Содержание к диссертации
Введение
Глава I Предистория
1.1. Первые приемы численного решения задач,сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. 17
1.2. Результаты Ньютона и Лейбница в области анализа, связанные с решением обыкновенных дифференциальных уравнении . 24
1.3. Некоторые вопросы исчисления конечных разностей, интерполирования и приближенных квадратур в трудах учёных ОТІ в. 35
1.4. Формулы, механических квадратур Лапласа и Гаусса 42
1.5. Формулы Лекандра по вычислению эллиптических интегралов 50
Глава II. Начальный период развития численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений .
2.1. Вопросы приближенного решения дифференциальных уравнений в работах Эйлера. 57
2.2. Развитие метода Эйлера в работах Коши . 66
2.3. Метод Бонда-Энке. 71
2.4. Метод Адамса.. 76
2.5. Метод Дарвина. 83
Глава III Появление и развитие методов Рунге-Кутта
3.1. Метод Рунге. 89
3.2. Метод Хейна. 94
3.3. Метод Кутта. 100
3.4. Вопросы оценки погрешности и сходимости методов Рунге-Кутта . 106
Глава IV. Развитие и совершенствование численных методов решения задачи Коши в пергой половине JJL столетия .
4.1. Метод Стермера. ИЗ
4.2. Методы Коуэлла. 120
4.3. Работы А.Н.Крылова и примыкающие к ним по численному интегрированию дифференциальных уравие -128
4.4.Развитие численных методов в работах ФЛДултона и Е.Ниотрема. 136
4.5. Методы Милна. 143
4.6. Дальнейшее развитие численных методов решения дифференциальных уравнений. 147
4.7. Вопросы оценки,погрешности и сходимости разностных методов. 155
Заключение 167
Литература 176
- Результаты Ньютона и Лейбница в области анализа, связанные с решением обыкновенных дифференциальных уравнении
- Развитие метода Эйлера в работах Коши
- Вопросы оценки погрешности и сходимости методов Рунге-Кутта
- Работы А.Н.Крылова и примыкающие к ним по численному интегрированию дифференциальных уравие
Введение к работе
Обыкновенные дифференциальные уравнения являются важным математическим аппаратом» широко применяемым дяя решения различ -ных научных и технических задач. Особенно эффективными оказа -лись приближенные методы, которые формировались и совершенствовались под непосредственным влиянием практики. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений делятся на аналитичес -кие методы, представлявшие решение в виде аналитического выражения, численные метода, позволящие найти искомое решение лишь в отдельных точках, то есть в виде таблицы, и графические методы. Настоящая работа имеет своей целью исследовать историю развития численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями от их зарождения до машинного периода развития1, то есть, до середины XX века. При этом рас -сматриваются методы, основанные на использовании квадратурных форцул, содержащих конечные разности, а также методы типа Тунте-Кутта. Метод степенных рядов приводится в той мере, в какой он необходим в связи с использованием его в качестве вспомогательного способа для некоторых численных методов.
Как возникли численные методы, какие главные этапы в своем развитии они прошли, какими стали к середине XX в - вот глав -ные вопросы, поставленные в работе. Более чем двухсотлетняя" история развития методов дает богатый фактический материал для исследования общих закономерностей их развития. Модификация методов, отражающая диалектичность развития, не является пос
ледовательным развитием идей. Идеи преемственности хотя и имеют место, но не являются определяющими. Решающую роль играет эффективность и простота алгоритма метода» приводящего к решению с наименьшей затратой труда с учетом имеющихся вычислительных средств. Как бы ни была хороша идея метода» она не получит развития, если ко времени ее появления не созданы материальные предпосылки - соответствующая вычислительная техника. Так случилось , например, с популярным ныне методом Адамса, до сих пор еще мало известным методом Дарвина. По мере развития вычислительной техники появляются новые методы из ранее забытых идей» как потом выявля -ется при внимательном их рассмотрении.
Истоки возникновения численных методов и дальнейшее их разви -тие связаны с важными прикладными задачами механики, астрономии, баллистики, физики и других наук.
Идея численного решения дифференциальных уравнений 1-го порядка с начальными условиями была впервые выдвинута Эйлером в 1768 г. в связи с исследованиями движения Луны. Необходимость в численном интегрировании назревала постепенно в различных обяастях естествознания по мере усложнения изучаемых задач. В астрономии вопрос о численном интегрировании возник уже к середине ХУШ столетия в связи с изучением возмущенного движения планет, приводящего к задаче трех тел, примерно к этому времени и в баллистике - в связи с вычислением траекторий снарядов. Б физике, астрофизике, технике с проблемой численного интегрирования дифференциальных уравнений столкнулись лишь к середине XIX - началу XX в.
Характерной особенностью развития численных методов является то, что в их разработке принимали участие не только профессио -налы-математики, но и ученые в области прикладных наук, прежде всего, небесной механики, баллистики. Ряд методов и существенный
прогресе в их применении связан с решением отдельных, конкретных проблем. Например, метод Дцамса вошел в современную математику как общий метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка и их систем. Он 6ЕШ изобретен астрономом Д.Дцамсом в связи с решением одной задачи из области физики , предложенной ему профессором прикладной математики Башфортом. Метода интегрирования систем дифференциальных уравнений П-го порядка специального вида были предложены математиком К.Стермером при создании им теории полярных сияний и астрономом Коуэллом при исследовании движения кометы Галлея. Метод интегрирования уравнений П-го порядка общего вида разработан инженером В.В.Мечниковым в связи с решением некоторых задач баллистики.
Вместе с тем астрономам, физикам, инженерам, применяющим математику на практике, важно было получить простые расчетные фор-мулы, более или менее обоснованные. Вопросы, связанные с иссле -дованием сходимости, оценками погрешности, обобщением методов оставались в стороне. Этим и объясняется тот факт, что опыт, накопленный в одвой области знаний, не использовался в других об -ластях при решении задач, математически тождественных. Одни и те же методы переоткрывались в различных областях знаний по мере необходимости их использования. Богатейшая вычислительная культура послеэйлеровского периода развития методов до конца XIX века в связи с этим в известной степени была утрачена математикой. Только в первые годы XX века благодаря работам К.іунге была от -крыта дорога к созданию общей теории методов типа І нге-Кутта.
Разностные методы имеют более раннюю историю развития и широкую практику приложений при решении задач небесной механики, баллистики, физики. Однако развитие общей теории разностных методов относится лишь к первой четверти XX века, при этом осново
полагающими явились работы Я.Тамаркина f240](l923) и Н.Н.Боголюбова СЕ0](І927) Развитие методов численного решения задачи Кош для обыкновенных дифференциальных уравнений шло по пути использования и приспособления известных классических квадратных формул.Комбинирование квадратных формул с итерациями приводит к многообразию численных методов.
К разностным методам относятся также их видоизменения-"мето-ды квадратур",-использующие суммирование значений приближенного решения на отдельных интервалах. Они нашли широкое применение в небесной механике,где интегрирование производится на больших интервалах и основаны на использовании квадратных формул, называемых астрономами "формулами механических квадратур" за удобство их применения в этой области знаний.
История развития численных методов решения задачи Кошк для обыкновенных дифференциальных уравнений изучена еще недостаточно. Богатый конкретный материал,связь методов с задачами науки и техники.особенности и своеобразие развития численных методов решения дифференциальных уравнении не получили еще достаточного освещения Е отечественной,а также и в зарубежной литературе.
Сре и сочинений,в которых в той или иной степени освещается история приближенных методов решения дифференциальных уравнений,в том числе численных,можно назвать:
а) общие руководства по истории математики(23,33,34,36,94,120
б) учебники по математическому анализу методам интегрирования дифференциальных уравнений(67,92,101,143,190,196,223,224,231);
в) монографии и учебники по численным методам анализа(8,12,
13,24,28,51,57,59,62,80,95,102,115,116,119,146,152,183,208,213,
214,229,244);
а также небесной механике,содержащие краткие исторические
справки(32,106,139,141,151,155,200,206,215221,242)
г) исследования историко-математического характера по исто - рии вычислительной математики и по теории дифференциальных уравнений, затрагивающие некоторые вопросы численных методов29,189,222,
д) энциклопедии [179,180.I98D и справочники по дифференци - альным уравнениям f35] В общих руководствах по истории математики даны краткие ха -рактеристики того или иного периода развития теории дифференци -альяых уравнений» исследования научного творчества того или ино -го ученого. Среди сообщаемых сведений есть и относящиеся К ЧИС -ленным методам решения дифференциальных уравнений . Однако в названных руководствах нашли отражение достижения математики по рассматриваемому вопросу, связанные лишь с начальным периодом развития численных методов. Одна из причин этого явления заключается, по-видимоцу, в том, что исследования численных методов решения дифференциальных уравнений в середине XIX - начале И века почти не входили в область научных интересов ведіущих математиков.
Из работ, посвященных жизни и научному творчеству отдельных ученых, наибольшее количество относится к Л.Эйлеру и А.Н.Крылову, Кроме чисто биографического материала, здесь содержится анализ исследований этих згченых по различным разделам математики, в том числе и по численным методам решения дифференциальных уравнений. Следует отметить, прежде всего, работы Н.И.Симонова[98,99,100J » в которых, в частности, освещается классический метод ломаных и его усовершенствования. Однако здесь не отмечено усовершенствование этого метода Коши, в котором впервые используется зависимость правой части уравнения U = J.fXjU) от самой неизвестной функции $№]. Пользуясь этим, Коши построил итерационный алгоритм - метод Эйлера с итерациями.
Работы, касающиеся научного творчества А.Н.Крылова, содержат
конечные результаты, полученные им по усовершенствованшо метода Ддамса. В то же время в литературе не отмечено, как этот метод применялся Д.Адамсом, а также дальнейшее развитие и совершен -ствование метода в работах Е.Нистрема, Ф.Цултояа, В.Милна, В.В.Мечникова, Я.Тамаркияа, Р.Мизеса. Г.Шульца и других. В ряде работ [119,142,189J этот метод называется методом Адамса-Башфор-та, хотя в предисловии к работе [I40J Башфорт отметил, что метод разработан Адамсом. Монография Голдштайна \jS9} ,освещащая историю численного анализа в ХУТ-ХІХ вв., дает краткий обзор методов Эйлера, І нте, Хейна, Кутта, Адамса и не затрагивает вопросов дальнейшего их развития.
Более полное и подробное освещение фактического материала по численным методам дано в специальных монографиях, статьях и учебных пособиях по рассматриваемому вопросу. Однако наличие этих работ не решает проблему изученности истории развития численных методов решения дифференциальных уравнений. Как правило, в указанных работах метода рассматриваются в современном изложении, без историко-научного анализа. Отдельные исторические эк -скурсы излагаются во введениях, мелким шрифтом в основном тексте, подстрочных примечаниях.
Много ценных сведений по интересущеаду нас предмету содер -жится в энциклопедических обзорах и справочниках. Тем не менее, приводимые ССЕЯКИ на оригинальные работы служат лишь отправным пунктом для дальнейших исследований. Результаты исследований, проведенные в первые десятилетия XX века, освещены в обзорах сборников [63,64,65,66 J Такова общая характеристика существуицей литературы по истории численных методов решения дифференциальных уравнений.
Несмотря на ценность и важность исторических сведений, содержащихся в различных источниках, они не в состоянии дать
полной и ясной исторической картины вопроса в силу их разбросанности, краткости, не систематичности. К тому же, как правило, сведения такого рода дают информацию о конечных результатах, полученных тем или иным ученым, ж не раскрывают вопроса, как получены эти результаты. А ,как известно, последний вопрос с точки зрения истории развития науки имеет принципиальное значение. Особенно бедна литература по истории численных методов XIX века. Нет историко-математических исследований, относящихся к численным методам астрономов Бонда, Энке, Дарвина, положивших начало при -менению и развитию итерационных алгоритмов при решении дифференциальных уравнений и предшествовавших аналитическим итерациям Пикара.
Следует отметить, что до сих пор нет работ, в которых освещалась бы роль отечественных ученых в развитии и совершенствовании численных методов решения дифференциальных уравнений. В ре -зультате ряд методов, разработанных, например, В»В.Мечниковым, В.П.Ветчинкиным, Ш.Микеладзе, связывают с именами других ученых, пришедших к аналогичным результатам поздаее.
Несмотря на известную законченность теории численных мето -дов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных урав -нений, проблема исследования истории этих методов в настоящее время является весьма актуальной. Вопросы истории развития методов приближенного решения уравнений давно привлекали и привлекают внимание как историков математики, так и математиков. И это понятно, так как с историей развития приближенных методов связана важная часть развития математики - история приложения математики на практике. Машинизация математических расчетов делает необходимым ориентировку численных методов на применение этих средств и открывает новые возможности их усовершенствования. С
учетом сказанного очевидна актуальность работы.
Все изложенное выше определило основное содержание и цель работы: дать систематический обзор развития численных методов решения задачи Коши от их зарождения до машинного периода развития, для чего
1) проанализировать и обобщить историко-датематический материал, относящийся к предпосылкам зарождения- численных методов ;
2) проследить историю квадратурных формул, лежащих в основе численных методов рассматриваемых типов ;
3) проанализировать возникновение и развитие:
а) разностных методов, в том числе, "методов квадратур" ;
б) методов Рунге, Хейна, Кутта ;
4) выявить роль ученых и отдельных школ, в том числе оте - чественных, внесших вклад в формирование и развитие методов.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и вписка литературы.
Б первой главе рассматривается эмбриональный период развития численных методов, охватывающий их предиоторшо, последним этапом которого явилось создание теории дифференциальных уравнений. Развитие математики в ОТІ-ШІ вв. происходило под непосредственным влиянием механики и во взаимосвязях с последней. Идея приближенных квадратур при помощи интерполяционных многочленов была вы -сказана Грегори и Ньютоном в МП. веке. Эйлер, Лаплас, Гаусс и Лежандр дали конкретные новые методы и форьдулы, которые впоследствии были использованы при численном решении дифференциальных уравнений. История квадратурных форафгл систематически еще никем не рассматривалась и является одним из существенных результатов диссертации.
Во второй главе рассматривается начальный период развития
численных методов, открывающийся работой Эйлера 1768 г. и за -канчиващийся работой Дарвина 1897 г. Точная обработка Коши методов Эйлера в сороковых годах XIX в, с одной стороны, способ -ствовала становлению аналитической теории дифференциальных уравнений, с другой, открывала возможности для применения и развития численных методов их решения. Усилия математиков направляются , главным образом, на выяснение вопросов, связанных с существова -нием решения задач с начальными и другими условиями. В вопросах численного интегрирования они пока не находили перспективных идей.
В то же время необходимо было решать конкретные задачи, поставленные, прежде всего, небесной механикой, баллистикой. Начиная с середины XIX столетия, разработкой численных методов решения дифференциальных уравнений приходилось заниматься, главным обра -зом, ученым в области прикладных наук. Этому периоду принадлежат работы астрономов Бонда, Энке, Адамса, Дарвина по численному интегрированию дифференциальных уравнений, способствовавшие развитию численных методов в практическом отношении. В указанных методах были использованы квадратурные формулы Гаусса-Лежандра, Грегори, Лапласа. Историко-математическое исследование методов Бон-да-Энне, Дарвина проводится впервые.
Третья глава посвящена появлению и первоначальному развитию в конце XIX начале XX вв. методов їуяге, Хейна, Кутта под непо -средственным влиянием идей Эйлера. Конец XIX века характеризуется Зурным развитием естествознания, он принес с собой новую базу развития математики - задачи физики. В результате возникают но -вые прикладные и технические науки. Необходимость в численном решении дифференциальных уравнений становится все более острой.
Четвертая глава посвящена дальнейшему развитию и совершен
ствованию численных методов с применением ручного счета и малых вычислительных машин до середины XX в» Отмечено появление методов Стермера и Коуэлла для решения дифференциальных уравнений 2-го порядка специального вида. Названные методы видоизменялись и совершенствовались в течение первой половины текущего века в работах А.НЛСрылова, Я.Тамаркина» Е.Шстрема, Ф.ОДултона, В.Милна, Р.Мизеса» Г.Шульца. В.Бетчинкияа, В.В.Мечникова, М.Ф.Субботина, Б.В.Нумерова, Л.Коллатца, Ш.Микеладзе, Ф.Цхадая и других ученых. Методы типа іунге-Кутта совершенствовались в работах Нистрема, Ветчинкина, Р.Цурмкшя» Бибербаха и других.
В заключении подведены итоги достижениям в области развития численных методов до середины XX в. Применение ЭВМ в математи -ческих расчетах привело к коренному пересмотру численных методов с учетом их приспособления к новой технике и открыло новые воз -можяости для их развития. Началось глубокое и всесторонее теоретическое исследование методов, расширилась область их применения. Исследования методов обоих типов, развивавшихся совершенно независимо, слились в единое русло к середине XX в. в связи с технической перестройкой материального производства, составлящего основу научно-технической революции. Этот период развития численных методов требует самостоятельного изучения.
Б работе показано влияние численных методов на развитие теории дифференциальных уравнений. Отмечено, что метод ломаных Эй -лера положил начало широкому классу численных методов, а также явился отправным пунктом для доказательства теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка с начальным условием. Коши впервые сделал предельный переход от разностной схемы Эйлера к точному решению уравнения.
if Так называемая задача Коши является одной из важнейших задач в
теории дифференциальных уравнений. Идеи построения численных итерационных алгоритмов Коши, Бонда, Энке предопределили доказательство Пикаром теоремы существования и единственности решения задачи Коши методом последовательных приближений ( аналитические итерации),
В свою очередь, теория дифференциальных уравнений оказывает влияние на развитие численных методов. Доказательство теорем существования и единственности решения дифференциальных уравне -ний подтверждает правомерность применения численных методов, хотя и не дает способа приближенного нахождения решений. Практическое использование результатов теоретических исследований требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме, что зачастую оказывается нелегким делом. При выборе численных методов является важным не столько точность метода, сколько оценка его алгоритма с точки зрения простоты применения и экономии времени, то есть опыт практических расчетов. При этом учитывается имеющаяся в распоряжении вычислительная техника. Например, метод Коу-эляа, основанный на использовании одной и той же квадратурной формулы Гаусса, как и метод Бонда-Эяке, появился полстолетия спустя, лишь после изобретения арифмометров. Примечательно, что оба метода появились до того, как была доказана их сходимость. В то же время возникают и другие ситуации, когда численное решение не удается найти. В этих случаях оказывает существенную помощь качественное исследование вопросов существования и един -ствеяности решения, корректность постановки задач.
На базе теории дифференциальных уравнений возникла новая характерная теперь для численных методов задача - задача об устойчивости применяемых методов. Она была предопределена исследова -яияш поведения решении системы дифференциальных уравнений ка
чественяыми методами. При этом основополагающей работой явилась докторская диссертация А.М.Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения" (1892), в которой исследована проблема устойчивости равновесия- и движения механических систем. Таким образом, теоретические качественные и численные методы неразрывно связаны меэду собой. По этому поводу академик А.А.Самарский сказал: " Не следует, однако, думать, ЧЕО численные методы целиком вытеснят традиционные аналитические методы решения. "Точные" аналитические решения, полученные для некоторых упрощенных "предельных" вари -антов исходной задачи, позволяют полнее представить механизм изучаемого явления, его зависимость от характерных параметров. Это в свою очередь дает возможность лучше отработать численный алгоритм." 93 , стр. 95 J .
Работа написана на основании изучения первоисточников -оригинальных работ ХУШ-ХК столетий. В процессе анализа рассматриваемых работ унифицирована символика доэйлеровского периода раз -вития методов , затем, в основном, сохраняются обозначения оригиналов.
История некоторых вопросов исследуется впервые. К числу их относится, в частности :
а) история квадратурных формул Лапласа, Гаусса, Леландра , Дарвина, содержащих конечные разности и получивших широкое при - менение в небесной механике;
б) исследование методов Бояда-Эяке Адамса, Дарвина, Коуэлл а;
в) анализ развития и совершенствования метода Адамса в рабо- тах Крш Еа,Шистремада лтона,#М , Доморяда ;
г) анализ развития и совершенствования метода Коуэлла в ра - ботах Ни стрема, Нумєрова,Бетчїшкіша,Ко.їїлатца,Кулі їкова,І;ккела,дзе,
Субботина ;
д) выявление роли отечественных злених в развитии и совершенствовании численных методов.
Материалы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований по истории вычислительной математики, в лекциях и обобщающих трудах по истории математики, в монографиях и учебных пособиях по численным методам, при разработке спецкурсов и спец -семинаров на математических факультетах университетов и пединститутов.
Результаты диссертации докладывались на Республиканском сим -позиуме по дифференциальным уравнениям (IS68,Одесса ) ; Научных конференциях аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники (1976, 1976, 1979-82, Москва) ; Республиканском семинаре по истории математических наук (1972,1977,1979 , Киев) ; Ш Всесоюзной конференции по истории физико-математических наук (1978, Тбилиси), Научно-исследовательском семинаре по истории и методологии математики и механики механико-математического фа -культета ЖУ (1979, Москва) ; заседании проблемной группы сектора исторгни математики ИИЕиТ АН СССР ; Республиканской конференции по методике преподавания математического анализа в педагогических вузах (1981, Ленинград), Научном семинаре кафедры вычислительной математики ЛІНИ им.Герцена (1982, Ленинград), на семинаре по ис -тории математики и механики (1983, Институт математики УССР) Считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность и глу -бокую признательность научному руководителю - профессору Черны -шеяко В.М., доценту кафедры вычислительной математики Одесского госуниверситета Киро С.Н. за постановку задач, критические замечания и постоянную помощь при выполнении настоящей работы.
Результаты Ньютона и Лейбница в области анализа, связанные с решением обыкновенных дифференциальных уравнении
Появление анализа бесконечно малых было завершением дли -тельного процесса накопления и теоретического исследования исчисления, а также теории рядов. Стремление механики, астрономии, баллистики свести рассматриваемые явления к движению материи потребовало пересмотра самого метода математического исследования. В свою очередь эти науки обогатили математику понятиями непрерывных движений и непрерывных величин, расширили представления о су -ществе и видах функциональных зависимостей. В поисках общих методов решения задач принимали участие Кеплер, Галилей, Каваль -ери, Торричелли, Паскаль, Баллис, Ферма, Декарт, Барроу и дру -гие. Постепенно преобразовываясь, математика к концу ХУШ в превращается в математику переменяю: величин. Этому способствовали благоприятные обстоятельства - наличие алгебры и вычисли -тельной техники, введение в математику переменной величины и координатного метода, вычислительные алгоритмы для нахождения экстреицгмов и приближенных квадратур. И.Ньютон (1643-1727) и ГДейбниц (I646-I7I6) пересмотрели накопившиеся факты с единой точки зрения, делая упор на общий метод решения задач. При этом они исходили из различных пози -цнй. Ньютон рассматривая математику как часть общей науки о природе - натуральной философии - и средством физических исследо -ваяий. Исхода из кинематических соображений, в течение 1665 и 1666 гг. он создал анализ бесконечно малых в виде исчисления флюксий и флюент. В 1687 г. Ньютон опубликовал "Математические начала нату ральной философии "(Phiiosophiae natunalisргіпсіріа mathematics. в которых решаются многочисленные задачи, связанные с изучеяи -ем движения под действием закона всемирного тяготения. В силу этого, многие результаты связаны с интегрированием дифференциальных уравнений. Хотя по признанию Ньютона решение многих задач получено методом флюксий, однако нигде в работе этот метод явно не применяется,
Употребляется лишь слово "флюксия" для названия конечных величин» пропорциональных бесконечно малым приращениям, Ньютон выражает и решает дифференциальные уравнения в геометрической форме, Б частности, доказав математически, что эмпирические законы Кеплера описывают движения планет под дей -ствием притяжения юс к центру Солнца, Ньютон решает задачу двух тел ( книга I, отдел XI). [ 88, стр.216-244] Он вплотную подошел к решению задачи трех тел, заметив, что в этом случае тела не могут двигаться в точности по аллипсам, и развил теорию возмущенного движения Луны. Метод флюксий, который дает аналитическую запись дифферен -циальных уравнений и приемы их решения, был впервые изложен Ньютоном в работах "Рассуждение о квадратуре кривых" (TractciuS СІЄOUddrataraCUrvarunh (1702) 89, стр.167-18б], "Метод флюксий и бесконечных рядов" {MetfwdltS/іиХІОПит et дЄГІЄ-ГаГП Lnfunltnrum) (І736) f 89, стр.25-І59]. В этом методе рас -сматриваются непрерывно изменяющиеся величины, флюенты, вводимые как абстракции различных видов механического движения, флюксии -скорости изменения флюент - и решаются две главные задачи: I. Длина проходимого пути постоянно ( то-есть, в каждый мо -мент времени) дана ; требуется найти скорость движения в предложенное ЕрЄМЯ./ 2. Скорость движения постоянно дана ; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути. Для обозначения переменных величин - флюент - Ньютон исполь зует буквы U, U} Xf Z \ для обозначения скоростей флюксий - символы и Ut X Е Вторая задача метода флюксий является задачей интегрирования дифференциальных уравнений , поставленной в общем виде. Б частности, речь идет о нахождении первообразных функций. Ньютон рассматривает частные примеры уравнений вида г (Х} X} UJ =0 , что соответствует современной записи / (Х} U ) = 0 , а также вида F(XM) Х) U)= О » нто соответствует записи j ( X У у ) = 0 и приемы их решений. Ньютон пытался подчи нить решение дифференциальных уравнений единому алгоритму с по мощью метода степенных рядов.
Так отдельные уравнения первого ти па он разрешает относительно производной -4-— Q (X) и X затем функцию Cf(X) представляет в виде степенного ряда , пользуясь при этом различными приемами - делением, как Меркатор, извлечением корня и т.д. и, наконец, находит квадратуру суммы степеней. Для решения дифференциальных уравнений второго типа используются несколько приемов. Так в примере I [ 89,cTp.60j : Ньютон предвосхищает метод последовательных приближений, полу чивший в дальнейшем развитие в работах Лиувилля, Коши, Пикара. Решение уравнения Ньютон ищет в виде ряда по степеням X Члены разложения отыскиваются последовательно следутощим образом. Заменяя данное уравнение приближенным интегрируя его, Ньютон находит: и Х что ЯБЛяется пер вым членом искомого ряда. Затем, подставляя в исходное уравне ние, вместо U t значение X и, интегрируя, находит U= Х Х отбрасывая все члены выше второй степени. Подставляя, вместо и , в правую часть уравнения Х Х и интегрируя, находит //= Х-Х -4— отбрасывая все члены с X выше третьей степени. Продолжая процесс, Ньютон находит решение это
Развитие метода Эйлера в работах Коши
Трудно переоценить тот вклад, который внес 0Коши (1789 -1857) в развитие численных методов решения дифференциальных уравнений, Коши глубоко проанализировал подходы к приближенному решению дифференциальных уравнений и нашел пробелы в решении этой проблемы его предшественниками. Он заметил, что интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов не дает никакого средства для выяснения- вопроса - являются ли полученные ряды сходящимися, а их суммы - функциями, удовлет -ворявдими данным уравнениям, Коши обосновал метод степенных рядов. Вместе с тем он глу -боко заинтересовался методом Эйлера численного решения дифференциальных уравнений 1-го порядка при начальном условии Критически осмыслив метод, Коши развил его, доказав, в предположении ограниченности и непрерывности fOcuJm. в области IX-X0I Qju-U0l&Q существование единствен ного решения задачи (2.8), (2.9) в интервале/Jf-J / / , где / - наименьшее из чисел й и -тт" t a M=m&x/f(X,yJ/. Один из способов доказательства этой теоремы представляет собой теоретическое обоснование метода Эйлера. Он состоит в том, что дифференциальное уравнение рассматривается как предел уравнений в конечных разностях. Уравнение (2.8) заменяется приближенным равенством Интервал ( Х0 у X )» где Х= Хп , Копій делит на частичные интервалы (X0fX,)f (X,,Jb), --/ ,, . Из уравнения - -=f(X0M0)(Xf-Xo) однозначно определяется и и устанавли вается неравенство Чтобы выполнялось условие IU-иб[ и , нужно выбрать /Х-Х / f й этом условии величина j (Хп У,) при нимает определенное значение и уравнение однозначно определяет иг Так как то для выполнения условия 1иг-ио/к:и нужно выбрать /Х2-Х0/ - г Продолжая аналогичные рассуждения, Коши поду лучает уравнение однозначно определяющее Уд-/ t и для выполнения неравенства
Таким образом, приближенное значение искомого решения в точке Коши записывает, как и Эйлер, Но Коши доказал сходимость при /?- -оо приближенного решения у к предельной уякщи у(Х) » а также доказал, что у(Х) является решением поставленной задачи и притом единственным. После обоснования Коши метода ломаных Эйлера задача нахождения решения дифференциальных уравнений с начальными условиями стала называться задачей Коши. Методы доказательства теоремы существования и единственности решения задачи (2.8),(2.9) Коши изложил в своих лекциях по интегральному исчислению, которые он читал в Парижской политехнической школе в 1820-30 годах. Второй том лекций, в котором рассматривались эти вопросы, не был опубликован. 0 результатах, содержащихся в нем, мы можем судить по лекциям, зали санным его учеником %аньо [219, т.2, cTp.395-4I0J , Коши впервые исследовал погрешность метода Эйлера и полу -чил рекуррентную оценку погрешности на /7 -ом шаге, а также независимую оценку погрешности [219 , т.2, стр.385-39і] . Пусть X и у изменяются соответственно в промежутках ная, удовлетворяющая условию fj (Х,у)/ Д для ука занных X U Кши пшяимает , что в рассматриваемой облас ттт иомоиоитт тто-пар.тиazrv тя.тттгі7Тоатптг а псітлпт аиг гттпа / V I "/ /У I t лы Ах 6 Затем строится ломаная с началом в точке П= Ц и вершинами в точках, полученных по формуле Quti = = ynt f(XntUn) АХ . Если Ц(Х) - ордината конца этой ломаной, тогда разность lu(X)- U(X)I , согласно Коши, будет меньше Из этой оценки видно, что при 0 0 приближенное решение сходится к точному.
Доказательство этой оценки имелось,видимо , в упомянутых лекциях по интегральному исчислению. Формулы Коши для оценки погрешности не получили практичес -кого применения, поскольку увеличение погрешности по экспопен -циальному закоігу значительно превышает фактическую погрешность. Коши разработал усовершенствование метода ломаных Эйлера, которое получило применение на практике. По этому методу вначале находится вспомогательное значение искомого решения Ц{л) ПРИ X = Xrj ДДЯ уравнения (2.8) по формуле Эйлера: где fj - длины частичных интервалов. Затем приближения искомого решения U (х) находятся по формуле : Таким образом Коши впервые использует зависимость правой части уравнения У — -f (Хи) от самой неизвестной функции ц(х) и пользуясь этим, получает метод Эйлера с итерациями. Коши не привел формулу в общем виде, но подробно описал алгоритм на примере решения дифференциального уравнения при начальном условии u(0)=0 [219, стр.428J . Беря шаг равным 0,2 , Коши построил итерационный алгоритм на отрезке f 0,lj в виде: и затем выписал соответствующие значения приближенного решения по методу Эйлера и по усовершенствованному им методу: Коши принадлежала также идея построения приближенных решений дифференциальных уравнений при помощи итераций в аналитической форме. Первые работы, в которых применялся этот метод, были опубликованы Лиувиллем в 1837, 1838 и 1840 г.г. В общей форме метод был развит Пикаром [223]в 1890 г. Строгая обработка Коши методов Эйлера, с одной стороны , способствовала развитию нового направления анализа - анаяити -ческой теории дифференциальных уравнений. С другой стороны -открывала возможности для применения и развития численных ме -тодов решения дифференциальных уравнений, роль которых возросла после доказательства Диувшілем в 1841 г неразрешимости общего уравнения Риккати в элементарных функциях.
Вопросы оценки погрешности и сходимости методов Рунге-Кутта
Он отмечает, что эти формулы неудобны для практических применений. В качестве примера Кутта решает методом степенных рядов, методом Эйлера, Рунге, Хейна и одним из своих методов дифференци -альное уравнение первого порядка, рассмотренное Рунге ( 3.1) при тех же начальных условиях, беря те же шаги с точностью до седь мого, знака. В. последнюю трех методах использовались приближения третьего и четвертого порядка, даваемые соответственно формулами Эта формула исправлена Нистремом [220]] (3.6), (3.8), (3.13). При АХ =02 точное значение решения уравнения 0,1678417; методы степенных рядов, Э?3лера, Рунге, Хек-на и Кутта дают соответственно значения 0,1666667, 0,1754353 , 0,1678487, 0,1680250, 0,1678449. Вскоре Кутта пришлось приспособлять свой метод к решению уравнении второго порядка. Его коллеге Р.Эвдену» приват-доценту физики и метеорологии, встретилась задача, сводящаяся к дифференциальному уравнению вида : которое необходимо было решать при различных конкретных значенії -ях /7 я заданных начальных условиях, Кутта представил это уравнение в виде оке теш двух уравнений первого порядка и применил для ее решения формулу (3,12) Кутта выводит такие аналогичную формулу для системы двух уравнений первого порядка общего вида .
Эти исследования Кутта излоїшл в работе Звдена [172 , стр. 114J , здесь же приведены результаты вычислений по упомянутой формуле решения приведенного уравнения второго порядка [172, стр.П6_[. Эмден отмечает высокую точность метода. Формулы Рунге, Хеша и Кутта стали применяться для решения различных практических задач. При этом важное значение приобрели вопросы оценки погрешности и сходимости этих методов. 3.4. Вопросы оценки погрешности и сходимости методов Рунге-Кутта . Б рассмотренных работах Рунге, Хейна, Кутта вопросы оценки погрешности и сходимости предложенных ими численных методов решения дифференциальных уравнений оставались в стороне. Сравнение методов проводилось на примере уравнения» точное решение которого известно. Однако вопросы сходимости численных методов интересовали Рунге. Еще ранее, в 1894 г. он [225] обобщил доказательство Коши существования решения доіфференциального уравнения первого порядка, использующее метод Эйлера, на системы дифференциальных уравнений первого порядка : заменяя при этом ограниченность частных производных правых час тей по U иг ... Цп условием Липшица по этим переменным. Работа Кутта [202] вызвала интерес Рунге, он стал применять приведенные в ней формулы для решения практических задач. Особое внимание привлекла формула (3.12), отличащаяся достаточной точностью я удобством практических применений. Рунге [ 227j придал ей вид : ( fl - шаг), в котором она применяется и по настоящее время. В статье 1905 г. "О численном решении дидУоеренциальнкх уравнений 227J
Рунге доказал сходимость новых приближенных методов и дал оценку погрешности, выбрав для этой цели указанную формулу Кутта. Решая численно уравнение -d-У— — //If U) он осуществляет переход от данных значений XfU(X) к со -седким X+fl U (X+fl) по формуле Кутта, преобразовав ее по аналогии с фор лулой (3.5) к виду : Затем он доказывает, что область изменения переменных X U молено так ограничить, что разность (погрешность приближения) по абсолютной величине не превзойдет Ми э где М - положительное число.
При этом не обязательно, чтобы г(Х,У/ была аналитической функцией. Достаточно, чтобы f(XMj имела производные по X и U до 4-го порядка вклю -чительно, которые в рассматриваемой области по абсолютной величине не превосходят некоторого конечного предела. Б самом деле, если записать разложение Х(и) по степеням , применяя теорему Тейлоса vjxeu&t/s/ и учитывая, чтоу (о)=0 "Kg&i=0ft2t3t4- » то погрешность метода на шаге будет величиной порядка fj Как показал Кутта [202 J (стр.447-450) У (Bh) содержит производные f[XUj до четвертого порядка включительно и поэтому существует такое число М f что разность У не превосходит Mfl , если Х+и Ut LiU находится в рассматриваемой области. В своей работе Рунге отметил, что для оценки точности метода недостаточно знать предел погрешности, допущенной на отдельной стадии вычислений. Он исследовал, как влияет ошибка в значении и , летящем в основе вычислений, на величины /г Ж\ /г Ж / з а также на приближенное значение fit- - (P Q J Предполагая в рассматриваемой области \ д7\ ІЇ7 и подставляя в выражение fc вместо точного значения приближенное U t б , Рунге заклю- чает, что j 1 взятое по абсолютной величине не превосходит /77/16 В выражении лГ значение yt $ - изменяется не более , чем на +-р 77lfl6 , и вследствие этого пг не более чем на 177 h 6 fl -oTnh J Вместе с тем /г3 изменяется не более, чемна mhe[fr- fi+ri7hj]ii k$ не более, чем наmflflV не более, чем на Для малых значений 77177 изменение Q+zfCP Q) одного порядка с ГП/7б и, например, для 77177 1 не превышает - т- /77/16 Следовательно, можно указать такую положительную величину 777f , чтобы абсолютная величина изменения Q - -fp-Q) нри измене -нки и на С не превышала /ftgfy Таким образом, если исходить из начальных значений ХоУо и вычислить для г = Хо+П J то погрешность и по абсолютной величине не более Mfl , то-есть & Mfl Если от XfOf переходить к следующей паре значений Х2= Хг $/г У/ ҐТ Р -) то погРешностъ Уг скла дывается из погрешности и и Q+i-fp-Q) Ошибка и по абсолютной величине будет г f Mfl%-777ff fa -Аналогично 63 +М#777f3f? и т.д. Таким образом, Рунге получил рекуррентную оценку, позволяющую оценить 6п , если известна п 1 Кроме того, Рунге получил независимую оценку ; выраяая п-1 через n-z , п-г через 6rj-3 7l Т Д п mfti Обозначая Хп- Х0 через Н , откуда п= - , он получил окончательно
Работы А.Н.Крылова и примыкающие к ним по численному интегрированию дифференциальных уравие
Большая заслуга в распространении и совершенствовании при -ближенных методов решения дифференциальных уравнений, а также в использовании их в прикладных науках принадлежит академику А.Н.Крылову (1863-1945). Он явился достойным продолжателем сложившихся традиций петербургской математической школы П.Л.Чебы - , шева с ее установкой на неразрывную связь теории и практики. Чтобы улучшить математическую подготовку инженеров и вооружить их необходимыми знаниями по численному анализу, он издал "Лекции о приближенных вычислениях" [40], [41] , которые явились первым в мировой литературе курсом приближенных вычислений. Своей монографией Крылов выделил вычислительную математику в самостоятельный раздел со своими задачами, связал в единую,глубоко продуманную систему вопросы наиболее рациональной организации численных расчетов, встречающихся в различных областях нау « ки и техники. Наряду с изложением "методов доведения до числен -ных результатов решений математических задач" ставится принци -пиальный вопрос: нужно ли решать задачи точно? Если степень приближенности решения согласовывать с погрешностями исходной ин -формации, то можно отказаться от нахождения точного решения. Это, в свою очередь, потребовало внимательного учета погрешнос -тей, возникающих при решении задач. Благодаря неустанной дея тельности А.Н.Крылова было поднято значение работ в области приближенных методов, были предъявлены серьезные требования к оценкам погрешности методов, доказательству их сходимости. Особое значение
Крылов придавал дальнейшему развитию и совершенствованию способов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которым посвящена одна из глав его "Лекций" [54 J . Б трудах А.Н.Крылова разностные методы Адамса-Стермера пережили второе рождение. Будучи директором Главной физической об -серватории (1916), Крылов ознакомился с методом Стермера численного решения дифференциальных уравнений второго порядка. Он, как уже ранее отмечалось, распространил этот метод на системы диф -ференциальных уравнений первого порядка. Метод был изложен в W Литографированное издание работе " О приближенном числеш-юм решении дифференциальных уравнений" [42 J (1917) и назван методом Штермера. Применительно к уравнению У=Т У) (4-) с начальными условиями У(- о)=Уо (&№) метод сводится к вычислениям по формуле: где i hjІ ІУІУ О, - Крылов не знал, что эта формула другим способом была получена ранее Адамсом. Основываясь на разложении функции по степеням приращения аргумента fj согласно теоремы Тейлора, Крылов записывает: где ЯП9 Вп Сп значения производных искомого решения и(х) Пользуясь той же теоремой, он находит значения Jj % ... затем составляет разности и подбирает коэффициенты ос В V так, чтобы равенство имело место до членов желаемого порядка относительно fl Для определения коэффициентов на основании последнего равенства получается система уравнении: - Более точный перевод - Стермера. из которой находятся р--7о Jf= д А.Н.Крылов значитель но усовершенствовал этот метод. Он предложил следующие формулы для начала счета Исходя из начального условия (#/$, вычисляется начальное приближение uU0 с использованием в первой формуле (4.17) одного лишь первого члена.
Для второго приближения используется две формулы (4.17) с учетом первых двух членов, при этом перевычисляется значение uU0 И находится Ди, . С помощью найденного значения Уг вновь перевычисляются значения &Ц0 uUf , и нахо -дится Дцг по трехчленным формулам (4,17). После третьего при -ближения значения разностей Дио UU Ді/г перевычисляются до тех пор, пока два последующих приближения не совпадут в пределах требуемой точности, В 1918 г. Крылов обнаружил в библиотеке экземпляр сочинения [ 135 J , подаренный Адаме ом Перербургской Академии наук, членом-корреспондентом которой он являлся с 1864 г. После ознакомления с этой работой Крылов в последующих своих работах называет метод, основанный на применении формулы (4.16), методом Адамса. Так была установлена связь между методами Адам са и Стермера. Б работе [43] Крылов применил метод Адамса к ре шению уравнения у = с начальными условиями 1/(0)=0 и ДОЯ сравнения произвел вычисления по методу Рунге. На стр. 34-39 указанного сочинения он приводит таблицу значении искомого решения на промежутке от 0 до I с шагом fj = 0,1 . Оказалось, что метод Адамса требует меньшей затраты работы при ручном счете и использовании арифмометров для достижения ре зультатов одной и той же точности. И далее Крылов f43j3aMe4a ет: "Отсюда становится понятным, почему Стермер предпочел раз вить новую методу, нежели применять методу ї нге к обширной ра боте, им предпринятой". ["40 стр. 40j.
Крылов в виде частных примеров на применение методов Адамса и Стермера рассмотрел важные прикладные задачи, в частности, решил задачу из баллистики [44](1920), из механики, проиятегриро -вав уравнение движения поезда [47 J (1933), яз физики, рассчитав форму капли жидкости, лежащей на горизонтальной поверхности [47] (1933), производя при этом вычисления с четырьмя, пятью знаками после запятой. Разработанные Крыловым вопросы численного решения дифференциальных уравнении были включены им во второе издание "Лекций о приближенных вычислениях" (1933), что значительно обогатило соответствующую главу этого сочинения и способствовало ознакомлению с численными методами работников различных облас -тей науки и техники. Эта книга пользовалась большим спросом со стороны высших, особенно технических учебных заведений, научно-исследовательских институтов и стала руководством по приближен -ным вычислениям для нескольких поколении инженеров. Она переиздавалась в 1935,1949,1950,1954 гг. и явилась лучшим курсом,ВВОДЯЩЕМ в область прикладной математики. Причиной этому является то обстоятельство,, что в нем были обобщены итоги многовековых
