Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Смешанная задача для систем уравнений первого и второго порядков 9
I. Исследование разностной схемы для уравнения первого порядка 10
2. Исследование решения разностных схем для уравнения Еторого порядка 21
3. Сходимость метода итерации к решению раз ностной схемы (1.2), (1.3) 23
4. Оценка погрешности конечно-разностных методов 27
5. Конкретные разностные схемы и примеры 35
ГЛАВА II. Начальная задача для систем уравнений первого и второго порядков 52
I. Исследование разностной схемы для уравнения второго порядка 53
2. Сходимость метода итерации к решению раз ностной схемы (2.2), (2.3) 68
3. Оценка погрешности конечно-разностных методов 74
4. Конкретная разностная схема и примеры 85
Глава III. Смешанная задача для систем уравнений второго порядка 96
І. Сходимость метода итерации к решению разностной схемы (3.2), (3.3) 97
2. Оценка погрешности конечно-разностных методов 103
3. Конкретная разностная схема и примеры 114
Заключение 125
Литература
- Исследование решения разностных схем для уравнения Еторого порядка
- Оценка погрешности конечно-разностных методов
- Оценка погрешности конечно-разностных методов
- Оценка погрешности конечно-разностных методов
Введение к работе
Известно, что ( [18] , [22] , [23]) задачи фильтрации газированной нефти приводят к решению системы дифференциальных уравнений с частными производными относительно двух неизвестных функций; относительно первой неизвестной (давления) даются как начальные, так и краевые условия, а относительно второй неизвестной (насыщенности) дается начальное условие. Однородные же задачи фильртрации газированной нефти при некоторых условиях приводят к решению аналогичных задач для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений [18] .
Как мы отметили выше, к таким задачам приводятся различные прикладные задачи (см. также [II] ). Кроме того, к этим задачам приводятся и различные двухточечные.задачи для уравнения высших порядков [28] .
Так же отметим, что исследования задач (I), (2), (3) представляют и теоретический интерес, так как Е случае +({,я ц) (4,х)$ f (ь »У)-f Сім), эти задачи расщепляются на две самостоятельные задачи, исследованию которых ранее были посвящены многочисленные работы. Следовательно, исследованием задач (I), (2), (3) исследуются и различные задачи для одного уравнения.
Итак, исследование задач (I), (2), (3), несомненно, представляет как практический, так и теоретический интерес.
Однозначная разрешимость задач (I), (2), (3) легко доказывается применением принципа сжатых отображений (см., напр., [12], [15] ). Более общие георемы об однозначной разрешимости этих и более общих задач доказаны, например, Е работах [2] - [4], [24], [25], [27], [28]. Подобные задачи ранее были исследованы и в работах [8], [9], [14].
В этой диссертации для численного решения задач (I), (2), (3) применяется " К -шаговый метод". Для одного уравнения первого и второго порядков аналогичные исследования проведены ранее Е работах [I], [7], [29] и др. Заметим, что часть результатов, полученных для задач (I), (2), (3) являются НОЕЫМИ И для различных задач для одного уравнения первого и второго порядков.
Находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (7), доказывается сходимость специально построенных последовательных приближений к этому решению и оценивается скорость сходимости (теорема 2.1). Доказывается устойчивость разностной схемы (7) и изучается зависимость ее решения от параметра (теорема 2.2).
Результаты этого параграфа носят самостоятельный характер и эти результаты могут быть использованы для численного решения задачи Копій для уравнения второго порядка.
Находятся (§ 2) достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (6), доказывается сходимость специально построенных итераций к ее решению и оценивается скорость сходимости (теорема 2.3).
В § 3 оценивается погрешность метода (теорема 2.4). Из этой теоремы, как частный случай, получаются соответствующие результаты для начальных задач как для уравнений первого порядка, так и для уравнения второго порядка [I] .
В последнем, четвертом параграфе этой главы исследуется некоторый частный класс разностных схем (6) и эта разностная-схема применяется к численному решению конкретных задач.
В первом параграфе находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (8), доказывается сходимость специально построенных итераций к этому решению и оценивается скорость сходимости (теорема 3.1).
Во втором параграфе оценивается погрешность метода (теорема 3.1). Из этой теоремы, как частный случай, получаются соответствующие результаты для начальной и краевой задачи для уравнения второго порядка (см., напр., [і], [б] ).
В последнем третьем параграфе рассматривается частный класс разностных схем (8) и эта схема применяется к численному решению конкретных задач.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях аспирантов ВУЗОЕ Азербайджана [Зі], [36І , на республиканских конференциях молодых ученых АН Азерб.ССР [30], [33], и на семинарах член-корр. АН Азерб.ССР проф.Мамедова Я.Д. (АзгосуниЕерситет, Баку).
Основное содержание диссертации опубликовано Е работах [зо] -[38].
Исследование решения разностных схем для уравнения Еторого порядка
Известно, что ( [18] , [22] , [23]) задачи фильтрации газированной нефти приводят к решению системы дифференциальных уравнений с частными производными относительно двух неизвестных функций; относительно первой неизвестной (давления) даются как начальные, так и краевые условия, а относительно второй неизвестной (насыщенности) дается начальное условие. Однородные же задачи фильртрации газированной нефти при некоторых условиях приводят к решению аналогичных задач для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений [18] .
Данная диссертационная работа посвящена численному решению следующих задач Как мы отметили выше, к таким задачам приводятся различные прикладные задачи (см. также [II] ). Кроме того, к этим задачам приводятся и различные двухточечные.задачи для уравнения высших порядков [28] .
Так же отметим, что исследования задач (I), (2), (3) представляют и теоретический интерес, так как Е случае +({,я ц) (4,х)$ f (ь »У)-f Сім), эти задачи расщепляются на две самостоятельные задачи, исследованию которых ранее были посвящены многочисленные работы. Следовательно, исследованием задач (I), (2), (3) исследуются и различные задачи для одного уравнения.
Итак, исследование задач (I), (2), (3), несомненно, представляет как практический, так и теоретический интерес.
Однозначная разрешимость задач (I), (2), (3) легко доказывается применением принципа сжатых отображений (см., напр., [12], [15] ). Более общие георемы об однозначной разрешимости этих и более общих задач доказаны, например, Е работах [2] - [4], [24], [25], [27], [28]. Подобные задачи ранее были исследованы и в работах [8], [9], [14].
В этой диссертации для численного решения задач (I), (2), (3) применяется " К -шаговый метод". Для одного уравнения первого и второго порядков аналогичные исследования проведены ранее Е работах [I], [7], [29] и др. Заметим, что часть результатов, полученных для задач (I), (2), (3) являются НОЕЫМИ И для различных задач для одного уравнения первого и второго порядков.
Диссертация состоит из трех глав. Первая глаЕа посвящена численному решению задачи (I). Для численного решения задачи (I) рассматривается разностная схема к к Ї (4) V -% fr = hT«/- /-W {J-,1Г,) - 4 где U « Lj , №jl R0 (i o$K) - известные числа, а и $ . постоянные, QQ фо » Есе корни уравнения лежат Е единичном круге и на границе этого круга нет кратных корней. Эта глава состоит из пяти параграфов. Б первом параграфе рассматривается разностная схема первого порядка
Оценка погрешности конечно-разностных методов
Находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (5), доказывается сходимость специально построенных последовательных приближений к этому решению и оценивается скорость сходимости (Теорема І.І).
Б этом же параграфе доказаны устойчивость разностной схемы (теорема 1.2), а также изучена зависимость решения разностной схемы (5) от параметра (георема 1.3).
Несмотря на TQt что результаты этого параграфа носят вспомогательный характер для исследования разностной схемы (4), они также носят самостоятельный характер и могут быть использованы для численного решения уравнения первого порядка.
В 2 строится и исследуется разностная схема для краевой задачи уравнения второго порядка.
В 3 пользуясь результатами предыдущих параграфов находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (4), доказывается сходимость специально построенных и те - 5 раций к ее решению и оценивается скорость сходимости (теорема 1.6). четвертом параграфе оценивается погрешность метода (4). А именно, решения разностной схемы (4) принимаются за приближенные значения точного решения задачи (I) в точках і . и оценивается погрешность метода (теорема 1.7).
Заметим, что из этой теоремы, как частный случай, получаются соответствующие известные результаты для начальной задачи, для уравнения первого порядка [I] и для краевой задачи для уравнения Еторого порядка [б] . В последнем, пятом параграфе первой главы рассматриваются частные классы разностных схем (4) и их применения к численному решению конкретных задач. Вторая глава посвящена численному решению задачи (2). Для численного решения задачи (2) рассматривается разностная схема к к (6) / /= где Q. , О. . , (L; "-і постоянные, не зависящие от А и удовлетворяющие условиям і0- а0Ф0 , а о 2. Корни уравнений ыо ыо Ч лежат в единичном круге и на границе его нет кратных корней, за исключением ДЕУкратного корня второго уравнения, равного I. Пред - 6 полагается, что jx-J « R , l4;l-$Rn {і о , Л -извест ные числа. Эта глава состоит из четырех параграфов. первом параграфе рассматривается разностная схема Еторого порядка
Находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (7), доказывается сходимость специально построенных последовательных приближений к этому решению и оценивается скорость сходимости (теорема 2.1). Доказывается устойчивость разностной схемы (7) и изучается зависимость ее решения от параметра (теорема 2.2).
Результаты этого параграфа носят самостоятельный характер и эти результаты могут быть использованы для численного решения задачи Копій для уравнения второго порядка.
Находятся ( 2) достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (6), доказывается сходимость специально построенных итераций к ее решению и оценивается скорость сходимости (теорема 2.3).
В 3 оценивается погрешность метода (теорема 2.4). Из этой теоремы, как частный случай, получаются соответствующие результаты для начальных задач как для уравнений первого порядка, так и для уравнения второго порядка [I] .
Оценка погрешности конечно-разностных методов
Находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (7), доказывается сходимость специально построенных последовательных приближений к этому решению и оценивается скорость сходимости (теорема 2.1). Доказывается устойчивость разностной схемы (7) и изучается зависимость ее решения от параметра (теорема 2.2).
Результаты этого параграфа носят самостоятельный характер и эти результаты могут быть использованы для численного решения задачи Копій для уравнения второго порядка.
Находятся ( 2) достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (6), доказывается сходимость специально построенных итераций к ее решению и оценивается скорость сходимости (теорема 2.3).
В 3 оценивается погрешность метода (теорема 2.4). Из этой теоремы, как частный случай, получаются соответствующие результаты для начальных задач как для уравнений первого порядка, так и для уравнения второго порядка [I] .
В последнем, четвертом параграфе этой главы исследуется некоторый частный класс разностных схем (6) и эта разностная-схема применяется к численному решению конкретных задач. - 7 Последняя третья глава посвящена численному решению задачи (3) и для ее решения рассматривается разностная схема К К - ft 7/- - V V/ (/шun l) (8) 1-І где Q_ и I постоянные, не зависящие от h , О 0 все корни уравнения К-1 2 а Л -о 1 0 лежат в единичном круге и на границе круга нет кратных корней, за исключением двукратного корня, равного I. Предполагается, что lX(l R0 (І 09К-1) - известные числа. Эта глава состоит из грех параграфов.
В первом параграфе находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (8), доказывается сходимость специально построенных итераций к этому решению и оценивается скорость сходимости (теорема 3.1).
Во Егором параграфе оценивается погрешность метода (георема 3.1). Из этой георемы, как частный случай, получаются соответствующие результаты для начальной и краевой задачи для уравнения второго порядка (см., напр., [і], [б] ).
В последнем третьем параграфе рассматривается частный класс разностных схем (8) и эта схема применяется к численному решению конкретных задач.
ОсноЕные результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях аспирантов ВУЗОЕ Азербайджана [Зі], [36І , на республиканских конференциях молодых ученых АН Азерб.ССР [30], - 8 [33], и на семинарах член-корр. АН Азерб.ССР проф.Мамедова Я.Д. (АзгосуниЕерситет, Баку). Основное содержание диссертации опубликовано Е работах [зо] -[38].
Оценка погрешности конечно-разностных методов
Вопрос разрешимости этой задачи исследуется обычным способом, например, методом сжатых отображений (см., напр., [12], [I5j ). Сегмент Г 0 у J2 разобьем на п равных частей точками Исследуется следующая разностная схема для численного решения задачи (2.1) леваг в единичном круге и на границе его нет кратных корней, за исключением ДЕУкратного корня уравнения (2.5), равного I. Предполагается, что Xi , ц , (і- о ,к-і) - известные числа. В параграфе I исследуется разностная схема для уравнений второго порядка. В параграфе 2 находятся достаточные условия для однозначной разрешимости нелинейной системы (2.2), (2.3) и доказывается сходимость метода последовательных приближений к решению этой системы. Решение системы (2.2), (2.3) принимается за приближенное решение задачи (2.1) в точках f. и оценивается погрешность метода ( 3). В последнем, четвертом параграфе предложенный метод применяется к численному решению конкретных задач. I. Исследование разностной схемы для уравнения второго порядка
Рассмотрим разностную схему к к Возьмем замену Пусть непрерывная функция j (4,и) (if 4 - Т , 1Ч/ Ё) дифференцируемая по у и m - г - 55 Пусть, кроме того І; ft) (2.1.4) о; Введем обозначения F = max ifdpl , і -І J Id І, Будем предполагать, что где I. Применение метода последовательных приближений. Применяя принцип сжатых отображений (см., напр., [і2], [і5І ) для каждого уравнения системы (2,1.2) (начиная с первого) и используя условия (2.1.3) и (2.1.4), легко доказать, что эта система однозначно разрешима. Ниже для решения системы (2.1.2) строятся последовательные приближения и доказывается сходимость этих приближений к ее реше - 56 шло. За нулевое приближение возьмем произвольные числа (О) (0),, (0) . —N 2tf+f » » 2я 2/ l R , г Л) . Полежим ф — ф — / (0) В (2.1.2) положим . Тогда 2. =- Z к-1 J. к- о У " У.-, + А2« Это есть нелинейное уравнение относительно 2к . Для него построим обычные итерации /to 7.,- -.0 . А /4,0 &V (t,). to О О - Q (2.1.6) Теперь в (2.1.2) положим У #+/ Тогда Это есть нелинейное уравнение относительно а , если в нем Л» I соответственно, через 2. Су г/, к- 0 , л Cj D,n-0 заменить, 2- / , У ж его нахоадения построим обычные итерации - 57 Продолжая этот процесс, построим итерации следующим образом I Ы OS /- / / ?/f /" V (7/ Докажем, что Легко доказать, что q . 4 q- (у /7"F"0 . Учитывая это и условие (2.1.3) и (2.I.I0), получим а , п (f-fTn) - 58 Справедливости (2.1.8) и (2.1.9) для jB /ТАМ очевидно. Учитывая, что 80hRD ?R , из (2.1.6) получим и, следовательно, Тогда и, следовательно Г Допустим, что (2.1.8) и (2.1.9) справедливы для /»#+/,... [) (п п) и, следовательно, Тогда из (2.1.7) имеем - Hllrk+2)R +h4Y Применяя метод математической индукции получим, что (2.1.8), (2.1.9) верны при всех і и, следовательно, если учесть условие (2.1.5), получим Теперь докажем, что последовательные приближения (2.1.7) сходятся к решению системы (2.1.2). Введем обозначение определены из системы (2.I.I2) Є -0 (fcut-0 , (j k,2K-i), /«/ /- 2 /ГАГ do =Ми / 2 hit /=/ 1-й Ык Очевидно, что (fa J p.. l K (j M n) (2.I.13) ГДЄ С; Определены ИЗ СИСТ6МЫ CW "(2.I.I4) / oC U 2K n) . Итак, имеет.место следующая Теорема 2.1. Пусть непрерывная функция / с у) (о 4 Т,М Ю имеет производную по tv и (З/5 /dul J?
Пусть выполнены условия (2.1.3), (2.1.4), (2.1.5). - 61 Тогда система (2.I.I) однозначно разрешима, последовательные приближения (2.1.7) сходятся к решению этой системы и скорость сходимости определяется формулой (2.1.II), (2.1.12). 2. Устойчивость разностной схемы. Помимо системы (2.1.2) рассмотрим и следующую возмущенную систему , (2.I.I5) У«/,л), -известные где / /.;/ ,11// , /// / считается, что г;, 22 ,..., ., числа, причем достаточные малые числа. Оцесъ и у» h-i Разностную схему (2.1.15) перепишем-в виде J ы а І а; Iі ыо Q % т / 7" ) + , А 2 "- ь- /.. л " / ПгК.Л), О; или же -/ С/«ля; - 62 где я/Ctf/ f 5"/; VCe/ + i ; Введем обозначения d = i ld.il J Z ІІ(1 ./ wax \f;і Допустим, что 0 C , с zconcicini. R TeCr(iYfc) :R\RD+TR%TeChY ). R (2ЛЛ7) 2 (2) (2.I.18) где Применяя принцип сжатых отображений для каждого уравнения системы (2.1.16) (начиная с первого) и используя условия (2.1.Г?) и (2.1.18), легко доказать, что система (2.1.16) однозначно разрешима и ljjjl +b j- +otf+h(hfF\B){j. у Щ, J42.I.I9) - 63 где у =о (/ ,«-о, О ; удовлетворяют неравенства СТ а пе Заметим, что l b kl ttfbH h Теперь оценим разность lij jl и \Ч] Ч] \ Имеем (г) к о .К - л шщ іі %г і пі, ife- V r2/ fl;t или же K-f / Lo K Л где V (2.1.20) J - 64 „ С (, F -f С cT С ГЄ «с. Введем обозначения Тогда из (2,1.20) получим где ; определены из системы где , u - .__+J_Lf ,/с: 3. Зависимость решений системы (2.I.І).от параметров. Теперь изучим свойства решения системы от параметров JUD , JUj ,.. . ,/Z (IJU-I R , і- ЇГп) - 65 и Пусть непрерывная функция f ф 4) (o- t Tjiu Rylifj p) имеет производную по и и и -if. со "Г— - Пусть, кроме того, о/ Помимо системы (2.1.21) рассмотрим и систему (2.1.22) где U (1/UiUR , і 0 п) - некоторые параметры.
