Введение к работе
Актуальность темы. Краевые задачи теории'функций комплексного пере-іїшіого, в частное пі задача Дирихле, красная задай Римана-Гильбсрта и зацачд іїахлонной производной, имеют приложения и рааличных областях математн-еского естествознания (гндро- и аэродинамика, теория упругости, элекггроста-ичеекпе, магнитные и тепловые поля и т.д.).'
Краевая задача Римана- Гильберта и задача с наклонней производной по сво-му характеру не укладываются в обычные классические рамки. Имеется в шіду о обстоятельство, что для ши, вообще говоря, не сохраняются известные теоре-(Ы Фрсдгольма. В этом отношении весьма типична краевая задача Римана-Гияь-ертп. Особый интерес к ней объясняется еще тем, что она имеет весьма широкий руг применений в различных вопросах анализа, геометрии и механики. Задача с аклоішой иронзоодной впервые была рассмотрена і\.І1>ишсарс в связи с теори-йпршшвов.
Решение задачи Дирихле для единичного круга описывается лнтеграт.ом Пуссена; краевая -задача Римана-Гильберта для единичного круга приводит к ин-;гральному уравнению Фрсдгольма, содержащему интеграл Шварна, одномер-ый и двумерный іішеїральї типа Коши.
В связи с тем, что точное вьгчислешіс интегралов Пуассона, типа Коши и ! їварца возможно только в исключительных случаях, возникает необходимость в азработке численных методов вычисления интегралов.
В монографиях Г.В.Пыхтеева изложены точные и приближенные методы вы-иилегагя іштсіралов типа Коши специального вида, т.е. интегралов, у которых онтур шггсгрироваїшя есть конкретная канонически кривая, а плотйость имеет собеняоети, характерные для некоторых классов задач математической физики, ля точного и приближенного вычисления интеграла Шварца в вышеупомяну-ых. работах Г.В.Пыхтсева применяются те же методы, что и для вычисления ин-:гралов типа Коши.
Методам еьгшслсїшя сингулярних интегралов ноезяданы шгелы работ .А.Ба?5зева, И.В.Войкова, В.В.Иванова, И.К.Лифгяювз, В.И.Мусасва, Д.Г.Са-їікидзе и их учеников.
В последнее время вес большее значение приобретает направление, связан-зс с построением оптимальных методов вычисления шггсі-ралов и решения ин-ггралышх уравнений.
Исследование оптимальных квадратурных формул началось с работ С.М.Ни-эльского. Различные подходы < построению оптимальных алгоритмов вычисле-ия іштсіралов предложены Н.С.Бахваяовьш. С.М.Ійікольским, В.И.Соболс-ам, Н.П.Корнейчуком, В.И.Крыловым. В.И.Иолоиннкинымпостроены аеимп-угпческн оптіїмальньїе зесовые кубатурные фордгулы. Исследсваїшя по опти-эльным методам вычисления сингулярных шпегратов начаты В.В.Ивановым в І72 году. К. настояшему времеїш И.В.Бойковым построены асігмптотїічески тшмальные по точности и сложности, алгоритмы вычисления одномерных, по-іеїшгулярішх и многомерных сингулярных интегралов на различных классах ункций. При этом остались неисследованными вопросы построения оггпшаль-« по порядку и асимптотически оптимальных алгоритмов вычисления интег-їлов Птассона, типа Коши и Швчрпа.
Приближенным методам решения задачи Римана-Гильберта посвящены ра боты, в которых, в основном, развивались разностные методы. При этом оста лись исисслсдооанаыми вопросы построения и обоснования прямых методо приближенного решсшія краевой задачи Рпмана-Гильберта н шпсіральоог уравнения Фредгольма, содержащего интеграл Шварца, одномерный и двумер нмйіпгтегрпли тела Коши, к. которому сводится краевая задача Римша-Гкльбер та.
Цель роботы. Дііссертаїшоїшая работа посвящена построению оптимальны алгоритмов вычпеляпвтпптегралов Пуассона, Шварца и одномерных интеграло типа Кошп на различных классах функций; построению асимптотически опта мальных алгоритмов вычислетш двумерных шггегралов типа Коши на раалнч ных классах функций; исследованию приближенных методов решения красно задачи Римана-Гши>бсрта и эквивалентного ей интегрального уравнения с дь> мерным плтегралом типа Коши.
Общая методика. При обосновании получеглшх в диссертации результате использовались методы теории приближения функций, теория краевых задач сингулярных интегральных уравнений, методы оптимизации.
Научная новизна. Основные результаты диссертация следующие:
предложены способы постросш'я асіштотнчсски оптимальных квадрату]: них формул для лрнближеішого вычисления интеграла Пуассона, одномерни шпегралог. типа Коши и интеграла Шварца. Построены асимптотически опта малыше алгаригмы на различных классах функций;
предложены способы построения оптимальных по порядку по точности трсбуюнц1Х1ю6олынопзчпслаарифмстцчссп1ХДСй(Лшшалгор1Гпиоввыг!шсле1Ш одномерных тпггегралов типа Коши и интеграла Шварца. Построены охггимаш ные по порядку алгоритмы на различных классах функций;
построены асимптотически оптимальные кубагурные формулы для прийи женного вычисления двумерных интегралов типа Коши;
предложены п обоснованы прпблпжеппые методы решеныя краевой задач Римана-Гильберта и эквивалентного ей интегрального уравнения с двумерны интегралом типа Коши.
Научная и практическая ценность роботи. Научная ценность работы закдк чается в построении оптимальных методов вычисления интегралов Пуассон, типа Коїли л Шварца; прнблпженпых методов решения краевой задачи Римаш Гильберта и интегрального ураппепшг с двумерным интегралом типа Коїяи. Лі лученные результаты могут найти применение при построении оптимальных мі ходов вычислении ишеїралов с различными сингулярностями, а также интегр; лоь, зависящих от параметров.
Практическая ценность работы обусловлена возможностью применения пі лученных результатов к численному рсніеінпопрігкладньтх задач пщро- и азроді намикїг, теории упругости, теории оболочек, при решении которых необходим вычисление ишеїралов Пуассона, типа Коши и Шяарцаи решение кривой зад чи Римана-Гильберга. По предложенным алгоритмам разработан пакет приклд; mix программ.
Лпроба&ря рв&оты. Результати дпесеггпщиоішой работы докладывались и о1 суждалисъ на семинаре-совещании иКу6атурныс формулы и их прилохенш (Ї.Красноярск, 1993); на Международном симпозиуме "Методы дискретных ос< Ссішостсй в задачах математической фшлки" (г.Харьков, 1993,!; на научном с мішаре под руководством проф. Е.В.Захарова п И.К.Лифагюва на ф-тс ВМК
ЛІ У; на научном семинаре под руководством проф. И.К. Лифаиопа в ВВИА їм. І.Е.Жуконского; на итоговых конференциях ПГТУ (г.Псиза, 1991 - 1998 г.)
Луїиїхацин. По результатам диссертации опубликовано 6 работ.
Структура ii объем диссертации. Диссертация состоит т явсдентш, трех тлао, грнлозешш і; списка цитируемой литературы из $8 наименований. Глави рлзде-:ечы на 8 параграфов. Общий объем 136 страниц, включая 7 таблиц.
