Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Метод рядов в применении к системе ОДУ 14
1.1 Введение 15
1.2 Вывод вычислительных формул 18
1.3 Первые коэффициенты разложения 22
1.4 Результаты численных экспериментов 23
1.5 Выводы 26
Глава 2 Метод рядов в применении к УРЧП 27
2.1 Введение 27
2.2 Вывод вычислительных формул 30
2.3 Адаптация вычислительных формул 36
2.3.1 Вычисление G(i,j,k) 36
2.3.2 Модифицированный оператор симметризации . 36
2.3.3 Суммирование членов ряда 38
2.3.4 Коэффициенты, равные нулю 38
2.4 Практическая реализация 42
2.5 Численные эксперименты 45
2.6 Выводы 48
Глава 3 Квадратичное приближение устойчивого многообразия 50
3.1 Вычислительные формулы 50
3.2 Практическое применение 54
3.3 Выводы 57
Глава 4 Стабилизация вдоль неустойчивого подпространства 58
4.1 Постановка задачи 58
4.2 Алгоритм решения 59
4.3 Обоснование сходимости метода 61
4.4 Выводы 68
Глава 5 Стабилизация вдоль заданного подпространства 69
5.1 Постановка задачи 70
5.2 Алгоритм решения 70
5.3 Обоснование сходимости метода 73
5.4 Выводы 80
Глава 6 Численные эксперименты 81
6.1 Расчетные задачи 81
6.2 Реализация вычислений 82
6.2.1 Базис подпространства Т 83
6.2.2 Вычисление нелинейности 84
6.2.3 Вычисление интегралов 86
6.3 Результаты расчетов 86
6.4 Выводы 89
Заключение 90
Литература 93
Приложение 98
- Результаты численных экспериментов
- Модифицированный оператор симметризации
- Обоснование сходимости метода
- Обоснование сходимости метода
Введение к работе
Методы стабилизации
Задачи стабилизации занимают особое место среди задач управления движением. В задачах управления движением обычно рассматривается некоторая физическая система. Ее математическая модель задается при помощи эволюционных уравнений, которые могут иметь неустойчивые решения. В этом случае внесение сколь угодно малых возмущений в начальные данные может привести к конечному возмущению решения. Цель стабилизации — создание специальных алгоритмов, позволяющих подавлять такие возмущения.
Задачу стабилизации к заданному решению обычно можно свести к задаче стабилизации к нулю. Для этого записывают соответствующее уравнение в отклонениях. Ноль является стационарным решением этого уравнения. Задачу асимптотической стабилизации к нулю можно сформулировать следующим образом. Необходимо внести в систему такие изменения в пределах заданных ограничений, чтобы норма рассматриваемого решения стремилась к нулю при t —> со. Зачастую при постановке задачи стабилизации задается желаемая скорость убывания нормы.
Далее будем рассматривать задачи асимптотической стабилизации к нулю. При решении таких задач применяются различные способы воздействия на систему.
Многие задачи стабилизации для уравнений математической физики сводятся к изменению начальных данных: влияние на систему оказывается только в начальный момент времени. Предположим, что задано некоторое начальное условие. Известно, что траектория исследуемой системы с такими начальными данными не стремится к нулю при t —> оо. Необходи-
мо так изменить начальное условие в пределах заданных ограничений (например, выбрав поправку из фиксированного подпространства допустимых смещений), чтобы добиться требуемой динамики рассматриваемой траектории. Различные аспекты стабилизации по начальным данным отражены в работах Е.В. Чижоикова [30] (для уравнений Чафе-Инфанта, Навье-Стокса), А.А. Корнева [12, 16] (для уравнений Чафе-Инфанта, Навье-Стокса, Бюргерса, Лоренца и дискретных полудинамических систем общего вида), А.В. Озерицкого [17] (для уравнения баротропного вихря па сфере).
Можно воздействовать на систему посредством изменения краевых условий. Задачу стабилизации по краевым условиям можно свести к решению задачи стабилизации по начальным данным на расширенной области. Решению задач стабилизации с помощью граничного управления для различных эволюционных уравнений посвящены работы, например, таких авторов как D.L. Russell [48], J.-L. Lions [45], J. Lagnese [44], V. Komornik [41], J.-M. Coron [29], A. Balogh, M. Krstic [28], а также A.B. Фурсиков [23, 22, 32, 33, 34], Е.В. Чижоиков и А.А. Иванчиков [25, 31, 39].
Третий способ заключается во внесении управления в правую часть уравнения в течение некоторого промежутка времени — стабилизация по правой части. Исходя из предположения о малости отклонений рассматриваемое дифференциальное уравнение зачастую считают линейным. Решению задач стабилизации по правой части для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений уделено внимание в книге [20]. Работа А.А. Корнева [42] посвящена решению задачи стабилизации по правой части для нелинейных дискретных полудииамических систем; для дифференциальных уравнений задача решается в терминах конечно-разностных схем.
Метод рядов проецирования на устойчивое многообразие
Если данное положение равновесия (стационарное решение) является гиперболическим (седловым), то траектории почти всех точек в его окрест-
ности от него локально удаляются. Однако согласно теореме Адамара-Перроиа [2, 1, 19, 21] в окрестности гиперболической неподвижной точки существует устойчивое инвариантное многообразие. Траектория каждой точки устойчивого многообразия экспоненциально стремится к данному положению равновесия при t —» со.
Таким образом многие задачи стабилизации можно свести к проецированию на устойчивое многообразие.
Для параболических уравнений в частных производных идея решения задачи стабилизации по краевым условиям в терминах проецирования на устойчивое многообразие предложена и обоснована А.В. Фурсиковым в работе [22]. Первые расчеты проведены Е.В. Чижонковым [30] для уравнения Чафе-Инфанта на основе проецирования на линейное приближение устойчивого многообразия.
Классификация различных методов проецирования на устойчивое многообразие приведена в работе [14]. К числу методов, позволяющих получить сколь угодно точное приближение устойчивого многообразия, относятся различные методы сжимающих отображений и метод функционально-аналитических рядов.
Исторически первым был метод рядов, ему посвящены работы Пуанкаре, Ляпунова, Адамара, Перрона. Метод рядов можно формально интерпретировать как итерационный процесс, то есть как метод сжимающих отображений [14]. Скорость его сходимости может быть высокой, но теоретически это пока не доказано. В настоящее время метод функционально-аналитических рядов в применении к решению задач стабилизации активно развивается в работах А.В. Фурсикова [35, 36]. Методы сжимающих отображений отражены в работах Д.В. Аносова [2, 1], Я.Б. Лесина [21], О.А. Ладыженской и В.А. Солонникова [18], В.И. Юдовича [27], А.А. Кор-нева и А.В. Озерицкого [13, 15, 47] .
До настоящего момента метод рядов использовался только для теоретических исследований: обоснования существования и аналитичности устойчивого многообразия. Для практических расчетов он не применялся по
причине большой трудоемкости и возможной неустойчивости к вычислительным погрешностям.
Однако стоит отметить главное преимущество метода рядов по сравнению с другими подходами. Методы сжимающих отображений позволяют построить аппроксимацию устойчивого многообразия вдоль одной траектории, а применяя метод рядов, мы получаем приближение всего многообразия в некоторой окрестности неподвижной точки.
Стоит отмстить, что эффективность методов сжимающих отображений существенно зависит от качества начального приближения. Получение хороших приближений посредством невысоких вычислительных затрат — еще одно применение метода рядов.
Вкратце суть метода рядов можно описать следующим образом. Устойчивое многообразие инвариантно относительно действия системы, то есть траектории его точек тоже лежат па устойчивом многообразии. В окрестности неподвижной точки оно может быть задано в виде графика некоторого отображения. Метод рядов заключается в том, что искомое отображение записывают в виде ряда с неизвестными коэффициентами, это разложение подставляют в условие инвариантности. Из полученного равенства, приравнивая множители при подобных членах левой и правой частей, получают рекуррентные соотношения, связывающие искомые коэффициенты — от младших к старшим. То есть для вычисления коэффициентов при членах некоторой степени достаточно знать только коэффициенты при более низких степенях.
Метод рядов позволяет последовательно вычислять коэффициенты, получая все более точные приближения устойчивого многообразия. Трудоемкость при переходе к следующему приближению возрастает экспоненциально, что является основным недостатком метода. Однако метод дает возможность один раз вычислить коэффициенты и получить представление всего многообразия, что полезно при необходимости многочисленного проецирования на устойчивое многообразие. Такая потребность возникает, например, при решении задачи стабилизации по граничным условиям.
Стоит отметить, что для уравнений в частных производных функционально-аналитическое разложение дает простое описание бесконечномерного многообразия, позволяющее построить его в произвольной точке.
Практические реализации различных методов сжимающих отображений проецирования на устойчивое многообразие динамических систем базируются на конечно-разностной аппроксимации соответствующих дифференциальных уравнений. В результате строится проекция на устойчивое многообразие некоторого приближения исходной системы. Метод рядов формально позволяет построить устойчивое многообразие исходного дифференциального уравнения.
Стабилизация по правой части
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть она имеет в начале координат неустойчивое положение равновесия. Предположим, что траектория с заданным начальным условием будет отклоняться от нуля. Возникает задача отыскания управления для "удержания" рассматриваемого решения в достаточно малой окрестности нуля.
Методы стабилизации по граничным и начальным условиям, используют импульсное управление системой. Метод стабилизации по правой части позволяет распределить влияние во времени, однако это требует суммарно большего энергетического вклада.
Стоит отметить, что в большом количестве работ, посвященных решению задач оптимального управления под стабилизацией понимают внесение в систему управления, которое меняет ее общую динамику: система из локально неустойчивой становится локально устойчивой. В настоящей работе мы будем рассматривать задачу стабилизации к нулю заданного решения с фиксированными начальными данными.
В работе [20] рассматриваются задачи стабилизации для линейных дифференциальных уравнений. Алгоритмы стабилизации, учитывающие нелинейность задачи, имеют большое значение, поскольку могут быть применены к существенно более широкому классу уравнений.
Зачастую мы ограничены в возможности выбора силы и направления воздействия — вводится подпространство допустимых смещений.
В работе [42] задача стабилизации по правой части рассматривается для дискретных нелинейных полудинамических систем при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений. Задача асимптотической стабилизации для дифференциальных уравнений решается в терминах их конечно-разностных аппроксимаций.
В настоящей работе задача стабилизации по правой части решена с учетом нелинейности для исходной дифференциальной задачи при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений.
Цели диссертационной работы
Первой целью настоящей работы является исследование применимости метода функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразие для расчетов при численном решении задач стабилизации по начальным данным для уравнений в частных производных параболического типа и систем обыкновенных дифференциальных уравнений седлового типа.
Второй целью работы является разработка алгоритма решения задачи стабилизации по правой части для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Структура работы
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 48 наименований и одного приложения. Она изложена на 98 страницах, содержит 13 таблиц и 3 рисунка.
Во введении отражается место диссертации среди других исследований в этой области и дается общая характеристика работы.
В первой главе метод рядов проецирования на устойчивое многообразие рассмотрен в применении к системе обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений Лоренца. Выводятся вычислительные формулы, приведены результаты расчетов. Система Лоренца является классическим примером, позволяющим проверять работоспособность различных численных методов. Устойчивое многообразие системы Лоренца в окрестности нуля двумерно, а одномерное неустойчивое — сильно растягивающее. В конечномерном случае производить вычисления по методу рядов существенно проще, чем при решении аналогичной задачи для уравнений в частных производных с бесконечномерным устойчивым многообразием, но несмотря на это, метод рядов сохраняет свои характерные черты и свойства.
Во второй главе метод рядов проецирования на устойчивое многообразие применяется к квазилинейному параболическому уравнению в частных производных. Приводится вывод формул, произведена их адаптация для практических вычислений. Исследованы основные особенности практического применения рассмотренного метода.
Метод рядов позволяет последовательно находить коэффициенты разложения в ряд функции, задающей устойчивое многообразие, получая второе (квадратичное) приближение, третье (кубическое) приближение и т.д. В третьей главе рассматривается квадратичное приближение устойчивого многообразия. Выведены вычислительные формулы для системы Лоренца, квазилинейного параболического уравнения в частных производных, дискретной полудинамической системы общего вида. Приведен пример повышения скорости сходимости наиболее эффективного метода сжимающих отображений при использовании квадратичного приближения устойчивого многообразия вместо линейного.
В четвертой и пятой главах содержатся основные теоретические результаты настоящей работы.
В четвертой главе рассматривается задача стабилизации по правой части вдоль неустойчивого подпространства для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, предложен алгоритм построения вектора поправки, учитывающий нелинейность задачи, доказана теорема существования искомого управления.
В пятой главе рассматривается задача стабилизации по правой части вдоль фиксированного подпространства допустимых смещений для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, предложен вычислительный алгоритм, позволяющий учитывать нелинейность задачи, доказана теорема существования искомого управления.
В шестой главе приведены результаты расчетов в соответствии с предложенными алгоритмами стабилизации по правой части.
В заключении подводятся итоги работы, обсуждаются основные достоинства и недостатки разработанных и исследованных методов.
В приложении приведена процедура построения проекции заданной функции на квадратичное приближение устойчивого многообразия квазилинейного параболического уравнения в частных производных. Текст программы занимает меньше одной страницы. Такая небольшая процедура легко может быть интегрирована в программные пакеты, реализующие различные методы асимптотической стабилизации.
Общая характеристика работы
Научная новизна
Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.
Впервые метод функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразие применен для практических расчетов для квазилинейного параболического уравнения в частных производных.
Разработаны, реализованы и успешно применены алгоритмы решения задачи стабилизации по правой части для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающие их нелинейность. Впервые доказано существование искомого вектора управления для нелинейной дифференциальной задачи и обоснована сходимость предложенных алгоритмов.
Достоверность, теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими доказательствами сформулированных утверждений и подтверждается численными экспериментами. Теоретическая ценность диссертации состоит в разработке нового семейства алгоритмов решения задач асимптотической стабилизации. Практическая ценность работы заключается в обширном наборе формул и алгоритмов, которые могут быть использованы при решении различных прикладных задач.
Апробация результатов диссертации
Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях и семинарах: международная научная конференция "Математическая гидродинамика" (Москва, июнь 2006г.); ежегодные научные конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, апрель 2007г., апрель 2008г.); научно-исследовательский семинар кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. Г.М. Кобелькова; научно-исследовательский семинар кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. А.В. Гулииа (Москва, октябрь 2008г.); научно-исследовательский семинар "Нелинейная динамика и управление" кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством акад. СВ. Емельянова и акад. С.К. Коровина (Москва, ноябрь 2008г.); научно-исследовательский семинар ИВМ РАН "Вычислительная математика, математическая физика, управление" под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. В.И. Лебедева, проф. А.В. Фурсикова (Москва, октябрь 2006г., ноябрь 2008г.).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 5 работ: 4 работы — [7], [8], [9], [10] — в рецензируемых журналах, из них [8] и [10] — в журналах, рекомендо-
ванных ВАК для публикации результатов кандидатских диссертаций; [40] — в материалах конференций.
Личный вклад автора
Результаты диссертации получены автором самостоятельно. Работ, написанных в соавторстве, нет.
Результаты численных экспериментов
Однако стоит отметить главное преимущество метода рядов по сравнению с другими подходами. Методы сжимающих отображений позволяют построить аппроксимацию устойчивого многообразия вдоль одной траектории, а применяя метод рядов, мы получаем приближение всего многообразия в некоторой окрестности неподвижной точки.
Стоит отмстить, что эффективность методов сжимающих отображений существенно зависит от качества начального приближения. Получение хороших приближений посредством невысоких вычислительных затрат — еще одно применение метода рядов.
Вкратце суть метода рядов можно описать следующим образом. Устойчивое многообразие инвариантно относительно действия системы, то есть траектории его точек тоже лежат па устойчивом многообразии. В окрестности неподвижной точки оно может быть задано в виде графика некоторого отображения. Метод рядов заключается в том, что искомое отображение записывают в виде ряда с неизвестными коэффициентами, это разложение подставляют в условие инвариантности. Из полученного равенства, приравнивая множители при подобных членах левой и правой частей, получают рекуррентные соотношения, связывающие искомые коэффициенты — от младших к старшим. То есть для вычисления коэффициентов при членах некоторой степени достаточно знать только коэффициенты при более низких степенях.
Метод рядов позволяет последовательно вычислять коэффициенты, получая все более точные приближения устойчивого многообразия. Трудоемкость при переходе к следующему приближению возрастает экспоненциально, что является основным недостатком метода. Однако метод дает возможность один раз вычислить коэффициенты и получить представление всего многообразия, что полезно при необходимости многочисленного проецирования на устойчивое многообразие. Такая потребность возникает, например, при решении задачи стабилизации по граничным условиям. Стоит отметить, что для уравнений в частных производных функционально-аналитическое разложение дает простое описание бесконечномерного многообразия, позволяющее построить его в произвольной точке.
Практические реализации различных методов сжимающих отображений проецирования на устойчивое многообразие динамических систем базируются на конечно-разностной аппроксимации соответствующих дифференциальных уравнений. В результате строится проекция на устойчивое многообразие некоторого приближения исходной системы. Метод рядов формально позволяет построить устойчивое многообразие исходного дифференциального уравнения.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть она имеет в начале координат неустойчивое положение равновесия. Предположим, что траектория с заданным начальным условием будет отклоняться от нуля. Возникает задача отыскания управления для "удержания" рассматриваемого решения в достаточно малой окрестности нуля.
Методы стабилизации по граничным и начальным условиям, используют импульсное управление системой. Метод стабилизации по правой части позволяет распределить влияние во времени, однако это требует суммарно большего энергетического вклада.
Стоит отметить, что в большом количестве работ, посвященных решению задач оптимального управления под стабилизацией понимают внесение в систему управления, которое меняет ее общую динамику: система из локально неустойчивой становится локально устойчивой. В настоящей работе мы будем рассматривать задачу стабилизации к нулю заданного решения с фиксированными начальными данными.
В работе [20] рассматриваются задачи стабилизации для линейных дифференциальных уравнений. Алгоритмы стабилизации, учитывающие нелинейность задачи, имеют большое значение, поскольку могут быть применены к существенно более широкому классу уравнений. Зачастую мы ограничены в возможности выбора силы и направления воздействия — вводится подпространство допустимых смещений.
В работе [42] задача стабилизации по правой части рассматривается для дискретных нелинейных полудинамических систем при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений. Задача асимптотической стабилизации для дифференциальных уравнений решается в терминах их конечно-разностных аппроксимаций.
В настоящей работе задача стабилизации по правой части решена с учетом нелинейности для исходной дифференциальной задачи при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений.
Первой целью настоящей работы является исследование применимости метода функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразие для расчетов при численном решении задач стабилизации по начальным данным для уравнений в частных производных параболического типа и систем обыкновенных дифференциальных уравнений седлового типа.
Второй целью работы является разработка алгоритма решения задачи стабилизации по правой части для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Модифицированный оператор симметризации
В разделе 2.3 описывается, как можно ускорить суммирование. Равенство (2.25) можно заменить (см. подраздел 2.3.3) на где коэффициенты Ck(fjk) определяются по формуле (2.17). Лемма 2.1 из подраздела 2.3.4 предлагает простой критерий определения коэффициентов, равных нулю, что можно сразу использовать при суммировании. Особенность метода рядов заключается в том, что для вычисления коэффициентов, при членах К-и степени достаточно знать все коэффициенты при членах меньших степеней. Пусть К = 2. Для построения F[2](z_) нам необходимо знать значения коэффициентов Fr, (771,772), при 771,772 = N + 1,..., М, которые точно вычисляются по формулам (2.12) и (2.14). При К 2 коэффициенты вычисляются по формуле (2.13): где значения q(m) определяются равенствами (2.11), a Bi(j,m\f)m) при г = 1,..., 5 необходимо вычислять по формулам (2.19), (2.20), (2.21), (2.22), (2.23) соответственно. Тому, как можно ускорить вычисления при помощи модификации входящего в эти формулы оператора симметризации 5 , посвящен подраздел 2.3.2. Лемма 2.1 позволяет просто определять нулевые коэффициенты без вычислений. Однако стоит отметить, что в формулы для вычисления Вч (j:m;fjm): В4 (j, т; fjm) и В$ (j, m; 77) входит бесконечное суммирование по . Коэффициенты разложения F в ряд не зависят от того, в какой точке вычисляется значение F, поэтому даже если z_ принадлежит конечномерному подпространству пространства Н , для точного построения F[K](z-) при К 2 бесконечное суммирование по обязательно. На практике будем вычислять коэффициенты F (fjm) при т 2 приблизительно. Для этого введем целочисленный параметр Н и заменим во всех формулах на . В силу абсолютной сходимости рядов по можем выбрать такое S, которое обеспечит необходимую точность вычислений. Так как суммируемые выражения быстро убывают при — оо, значение S можно взять не очень большим. Если Н М, то для вычисления коэффициентов, необходимых на К-и шаге, достаточно знать коэффициенты, найденные на предыдущих шагах. Итак, при К — 2 вычисления коэффициентов F- (j)m) ведутся точно, при К 2 — приблизительно. Написаны программы на языке С, вычисляющие F(fjk) при произвольных значениях параметров а, К, М, Е. А также реализовано несколько вариантов аппроксимации уравнения (2.1). Если начальное условие принадлежит устойчивому инвариантному многообразию, то соответствующее решение уравнения (2.1) экспоненциально стремится к нулю по норме при t —» со. Если проекция на W_ найдена приблизительно, то норма решения будет убывать в течение некоторого времени Т, после чего начнет возрастать из-за роста влияния погрешности. Момент времени Т, до которого норма решения убывает, и значение ;z(T) можно использовать в качестве критерия точности построения проекции на устойчивое многообразие (чем больше Т и чем меньше z(T), тем лучше). На практике мы не можем точно найти z(t) = S(t)z0, так как для этого используем некоторую аппроксимацию уравнения (2.1). Таким образом численная реализация такого критерия будет свидетельствовать о близости найденной точки к устойчивому многообразию аппроксимированной задачи, которое несколько отличается от W_. В качестве тестового примера рассмотрим случай (5 = — 1, М = 9, В таблице 2.1 приведены значения F[K\{zJ). Для аппроксимации уравнения (2.1) использовалась чисто неявная разностная схема [4]. Шаг по t обозначим г, количество узлов на отрезке [0,7г] — п. Значения Т\ и г(Ті) получены при т = 10 , п = 100, значения Т2 и 2(Т2) — при т = Ю-4, п = 500. В качестве первого приближения устойчивого многообразия используется устойчивое многообразие линейной системы (2.2), то есть /[0](z_) =0. Можно заметить, что на каждом шаге уточняется очередная цифра в значении F(z-), то есть каждое следующее приближение точнее предыдущего не порядок. Эти результаты позволяют сделать вывод о быстрой сходимости метода. Отметим, что время Ті перестает существенно улучшаться уже при переходе к четвертому шагу, а время Т2 — при переходе к шестому. Такой эффект можно объяснить тем, что устойчивое многообразие конечно-разностной аппроксимации отличается от устойчивого многообразия исходного дифференциального уравнения. Обозначим через F функцию, задающую устойчивое многообразие аппроксимированной задачи. В случае, когда значение F[i --1](г_) — -F[i ](z_) сравнимо по порядку с \F(zJ) — F(z-)\, время Т практически не меняется. Кроме того, заметим, что по-скольку при вычислении [ (Т2) использована более точная аппроксима-ция исходного уравнения, на восьмом шаге значение z(T2) значительно меньше, чем J2(Ti).
Обоснование сходимости метода
Результаты численных экспериментов показывают, что алгоритмы, предложенные в главах 4 и 5, позволяют решать задачи асимптотической стабилизации для систем нелинейных дифференциальных уравнений большой размерности.
В случае, когда нелинейность оказывает малое влияние на поведение траектории, начальное приближение / достаточно эффективно обеспечивает процесс стабилизации. Построение поправки с учетом нелинейности требует больших вычислительных затрат, зато существенно повышает качество стабилизации. Приведенные аналитические формулы и результаты расчетов использованы при подготовке работ [8] и [9]. 1. Метод рядов проецирования на устойчивое многообразие адаптирован для численного решения задач асимптотической стабилизации. Проведены расчеты для квазилинейного параболического уравнения и системы обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца. 2. Разработаны, реализованы и успешно применены алгоритмы решения задач стабилизации по правой части для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритмы позволяют учитывать нелинейность задачи и ограничения на подпространство допустимых смещений. 3. Обоснована сходимость предложенных алгоритмов и доказаны теоремы существования искомых векторов управления. Метод функционально-аналитических рядов Приведем основные достоинства и недостатки использования метода рядов для численного проецирования на устойчивое многообразие. В отличие от других подходов, метод рядов формально позволяет получать сколь угодно точные приближения отображения, задающего устойчивое многообразие, в целом в некоторой окрестности нуля, а не образы отдельных точек. Это важно при необходимости многочисленного проецирования на устойчивое многообразие. Когда все необходимые коэффициенты вычислены, можно получить проекции на устойчивое многообразие любых начальных функций (векторов) с малыми временными затратами (посредством суммирования). Если рассматривать метод рядов как итерационный процесс получения последовательных приближений устойчивого многообразия, то следует отметить его быструю сходимость: уже первые приближения позволяют получить хорошую точность. Однако с повышением точности вычислительные затраты возрастают экспоненциально.
Методы сжимающих отображений проецирования на устойчивое многообразие используют некоторую конечно-разностную аппроксимацию исходной дифференциальной задачи, тогда как вычислительные формулы метода рядов выведены именно для дифференциальной задачи. В настоящей работе метод рядов теоретически реализован для случая, когда неустойчивое подпространство имеет произвольную конечную размерность, а устойчивое подпространство системы бесконечномерно. Однако на практике нам приходится ограничиваться лишь конечным числом членов ряда.
Использование квадратичного приближения устойчивого многообразия вместо линейного в качестве начального приближения для итерационных методов стабилизации существенно повышает скорость их сходимости.
В отличие от других подходов, метод рядов жестко ориентирован на конкретную задачу. При изменении дифференциальных уравнений требуется выводить новые вычислительные формулы. Для многих типов уравнений, вывод вычислительных формул может оказаться сложной задачей. Однако отметим, что формулы для построения квадратичного приближения устойчивого .многообразия достаточно просты, а вычисления по ним позволяют получать удовлетворительные результаты. Предложенный в настоящей работе алгоритм построения решения задачи стабилизации по правой части для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений послужил для теоретического обоснования существования искомого вектора управления. Приведем его основные достоинства и недостатки.
В отличие от большинства известных методов стабилизации по правой части, предложенный алгоритм позволяет учитывать влияние нелинейности. Однако из-за этого метод обладает большей трудоемкостью.
Отметим, что предложенный алгоритм устойчив к вычислительным погрешностям, поскольку интегрирование на устойчивом подпространстве ведется по возрастающему времени, на неустойчивом подпространстве — по убывающему. Однако именно это существенно повышает необходимые вычислительные затраты. Алгоритм применим для решения задач большой размерности. Возможно его использование при решении задач стабилизации по правой части для уравнений в частных производных. Сходимость предложенного алгоритма теоретически обоснована при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений.
Обоснование сходимости метода
Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем. . Впервые метод функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразие применен для практических расчетов для квазилинейного параболического уравнения в частных производных. Разработаны, реализованы и успешно применены алгоритмы решения задачи стабилизации по правой части для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающие их нелинейность. Впервые доказано существование искомого вектора управления для нелинейной дифференциальной задачи и обоснована сходимость предложенных алгоритмов. Достоверность, теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими доказательствами сформулированных утверждений и подтверждается численными экспериментами. Теоретическая ценность диссертации состоит в разработке нового семейства алгоритмов решения задач асимптотической стабилизации. Практическая ценность работы заключается в обширном наборе формул и алгоритмов, которые могут быть использованы при решении различных прикладных задач.
Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях и семинарах: международная научная конференция "Математическая гидродинамика" (Москва, июнь 2006г.); ежегодные научные конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, апрель 2007г., апрель 2008г.); научно-исследовательский семинар кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. Г.М. Кобелькова; научно-исследовательский семинар кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. А.В. Гулииа (Москва, октябрь 2008г.); научно-исследовательский семинар "Нелинейная динамика и управление" кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством акад. СВ. Емельянова и акад. С.К. Коровина (Москва, ноябрь 2008г.); научно-исследовательский семинар ИВМ РАН "Вычислительная математика, математическая физика, управление" под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. В.И. Лебедева, проф. А.В. Фурсикова (Москва, октябрь 2006г., ноябрь 2008г.).
По теме диссертации опубликовано 5 работ: 4 работы — [7], [8], [9], [10] — в рецензируемых журналах, из них [8] и [10] — в журналах, рекомендо-ванных ВАК для публикации результатов кандидатских диссертаций; [40] — в материалах конференций. Результаты диссертации получены автором самостоятельно. Работ, написанных в соавторстве, нет.
В этой главе метод рядов проецирования на устойчивое инвариантное многообразие применяется к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца. Выводятся вычислительные формулы. Приведены результаты расчетов.
Построение инвариантных множеств необходимо для понимания общей динамики системы [38]. Различные подходы к численному построению глобальных устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий отражены в работах [43, 37]. В настоящей работе описывается метод локального построения устойчивого многообразия в некоторой окрестности нуля. Этого достаточно для решения задач асимптотической стабилизации.
Мы рассматриваем двумерное устойчивое многообразие системы Лоренца. В этом случае производить вычисления по методу рядов существенно проще, чем при решении аналогичной задачи для уравнений в частных производных с бесконечномерным устойчивым многообразием. Система Лоренца служит хорошим наглядным примером, поскольку в применении к ней метод рядов сохраняет свои характерные черты и свойства.
Стоит отметить, что до настоящего момента метод рядов не применялся для численного построения устойчивого многообразия системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
