Введение к работе
Актуальность темы исследований. Широкое применение в науке и технике находят задачи оптимального управления. Они имеют многочисленные применения в механике космического полета, в вопросах управления химическими или ядерными реакторами. К ним обращаются создатели автоматизированных систем управления и систем автоматизированного проектирования, экономисты, инженеры-конструкторы и многие другие. Обширные приложения способствуют бурному развитию вычислительных методов оптимизации, созданию новых разнообразных направлений исследования. Практическая реализация многих численных методов решения задач оптимального управления требует огромного объема вычислений, поэтому широкое применение эти методы нашли в последние годы в связи с появлением быстродействующих электронно-вычислительных машин.
Многие задачи оптимального управления формулируются в терминах разрывных систем, которые обладают качественными отличиями от непрерывных систем и требуют разработки специальных подходов.
В данной работе рассматриваются два вида задач с разрывами: оптимальное управление задачами типа Стефана и задача оптимального управления систем, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью.
Имеются многие причины, позволяющие отнести разрывные системы управления к числу важных для исследования объектов. Первая из них - запросы практики. В терминах разрывных систем формулируются многие содержательные инженерно-технические задачи, связанные, например, с движением летательных аппаратов в анизо-
тропных средах, распространением сейсмических колебаний, работой вибромашин и вибротранспортеров, протеканием ударных и взрывных процессов, управлением манипуляторами, функционированием проти-Боаварийной автоматики электроэнергетических систем. Разрывные системы широко используются в экономике, химической технологии, теории автоматического регулирования, теории систем с переменной структурой и других областях науки. Наконец, разрывные системы играют важную роль в самой математической теории оптимальных процессов при решении вопросов синтеза, разрешимости краевых задач принципа максимума, чувствительности решений по начальным значениям и параметрам и т.п.
Если в теории гладких оптимальных систем получены такие фундаментальные результаты, как принцип максимума Л.С.Понтряги-на, метод динамического программирования Р.Беллмана и ряд других, то успехи теории негладких систем значительно скромнее. Численные методы для разрывных систем развиты пока слабо.
Задачи типа Стефана возникают при рассмотрении процессов распространения тепла в средах с изменяющимся фазовым состоянием, когда искомой является не только температура среды, но и подвижная граница раздела фаз. На практике такие задачи возникают в литейном деле в процессе кристаллизации литейных заготовок. Различные металлические детали для нужд промышленности приборостроения, станкостроения, сконструирования двигателей и т.д. изготавливаются из литейных заготовок путем шлифовки, срезки ненужных частей и пр.
Обычно требуется, чтобы полученная деталь обладала определенными свойствами прочности, упругости, стойкости к усталости и
др. Естественно, этого можно добиться только в том случае, когда соответствующими физическими свойствами обладают литейные заготовки. Последние, в свою очередь, зависят от кристаллической структуры застывшего металла в процессе литья. На становление кристаллической структуры застывшего металла влияют в разной степени много факторов (так называемые параметры процесса): состав сплава металла, точка или диапазон температуры кристаллизации сплава, общее температурное поле в литейной форме и ее содержимого, температура внешней среды и др. На практике часто возникают задачи оптимального выбора тех или иных параметров процесса таким образом, чтобы поведение границы раздела жидкой и твердой фаз, а также температура рассматриваемого объекта в заданный момент времени были наиболее близкими к желаемым.
Математическая модель задачи представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Определенные трудности возникают в связи с тем, что при рассмотрении процессов распространения тепла в средах с изменяющимся фазовым состоянием, задача становится разрывной.
Целью настоящей работы является
а) Разработка алгоритма численного решения задач оптималь
ного управления с разрывной правой частью в том случае, когда
система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется по
неявной схеме.
б) Разработка алгоритма, предназначенного для численного
решения задачи оптимального управления процессом кристаллизации
и плавления металлов и вывод формулы для вычисления градиента
функционала качества.
Научная новизна исследований состоит в том, что результаты, представленные в диссертационной работе получены впервые.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретические результаты диссертационной работы могут быть использованы при разработке программ для численного решения задач оптимального управления процессом плавления и кристаллизащш металлов и для задач оптимального управления системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 3 печатных работ и подготовлено к печати одна статья.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы - 111 страниц. Библиография включает 63 наименований.
