции сжимаемого газа в замкнутой области.
Распространен также геометрический подход, при котором сетки строятся с учетом конфигурации расчетной области и априорной информации о решении. Часто используются логарифмические и дробно-рациональные преобразования (см., например, [б8Ц70] ).
Сгущение сеток в нескольких местах вызывает определенные трудности. Построение сгущающих преобразований координат с помощью сплайнов [7IJ позволяет упростить эту процедуру. Другой интересный метод, предложенный в работе [72J , позволяет строить сетки с автоматическим построением преобразования координат в зависимости от получаемого решения.
Анализ численных результатов
В качестве тестового примера был проведен расчет известной задачи о так называемой "тепловой волне" (см., например, [67J ). Постановка этой задачи в одномерном случае такова. Между двумя плоскими вертикальными стенками ( Л=0и Л = Хр ) находится покоящийся газ с параметрами. В момент времени t = 0 одна из стенок мгновенно подогревается до температуры I = I 2 и остается далее такой же, а температура другой стенки поддерживается равной I о. Под воздействием внезапного подогрева в газе распространяются волны давления, температури и скорости, которые после многократных отражений от стенок должны "погаснуть и привести к новому состоянию го коя с линейным распределением температури.
Чтобы от нашей задачи перейти к задаче о тепловой волне, достаточно следующим образом модифицировать граничные условия (2.6)-(2.8):
Тестовые расчеты проводились при ел едущих, значениях параметров: Y = 1.4, г = 0,72, , К..= I, Re = 100, \= 2,3,5 на сетке с J\/ =21, X - 0,01. Во всех случаях наблюдался четкий выход на нужный стационарный режим (рис.1). Численное моделирование,ударно-волновых процессов модели Навье-Стокса выполнено для следующего набора определяющих параметров задачи: Первая.из безразмерных частот . Дд - колебания скорости порпня_ соответствует дорезонансному режиму, вторая - резонансному..Такие значения частот выбраны для удобства сопоставления результатов с данными работ [18, 45) . При R t = 100 решения для обоих режимов можно получить с точностью 2-3% на сетке if = 41. С увеличением числа Рейнольдса растет крутизна ударных фронтов, поэтому при Re= 1000 шаг К выбирался в два раза меньше. В процессе пробных расчетов было также установлено, что при К = 81 временные шаги X = 0.002 и 0.001 обеспечивали физические приемле мые решения, а шаг Т = 0.004 приводил к аномальному результату: с течением времени во всех сечениях = const на резонанс ном режиме давление и,температура падали. Расчеты проводились до t = 50 (см.таблицу 1).
Из таблицы видно, что давление на дне трубы относительно своего_ начального значения при расчете с шагами , f = 0.001 и 0.002 отличаются лишь в третьем знаке после запятой.
На рис. 2 и 3 изображены распределения давления по длине трубы для трех моментов времени при R-Є = 100 и fte= ТО3, Видно, что при более низком числе Рейнольдса фронты движущихся ударных волн размыты сильнее из-за большей диссипации. Для сравнения на рис. 3 (в середине) показано численное решение невязкой задачи [45] .
Рис. 4 демонстрирует колебания_давлений в нескольких сечениях С - COfist в зависимости от времени при дорезонансной частоте ( ; =94.1 гц) и. Re =100, рис.5й-колебания давления относительно начального значения на дне трубы при этих же параметрах.
Баблюдавтся хорошее качественное и количественное соответствие расчетов и эксперимента (по фазе и амплитуде колебаний) [18] . Резонансный режим наступает, когда частота колебаний поршня совпадает с собственной частотой колебаний столба газа.
Эксперименты [l8J свидетельствуют, что резонанс в трубе длиной L = 1,7 м, радиусом R,= 9,5 мм, амплитудой колебаний поршня ь = 13,8 мм, наполненной воздухом наступает при частоте колебаний поршня у 100Гц. Расчеты, проведенные для резонансной трубы таких же размеров, подтвердили наступление резонанса при таких же значениях j . При частоте j = 101 Гц ( Во= 3,134) и временных шагах X = 0.001, 0.002 наблюдалось резкое повышение амплитуд колебаний давления (рис.5 5в сравнении с рис. 5ft)и температуры (рис.йо) на дне трубы (. = 1 ), что соответствует наступлению резонансного режима. На рис. Б приведены графики колебаний давления на дне трубы относительно своего начального значения ( /р.л I ) для чисел Рейнольдса 100 и 1000. Там же штриховой линией - данные эксперимента [18J . При резонансном.. режиме численные и экспериментальные результаты согласуются по фазе, но отличаются по амплитуде. При Fie = 100 отличие составило около 20-25%, при Ft Є = 1000 - около
В результате диссипации энергии в ударных волнах, появляющихся при резонансном режиме, газ в трубе подогревается. Вследствие этого возрастают средние параметры системы (давление и температура), что приводит к изменению частоты колебаний столба газа и система выходит из резонансного режима. Такая тенденция видна из сопоставления графиков температуры на дне,трубы относительно своего начального, значения при R/6= 100 (рис.&$). Кривая I соответствует промежутку времени, когда наблюдается резонансный режим.
Анализ устойчивости схемы для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса
Наличие двух волн в каждом периоде можно объяснить в рас-сматриваемом случае ( Bo lf) тем» что частота колебаний скорости поршня не совпадает с первой собственной частотой столба газа в резонансной трубе. Соударение поршня с падающей на него ударной волной происходит следующим образом. Если волна падает на движущийся ей навстречу поршень, то при отражении от него волна будет усиливаться; при падении волны на отходящий назад поршень (так называемая "мягкая стенка") волна будет ослабляться. Таким образом, на дно трубы за каждый период приходит одна "сильная" ударная волна, другая "слабая". Это и определяет наблюдаемую в эксперименте и повторенную в данном расчете своеобразную волновую картину на дне трубы.
Рассмотрим теперь особенности движения газа в существенно нелинейном случае при резонансной частоте колебания поршня X = 101 Гц (Вр-ТГ), найденной экспериментально в работе [18].
Следует заметить, что в расчетах резонансный режим колебаний столба газа наступает при интегрировании от состояния покоя спустя некоторое время, нужное для подогрева газа в трубе. Вначале монотонно растет амплитуда колебаний основных газодинамических функций, постепенно меняется форма волны - от гармонической до так называемой -1\Г-волны с ярко выраженным ударным фронтом (при учете вязкости он несколько размыт). Примерно к моменту безразмерного времени t = 25-30 стабилизируется профиль волн давления по времени, а амплитуда колебаний на дне трубы достигает максимальных значений.
На рис. 156, заимствованном из статьи l.I8j, рядом с экспериментальной кривой (сплошная линия) для f = 101 Гц нанесена пунк тиром расчетная кривая давления Рд (t) . На дне трубы расчетный профиль давления построен для временного промежутка от t 48 до t= 58. Видно хорошее качественное и количественное согласие расчетной и экспериментальной кривых давления. В таблице б приведены машинные распечатки, содержащие числовые данные, соответст-вующие одному периоду колебаний температуры Т и давления Р на всех границах относительно начальных значений. В таблице введены обозначения: P0R- давление на поршне, ТКР - температура на поршне, PBJV- давление на дне, TR.DJ\T - температура на дне, P0S - давление на оси, TR0S - температура на оси, РМ - давление на верхней горизонтальной стенке, TR.M- температура на верхней стенке. Для построения графиков давления Рд и температуры ІД на дне трубы выбрана точка А , находящаяся одновременно на дне трубы и на оси симметрии, которая хорошо отражает состояние всех расчетных функций именно на дне.
На рис. I5rf в более крупном масштабе (чем на рис. I5t) сопоставляются распределения давления Рд (х) , рассчитанные по одномерной (цифра Z данные из работы [4 7] ) и двумерной (3) моделям; там же изображена экспериментальная кривая (I) из работы
Из сопоставления графиков можно увидеть, что в обоих расчетных случаях наблюдается соответствие периодов колебаний экспериментальному, а расчетные амплитуды отличаются от экспериментальной примерно на 50 % для одномерной модели и на 5 % для двумерной модели. Результаты сравнения одномерных и двумерных численных решений с учетом вязкости и теплопроводности, по-видимому, подтверждают вывод работы [29 J (сделанный на основании физических экспериментов в резонансной трубе) о том, что влияние вязкостных эффектов на амплитуду ударных волн незначительно. Поэтому лучшее соответствие двумерных расчетных амплитуд их экспериментальным значениям можно объяснить именно учетом фактора двумерности в изучаемом нестационарном процессе.
На рис. 16 представлено распределение во времени температуры Тд (t) на дне трубы. Температурный профиль по форме аналогичен профилю Рд VjtУ , но амплитуда колебаний температуры меньше. Заметим, что в экспериментальных работах нигде не приводилось распределение температуры. В расчетах найдено, что в период резонанса кривые Рд (tj и I А [ч остаются симметричными относительно оси времени.
На рис. 17а,б изображены графики давления на оси Рдр для шести моментов времени. Видно, как перемещаются вдоль трубы волны сжатия, разрежения и ударные волны (падающие и отраженные от обоих концов трубы).
На рис. 18, 19 приведены соответственно графики колебаний давления Р"\ъ) в среднем сечении трубы ( = 0.5) на верхней горизонтальной стенке и на оси симметрии. Можно заметить, что на оси колебания более интенсивны, чем на твердой стенке, но качественно они похожи.
На рис. 20 при Грез. = ЗШ Гц изображены распределения P X,tJ в шести точках X на теплоизолированной горизонтальной стенке трубы. Видно, что наиболее интенсивные колебания давления (и температуры) имеют место около поршня и особенно вблизи дна трубы. По-видимому, именно этой особенностью в картине течения можно объяснить относительное охлаждение посредине горизонтальной стенки трубы, о котором можно судить по распределению средней темпе-ратуры Twcp. (за 1000 временных шагов) вдоль горизонтальной стенки (рис. 21), а также по профилям температуры в отдельно взятые моменты времени (рис. 22). В экспериментах [I8J было также замечено охлаждение горизонтальных стенок трубы в их средней части, судя по распределению тепловых потоков.
Для сравнения на рис. 23 приведены распределения температуры вдоль оси для тех же моментов времени, что и на рис. 22.
На рис. 24, 25, 26, 27 представлены распределения давления вдоль всех границ в один и тот же момент времени "t =40.4 при Хр = 1.006. Такое значение координаты поршня означает, что поршень движется вправо (см. рис. 7), и по трубе распространяется волна разрежения. Как изменяется давление на оси при движении поршня влево (Хр= 0.998), можно увидеть на рис. 25 . 0 том, что в данный момент времени ( "t = 41.2) по трубе бежит волна сжатия, можно судить по следующему факту. Около поршня давление стало больше своего начального значения, а около дна оно еще ниже своего начального, поскольку туда еще не пришла волна сжатия.
