Введение к работе
Актуальность темы. Интенсивное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения численного моделирования для исследования различных физических, технологических и производственных процессов. При математическом моделировании большинства этих процессов возникают весьма сложные, часто нелинейные, задачи математической физики, решение которых возможно получить лишь с использованием численных методов. К числу таких задач относятся задачи фильтрационной консолидации.
Фильтрационной консолидацией называется процесс взаимодействия пористой среды (скелета) и насыщающей ее жидкости под действием внешних сил. При этом говорят о насыщенной фильтрационной консолидации, если поры среды оказываются полностью занятыми жидкостью, и о ненасыщенной фильтрационной консолидации — в противном случае.
Наиболее полно исследованы задачи насыщенной фильтрационной консолидации. Основы этой теории заложены в работах К. Терцаги, Н.М. Гер-севанова, Ю.К. Зарецкого, М. Био, В.Н. Николаевского и других авторов. Строгий математический анализ задач насыщенной фильтрационной консолидации содержится в работах А В. Костерина, М.И. Дроботенко, Р.З. Даутова, А.Д. Ляшко. Исследованию разностных схем решения некоторых задач насыщенной фильтрационной консолидации посвящены работы П.Н. Вабищевича, F.J. Gaspar, F.J. Lisbona.
С помощью модели насыщенной фильтрационной консолидации могут быть описаны процессы осадки сооружений на насыщенных пластах, процессы деформирования пористого скелета под воздействием достаточно мощного фильтрационного потока и другие. При этом полагается, что в каждый момент времени во всей области исследования поры скелета полностью заняты жидкостью (зоны полного насыщения). Если же рассматривается, например, задача о разгрузке пористого пласта, то для ее описания используется более сложная модель, допускающая присутствие
j3^t. национальная!
!J5W
в расчетной области как зон полного, так и неполного насыщения. Эта модель предложенная в 1998 г. А.В. Костериным и получившая название задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации с точки зрения исследования вопросов ее корректности и методов численного решения изучена слабо.
Цель работы. Исследование обобщенной разрешимости задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации, исследование сходимости разностных схем, построение эффективных итерационных методов решения задач насыщенной и насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.
Методика исследований. При доказательстве теоремы существования используется метод полудискретизации, метод Галеркина и метод штрафа. При этом существенно используется аппарат теории функций и нелинейного функционального анализа. Построение разностных схем проводится с помощью метода сумматорных тождеств. Исследование сходимости разностных схем основано на получении априорных оценок восполнений приближенных решений в нормах Соболевских пространств и последующем предельном переходе в сумматорных тождествах.
Научная новизна. В диссертации сформулировано понятие обобщенного решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации, доказана теорема существования обобщенного решения, исследована связь между классическим и обобщенным решениями задачи, построена неявная разностная схема и доказана теорема о сходимости неявной разностной схемы к обобщенному решению задачи, построены и с помощью численных экспериментов исследованы итерационные методы решения задач насыщенной и насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. Обобщенная формулировка задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.
Теорема существования обобщенного решения.
Теорема о сходимости неявной разностной схемы.
Итерационные методы решения задач насыщенной и насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.
Практическая значимость. Разработанные в диссертации численные методы могут быть использованы при решении конкретных задач теории фильтрационной консолидации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на шко ле-конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева (Казань, 16-22 июня 1997 г.), на Втором Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных задач математической физики" (Казань, 18-21 сентября 1998 г.), на Всероссийской молодежной школе-конференции "Итерационные методы решения линейных и нелинейных сеточных задач" (Казань, 26 сентября - 1 октября 1999 г.), на XXII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 17-22 апреля 2000 г.), на Третьем Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных задач математической физики" (Казань, 18-21 сентября 2000 г.), на минисимпозиуме "Recent Advances in Multi-Phase Flow in Porous Media" (Казань, 24-26 августа 2004 г.), на Пятом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 17-21 сентября 2004 г.), на ежегодных итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (1996-2000 г.г.), на семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы, содержащего 63 наименования. Работа изложена на 117 страницах.
