Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Задача управления дифференциально - операторной гиперболической системой .
1.1. Постановка задачи. 15
1.2. Сведение к обобщенной проблеме моментов. 18
1.3. Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод . 20
ГЛАВА 2. Задачи управления колебаниями струны .
2.1. Обобщенный метод моментов для задач с несколькими управлениями.
2.1.1. Постановка задачи. 24
2.1.2. Сведение к обобщенной проблеме моментов. 25
2.1.3. Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод . 29
2.2. Конечноразностние аппроксимации.
2.2.1 Постановка задачи. 35
2.2.2 Сопряженные системы, градиенты функционалов. 37
2.2.3 Конечноразностный двойственный регуляризованный метод. Сходимость решений уравнений . 39
2.2.4 Сходимость решения по функционалу. Слабая сходимость управлений. 44
2.2.5 Сильная сходимость по управлению. 46
ГЛАВА 3. Задача управления колебаниями пластины .
3.1. Постановка задачи. 49
3.2. Сведение к обобщенной проблеме моментов. 51
3.3. Вычисление параметров собственных колебаний. 54
3.4. Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод . 57
Приложение. Результаты вычислительных экспериментов для задачи управления круглой упругой пластиной. 61
- Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод
- Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод
- Конечноразностный двойственный регуляризованный метод. Сходимость решений уравнений
- Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод
Введение к работе
ГЛАВА 1. Задача управления дифференциально - операторной гиперболической системой.
1.1. Постановка задачи. 15
1.2. Сведение к обобщенной проблеме моментов. 18
1.3. Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод. 20
Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод
В этом пункте также доказывается сходимость решений (24)-(27) w(hj) — W{1,J\UM) К решению (21)-(24) w(x,T) = w(x,T]u). В пункте 2.2.4 этого параграфа выводится оценки скорости сходимости по функционалу (слабая сходимость управлений). В пункте 2.2.5 этого параграфа приводится оценки сильной сходимости по управлению.
В главе 3 данной работы рассматривается двойственный регуляризованный метод для задачи управления колебаниями круглой упругой пластины. Рассматривается задача определения внешней, распределенной по поверхности управляющей нагрузки, которая переводит круглую упругую пластину из одного заданного начального состояния как можно ближе к другому заданному конечному состоянию за фиксированное время. Под состоянием пластины понимается отклонение от положения равновесия срединной поверхности и распределение скоростей. Задача ставится как задача минимизации терминального квадратичного функционала качества на решениях линейного уравнения, описывающего колебания пластины с управлениями в правой части уравнения. Управление зависит только от времени, а распределение их по поверхности пластины фиксировано. Например, управляющие силы могут быть приложены в определенных точках поверхности пластины. Управления подчинены ограничениям, которые связаны с условиями ограниченности потребляемой энергии. Для решения этой задачи управления применяется двойственный регуляризованный метод. В ней дается описание алгоритма решения, получены оценки скорости сходимости по функционалу и условия сходимости по управлению. Эти результаты используют метод регуляризации, обобщенный метод моментов и получены на основе работы. Используемая методика основана на обобщении метода моментов с использованием теории двойственности в задачах оптимального управления. Этот метод имеет преимущество по объему и по времени счета по сравнению с другими методами оптимального управления, например, градиентными, которые применимы в общих задач оптимального управления. Это связано со спецификой задачи, а именно: линейностью управления, квадрати чностью функционала качества. Для решения рассматриваемой задачи необходим метод, который сочетался бы с методом разложения по собственным формам колебаний пластины. Это сочетание дает используемый метод, который предполагает известными (заранее вычисленными) параметры собственных колебаний пластины. Эти характеристики системы являются независимыми от процесса оптимизации, который в системе автоматического управления с обратной связью является оперативным, многоразовым. Вычисление этих характеристик выделяется в отдельную разовую (не входящую в контур обратной связи) вычислительную процедуру. Отметим также, что системы автоматического управления с обратной связью требуют работы в реальном масштабе времени, а это налагает на вычислительный процесс, кроме точности, определенные, зачастую довольно жесткие ограничения на время счета. Таким образом, этот фактор необходимо учитывать при выборе, разработке и реализации математических методов. В описываемом методе оптимальное управление вычисляется в виде ряда по собственным функциям и состоит в последовательном решении систем линейных алгебраических уравнений.
В 3.1 этой главы рассматривается задачи управление колебание круглой однородной пластины (12)-(14). К поверхности пластины приложены s управляющих воздействий u{t) = (ui(t),...,us(t)) с соответствующим распределением по поверхности
Тогда функцию F(t, г, в) в правой части уравнения (12) можно записать в виде - известная функция, задающая внешнюю нагрузку. Задача управления состоит в том, чтобы при заданном начальном состоянии (14) найти управление u(t), которое переводило бы пластину к моменту времени t = Т как можно ближе к некоторому заданному конечному состоянию у = (у0{г, 9),у1 (г, в)). Управления подчинены, например, ограничениям где ді(и), і = 1,..., m- выпуклые дифференцируемые по Фреше функции, множества выполняется условие Слейтера, т.е. й Є U : ді(й) О, і = 1,...,771. Условие близости к состоянию у = (у0(г, в), у1 (г, в)) можно сформулировать в виде задачи минимизации функционала В 3.2 исходная задача, поставленная в 3.1 сводится к эквивалентной задаче в виде обобщенной проблемы моментов используя некоторый ортонормированный базис ёо(г,#),ei(r,9),... в Z n- В 3.3 даётся описание вычисления параметров собственных колебаний для исходной задаче. В качестве ортонормированный системы ёк,к = 1,2,... можно взять систему собственных функций краевой задачи
Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод
В данной работе рассматривается задача определения внешней, распределенной по поверхности управляющей нагрузки, которая переводит круглую упругую пластину из одного заданного начального состояния как можно ближе к другому заданному конечному состоянию за фиксированное время . Под состоянием пластины понимается отклонение от положения равновесия срединной поверхности и распределение скоростей. Задача ставится как задача минимизации терминального квадратичного функционала качества на решениях линейного уравнения, описывающего колебания пластины с управлениями в правой части уравнения. Управление зависит только от времени, а распределение их по поверхности пластины фиксировано. Например, управляющие силы могут быть приложены в определенных точках поверхности пластины. Управления подчинены ограничениям, которые связны с условиями ограниченности потребляемой энергии. Для решения этой задачи управления применяется двойственный регуляризованный метод. В ней дается описание алгоритма решения, получены оценки скорости сходимости по функционалу и условия сходимости по управлению. Эти результаты используют метод регуляризации [10,44], обобщенный метод моментов [9] и получены на основе работы [24].
Используемая методика основана на обобщении метода моментов с использованием теории двойственности в задачах оптимального управления. Этот метод имеет преимущество по объему и по времени счета по сравнению с другими методами оптимального управления, например, градиентными, которые применимы в общих задач оптимального управления. Это связано со спецификой задачи, а именно: линейностью управления, квадратичностыо функционала качества. Для решения рассматриваемой задачи необходим метод, который сочетался бы с методом разложения по собственным формам колебаний пластины. Это сочетание дает используемый метод, который предполагает известными (заранее вычисленными) параметры собственных колебаний пластины. Эти характеристики системы являются независимыми от процесса оптимизации, который в системе автоматического управления с обратной связью является оперативным, многоразовым. Вычисление этих характеристик выделяется в отдельную разовую (не входящую в контур обратной связи) вычислительную процедуру. Отметим также, что системы автоматического управления с обратной связью требуют работы в реальном масштабе времени, а это налагает на вычислительный процесс, кроме точности, определенные, зачастую довольно жесткие ограничения на время счета. Например, для адаптивной лазерной системы это время может быть долями секунд [11]. Таким образом, этот фактор необходимо учитывать при выборе, разработке и реализации математических методов. В описываемом методе оптимальное управление вычисляется в виде ряда по собственным функциями и состоит в последовательном решении систем линейных алгебраических уравнений.
Рассматривается круглая однородная пластина радиуса го с постоянными (не зависящими от г и в) толщиной h, цилиндрической жесткостью D = Eh3/[12(1 — и2)] и плотностью на единицу площади р. В полярных координатах (г, в) уравнение колебаний имеет вид [35,43,46]:
В осесимметричном случае (независимость от угла в) функция w = w(t,r),F = F(t,r), а в операторе Л2 отсутствует слагаемое со второй производной по 0. В уравнение (3.1.1) можно ввести и другие члены с младшими производными: первой производной по t и вторыми производными по г и 9. Тогда можно было бы учесть различные упругие силы, силы трения, возможно действующие на поверхность пластины. Но эти члены не существенны для излагаемого метода и поэтому они в данном рассмотрении опущены. Для краевых условий жесткого закрепления уравнение (3.1.1) с краевыми условиями (3.1.2),(3.1.3) однозначно определяет функцию отклонения пластины от положения равновесия w(t,r,d). Соответствующие теоремы существования и единственности решения можно найти, например, в работах [20,37]. Пусть к поверхности пластины приложены s управляющих воздействий u(t) = (u\(t),..., us(t)) с соответствующим распределением по поверхности
Конечноразностный двойственный регуляризованный метод. Сходимость решений уравнений
В пункте 2.2.2 этого параграфа выводятся сопряженные системы и градиенты функционалов для исходной и аппроксимирующие задачи. В пункте 2.2.3 этого параграфа сформулируется конечно-разностный двойственный регуляризованныи метод для исходной и аппроксимирующие задачи в виде:
В этом пункте также доказывается сходимость решений (24)-(27) w(hj) — W{1,J\UM) К решению (21)-(24) w(x,T) = w(x,T]u). В пункте 2.2.4 этого параграфа выводится оценки скорости сходимости по функционалу (слабая сходимость управлений). В пункте 2.2.5 этого параграфа приводится оценки сильной сходимости по управлению.
В главе 3 данной работы рассматривается двойственный регуляризованный метод для задачи управления колебаниями круглой упругой пластины. Рассматривается задача определения внешней, распределенной по поверхности управляющей нагрузки, которая переводит круглую упругую пластину из одного заданного начального состояния как можно ближе к другому заданному конечному состоянию за фиксированное время. Под состоянием пластины понимается отклонение от положения равновесия срединной поверхности и распределение скоростей. Задача ставится как задача минимизации терминального квадратичного функционала качества на решениях линейного уравнения, описывающего колебания пластины с управлениями в правой части уравнения. Управление зависит только от времени, а распределение их по поверхности пластины фиксировано. Например, управляющие силы могут быть приложены в определенных точках поверхности пластины. Управления подчинены ограничениям, которые связаны с условиями ограниченности потребляемой энергии. Для решения этой задачи управления применяется двойственный регуляризованный метод. В ней дается описание алгоритма решения, получены оценки скорости сходимости по функционалу и условия сходимости по управлению. Эти результаты используют метод регуляризации, обобщенный метод моментов и получены на основе работы. Используемая методика основана на обобщении метода моментов с использованием теории двойственности в задачах оптимального управления. Этот метод имеет преимущество по объему и по времени счета по сравнению с другими методами оптимального управления, например, градиентными, которые применимы в общих задач оптимального управления. Это связано со спецификой задачи, а именно: линейностью управления, квадрати чностью функционала качества. Для решения рассматриваемой задачи необходим метод, который сочетался бы с методом разложения по собственным формам колебаний пластины. Это сочетание дает используемый метод, который предполагает известными (заранее вычисленными) параметры собственных колебаний пластины. Эти характеристики системы являются независимыми от процесса оптимизации, который в системе автоматического управления с обратной связью является оперативным, многоразовым. Вычисление этих характеристик выделяется в отдельную разовую (не входящую в контур обратной связи) вычислительную процедуру. Отметим также, что системы автоматического управления с обратной связью требуют работы в реальном масштабе времени, а это налагает на вычислительный процесс, кроме точности, определенные, зачастую довольно жесткие ограничения на время счета. Таким образом, этот фактор необходимо учитывать при выборе, разработке и реализации математических методов. В описываемом методе оптимальное управление вычисляется в виде ряда по собственным функциям и состоит в последовательном решении систем линейных алгебраических уравнений.
В 3.1 этой главы рассматривается задачи управление колебание круглой однородной пластины (12)-(14). К поверхности пластины приложены s управляющих воздействий u{t) = (ui(t),...,us(t)) с соответствующим распределением по поверхности Тогда функцию F(t, г, в) в правой части уравнения (12) можно записать в виде =i где f(t,r,0) Є L/2(Q), Q = (to,T) x Q- известная функция, задающая внешнюю нагрузку. Задача управления состоит в том, чтобы при заданном начальном состоянии (14) найти управление u(t), которое переводило бы пластину к моменту времени t = Т как можно ближе к некоторому заданному конечному состоянию у = (у0{г, 9),у1 (г, в)). Управления подчинены, например, ограничениям где ді(и), і = 1,..., m- выпуклые дифференцируемые по Фреше функции, причем g(u) = Yl9i(u) сильно выпукла. Будем считать, что для этого г =1 множества выполняется условие Слейтера, т.е. й Є U : ді(й) О, і = 1,...,771. Условие близости к состоянию у = (у0(г, в), у1 (г, в)) можно сформулировать в виде задачи минимизации функционала В 3.2 исходная задача, поставленная в 3.1 сводится к эквивалентной задаче в виде обобщенной проблемы моментов используя некоторый ортонормированный базис ёо(г,#),ei(r,9),... в Z n- В 3.3 даётся описание вычисления параметров собственных колебаний для исходной задаче. В качестве ортонормированный системы ёк,к = 1,2,... можно взять систему собственных функций краевой задачи В 3.4 для обобщенной проблемы моментов ставятся в соответствие аппроксимирующие задачи с помощью усечения бесконечного ряда. Для этих аппроксимаций вводится функционал Лагранжа и двойственные задачи. Для решения этих двойственных задач в случае квадратичных ограничений на управления: даётся алгоритм нахождения множителей Лагранжа на основе метода проекции градиента. Приводится обоснование сходимости метода: а именно, получены оценки скорости сходимости по функционалу; доказывается слабая сходимость приближенных оптимальных управлений и выводится условия сильной сходимости этих управлений к нормальному оптимальному управлению. В приложении данной работы даются результаты вычислительных экспериментов для задачи управления круглой упругой пластиной.
Для решения задачи оптимального управления, связанной с минимизацией терминального квадратичного функционала, на решениях дифференциально-операторного гиперболического уравнения с несколькими управлениями применяется двойственный регуляризованный метод. Исследование и разработка численных методов решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами в настоящее время является актуальной проблемой [2,5,10,16,17]. В данной работе рассматривается двойственный регуляризованный метод для решения задачи перевода гиперболической системы из некоторого начального состояния как можно ближе к заданному конечному состоянию при наличии выпуклых ограничений на управления. Рассматриваемая задача, в частности, включает задачи управления колебаниями струн, стержней, мембран, пластин. В работе предлагается алгоритм решения и приводится обоснование его сходимости, вывод оценок по функционалу, слабой и сильной сходимости по управлению. Эти результаты используют метод регуляризации [44], обобщенный метод моментов [9,35] и получены на основе работ [24,26].
Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод
В данной работе рассматривается задача определения внешней, распределенной по поверхности управляющей нагрузки, которая переводит круглую упругую пластину из одного заданного начального состояния как можно ближе к другому заданному конечному состоянию за фиксированное время . Под состоянием пластины понимается отклонение от положения равновесия срединной поверхности и распределение скоростей. Задача ставится как задача минимизации терминального квадратичного функционала качества на решениях линейного уравнения, описывающего колебания пластины с управлениями в правой части уравнения. Управление зависит только от времени, а распределение их по поверхности пластины фиксировано. Например, управляющие силы могут быть приложены в определенных точках поверхности пластины. Управления подчинены ограничениям, которые связны с условиями ограниченности потребляемой энергии. Для решения этой задачи управления применяется двойственный регуляризованный метод. В ней дается описание алгоритма решения, получены оценки скорости сходимости по функционалу и условия сходимости по управлению. Эти результаты используют метод регуляризации [10,44], обобщенный метод моментов [9] и получены на основе работы [24].
Используемая методика основана на обобщении метода моментов с использованием теории двойственности в задачах оптимального управления. Этот метод имеет преимущество по объему и по времени счета по сравнению с другими методами оптимального управления, например, градиентными, которые применимы в общих задач оптимального управления. Это связано со спецификой задачи, а именно: линейностью управления, квадратичностыо функционала качества. Для решения рассматриваемой задачи необходим метод, который сочетался бы с методом разложения по собственным формам колебаний пластины. Это сочетание дает используемый метод, который предполагает известными (заранее вычисленными) параметры собственных колебаний пластины. Эти характеристики системы являются независимыми от процесса оптимизации, который в системе автоматического управления с обратной связью является оперативным, многоразовым. Вычисление этих характеристик выделяется в отдельную разовую (не входящую в контур обратной связи) вычислительную процедуру. Отметим также, что системы автоматического управления с обратной связью требуют работы в реальном масштабе времени, а это налагает на вычислительный процесс, кроме точности, определенные, зачастую довольно жесткие ограничения на время счета. Например, для адаптивной лазерной системы это время может быть долями секунд [11]. Таким образом, этот фактор необходимо учитывать при выборе, разработке и реализации математических методов. В описываемом методе оптимальное управление вычисляется в виде ряда по собственным функциями и состоит в последовательном решении систем линейных алгебраических уравнений.
Рассматривается круглая однородная пластина радиуса го с постоянными (не зависящими от г и в) толщиной h, цилиндрической жесткостью D = Eh3/[12(1 — и2)] и плотностью на единицу площади р. В полярных координатах (г, в) уравнение колебаний имеет вид [35,43,46]:
В осесимметричном случае (независимость от угла в) функция w = w(t,r),F = F(t,r), а в операторе Л2 отсутствует слагаемое со второй производной по 0. В уравнение (3.1.1) можно ввести и другие члены с младшими производными: первой производной по t и вторыми производными по г и 9. Тогда можно было бы учесть различные упругие силы, силы трения, возможно действующие на поверхность пластины. Но эти члены не существенны для излагаемого метода и поэтому они в данном рассмотрении опущены. Для краевых условий жесткого закрепления уравнение (3.1.1) с краевыми условиями (3.1.2),(3.1.3) однозначно определяет функцию отклонения пластины от положения равновесия w(t,r,d). Соответствующие теоремы существования и единственности решения можно найти, например, в работах [20,37]. Пусть к поверхности пластины приложены s управляющих воздействий u(t) = (u\(t),..., us(t)) с соответствующим распределением по поверхности.
