Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные результаты 10
1.1 Постановка задачи 10
1.2 Преобразование задачи 13
1.3 Вспомогательные утверждения 16
2 Метод решения классической задачи Стокса 21
2.1 Первая вспомогательная задача 22
2.2 Вторая вспомогательная задача 26
2.3 Интегралы Дирихле для решений вспомогательных задач 30
2.4 Итерационный метод решения 35
2.5 Обоснование сходимости метода 38
3 Метод решения обобщенной задачи Стокса 43
3.1 Первая вспомогательная задача 44
3.2 Вторая вспомогательная задача 46
3.3 Интегралы Дирихле для решений вспомогательных задач 49
3.4 Итерационный метод решения 62
3.5 Обоснование сходимости метода 65
Приложение. Численные эксперименты 71
I Численная реализация метода 71
II Результаты расчетов при а = 0 78
III Результаты расчетов при а > 0 80
Литература
- Преобразование задачи
- Вспомогательные утверждения
- Интегралы Дирихле для решений вспомогательных задач
- Интегралы Дирихле для решений вспомогательных задач
Введение к работе
Решение уравнений Навье - Стокса, описывающих движение вязкой жидкости [15], является одной из важнейших задач вычислительной математики и гидродинамики. Несмотря на большое число работ посвященных численным методам их решения, остаются вопросы требующие внимания. Одним из таких вопросов является математически обоснованное эффективное численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости.
Типичной является следующая ситуация. После дискретизации по времени уравнений Навье-Стокса получающаяся дифференциально - разностная схема требует для своей реализации решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса, классической или сингулярно возмущенной [10]: —Av + av + grad q = f в Q, div v = 0 в Q, (1) где Q область в W1, n = 2,3, с границей Ш, v = (vi(x),..., vn(x)) вектор скорости, q = q(x) скалярная функция давления, f = (/і(ж),..., fn(%)) поле внешних сил, a = const > 0 вещественный неотрицательный параметр. При a = 0 систему (1) называют классической задачей Стокса, при а > 0 -сингулярно возмущенной (или обобщенной) задачей Стокса, в этом случае, обычно, а = (r/t)"1 , где т - шаг дискретизации по времени, к - кинематическая вязкость, и, как правило, а ^> 1.
Для решения задач такого типа существует большое количество методов [38, 53, 54, 57, 59, 60, 65, 69, 73, 55, 58]. Это: алгоритмы типа Узавы-сопряженных градиентов [41, 61, 27, 51, 56, 63, 47, 19, 64]; методы релаксации [41, 51, 27, 33, 36, 34, 35, 10, 46, 48]; методы основанные на идеях симметризации и предобуслов-ливания [31, 32, 1, 45, 52, 67, 68]; многосеточные и многоуровневые алгоритмы [37, 44, 52, 71, 74, 66, 72]; расщепление граничных условий для давления [21, 22]; метод фиктивных областей [2, 42]; использование гармонической составляющей скорости [70]; алгоритмы аналогичные обратным задачам [39, 40].
Однако, скорость сходимости большинства методов, используемых для решения задач такого рода, сильно зависит как от области, так и от параметра сингулярности [30, 43]. При а —> со спектральное число обусловленности дополнения Шура растет как 0(a) [62], а в случае прямоугольной области, при увеличении (уменьшении) отношения длин сторон, наблюдается его квадратичный рост [50].
Это означает, что для эффективного решения задач вида (1) требуется построение алгоритмов, равномерно сходящихся относительно внешних параметров задачи. Выделим ряд подходов к построению более эффективных алгоритмов.
До настоящего времени были известны два метода решения (1), равномерно сходящиеся относительно отношения сторон. Первый метод, предложенный в [64], основан на специальной конструкции предобусловливателя для дополнения Шура. Другой подход основан на расщеплении граничных условий для давления и использовании оператора Лапласа - Бельтрами [21, 22]. Отметим, что формальное обоснование сходимости было получено только для первого метода.
С другой стороны, известны три подхода к решению (1), обладающих равномерной сходимостью по параметру а: метод фиктивных областей [2, 42], алгоритм с блочным предобусловливанием дополнения Шура [47, 19] и уже упомянутый выше метод расщепления граничных условий [21, 22]. Для численного решения также применяется многосеточный метод, однако равномерность его сходимости по а на сегодняшний день не доказана.
Таким образом, проблема построения новых методов решения уравнений типа Стокса с равномерной по параметрам задачи скоростью сходимости является актуальной.
Цель данной диссертационной работы — это построение новых итерационных методов решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса в прямоугольной области, доказательство их сходимости на дифференциальном уровне, получение оценок скорости сходимости, равномерных относительно параметров задачи.
Простота рассматриваемой области нисколько не уменьшает ценности поставленной задачи. Детальное изучение свойств решений в модельных областях играет большую роль при построении эффективных численных алгоритмов для решения подобных задач в областях сложной формы. Кроме того, многие задачи можно свести к задаче в прямоугольной области.
Отметим основные особенности работы. Строятся алгоритмы с итерированием краевых условий для решения задач вида (1) в прямоугольнике, что является новым подходом к решению задач данного типа. Исходная задача (1) сводится к однородной задаче Стокса с заданной касательной составляющей скорости вдоль границы. Приближение к решению полученной однородной задачи ищется через аналитические (в виде рядов) решения последовательности вспомогательных задач с некоторыми модельными краевыми условиями. Для доказательства сходимости построенных методов применена новая для подобных задач методика, основанная на свойствах интеграла Дирихле и гармонических функций.
Оценки скорости сходимости равномерны' по всем параметрам задачи. Достоверность полученных результатов подтверждена результатами проведенных численных экспериментов.
Основные результаты диссертации опубликованы в [5, 6, 7, 8, 49].
Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.
В первой главе введены используемые определения и соглашения, задана формальная постановка задачи, проделано ее преобразование к удобному для решения виду, проведены нужные вспомогательные построения, выписаны необходимые в дальнейшем известные результаты.
Вторая глава посвящена построению и обоснованию метода решения (1) для случая классической задачи Стокса (а = О).
Третья глава содержит обобщение алгоритма построенного во второй главе на случай сингулярно возмущенной задачи Стокса (а ф 0). Результаты вынесены в отдельную главу, поскольку полученные формулы существенно отличаются от формул для классической задачи и совпадают только в пределе при а —> 0 .
В приложении для построенных методов рассмотрена численная реализация на основе конечно-разностной аппроксимации, приведены результаты ее применения к задаче о каверне и их анализ.
Основные результаты работы
Построены новые итерационные методы решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса с параметром а = 0 (классическая задача), а > 0 (сингулярно возмущенная задача).
Для построенных методов получена и применена новая методика доказательства сходимости на дифференциальном уровне с использованием интеграла Дирихле.
Получены равномерные относительно параметров задачи оценки скорости сходимости построенных методов.
Построена численная реализация методов, проведены численные эксперименты и анализ полученных результатов.
Преобразование задачи
Это означает, что для эффективного решения задач вида (1) требуется построение алгоритмов, равномерно сходящихся относительно внешних параметров задачи. Выделим ряд подходов к построению более эффективных алгоритмов.
До настоящего времени были известны два метода решения (1), равномерно сходящиеся относительно отношения сторон. Первый метод, предложенный в [64], основан на специальной конструкции предобусловливателя для дополнения Шура. Другой подход основан на расщеплении граничных условий для давления и использовании оператора Лапласа - Бельтрами [21, 22]. Отметим, что формальное обоснование сходимости было получено только для первого метода.
С другой стороны, известны три подхода к решению (1), обладающих равномерной сходимостью по параметру а: метод фиктивных областей [2, 42], алгоритм с блочным предобусловливанием дополнения Шура [47, 19] и уже упомянутый выше метод расщепления граничных условий [21, 22]. Для численного решения также применяется многосеточный метод, однако равномерность его сходимости по а на сегодняшний день не доказана.
Таким образом, проблема построения новых методов решения уравнений типа Стокса с равномерной по параметрам задачи скоростью сходимости является актуальной.
Цель данной диссертационной работы — это построение новых итерационных методов решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса в прямоугольной области, доказательство их сходимости на дифференциальном уровне, получение оценок скорости сходимости, равномерных относительно параметров задачи.
Простота рассматриваемой области нисколько не уменьшает ценности поставленной задачи. Детальное изучение свойств решений в модельных областях играет большую роль при построении эффективных численных алгоритмов для решения подобных задач в областях сложной формы. Кроме того, многие задачи можно свести к задаче в прямоугольной области.
Отметим основные особенности работы. Строятся алгоритмы с итерированием краевых условий для решения задач вида (1) в прямоугольнике, что является новым подходом к решению задач данного типа. Исходная задача (1) сводится к однородной задаче Стокса с заданной касательной составляющей скорости вдоль границы. Приближение к решению полученной однородной задачи ищется через аналитические (в виде рядов) решения последовательности вспомогательных задач с некоторыми модельными краевыми условиями. Для доказательства сходимости построенных методов применена новая для подобных задач методика, основанная на свойствах интеграла Дирихле и гармонических функций.
Оценки скорости сходимости равномерны по всем параметрам задачи. Достоверность полученных результатов подтверждена результатами проведенных численных экспериментов.
Основные результаты диссертации опубликованы в [5, 6, 7, 8, 49]. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.
В первой главе введены используемые определения и соглашения, задана формальная постановка задачи, проделано ее преобразование к удобному для решения виду, проведены нужные вспомогательные построения, выписаны необходимые в дальнейшем известные результаты.
Вторая глава посвящена построению и обоснованию метода решения (1) для случая классической задачи Стокса (а = О).
Третья глава содержит обобщение алгоритма построенного во второй главе на случай сингулярно возмущенной задачи Стокса (а ф 0). Результаты вынесены в отдельную главу, поскольку полученные формулы существенно отличаются от формул для классической задачи и совпадают только в пределе при а — 0 .
В приложении для построенных методов рассмотрена численная реализация на основе конечно-разностной аппроксимации, приведены результаты ее применения к задаче о каверне и их анализ.
Вспомогательные утверждения
Легко заметить, что обе задачи (1.4) и (1.5) относятся к одному типу: одна получается из другой поворотом на угол 7г/2 . Поэтому для решения исходной задачи (1.1) достаточно уметь решать неоднородную задачу с модельными краевыми условиями (1.2) и задачу вида (1.4). Явные формулы для решения задачи (1.2) уже выписаны, поэтому главным объектом исследований в настоящей работе будет задача (1.4).
Напомним определение нормы в пространстве W ity Пусть Q - ограниченная область в R2 с липшицевой границей dQ . Для функций и определенных в Q введем следующие обозначения:
Его привлечение здесь связано со следующим обстоятельством. Напомним определение нормы в пространстве Wl,2(d$) . Пусть ІЇ - ограниченная область в Ш2 с липшицевой границей дії. Для функций /?, определенных на дії, введем следующие обозначения:граничных функций представляет собой неаддитивный по составляющим границу частям сингулярный интеграл -полунорма в пространстве W2 (dQ). Однако справедливо [18, 4] следующее полезное
Этот факт позволяет заменить трудновычисляемую норму в пространстве следов на более простое выражение - интеграл Дирихле, что особенно ценно, когда целевая функция представима в виде ряда по ортогональному базису типа косинусов или синусов Проверяется непосредственной подстановкой (1.8) в (1.7).
При проведении оценок нам потребуется еще одно известное [24]. "Утверждение 3 (принцип Дирихле). В ограниченной области Q с липшицевой границей Ш среди всех функций / Є W ity, принимающих на границе заданное значение 1 /9 f\dn = 9 Є WV (pty) минимум интеграла Дирихле достигается на гармонической функции, т.е. решении задачи Д/ = 0 eD, /вв = 5
Так как задача (1.1) сведена к (1.4), то предметом данной главы является решение задачи (1.4) в случае а = О. Для ее решения будет построен метод основанный на решении последовательности вспомогательных задач специального вида.
Итак, будем искать приближение к функциям и Є (И 1 )) р Є L2/I& , удовлетворяющим системе уравнений
Необходимые сведения из математического анализа, можно найти, например, в [12, 13, 29]. Информацию об обыкновенных дифференциальных уравнениях и аналитических методах их решений в [28, 23].
Рассмотрим задачу, отличающююся от (2.1) тем, что вместо краевого условия первого рода на вторую компоненту и на вертикальной составляющей границы v\dQ = 0 , задано условие Специально подобранные граничные условия позволяют искать ее решение в виде однократных рядов: подставим выражения (2.4), (2.5) в уравнения (2.3). Отсюда получим для каждого целочисленного значения параметра т 1 систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций ит(у), vm(y), рт(у) и соответствующие граничные условия первого рода:
Каждая такая система имеет единственное решение, которое удобно представить в следующем виде, используя гиперболические функции:
Теперь формулы (2.4) дают нам решение первой вспомогательной задачи. Кроме того, для обоснования сходимости алгоритма нам потребуется формула для решения задачи вида: Y (2.7) т.е. ряд Фурье для гармонической в Q функции ср с такими же краевыми условиями, как для функции и в задаче (2.3). Решение этой задачи также несложно найти в виде ряда: 2 Р(х, у) = у - 2 Рт(у) sin т (х + J . (2.8) m=l Подставляя (2.8) и (2.5) в (2.7) получаем для каждого Отсюда находим Pm(y) = Cicosh(rm/) + (72sinh(my), (2.9) с коэффициентами
В процессе итерирования краевых условий потребуется также задача, отличающаяся от первой вспомогательной поворотом на угол 7г/2: в ней краевые условия второго рода наложены на первую компоненту скорости и и заданы на горизонтальной составляющей границы:
Интегралы Дирихле для решений вспомогательных задач
Заметим, что измеряемые краевые условия имеют ярко выраженную специфику: они отличны от нуля только на части границы и только для одной компоненты скорости. Кроме того, конструкция вспомогательных задач, а именно значения параметра суммирования — т 1, гарантирует, что порождаемые граничные значения не могут содержать константы, отличные от нуля. Поэтому для измерения ап вместо нормы достаточно использовать полунорму an i/2r9Q. , которую в силу утверждения 1 можно заменить более удобной для вычисления величиной интеграла Дирихле от фунции йп, являющейся решением второй вспомогательной задачи:
Теперь основной результат о сходимости построенного метода дает Теорема 1. Приближения итерационного метода удовлетворяют неравенству независимо от величины параметра вытянутости области d. Доказательство. Рассмотрим итерацию с номером п. Обозначим ненулевую граничную функцию для первой вспомогательной задачи через а. Без ограничения общности можно считать, что а является следом решения йп-\ из второй вспомогательной задачи с предыдущей итерации. Если же п = 1, то а берется из начальной постановки задачи (2.1). В любом случае считаем, что определена величина D(un-i), эквивалентная полунорме граничной функции а.
Рассмотрим первый шаг итерации. Здесь нас будут интересовать интегралы Дирихле от решения первой вспомогательной задачи — функции vn и некоторой гармонической функции срп, принимающей на дії граничное значение а . Используя лемму 1, имеем явные выражения леммы 3 известно где x может быть найдено с любой наперед заданной точностью и лежит в интервале
Из равномерности по параметру т приведенных отношений следует неравенство D(vn) xD((fn), на основании утверждения 3 имеем— D((pn) D(un-i). Их последовательное применение дает оценку
Перейдем к анализу второго шага итерации. Используем здесь такой же прием при получении неравенств, связывающих интегралы Дирихле второй вспомогательной задачи и соответствующей гармонической функции. Обозначим след функции vn через а, а через фп — гармоническую функцию, принимающую на 8Q граничное значение а. Воспользуемся результатами леммы 2:
Так как требуемые равномерные оценки отношений T(z)/W(z) и U(z)/S(z) уже получены, то, используя их и принцип Дирихле, как и выше, имеем неравенства:
Теперь имеются все необходимые оценки решений вспомогательных задач и гармонических функций. Окончательно для итерации с номером п из них следует цепочка неравенств из которой получим Отсюда следует искомое утверждение. Теорема доказана.
Полученный результат означает убывание норм возмущений краевых условий со скоростью геометрической прогрессии с показателем х
В этой главе получено обобщение алгоритма построенного во второй главе на случай сингулярно возмущенной задачи Стокса (а 0). Результаты вынесены в отдельную главу, поскольку полученные формулы существенно отличаются от формул для классической задачи и совпадают только в пределе при а —У О .
Как и в предыдущей главе будем искать решение (1.4) через решение последовательности вспомогательных задач.
Рассмотрим задачу, отличающююся от (3.1) тем, что вместо краевого условия первого рода на вторую компоненту и на вертикальной составляющей границы У\дПг = 0 задано условие Специально подобранные граничные условия позволяют, как и в случае классической задачи, искать ее решение в виде однократных рядов вида (2.4).
После разложения заданных на границе функций а(#), Ь(х) в ряды Фурье вида (2.5) подставим выражения (2.4), (2.5) в уравнения (3.2). Отсюда получим для каждого целочисленного значения параметра т 1 систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций ит(у), vm(y), Рт(у) и соответствующие граничные условия первого рода:
Интегралы Дирихле для решений вспомогательных задач
В качестве иллюстрации применения построенного алгоритма приведем результаты расчета задачи (1.1) в различных областях, при различном шаге сеточных областей.
На рис. 13 - 16 приведены результаты расчета в области квадратной формы на сетке с шагами hx = hy = 1/32 после 2 итераций метода. На рис. 13 изображены линии уровня функции тока, на рис. 14 — давления, на рис. 15, 16 — горизонтальной и и вертикальной v компонент скорости, соответственно.
Отметим, что влияние неточно найденных граничных условий практически не сказывается на качестве рисунков уже после первых итераций. Рис. 17, 18 демонстрируют применение алгоритма в прямоугольных областях с параметрами d = 1/2 и d = 2 соответственно. На них приведены линии уровня функции тока, рассчитанные при hx = hy = 1/32 после 2 итераций метода.
Отметим, что качественная структура решения определяется уже на начальном этапе применения алгоритма, а затем происходит постепенное уточнение решения. Это свойство особенно ценно для быстрого получения общей картины течения жидкости.
Приведем также экспериментально посчитанные величины, характеризующие скорость сходимости, при различных шагах сетки и параметре вытянутости области d. Напомним, что теоретическое значение показателя сходимости, полученное при доказательстве на дифференциальном уровне, определено как X2 « 0.31. Для области квадратной формы d = 1 при различных hx = hy = h на задаче о каверне получены результаты, приведенные в табл. 1.
Приведенные характеристики означают, что реальная скорость сходимости намного выше, чем теоретическая, хотя при стремлении шагов сетки к нулю наблюдается ее естественное замедление. Заметим, что показатель х\ вычислялся для каждой итерации, а в таблицу помещены наихудшие из полученных при расчете значений.
Рассмотрим аналогичные величины для областей прямоугольной формы и различных шагов сеток. В таблице 2 сетка подобна области hy = hxd, в таблице 3 — квадратная
Проведенные вычисления иллюстрируют, что алгоритм сходится наиболее медленно в области квадратной формы, т.е. равномерная по параметру d сходимость действительно имеет место. Отметим, что изменение шага сетки влияет только
Теперь рассмотрим численные эксперименты для сингулярно возмущенной задачи. В области прямоугольной формы искалось решение уравнений Стокса с параметром — пара с краевыми условиями следующего вида
Дискретный аналог поставленной задачи, как и в разделе II, был построен методом конечных разностей. Далее был применен дискретный аналог итерационного процесса построенного в главе 3.
Рис. 19 - 21 демонстрируют результаты применения метода к задаче (III. 1) в квадратной области на сетке с шагами 1/64 , при различных а . На них изображены полученные линии уровня функции тока при а = 10, 100, 1000 соответственно.
На рис. 22 - 24 результаты применения метода к задаче вида (3.1) с немного более сложными краевыми условиями, чем в (III. 1). Область квадратная, hx = hy = 1/64, а = 10. На рис. 22 линии уровня функции тока системы (III. 1) с краевыми Как и в случае а = 0 , влияние неточно найденных граничных условий практически не сказывается на качестве рисунков уже после первых итераций.
Экспериментально посчитанные величины, характеризующие скорость сходимости, при различных шагах сетки, параметре вытянутости области d и параметре а приведены в табл. 4 - б.
Анализ полученных результатов дает основной вывод: алгоритм сходится наиболее медленно в области квадратной формы при небольших а , т.е. равномерная по параметрам d и а сходимость действительно имеет место.
Заметим, что изменение шага сетки влияет только на количественные показатели, но не меняет качественное поведение — монотонность относительно d и а.
Как и в случае а = 0, при а 0 качественная структура решения определяется уже на начальном этапе применения алгоритма, а затем происходит постепенное уточнение решения. Реальная скорость сходимости намного выше, чем теоретическая, что связано с методом получения оценки на дифференциальном уровне.
