О методах численного решения и исследования сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Чистяков В.Ф.

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Чистяков В.Ф.. О методах численного решения и исследования сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений : ил РГБ ОД 61:85-1/2675

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Обозначения и сведения из теории матриц

п.I.I. Обозначения 1В

п.1.2. Свойства переменных матриц 1?

п. 1.3. Свойства пучков переменных матриц 20

Глава 2. Линейные системы 32

п.2.1. Общие сведения 32,

п.2.2. Свойства линейных систем, удовлетворяющих кри терию "ранг-степень" 39

п.2.3. Численные метода,решения задачи Коши для систем, удовлетворяющих критерию "ранг-степень" 50

п.2.4. Сведения о системах не удовлетворяющих критерию ранг-степень" Y0

п.2.5. О методах решения систем не удовлетворяющих критерию "ранг-степень" S2

п.2.6. Методика исследования линейных сингулярных систем и общие замечания 8 6

Глава 3. Нелинейные системы 92

п.3.1. Теоремы существования 9Ъ

л.3.2. Метода решения систем нелинейных уравнений, удов летворяющих критерию "ранг-степень" 10А

п.3.3. Сведения о системах не удовлетворяющих критерию "ранг-степень" и общие замечания 15

Заключение 12s

Литература

Свойства переменных матриц
Свойства пучков переменных матриц
Численные метода,решения задачи Коши для систем, удовлетворяющих критерию "ранг-степень"
Метода решения систем нелинейных уравнений, удов летворяющих критерию "ранг-степень"

Введение к работе

Изучение многих процессов, происходящих в различных природных и технических системах сводится к изучению их математических моделей, представляющих системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) iff*, *,t) = o_t (ВЛ) где j : ^2п" —- ^т . Доминирующее положение занимает изучение систем ОДУ разрешенных относительно производных или,как часто говорят,приведенных к форме Коши. Меньшее, но все же значительное внимание привлекали всегда и системы, не разрешенные относительно производной. В различные периоды центральное положение занимало изучение различных классов таких систем. Исторически первыми изучались системы, состоящие из одного уравнения с одним неизвестным. Современное состояние этой теории отражено в[іі с.22]. Изучение линейных систем ОДУ с матрицей перед производными, которая вырождается в точке, привело к возникновению мощных теорий, изложение которых можно найти например в [31, с.90], [ 14]. Но в последнее десятиденне в связи с тем, что в различных областях приложений математические модели процессов описываются взаимосвязанными системами алгебраических и дифференциальных уравнений, значительный интерес привлекают системы вида (В.І), у которых якобиан & _а^ вырождается в некоторой обласжи изменения переменных fp, х, t) , имеющей ненулевую меру в ^2п*< . Скажем немного о терминологии. Ряд зарубежных авторові, например, R.Marz, C.W.Gear, L.Petzold употребляет для обозначения систем такого рода словосочетания: "differential-algebraic equation's system". В отечествен- ной литературе, а также зарубежной, используется такой термин: "сингулярные системы ОДУ", например Ю.Е.Бояринцев, s.L.Campbell. Этого же термина придерживается автор данной работы. В ходу также названия: "сиетемы,не разрешенные относительно производных", "сиетемы,не приведенные к форме Коши". Перед обзором литературы рассмотрим ряд примеров линейных систем ОДУ вида Aft) Jbft) = В ft) xft) +fft) , їє[об,^], ' (B.2) где Aft), B(t) -fm*n) - матрицы, cc ft),^fee)- искомая и заданная вектор-функции соответственно. Пусть заданы системы _{'4 ft)} _{о \} _{, / /} _{о \} _{о wh}^ft)_-\o-,h^ftj_*s^M_- ^(в_-^з) "f o)*'*^J-(o W^W**- ^(В-⁴⁾ _{о о h}^(t,_{-{o wh*^-} где t є [об, j$] * Легко проверить, что если i)_eft) * о Vtefac^], і = /7Т , то при достаточной гладкости входных данных системы (В.З), (В.4), (В. 5) разрешимы для ^/ft) , а их общие решения можно записать в виде %(t), *sft)=(J_o _оУ + %&), t*[ot_>(fi] (B.6) где с - произвольный вектор из В. , Щ(ї), і- Ї7з - вектор- функции со свойством Фі(і) = о , если tfCt)- О на [ot_tofi] , матрицы входящие в выражения для общих решений в (В.6) имеют ранг равный 2,1,0 соответственно для Vt є [oC_f(/&] . Заметим, что если для существования гладких решений системы (В.З) достаточно выполнения включения (fft) е с(/рС, jdj) , то для примеров (В.4), (В.5) достаточность обеспечивается лишь включе ниями cfftje c'fljotfjs]), tf() є с²ҐІ<ї,с/³7) соответ ственно» Далее, любое решение систем (В.З)-(33,4) на произволь ном отрезке [o6_i>o/5_fj ^ fot,j3j можно представить в виде (В. 6). Условие .. (t₀)=ar, l=/~3 , t₀ є o6_tc/9] , сгє²выделяет единственное решение системы на [oC,j$], если решение определено в окрестности этой точки. Обращение в нуль коэффи циентов i>i(t), i=/iJ в некоторых точках отрезка [об,^] при водит к неприятным последствиям: несуществованию ограниченных решений на всем отрезке [oC_f(/3] для любой fft) , неединствен ности проходящих через некоторую точку (а_а, й₀ ) решений. Обра щение в нуль на всем отрезке [vC,js] коэффициентов 4 W» 4 №)приводит к тому, что решения систем (В.З),(В.4) существуют тогда и только тогда, когда ^(6) = ( ^f₀ J , одна компонента решения является произвольной гладкой функцией. У вышеприве денных примеров легко выяснить структуру множества решений, усмотреть наличие "плохих точек", понять их влияние на множест во решений. Но в случае общей системы (В.2) это сделать весьма непросто, тем более, что такие точки могут не иметь никаких связей с изменение ранга матрицы A (t) , как в примере (В.5). Например, просто глядя на систему cc(t) =( ' I) x(t) ^(t), (B.7) где t є f-<=><=>, оо) , tank Aft) = / Vt , невозможно догадаться, что она разрешима для Vrfft) є с² f[oC,j5]) , если [об, ₀/з]ф / и существуют сколь угодно гладкие вектор-функции ffft) , для которых система не имеет ограниченных ш[о_>с/з] решений, если [об_>с/э]э1 . Можно заметить, что в примерах (В.3)~ (В.5), если i)_t(t) Ї О Vte [об, js J , і = 7f5 , то размерность пространства решений совпадает со степенью характеристического многочлена det{Aft)A-B(t)}. Оказывается, это не случайно. Для системы (В. 2), если A(t) , В ft) постоянные матрицы и пучок Ал-В регулярен (то есть 3 л_о\ det(Ал_о-В}^0), степень многочлена ctet (А л-В} равна размерности пространства решений [51]. Как потом обнаружил автор, результат такого типа для систем с постоянными коэффициентами получил_еще Н.Н.Лузин [23]. Для переменных матриц этот факт вообще говоря уже не имеет места, но можно наложить условия, когда размерность пространства решений системы совпадает со степенью характеристического многочлена. Забегая вперед, скажем, что это, в частности, следствие постоянства ранга матрицы A(t) ж равенства ему для любого t є[оС,^] степени характеристического определителя. Такие си-стемы автор назвал (по предложению В.А.Данилова): системы, удовлетворяющие критерию "ранг-степень". Кстати, если в примерах (В.3)-(В.5) т)_& ft)*о ПєСоб,^], і = ff5 , i)₆(t) во H&[t,j3j, то все три системы удовлетворяют критерию "ранг-степень" .

С численным решением сингулярных систем также не все обстоит благополучно. Применение схемы Эйлера к (В.7) возможно только в том случае, если [<^_>c/sJП[-f -Є, 1+ё]=ф , <5- произвольное малое положительное число. _-ч-

Иначе численный процесс расходится. Но самым существенным обстоятельством является тот факт, что сколь угодно малое возмущение матрицы A ft) в примере (В.4), например матрицей ( ) приводит к сколь угодно большим измененишл множества решений, хотя малые возмущения правой части этой же системы мало меняют множество решений (если оно существует у возмущенной системы, а малость здесь понимается, конечно, в метрике С([об , ^8]) , но уже в примере (В. 5) возмущения матрицы В ft), например матрицей (ер), и вектор-функции fft) вектор-функцией ( yg _sin t/_e ) , могут приводит к тем большим возмущениям множества решений, чем меньше возмущение. И если в некотором смысле можно исправить положение, потребовав малости возмущений

Полученные результаты дали возможность провести исследование краевых задач для систем вида (8.2) большой общности, сформулировать условия их разрешимости. Эти результаты распростране- ны на некоторые классы разностных уравнений, что открыло пути конструирования численных методов. Большое место в теории Ю.Е.Бояршщева занимают признаки, выделяющие "решаемые системы". При изучении разностных схем он выявил интересное явление: "пограничный слой ошибок", сущность которого состоит в том, что решения разностных уравнений не сходятся в некоторой окрестности начальной точки к решению некоторых классов сингулярных систем. Ю.Е.Бояршщев предложил и обосновал для некоторых классов систем схему так называемого "метода возмущений" [9]. Работа автора создавалась под сильным идейным влиянием работ Ю.Е.Боя-ринцева, в том смысле, что они направили его внимание на поиск взаимосвязей между структурой пучка матриц и методами, использующими понижение порядка исходной системы.

Отметим работы Б.А.Данилова [18], [19]. В первой из них обоо-нована одна двухшаговая схема для решения задачи Коши, система которой является сингулярной, с регулярным пучком матриц коэффициентов. Бо второй исследуется связь между так называемыми "жесткими системами" и сингулярными системами, показывается, что резкое изменение шага интегрирования может приводить к нарушающим счет явлениям: потере аппроксимации, расходимости. Рассматривается связь между этими явлениями и понятиями "А " - устойчивости и " L " - устойчивости.

В работах Ю.Д.Шлапака, В.А.Еременко [33],[34],[2l], исследуются системы віща (В. 2), когда іє f-w , о=>) , а матрицы A(t) ,B(t) периодичны. Изучение систем опирается на прием понижения. Если в [33] возможность понижения постулируется, то в работах [34],[21] устанавливаются некоторые условия, при которых процесс понижения возможен на (-«^,е» ), а в работе [21] дается достаточный признак окончания процесса понижения на первом шагу.

Работы В.П.Скрипника [27]-[29] посвящены исследованию сходимости решений систем A(t,e)x_e(t) = В ft,s) xftj + (/№,6) , где 6 - некоторый параметр и A(t,s₀) ~ Aft) , Bft,s₀) = В ft) ff ft, 6₀) -J ft) , при некотором значении параметра = ё₀ , причем т = п , к одному из решений (В. 2). Матрица A ft,б) неособенна для Vte[oC_fjz] , если 0. Изучение систем ведется в весьма общих предположениях о гладкости матриц Aft, є) , 3 ft, є) ж вектор-функции ,f (t,

Работы R.Marz [44 - 46] посвящены изучению многошаговых разностных методов применительно к сингулярным системам вида >c/3j₉ (В.8) где f \ R²ⁿ ^Ф'-~ Rⁿ, с:[o6,j3j — ^п* . Такая форма систем затрудняет сопоставление результатов. В [44],[45] дается ряд признаков разрешимости систем вида (В.8). Можно показать, что в случае линейных систем, когда матрица eft) единичная, признаки разрешимости выделяют класс систем, не выходящий за рамки очерчиваемые критерием "ранг-степень" [44]. В работе [45J, еоли eft) - единичная матрица, то якобиан .

РабОТЫ S.L.Campbell'a, L.R.Petzold, C.W.Gear'a [37], [38] , [39], [4l]', [41], [47] затрагивают различные аспекты исследования и численного решения сингулярных систем (автор не касается работ S.L.Campbell*а [38], [36] ,[40J И J.H.?filkinson'a [49J,[50J, посвященных изучению сингулярных систем с постоянными коэффициентами, использующих аппарат обобщенных обратных матриц иди связанных с их построением). В работах [39],[42] обсуждаются вопросы о приводимости систем вида (Б.2) к некоторому специальному виду, названному авторами центральной канонической формой, в предположении, что у систем есть семейство решений, удовлетворяющее ряду требований. В [42] повторяются результаты Ю.Е.Бояринцева (правда с некоторым обобщением) о разностных схемах для систем с постоянными коэффициентами. В работе [38] анонсируются результаты относящиеся к "методу возмущения" которые также повторяют результаты Ю.Е.Бояринцева, разбирается случай применения разностной схемы к центральной канонической форме. В работе [37] рассматриваются требования к начальному условию для системы вида A(t) сс(Ъ) ^SfrJ+Vft), в предположении, что решение существует, обсуждается вопрос о применимости метода Ньютона для поиска решений разностных уравнений, получающихся при дискретизации сингулярной системы. В работе [41] предлагается разностный метод для решения сингулярных систем, использующий так называемую формулу дифференцирования назад. Сюда же примыкает работа [13], где описывается зл горитм решения сингулярных систем без обоснования. В работе [47] обнаружен эффект расходимости разностной схемы на неравномерной сетке, для систем с постоянными коэффициентами.

Следует сказать о работах [43], [48]. В [43] изучаются системы вида (В.2), когда Ь комплексная переменная. Изучение ведется методом понижения. Отмечаются, что размерность пространства решений может быть меньше размерности системы, в частности может быть нулевой. Работа [48] не относится непосредственно к исследованиям сингулярных систем,, но она часто цитируется в научной литературе. В ней изучаются вопросы существования аннуляторов к матрицам неполного ранга. На этом обзор литературы по теме закончим.

Настоящая диссертация посвящена вопросам исследования сингулярных систем и их численного решения. Центральное место в диссертации занимает исследование систем вида (В. 2), удовлетворяющих критерию "ранг-степень" и их нелинейных аналогов, хотя решен ряд вопросов относящихся к системам,не удовлетворяющим этому критерию. Такой выбор темы обусловлен следующими причинами: системы этого класса часто встречаются в исследованиях по вырожденным системам (смотри обзор), имеют прикладное значение (системы, возникающие при применении "метода прямых" к уравнению фильтрации, удовлетворяют критерию "ранг-степень"), наконец для систем этого класса удалось решить значительную часть вопросов, которые могут возникать у исследующего систему вида (В.2). А именно установлена размерность пространства решений, предложен способ поиска "плохих точек", удалось обосновать ряд методов решения задачи Коши для сингулярных систем с учетом их некорректности, не вводя никаких дополнительных предположений о задаче. Сам критерий, условия совместности начального данного с системой удалось сформулировать в терминах входных данных, с использованием понятий, известных самому широкому кругу исследователей. Аналогичные результаты получены для одного класса нелинейных систем. На основе одного наблюдения, сделанного, над системами, удовлетворяющими критерию "ранг-степень" удалось получить конструктивные условия существования решений у следующего по сложности класса систем вида (В.2). Введение закончим краткой характеристикой содержания диссертации, которая состоит из трех глав, введения и заключения.

В первой главе приводятся и доказываются необходимые сведения о свойствах пучков переменных матриц. Центральное место занимают утверждения о возможности приведения пучка матриц А(Ь)я -B(t) к канонической форме, если старший коэффициент многочлена det {А (і)л - B(t)} не обращается в нуль на [<^с, ^д/ и о локальной приводимости пучка матриц А (у) л -ЗШ , у є ^s к канонической форме в окрестности некоторой точки и₀. , если tank А{#₀) равен степени многочлена det (А(^₀)я-В^₀) . Причем приводящие матрицы имеют ту же гладкость, что и матрицы пучка. Доказано также утверждение, позволяющее определять некоторые важные характеристики пучка после его малого возмущения.

Во второй главе вводятся понятия,формализующие рассуждения, которые были проведены при рассмотрении примеров (В.3)-(В.5), в частности дается определение "плохой точки".

В начале главы доказывается теорема, основное содержание ко-торой,-что система вида (В.2) имеет,так сказать,"шаговую структуру" вообще говоря известно (смотри например [33j,[43j), хотя локальный характер этого свойства не обсуждался. Эта теорема не играет большой роли в работе и нужна автору для демонстрации введенных понятий, а также места, занимаемого изученными системами относительно общего случая, Центральное место в этой главе занимают теоремы о свойствах систем, удовлетворяющих критерию "ранг-степень", и теорема о системах, которые не удовлетворяют этому критерию, но имеют одно свойство, сближающее их с классом систем, удовлетворяющих критерию. Здесь же обосновываются аналоги метода Эйлера и трапеций в предположении, что исходные данные возмущены. Основным способом изучения является анализ свойств переходного оператора. Следует заметить, что в предшествующей литературе вопрос о влиянии входных возмущений на процесс решения не затрагивался. Обоснован также один вариант "метода возмущений". В конце главы излагаются сведения о системах, не удовлетворяющих критерию "ранг-степень", высказываются соображения о возможных методах решения, излагается методика исследования линейных сингулярных систем.

В третьей главе исследуются нелинейные сингулярные системы. Вначале доказываются теоремы существования решений для систем вида (B.I) и систем вида

Л(і)а(6) =s л ~ '——> проверяется только в начальной точке (х faC), a:(o6j,o6j . Конечно, начальные данные должны удовлетворять некоторым условиям совместности, которые так7ке получены в работе.

Для системы (В.9) обосновываются аналог метода Эйлера, метод линеаризации и "метод возмущения". Метод линеаризации обосновывается как в непрерывном, так и дискретном вариантах (в последнем анализируется влияние входных возмущений на процесс решения). Б методе Эйлера для системы (В.9) доказано, что в качестве начального приближения для исследуемой точки в методе Ньютона можно брать значение, вычисленное в предыдущей точке. Конечно, это выполнимо только при достаточно малом шаге интегрирования.

Приведен пример, показывающий, что в общем случае системы (B.I) это не так. Применимость методов обоснована в предпололо-жении, что выполнены условия теоремы существования, без дополнительных предположений. Для общей системы (B.I) доказано существование решения уравнения J (^=^- > ^, 6+ rj = о , если выполнены условия теоремы существования для (B.I) и ъ>о достаточно мало. Обсуждается один специальный случай системы, не удовлетворяющий критерию "ранг-степень".

Сформулируем отличия данной работы от предыдущих. Впервые учитывается некорректный характер задач, связанных с сингулярными системами, и исследован на устойчивость к входным ошибкам класс систем, удовлетворяющих критерию "ранг-степень". Получены признаки разрешимости систем в терминах входных данных, проверяемые за конечное число операций (если отсутствуют входные ошибки); признаки дают не только информацию о разрешимости, но и о свойствах множества решений системы. Обсуждаются вопросы получения информации об исходной системе в условиях возмущенных входных данных. Исследуются вопросы о наличии "плохих" точек на отрезке интегрирования и их типе. Исследован на устойчивость к ошибкам входных данных ряд численных методов. Намечены пути построения численных методов для общих сингулярных систем. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51-58].

Свойства переменных матриц

В работах [39],[42] обсуждаются вопросы о приводимости систем вида (Б.2) к некоторому специальному виду, названному авторами центральной канонической формой, в предположении, что у систем есть семейство решений, удовлетворяющее ряду требований. В [42] повторяются результаты Ю.Е.Бояринцева (правда с некоторым обобщением) о разностных схемах для систем с постоянными коэффициентами. В работе [38] анонсируются результаты относящиеся к "методу возмущения" которые также повторяют результаты Ю.Е.Бояринцева, разбирается случай применения разностной схемы к центральной канонической форме. В работе [37] рассматриваются требования к начальному условию для системы вида A(t) сс(Ъ) SfrJ+Vft), в предположении, что решение существует, обсуждается вопрос о применимости метода Ньютона для поиска решений разностных уравнений, получающихся при дискретизации сингулярной системы. В работе [41] предлагается разностный метод для решения сингулярных систем, использующий так называемую формулу дифференцирования назад. Сюда же примыкает работа [13], где описывается решения сингулярных систем без обоснования. В работе [47] обнаружен эффект расходимости разностной схемы на неравномерной сетке, для систем с постоянными коэффициентами.

В первой главе приводятся и доказываются необходимые сведения о свойствах пучков переменных матриц. Центральное место занимают утверждения о возможности приведения пучка матриц А(Ь)я -B(t) к канонической форме, если старший коэффициент многочлена det {А (і)л - B(t)} не обращается в нуль на [ с, д/ и о локальной приводимости пучка матриц А (у) л -ЗШ , у є s к канонической форме в окрестности некоторой точки и0. , если tank А{#0) равен степени многочлена det (А( 0)я-В 0) . Причем приводящие матрицы имеют ту же гладкость, что и матрицы пучка. Доказано также утверждение, позволяющее определять некоторые важные характеристики пучка после его малого возмущения.

Свойства пучков переменных матриц

С помощью приведенных в п. 1.2 утверждений докажем ряд лемм о пучках переменных матриц, играющих весьма важную роль в данной работе.

Лемма І.З.І. Пусть в {тх г )-пучке матриц А{ї)л - В6) Aft), В ft) є Се С, с/3]) . Тогда любой отрезок [ Гг feJ [t,cftJ содержит отрезок oCf fc/&fJ , на котором определена матрица MftJ є. С е , ., с/0ҐМ со свойствами ctet Mft) о Уїє fctf, 0fJ% пучок Mft){Aft)a-B(j) имеет вид 1Л ( \ я \ЯҐІ)І где ш шщ Mft) Aft) имеем ровно m-k ffe = vcrnk Aft) , t є [&C,, /$,] ) нулевых на Jctf,(/3,] строк, а матрица B2ft)wm нулевая на oC/JC/3f], либо имеет полный ранг для Vti є otf, /з7 ].

Доказательство. Цусть / , fcj , /., 7 отрезки соответствующие шарам ZJ, IZ, из лемм I.2.I, 1.2.2 TB.Affify},fo]-матрица из леммы 1.2.2. Тогда имеем 1{А л -3}= Vt[fc,ft] -2i А )я -I ; о ) \3Ж. СТВУЮТ ОТреЗОК fctifoef] [ дЪ , # s] . Согласно леммам 1.2.I, 1.2.2 суще и матрица Ж, = Ж, ft J є С (ГоС, , j&f] J со свойствами ctet ATf (t)=o Vt є /Ц tc/stJ , jf Д = ( J , .где матрица Вя имеет полный ранг для Vt є [об, ,o&rJ Тогда в качестве

матрицы М(6) можно взять матрицу / о n(t)l емма Дка зана.

Определение I.3.I. [17, с.334]. Пучок А я -В , где А, В - (п г) - постоянные матрицы, называется регулярным, если существует значение параметра я = ло , такое, что ctet {А я0 3} о Теорема 1.3,1. [17, с.334_/. Пусть пучок Ал -3 , где А, 3 - (ti t) - постоянные матрицы, регулярен. Тогда существуют такие постоянные, неособенные матрицы Рж ,, что т. о Е. Ая- В =Р(&,л-2)а=р{ Е Ж„ О Ж \ Я f . а, где Жт - С т- х т) - блоки вида /71 , I/ = ,з, -22 d = n - ZJ m , s/ - некоторая матрица. =/

Выражение fif, я - (?г называется канонической формой пучка А я - В . Отметим такой простой факт Лемма 1.3.2. Пусть пучок Ал-В , где А, В -(п /г) -постоянные матрицы, регулярен, тогда zanfe А , где f - степень многочлена det {А /і -Я} , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда detA o , либо в канонической форме пучка т = f, i=7 s Доказательство. Действительно, согласно теореме 1.3.I det {Ал-В] - det Ра det { ,я -2 } = = det Ра det (Вя- J- П det (Ж & -В . ) 1 / с ъ где det (АГт . я - Вт . J = /, = /fs Следова тельно, = d zarne А , если не все тг =/ , так как s d = n - ZJ /п.- и f = var/z& А, -у если det А о или т = s , г = fjs . Лемма доказана.

Очевидно, что каноническая структура пучка А я -В неустойчива к малым возмущениям матриц А и В , но имеют место следующие утверждения. -23 Лемма 1.3.3. Пусть пучок Ал -В , где А,В - fnxn.)-постоянные матрицы, регулярен. Тогда начиная с некоторого f , о т 4 ъ0 , справедливы оценки К, Кг г (I.3.I) макси т т 4 II (А - тВ) г\\ 4 Z т. где К0 , Kf = const о , т = rn era? с= /,s малыши порядок нильпонентного блока в теореме I.3.I.

Доказательство. Согласно теореме 1.3.I имеет место равенство fe --/ -/ (А -тв)- - а -/ л;7 (г) р- , О L-JCV) (1.3.2) где /,.(v) =Ж.-ггЕт. , l = r,s Легко видеть, что справедливо равенство ? L?M - - { „ mrf Е =/ (1.3.3)

Из (1.3.2) и (1,3.3) следует, что функция /ufzr)= \\г т(А-тВ) \ непрерывна на отрезке [о, tr0J % если Т0 г/Ц Ц . Следовательно, /и(?) достигает на нем минимума и максимума, которые -Zh можно взять в качестве констант К0 , Kf соответственно. Да лее, T CA-vB)- = a SP + OctrJ , где \\S\\=f (это также следует из формул (1.3.2), (1.3.3)). Следовательно, начиная с некоторого г0 , К0 о . Лемма доказана. 1 е м м а 1.3.4. Пусть выполнено условие леммы 1.3.3 и справедливы оценки // А - Л\\4 8 , \\3-3\\ о Тогда начиная с некоторого S4 S0 справедливы оценки \\(Xrc )B) \ - К где v(f) = Kz J /m" , к0 , gf = const о f/»- параметр из леммы 1.3.3. Доказательство. Пусть A-3L =i)f , B-B = z, Jf-zr(#Ji)t = = і 3С ?) . Согласно [16, с.52J, для некоторой неособенной матрицы и возмущающей ее матрице /и , удовлетворяющей условию \\/и\\ //\\М-/\\ (1.3.4) сраведливо равенство (М + /и)- = M f ІЕ+ Е {-,иМ ) ] (1.3.5) Следовательно, с учетом леммы 1.3.3, если \\ rfs№/\\ —— , где v(#0-) т0 , S 4 S0 , можно записать \$1-тг0)В)- \ -С- ( ?){Е+Е (-i)3C ?)C-ftf))kl (1.3.6) где Cf(?) = A-zfJJB. Условие I/ J 3 { ?) \\ tr m/K в условиях леммы имеет вид \fy )\ К? Smrr/Kf , а так как \\ ґ ?)\\4 28 , то оно выполняется для всех достаточно малых ? . Далее, лемма 1.3.3 и связь т(#) = К„ S /т" позволяют зали -25 сать \\G( ?)\\=\\ ZJ [-i)3(#)C-f(J)]k\\ 4 E [2Kf $"" Jk /r=/ 3 K=f и при достаточно малых (Р имеет место неравенство Л Є( ГД 7 //W/ (1.3.7) Тогда из (1.3.6) и (1.3.7) следует, что начиная.с некоторого справедливы неравенства \\с- ( ?)\\0-\\ G( n\$ \\ с- ( )№+б(МЫс-и ?)\\( Чо( П а это, с учетом оценки (1,3.7), показывает, что начиная с некоторого (?0 в качестве констант можно взять величины К0 б , Kf + s , где К0,К - константы из леммы 1.3.3, a f - фиксированное число. Лемма доказана.

Таким образом,вычисляя обусловленность матриц (А - Ъ 3) / , - о , / «« % мошіо делать некоторые заключения о структуре пучка. Хотя конечно, при фиксированном уровне возмущении матриц А и В, для достоверных заключений необходима априорная информация. Особую роль в данной работе играет следунэдее понятие Определение 1.3.2. Ненулевой многочлен cteefAn-B), где А,В - постоянные матрицы, удовлетворяет критерию "ранг-степень" , если его степень равна рангу А.

Численные метода,решения задачи Коши для систем, удовлетворяющих критерию "ранг-степень"

Гарантированная же оценка типа (2.3.68) существует тогда лишь, когда в канонической структуре пучка Ая-В отсутствуют нильпотентше блоки порядка выше первого. В заключение параграфа скажем, что если выполнены условия теоремы 2.2.5 и задача Коши решается методом Эйлера, то решение разностной задачи (2.3.2) при отсутствии возмущений сходится к решению исходной задачи со скоростью Oft) , если в равенстве (2.2.20) блокД -ІГ имеет норму меньше I. Этот результат мы не будем доказывать, так как конструктивная ценность его довольно низка.

При невыполнении критерия "ранг-степень", свойства систем вида (2.І.І) сильно усложняются, что наглядно демонстрируется сравнением хода доказательств теорем 2.І.І и 2.2.1. Соответственно становится слолшее проверять существование решений, и обоснование численных методов, особенно в условиях возмущенных входных данных. Как известно [17, с.348] свойства систем с постоянными матрицами А ,В полностью определяются канонической структурой пучка Ая-В при любыхтж п , но в случае переменных матриц эта связь рвется, проиллюстрируем это на примере.

Пример I. Рассмотрим систему Простое вычисление показывает, что в задаче (2.4-1) [B-Ub)A(t)]3 = о ,а №=(%% о o\c (t) , \%(t) о о) f , . то есть в системе (2.4.1) множество допустимых функций ((f ft), [/, 2]} z Сг (.[1%Z])SL она корректна no ft) на /1,27, шаговый индекс = 2 на/"1.2/. Для сравнения приведем систему IT.cc(t) = as(t) +(/() t te [ і, 2], Ж-(3 3) - постоянная матрица, такая что Ж3=о . Тогда х(й) = - (Ь)-Hj(t)-M f(t)% это можно проверить простой подстановкой. Решение (2.4.1) зависит от произвольного вектора с , а решение системы с постоянной матрицей нет, хотя тип канонической структуры лучка А(і)я-В(t) из (2.4.1) совпадает с типом структуры пучка Жя-Е .

Приведем примеры, у которых "ранг-степень" нарушается в отдельных точках. Пример 2. Рассмотрим систему \о е V (2.4.2) tank A (tj= / Vte[-1, 1] , det {A (t)A - В (t)}= = Ґ е -і) я + є ,в точке t= О свойство "ранг степень" нарушено, x(t) s\e j е -і і где с- произ вольная постоянная. ПримерЗ. Рассмотрим систему (2.4.3) zcmk A(t)=l Vt є[-/, /J, Uet (A(t)л -В(і)}=-іл +/, в точке t= О критерий "ранг-степень" нарушен и решения ее ветвятся, например, я(й)= \tf] x(t) = j(tsj, tefroJrltfltefatl}

Особые точки могут также совпадать с точками перемены ранга матрицы А (і) , например рассмотрим уравнение x =сс +f , t є [-і, ij t точка t- о является особой точкой в смысле определения 2.1.4.гНиже будет сформулировано утверждение об особых точках системы (2.I.I), когда условие "ранг-степень" нарушается в отдельных точках отрезка [оС, ]. Определение наличия же особых точек при нарушении свойства "ранг-степень" весьма затруднительно, так как они могут быть никак не связаны с изменением ранга матрицы A(i) . Например, рассмотрим систему АШх(Ь)= =cc(t) +(/( ) , где Aft) - верхне-треугольная матрица с нулевой диагональю. Ю.Е.Бояринцев заметил, что решение только одно и (t) - -lf(t) +A(t) (f(t)+A(t)A(t)$ f(t) ...} где число слагаемых не превышает порядка матрицы A (t) , а ранг матрицы может меняться как угодно.

Следует сказать, что исчисленными методами дело становится сложнее. Действительно, при решении системы (2.I.I) разностными методами, если она не удовлетворяет критерию "ранг-степень", согласно леммам 1.3.2, 1.3.3 обусловленность алгебраических систем по меньшей мере равна 0(- т) , где т - шаг сетки, что вызывает значительные трудности вычислительного плана.

Метода решения систем нелинейных уравнений, удов летворяющих критерию "ранг-степень"

В силу вещественности матриц K,,KS вектор-функции Р(й,о) , V(t,o) являются решениями системы (2.4.8). Если k n , то к системе в условиях теоремы непосредственно применима теорема Леттенмейстера. Теорема доказана.

Следствие. Если выполнены условия теоремы I), 2) и &k(t)o ва.[оС о/д] , то нет на отрезке [сС с/з] особых в смысле определения 2.1.4 точек отличных от нулей a&(t) .

Доказательство. Число нулей функции or (t) конечно на[aC}J ]» На отрезке [fa f fa] между нулями ak(t) система (2. I.I) разрешима для любой f(t)e {fa (t) , te [об, j3 ]} и корректна по f (t) K&flTcfc] , так как в системе (2.4.8) det Ki(t) Ф о V ts[fc,fi]. Если же отрезок [fc , folate » где % (to) = » то общее решение системы из (2.4.8) не представимо в виде g1 ft) = Ф(Ь)с +гУ(і), t є fa, #,], где tank Ф(і)= = k. Vt є [$ъ , #} ] » что показано при доказательстве второго пункта утверждения леммы 2.4.2.

Как уже говорилось выше, в этом случае возникают значительные трудности, так как заранее (перед решением) указать существуют ли решения системы, присутствуют ли на отрезке [oCt(fl] особые точки (как можно ожидать рассматривая примеры 2,3 из п.2.4 наличие таких точек весьма негативно сказывается при численных расчетах, что подтверждается на численных экспериментах) весьма затруднительно, особенно при наличии входных возмущений. Но как показывает пример 4 из 4.2.4 трудно указать разностную схему, даже если априорно известно, например, что система разрешима при любой ff(t) , корректна по г/Уна д/, и так далее. Поэтому наметим другой путь построения численных методов для систем вида (2.I.I). Докажем следующее утверждение.

Теорема 2.5.1. Пусть I) в системе (2.1.1) Aft) В ft) є Сп ([ t, j3j) t f(6)e {/А ft), [оС)(/з]}; 2) для вектор-функции ссе ft) , принадлежащей к множеству вектор-функций, для которых определен функционал 6e[x(t)]= \А(й) я(t)--B(ї )a:(t)-(f(ї ) \\2yft д „J выполняется соотношение &e[ccsfi)j4 4 6 ;3) f»iJ-/, где Гг - шаговый индекс системы (2.1.1) на отрезке/" ;, $$] из теоремы 2.1.1. Тогда существует решение системы (2.1,1) на отрезке [ fe,0}] - & () такое, что \\x (t)- oc(t)\\2ws [TzirJ 4Kb, (2.5.1) где =6- + 1, K=const 0. Доказательство. Справедливо равенство Ay - By - О = о, t = [o f fi], где sf« a? - «rtf , \\Є \ e г,лу 4 a . Общее решение этой системы (2.5.2) на отрезке [fe, р3] согласно теореме 2.1,1 представимо в виде p(t) = (p(t) c+L[z,fi,rs] 9(t)+S[p,r», %J (t), где обозначения взяты из определения 2.1.2. Положим в (2.5.2) c=of uft) в о [$ 2 , $ 3] и -S4 гїусть cc= cc(t) = oc (t) = &e(t) + # (t) где u (t) = = h [v,ft,ft] &(t) . Оператор A [ъ, fa , fa] определяется соотношением (2.1.2) и принимая во внимание свойство Соболевских пространств : W2l[ft,ft]- W 17 ft , ft] [24, с. 177], теорему вложения Wel f%, ft] с: cc{[yr2 , ftj) [24 с.187] и тот факт, что матрицы W;(t) достаточно гладкие, в равенстве (2.1.4), получим последовательно применяя оценку x (m(t) u п. № » « Km. г, і где g(t)t k (t) - некоторые функции из соответствующих пространств, [24, с. 143J,к вектор-функций ТгТ _ ... T0(f(t) , где Т- - операторы определяемые соотношением (2.1.4), что где константа К о , является некоторой комбинацией норм матриц, входящих в равенство (2.1.2). Теорема доказана.

Из теоремы вложения Соболева и доказанной теоремы можно видеть, что если существует последовательность {xk(t)i ?n[xk ft)] -- - о, /ё— = п - число переменных в системе } , и на отрезке [оС (/3] отсутствуют особые точки системы (2.I.I) в смысле определения 2.1.4, то последовательность сходится к некоторому решению системы (2.1.I).

Пусть на решение системы (2.I.I) наложено условие л [ctefs)] CfsJх fs) = a, (2.5.3) сС где от - заданный вектор, C(s) - заданная матрица с непрерывными ш[оС (/5] элементами, ffCs)- заданная матрица, элементы которой -«5 являются вещественными, с ограниченной полной вариацией, функциями. В виде (2.5.3) можно записать любую многоточечную краевую задачу Г 9, C.I4J. Справедлива Теорема 2.5.2. Пусть I) в системе (2.І.Ї) cfftMfa ft), [oC,j3] ; 2) система корректна Tio f(t) на [оС)(/з] и оператор 8[p,cC,jz ] в представлении (2.1.5) нулевой; 3) задача (2.1.1), (2.5.3) имеет единственное решение.

О методах численного решения и исследования сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Чистяков В.Ф.

Свойства переменных матриц

Свойства пучков переменных матриц

Численные метода,решения задачи Коши для систем, удовлетворяющих критерию "ранг-степень"

Метода решения систем нелинейных уравнений, удов летворяющих критерию "ранг-степень"

Похожие диссертации на О методах численного решения и исследования сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений