Содержание к диссертации
Введение
I. Итерационные методы решения СЛАУ 14
1.1. Некоторые сведения из теории матриц и теории итерационных методов 14
1.1.1. Типы матриц и их основные свойства 14
1.1.2. Сведения из теории матриц 17
1.1.3. Локализация спектра матриц 20
1.1.4. Лемма Келлога 22
1.1.5. Основные сведения из теории итерационных методов . 23
1.1.6. Методы ускорения сходимости .27
1.2. Классические итерационные методы (обзор) 28
1.2.1. Метод Якоби. 30
1.2.2. Метод Гаусса-Зейделя 31
1.2.3. SOR (метод последовательной верхней релаксации) 31
1.2.3.1. Модифицированный SOR (modified successive overrelaxation) MSOR 33
1.2.3.2. Метод релаксации с ускорением (accelerated overrelaxation) - AOR 34
1.2.4. SSOR (симметричныйметод SOR) и USSOR (Несимметричный SOR) 35
1.2.5. Треугольные методы 36
1.2.6. Попеременно-треугольные методы 37
1.2.7. LU—разложение 38
1.3. Итерационные методы решения сильно несимметричных СЛАУ 39
1.3.1. Вариационные методы 41
1.3.2. Кососимметричные итерационные методы (КМ) 49
1.3.2.1. Треугольные КМ (ТКМ) 52
1.3.2.2. Попеременно-треугольные КМ (ПТКМ) 55
1.3.2.3. Двуциклические треугольные КМ (ДТКМ) 56
1.3.2.4. Численное исследование на модельной задаче 57
1.3.3. Методы эрмитова и косоэрмитова разложения 71
II. Двухпараметрические кососимметрические треугольные итерационные методы 73
II. 1. Двухпараметрический ДТКМ 73
II.1.1. Условия сходимости метода 74
II.1.2. Нахождение оптимального параметра метода . 80
II.2. Двухпараметрический ПТКМ 93
II.2.1. Условия сходимости метода 94
II.2.2. Нахождение оптимального параметра метода. 99
II.3. Ускорение треугольных кососимметричных методов 109
II.4. Численное исследование на модельной задаче 112
III. Использование кососимметрических итерационных методов для переобуславливания вариационных методов 127
III.1. методы подпространства крылова 127
III.2. Переобуславливание 131
III.3. GMRES и его модификации 138
III.4. BLCG и его модификации 141
III.5. Переобуславливание GMRES и BlCG 143
III.6. Численное исследование на модельной задаче 146
Литература 152
- Основные сведения из теории итерационных методов
- Итерационные методы решения сильно несимметричных СЛАУ
- Нахождение оптимального параметра метода
- Численное исследование на модельной задаче
Введение к работе
Актуальность темы. Теория итерационных методов является интенсивно развивающейся областью численного анализа и занимает важное место в вычислительной математике и механике.
Для решения задач математической физики широко используются методы дискретизации исходных дифференциальных или интегральных уравнений, краевых и начальных условий, которые позволяют преобразовать исходную непрерывную задачу в дискретную, т.е. перейти из бесконечномерного в конечномерное пространство, как правило, достаточно большой размерности. Далее, в этом конечномерном пространстве задачу преобразуют в систему линейных алгебраических уравнений, которую затем надо решить на ЭВМ. Такая технология решения сложных научно-технических задач, описываемых системами интегро-дифференциальных уравнений, краевых и начальных условий была разработана в начале 60-тых годов А.А.Самарским и была названа им вычислительным экспериментом. В данной работе особое внимание уделяется предпоследнему этапу технологии вычислительного эксперимента - решению системы линейных алгебраических уравнений. В соответствии с мировой статистикой 80% задач, решаемых на ЭВМ - это задачи нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В работе рассматриваются итерационные методы решения этой задачи, т.к. речь идет о СЛАУ содержащих сотни тысяч неизвестных и уравнений, а прямые методы их решений при таком размере СЛАУ не эффективны. Несмотря на то, что теория итерационных методов в достаточной степени разработана для достаточно большого класса матриц, остаются проблемы по созданию новых эффективных итерационных методов решения СЛАУ для матриц, обладающих достаточно специфическими свойствами. Одним из таких классов матриц являются сильно несимметричные матрицы, которые получаются, например, при центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной.
РОС. f іЧ, -( ьгілЯ
В связи с этим актуальность работы обусловлена потребностью в эффективных методах решения такого класса СЛАУ.
Построение «быстрых» итерационных методов решения сильно несимметричных систем в данной работе основываются на включении в обращаемый оператор итерационного метода треугольной части лишь кососимметри-ческой составляющей исходной матрицы.
Цель и задачи работы. Целью данной работы является разработка эффективных численных методов решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. В работе предложены двухпараметрические попеременно-треугольный и двуциклический методы для решения СЛАУ из рассматриваемого класса.
В соответствии с этими целями решен ряд задач:
разработаны, теоретически обоснованы и численно проверены двухпараметрические попеременно-треугольный (ПТКМ) и двуциклический (ДТКМ) итерационные методы решения СЛАУ с сильно несимметричной матрицей;
рассмотрены вопросы ускорения двухпараметрических ПТКМ и ДТКМ;
предложено использование параметрических и безпараметрических ПТКМ и ДТКМ в качестве переобуславливателей для методов вариационного типа.
Научная новизна работы определяется полученными теоретическими результатами исследования:
доказательством сходимости предложенных новых классов двухпараметрических попеременно - треугольных и двуциклических кососиммет-рических методов решения СЛАУ с сильно несимметричными матрицами;
определением (в частных случаях) оптимальных параметров двухпараметрических ПТКМ и ДТКМ;
исследованием возможности использования этих методов в качестве переобуславливателей для методов вариационного типа.
Достоверность. Представленные в диссертации теоремы и следствия имеют строгое математическое обоснование, предложенные методы теоретически исследованы и численно проверенны.
Практическая значимость. Разработанные итерационные методы вносят вклад в развитие численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений специального вида. Вместе с тем, с помощью разработанных методов можно эффективно решать задачи типа «пограничного слоя» при конвективно-диффузионном переносе с преобладанием конвекции.
К защите представлены следующие результаты диссертационной работы:
-
предложены двухпараметрические итерационные методы решения сильно несимметричных систем: попеременно-треугольный (ПТКМ) и дву-циклический (ДТКМ) кососимметричные методы;
-
получены достаточные условия сходимости двухпараметрических ПТКМиДТКМ;
-
для частных случаев проведены исследования по нахождению оптимального итерационного параметра для двухпараметрических ДТКМ и ПТКМ;
-
предложен метод ускорения сходимости двухпараметрических ДТКМ и ПТКМ за счет специального выбора компонент обращаемого оператора;
-
показана эффективность использования этих методов в качестве переобуславливателя для методов вариационного типа.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IX и X Всероссийских школах-семинарах молодых ученых «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо. 2001г., 2003г.); на международной конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике» (і. Ростов-на-Дону, 2001г.); на международной конференции ІММС-2002 «Итерационные методы и матричные вычисления» (г. Ростов-на-Дону, 2002г.); Conference «Computa-
tional linear algebra with applications», MILOVl, 2002; International Conference on Computational Mathematics, Novosibirsk, 2002; Annual Scientific Congerence GAMM 2003; Session 22, 2003, Abano Terme - Padua; IX и X Всероссийские Совещания по проблемам построения сеток для решения задач математической физики (п. Абрау-Дюрсо, 2002г., 2004г.), Всероссийской научно-технической конференции «Параллельные вычисления в задачах математической физики» (Ростов-на-Дону, 2004); на 5-ой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (г. Казань, 2004г.);
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, из них 3 статьи в российских и зарубежных реферируемых журналах, 6 статей в сборниках трудов и 3 в тезисах докладов российских и международных конференций. В совместных работах автор принимал участие на всех этапах исследования.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Библиография включает 133 наименований. Общий объем диссертации составляет 163 страницы, включая 14 таблиц и 12 рисунков.
Автор глубоко признателен своему научному руководителю к.ф.-м.н., с.н.с Чикиной Л.Г. и благодарит коллектив ЛВЭ ЮГИНФО РГУ за внимание к работе, оказанную помощь и полезные советы.
Основные сведения из теории итерационных методов
Доказаны достаточное условие сходимости двухпараметрических ДТКМ и ПТКМ. В приведенных следствиях из этих теорем эти достаточные условия упрощены для класса диссипативных матриц
Для нахождении оптимального параметра, при условиях, что операторы методов не зависят от параметра релаксации, T.Q.a =const 0 или операторы методов содержит параметр, пропорциональный параметру релаксации, т.е. о = кт доказаны теоремы, дающие значения этих оптимальных параметров.
Численное исследование на модельной задачи проводилось В разделе И.З. рассмотрены возможности ускорения сходимости предложенных методов, на примере двухпараметрического ДТКМ. Ускорение треугольных методов может быть достигнуто не только за счет наличия параметров и их оптимального выбора, но и за счет специального построения операторов Вс, BL и Ви, входящих в структуру обращаемого оператора методов ПТКМ и ДТКМ. Такой выбор оказывает существенное влияние на скорость сходимости метода. Очевидно, что этот оператор должен быть диагональным, иначе его обращение представляет достаточно трудоемкую вычислительную задачу. Рассмотрим в первую очередь условия положительной определенности операторов, определяющих энергетическую норму в методах, и запишем их в виде причем хотя бы для одной строки в каждой системе неравенство должно быть строгим. Тогда, очевидно, что если в качестве диагоналей операторов метода взять следующие выражения:, то они обеспечат выполнения условий положительной определенности операторов NL0 и Nuo, тем самым дадут сходимость двухпараметрического ДТКМ с диссипативным исходным оператором, сохраняя при этом в операторах BL и Ви информацию об изменениях в строках и столбцах исходной матрицы. Кроме того, построение диагоналей матриц BL и Ви не требует существенных вычислительных затрат, что не снижает эффективность метода. В разделе II.4. приведены численные результаты тестирования рассмотренных методов и их сравнения с классическими методами. Модельной задачей, на которой проведено тестирование методов, является стационарное двумерное уравнение конвекции-диффузии, записанное в симметричное форме, в единичном квадрате, с граничными условиями первого рода. Правая часть/и краевые условия выбирались таким образом, чтобы аналитическим решением задачи была гладкая функция U{x,y)=exysm{7Dc)sm{7iy). В рассматриваемой области строилась регулярная сетка размера 32x32 с равными шагами по обоим направлениям. После аппроксимации этого уравнения на стандартном пятиточечном шаблоне, где конвективная часть аппроксимирова-лась центральными разностями, получается система линейных алгебраических уравнений с диссипативной пятидиагональной матрицей А. Поле скоростей подобранно таким образом, чтобы удовлетворить условие несжимаемости среды, т.е. Div(V)=0, V={vi,V2} для кососиммет-рических методов, разработанных ранее, их модификаций, SSOR и двухпарамет-рических ПТКМ, ДТКМ. Все эти методы имеют похожую структуру и требуют одинакового числа арифметических операций на каждой итерации. Таким образом, для оценки эффективности методов достаточно сравнивать лишь число итераций. Все расчеты выполнялись на одной и той же ПЭВМ.
В главе III рассмотрены вариационные методы BiCG и GMRES(m), которые использовались для решения модельной задачи как самостоятельно, так и с пере-обуславливанием, где в качестве переобуславливателей использовались двухпа-раметрические ПТКМ и ДТКМ. Для оценки эффективности такого подхода, полученные численные результаты сравнивались с аналогичными результатами для «классического» переобуславливателя, которым является SSOR. Для улучшения сходимости вариационных методов предлагалась технология левого переобу-славливания.
По результатам данных тестов можно заметить, что все рассматриваемые операторы являться хорошими переобуславливателями для метода GMRES(IO), но достаточно слабыми переобуславливателями для метода BiCG.
Таким образом, использование разработанного класса двуциклических и попеременно-треугольных методов в качестве переобуславливателей методов вариационного типа наиболее эффективно для задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией и сильно меняющимся полем скоростей, соответствующей модельной задаче 4.
Итерационные методы решения сильно несимметричных СЛАУ
С момента появления итерационных методов постоянно разрабатываются методики, позволяющие увеличить их скорость сходимости. Эти попытки приводят к появлению новых методов. Так, естественное желание учитывать уже вычисленные значения на данной итерации метода Якоби привели к появлению метода Гаусса-Зейделя, введение итерационного параметра в метод Гаусса-Зейделя привело к появлению метода верхней релаксации.
Желание ускорить метод простой итерации привело к попыткам использования нестационарного набора итерационных параметров. Было показано, что можно воспользоваться полиномами Чебышева, как наименее уклоняющимися от нуля на отрезке [ОД]. Осуществление этой идеи привело к появлению чебы-шевского набора итерационных параметров [26] и чебышевского полуитерационного метода [35]. Данный набор параметров можно использовать для симметричных методов, т.е. методов, у которых оператор перехода симметричный, таких как метод симметричной последовательной релаксации и для попеременно-треугольных методов.
Аналогичный процесс происходит и в вариационных методах - желание увеличить скорость сходимости с помощью переобуславливателей привело к появлению гибридных методов, желание расширить область применения методов -к появлению новых.
В работах Самарского А.А. и его учеников [33, 35, 38] описывается алгоритм, с помощью которого можно существенно ускорить двухслойные вариационные методы для самосопряженных операторов. К этому классу методов относится, например, метод минимальных невязок и метод скорейшего спуска. Данная методика существенно отличается от стандартных способов ускорения вариационных методов. Известно, что с ростом числа итераций происходит замедление скорости сходимости метода. Было предложено исправить этот недостаток двухслойных методов, сделав несколько шагов трехслойного метода, например, метода сопряженных градиентов.
Предлагается, воспользовавшись уже вычисленными итерациями ук и yk+2, найти новое приближение у по формуле: Данная методика является весьма эффективной. Для тестирования данного способа ускорения в [35] решалась разностная задача Дирихле для уравнения Лапласа неявным методом скорейшего спуска. Применение приведенной выше методики позволило увеличить скорость сходимости в 1,8 раз.
Первые итерационные методы использовались для решения эллиптических дифференциальных уравнений. Наиболее простым среди этих методов был метод Ричардсона. Позже этот метод рассматривался как полиномиальный, и многие ученые пытались оптимизировать его с помощью выбора итерационных параметров так, чтобы полученные полиномы от матрицы системы приблизились к полиномам Чебышева. Различные подходы к данной методике предлагались Ян-гом (D.Young), Ланцошем (Lanczos) и многими другими учеными.
С появления ЭВМ и необходимости проведения на них расчетов начался рост популярности методов релаксационного типа, причем во второй половине прошлого века эти методы доминировали в литературе по итерационным методам. Метод Гаусса-Зейделя был предложен еще в XIX столетии, первоначально Гауссом в середине 1820-х годов и позже Зейделем в 1874 году. Поэтому в литературе по численному анализу его часто называют методом Гаусса или методом Зейделя. Если матрица системы симметричная и положительно определенная, то метод Гаусса-Зейделя сходится при любых начальных данных. Это часто используется, так как при дискретизации эллиптических уравнений в частных производных часто возникают симметричные и положительно определенные матрицы. Но так как спектральный радиус оператора перехода метода, как правило, близок к единице, то его скорость сходимости может оказаться очень медленной. Для ускорения метода Гаусса - Зейделя было предложено ввести итерационный параметр, что привело к появлению метода последовательной верхней релаксации, предложенного независимо Франкелем (Frankel)[66] и Янгом (Young) [130].
На примере достаточно простой задачи Дирихле было показано, что точный выбор оптимального итерационного параметра приводит к существенному увеличению скорости сходимости метода.
Дэвид Янг в своей работе [130] дал определения согласованной упорядоченности матрицы и обладание ею свойства «А», которые он использовал при выводе теории сходимости этого класса методов. Обобщение результатов Янга для других классов матриц было сделано Варгой (Varga) в опубликованной в 1962 году книге по численному анализу [122]. Уже долгое время данная книга, наряду с книгой Д.Янга [131], являются классическим учебником по итерационным методам решения систем линейных алгебраических уравнений.
Полученный класс итерационных методов релаксационного типа привел к появлению новых направлений исследования в теории матричной линейной алгебры. В частности, много внимания уделяется изучению свойств класса М-матриц, предложенных Островским, а также теории регулярного расщепления, предложенной Варгой. Краеугольным камнем теории сходимости итерационных методов стала теорема Штейна-Розенберга (Stein-Rosenberg), в которой доказывается асимптотическая скорость сходимости для методов релаксационного типа, включая метод Гаусса-Зейделя и Якоби. В развитии теории метода последовательной верхней релаксации большое внимание уделялось нахождению области сходимости метода и особенно нахождению оптимальных значений, при которых скорость сходимости наилучшая, а. именно: p[Sm )= min p(Sn)). Нахождение области сходимости метода представляло более простую задачу, чем нахождение оптимальных итерационных параметров.
Нахождение оптимального параметра метода
К классам краевых задач, где в результате аппроксимации могут возникнуть сильно несимметричные матрицы, относятся, в первую очередь, задачи в быстро движущихся средах или задачи, описывающие процессы на быстро движущихся объектах в несжимаемых или сжимаемых средах [1, 27, 31].
С математической точки зрения, такие задачи описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при старшей производной, которые известны как задачи типа «пограничного» или «внутреннего» слоя [7]. Такие слои появляются при наличии малого параметра при старшей производной и несогласованности в задаче правой части и краевых условий. Фактически, явление по-гранслоя означает резкое и существенное изменение решения задачи в очень небольшой области расчета. Если задача нестационарна, то при ее решении могут быть использованы специальные разностные схемы [40, 85].
Как правило, для аппроксимации конвективных членов в таких задачах используются: Направленные разности, приводящие к «противопотоковым» схемам [107], сводящие исходную задачу к системам линейных алгебраических уравнений с М-матрицами [37, 103], но не обеспечивающие достаточной точности решения задачи в районе погранслоя из-за появляющейся в следствие первого порядка аппроксимации производных «схемной вязкости», искажающей точное решение. Схемы с центральными разностями [16], которые при «правильной» записи конвективных членов исходного уравнений в симметричной форме [17] позволяют получить системы линейных алгебраических уравнений с диссипа-тивными матрицами, которые при малых значениях параметра при старшей производной и дают сильную несимметрию системы. Эти схемы не имеют «схемной вязкости» из-за второго порядка аппроксимации производных в уравнении и достаточно точно описывают поведение решения в погранслое. Схемы повышенного порядка точности [58, 64, 103, 133] пытающиеся сочетать «хорошие» свойства противопотоковых (транспортивность, монотонность) и центрально-разностных схем (сохранение кососимметрии конвективных членов в разностной форме, отсутствие «схемной вязкости») на данный момент еще не достаточно изучены. Таким образом, класс сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений имеет важное прикладное значение и умение быстро, точно и эффективно решать такие системы очень важно при решении практических задач. Важной характеристикой итерационных методов в части их способности решать сильно несимметричные системы является число несимметрии К, определяемое следующим образом: Определение 1.3.2. Число несимметрии К матрицы А равно где А0 — симметричная , а А\ — кососимметричная части матрицы А, I - некоторая матричная норма. Итерационные методы для решения систем из этого класса можно разделить на три группы, к первой из которых относятся универсальные вариационные методы, позволяющие эффективно решать задачи для матриц из более широкого класса, а к другим двум группам - стандартные итерационные методы [4] и методы основанные на разложении кососимметричнои составляющей исходной матрицы [2, 18,71,88]. некоторого квадратичного функционала [29]. Для системы линейных алгебраических уравнений рассматривается квадратичный функционал где и = А 1/ - точное решение системы, D - симметричная положительно определенная матрица. Данный функционал достигает минимума, равного нулю при у-и. Задача решения системы (1.3.1) эквивалентна задаче минимизации функционала, то есть нахождения вектора, минимизирующего функционал J (у). В частности, при D = А А т.е. является функционалом квадрата невязки. Для симметричных положительно определенных систем при D = А необходимо минимизировать функционал j(y)={Ay,y)-2(y,f). Существует два подхода, описывающих построение вариационных методов. В первом случае решение строится как линейная комбинация базисных векторов подпространства Крылова, а во втором решение строится из условия минимизации функционала J(y) в различных энергетических пространствах. Построение решения в подпространстве Крылова Для получения оптимального решения в подпространстве Крылова на первом этапе необходимо построить базис, который мог бы быть легко расширен для подпространства большей размерности. Очевидный базис, построенный на основе векторов г0, Аг0, ..., А 1г0 для подпространства Kt(A,r0) в арифметике с конечной точностью может потерять линейную независимость с увеличением размерности подпространства. Вместо этого строят ортонормированный базис по методу ортогонализации Арнольди [49]. Выбирается начальное приближение х0 = 0, и для начальной невязки r0 =Ь-Ах0 строится начальный вектор базиса v, =/ o/]r0 , затем базис расширяется вычислением следующего вектора t = Avt и проводится его ортонормализа-ция относительно предыдущих векторов. Полученные вектора v,,v2,...,vi формируют базис в подпространстве Крылова. Процесс ортонормализации приводит к соотношениям между векторами v , которые записываются в компактной алгебраической форме:
Численное исследование на модельной задаче
Численное исследование на модельной задачи (Глава 1.3.4) проводилось для кососимметрических методов, разработанных ранее, их модификаций, двухпа-раметрических ПТКМ, ДТКМ и SSOR. Все эти методы имеют похожую структуру и имеют одинаковый порядок числа арифметических операций на каждой итерации. Таким образом, для оценки эффективности методов достаточно сравнивать лишь число итераций. Все расчеты выполнялись на одной и той же ПЭВМ.
Расчеты проводились на модельных задачах 1-4, с числом Ре - 1000, 10000 и 100000. В таблице П.4.2 показано численное сравнение различных вариантов метода ПТКМ. В последнем столбце дано отношение количества итераций SSOR к ДПТКМ. Для методов ПТКМ брали следующие операторы метода: ПТКМ-1: Вс = Е, для параметров (2т,т), ПТКМ-2: Вс = Е, для параметров (т,т), ПТКМД: Be = D, D = (D D2) J.{Kuxirul+ ), для параметров ДПТКМ: Diag(Bc) = bCii = % + Y\kLV\ +Z w для параметров (2, т). В таблице II.4.3 показано численное сравнение методов ДТКМ. В последнем столбце дано отношение количества итераций SSOR к ДДТКМ. Для методов ДТКМ брали следующие операторы метода: ДТКМ: BL = Е.+ 2TKL,BU =Е + 2ТКи, для параметров (2т,т), ДТКМ0: BL=E-COD0+2TKL,BU=E-U}D0+2TKU, D0=0,5Diag(KLKtl+ ), для параметров (2т,т), ДДТКМ: BL = Diag(BL) + 2Кь,Ви = Diag(BL) + 2Ки, для параметров (2, т) По результатам расчетов ПТКМ (Таблица П.4.2.), выполненных для тестовых задач, описанных выше, были сделаны следующие выводы: 1. Для первой задачи ДПТКМ при изменении числа Ре от 103 до 105 сходился в 1,57-1,63 раз быстрее, чем SSOR. 2. Для второй задачи ДПТКМ при изменении числа Ре от 103 до 105 сходился в 1,29-2 раз быстрее, чем SSOR. 3. Для третей задачи ДПТКМ сходился в 1,5-2,78 раз быстрее, чем SSOR, причем с ростом числа Ре от 103 до 105 наблюдается, увеличение скорости сходимости метода. 4. Для четвертой задачи ДПТКМ сходился в 3,3-5,3 раз быстрее, чем SSOR, причем с ростом числа Ре от 10 до 10 наблюдается увеличение скорости сходимости метода. 5. Анализ численных расчетов показал, что наилучшие результаты для всех рассмотренных случаев дает ДПТКМ. По результатам расчетов ДТКМ (Таблица Н.4.З.), выполненных для тестовых задач, описанных выше, были сделаны следующие выводы: 1. Для первой задачи ДДТКМ при изменении числа Ре от 103 до 105 сходился в 1,6-1,7 раз быстрее, чем SSOR. 2. Для второй задачи ДДТКМ при изменении числа Ре от 103 до 105 сходился в 1,92-3 раз быстрее, чем SSOR. 3. Для третей задачи ДДТКМ сходился в 2-3,15 раз быстрее, чем SSOR, причем с ростом числа Ре от 103 до 105 наблюдается увеличение скорости сходимости метода. 4. Для четвертой задачи ДДТКМ сходился в 3,5-6,9 раз быстрее, чем SSOR, причем с ростом числа Ре от 103 до 105 наблюдается увеличение скорости сходимости метода. 5. Анализ численных расчетов показал, что наилучшие результаты для всех рассмотренных случаев дает ДДТКМ. В таблице П.4.4. показано численное сравнение лучшего в классе попеременно-треугольных методов - ДПТКМ с лучшим в классе двуциклических — ДДТКМ. В последнем столбце дано отношение количества итераций ДПТКМ к ДДТКМ. Анализ численных расчетов показал, что ДДТКМ считает лучше, чем ДПТКМ, но сильного превосходства не наблюдается.
