Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Смешанная задача для нелинейного уравнения Шредингера 12
1. Обозначения и вспомогательные утверждения 13
2. Теоремы существования 30
3. Теоремы единственности 60
Глава II. Численное исследование решений нелинейного уравнения Шредингера . 69
1. Распространение волновых пучков в нелинейных слабопоглощагащих средах 71
2. Распространение платообразных пучков в нелинейных средах 82
Литература
- Теоремы существования
- Теоремы единственности
- Распространение волновых пучков в нелинейных слабопоглощагащих средах
- Распространение платообразных пучков в нелинейных средах
Введение к работе
Распространение световых волн в нелинейных средах в последнее время привлекает большое внимание. Интерес к этому вопросу связан прежде всего с тем, что особенности распространения световых пучков в среде существенно влияют практически на все широко изучаемые в настоящее время явления нелинейной оптики, например такие, как вынужденное комбинационное рассеяние, вынужденное рассеяние Манделыптама-Бриллюэна, оптический пробой в газах и диэлектриках и другие. Правильная интерпретация исследований этих явлений во многих случаях целиком определяется картиной распространения пучка.
Выяснение данной картины и безотносительно к указанным явлениям носит тоже принципиальный характер. Достаточно провести сравнение с линейной оптикой, развитие которой было бы трудно себе представить без знания основных особенностей распространения света в линейных средах. Совершенно аналогично решение вопроса о картине распространения света в нелинейных средах играет такую же важную роль в развитии нелинейной оптики.
Мнимые части показателей преломления Ґ1% и Ду , фигуриру - 6 ющих в уравнении (0.5), соответствуют нелинейным средам с многофотонным поглощением. Эффекты, связанные с многофотонным поглощением, уже неоднократно регистрировались экспериментально lb! . Если Пг - П г -c/lz , я/ О , то член - о /Д/2Д отражает наличие двухфотонного поглощения в среде. Параметр /2л, обычно берется чисто мнимым П/ -- і ґіь » ґіі/ 0 , что соответствует трехфотонному поглощению.
Наличие поглощения в среде приводит к ограничению максимальных значений интенсивности пучка, точнее, интенсивность в фокусе остается ограниченной.
Исследованию физических основ изучаемого вопроса посвящен целый ряд работ. Укажем некоторые из них: [4, 5, 30, 41, 43 _7 .
Возможности аналитических и численных методов решения задач математической физики существенно возросли с развитием вычислительной техники. В частности, это привело к активизации исследований, посвященных разработке методов решения задач нелинейной оптики, и дало возможность решения важных научных и технических проблем [ I, 12, 15, 16, 18, 23 - 26, 36 J .
Многие исследователи посвятили свои работы постановке и изучению математических задач, связанных с нелинейным уравнением Шредингера (0.6) [ 20, 21, 28, 29, 33, 39, 42 ] .
В работе Лионса Г 29J были доказаны теоремы существования и единственности обобщённого решения смешанной задачи для уравнения (0.6) в пространстве /_, 00 (О.Т \Л/п (&)) при (к - О , R О • Доказательство теоремы существования было проведено на основе построения приближенного решения по методу Галёркина и обоснования перехода к пределу в приближенных уравнениях, которым удовлетворяют приближенные решения. В случае ск-0 » & О нелинейность в уравнении (0.6) имеет смысл диссипации, которая может только "улучшить" свойства обобщенного решения. Поэтому никаких дополнительных условий на параметры ҐІ , 0. и в в теоремах существования и единственности не накладывалось.
В [ 39 J доказано, что решение задачи Коши для уравнения (0.6) при с{ О » р — 2 » 0 — 0 существует локально в пространстве C1[0/TJS(IIП)) для любого U0 (X) є S(Kn) .
Аналогичные результаты были получены в работе [28] относительно задачи Коши для уравнения (0.6) с нелинейным членом вида \(14\I ) при некоторых условиях на т (IUI ) . Кроме того, там же доказано, что при jr(lUi ) U \U\ » d О решение задачи Коши с начальными данными Л К0( ) , U0(X) S (Ц ) разрушается за конечное время при достаточно большом Л Пример решения задачи Коши с особенностью для (0.6) при cL О , р-2 , П- 2 , f - О построен в f 39 J .
При cL О , jS - О задача (0.6) - (0.7) исследовалась также в работе [33j . Было предпринято дальнейшее развитие метода Галёркина для доказательства теорем существования. В частности, при переходе к пределу в нелинейных членах существенно использовалась лемма Ж.Обена 40./ . Доказаны теоремы существования обобщённого решения в целом в пространстве 00 7/1 (&)/ ПРИ некоторых условиях на параметры урав нения FL , р и d . Несмотря на то, что нелинейный член, рассмотренный в работе [33] , соответствует фокусирующим средам, условия на параметры VI , р и d таковы, что фокусировки в этом случае не происходит, то есть решение не имеет особенностей ни в одной точке из отрезка
В работе 42] было рассмотрено уравнение (0.6) с той же нелинейной частью, что и в [39J , в частном случае УЬ-1 . Доказана теорема единственности обобщённого решения из про-странства И/ , при этом существенно использовалось вложение пространств W% С- С , которое имеет место в одномерном случае.
Как уже указывалось выше, диссипативный член в уравнении (0.5) является уточнением математической модели, описывающей распространение света в нелинейных средах, поскольку в любой среде, за исключением вакуума, происходит поглощение энергии, сопровождаемое выделением тепла. Однако, добавление ещё одного нелинейного члена в уравнение влечет за собой некоторые технические трудности при аналитическом исследовании свойств его решений. Быть может поэтому в большинстве работ, посвященных данной тематике, математические исследования проводятся для уравнений, не содержащих диссипативных членов. С другой стороны, численный анализ уравнения (0.5) в большинстве случаев возможен только в среде с поглощением, которое позволяет избавиться от особенностей решения.
Целью диссертации является исследование уравнения (0.6) при наличии диссипации.
Глава I настоящей работы посвящена исследованию смешанной задачи (0.6),(0.7). Всюду в этой главе считаются выполненными следующие условия:
О р 4 (?г » /3 О » cL - вещественное число. Граница области & предполагается достаточно гладкой.
В § I вводятся обозначения, формулируются предположения и доказываются вспомогательные утверждения, которые используются далее в этой главе.
В § 2 устанавливается существование решения задачи (0.6), (0.7) в классах L (0?Т ;\х/ (С)) и L (0,Т;&/() П \Л/гЧ&))
при некоторых условиях на /1 , р , 0. , Л и В . При доказательстве теорем существования применяется уже достаточно разработанная методика, аналогичная с [29,33.1 , основанная на построении приближенных решений по методу Галёркина и доказательстве предельного перехода. По сравнению с работами [29,33] доказательство теорем существования усложняется выводом априорных оценок для приближенных решений. Это обусловлено тем, что в уравнении (0.6) имеются два нелинейных члена, один из которых является симметричным оператором, а другой - кососимметричным.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах 5,10 J автора и в совместной работе [2 J.
Теоремы существования
Интеграл, стоящий в правой части последней цепочки неравенств, в силу условия (2.3), ограничен, и следовательно, функции (\U\(\ Mt.Ufj) удовлетворяют условию (2.9), и тем самым доказано, что для функций F\ ( ,. %к) выполняется условие Липшица.
В силу теоремы существования и единственности [34 J , задача Коши (2.7),(2.8) имеет единственное решение в некотором промежутке LD.TKJ . В дальнейшем будеж показано, что решение существует и единственно, на всем исходном отрезке L0,T1 . Наша задача показать, что существует последовательность приближенных решений, сходящаяся в некоторм смысле к обобщённому решению краевой задачи (1.1),(1.2),(1.3). Для этого нам потребуются априорные оценки приближенных решений, вывод которых будет проведен ниже. — К Умножая і -ое равенство (2.5) на Я\ (і) и суммируя по всем і от I до К , получим Беря вещественную часть от обеих частей полученного равенства, выводим следующее соотношение (2.12) Поскольку в О » из (2.12) получаем дифференциальное - 36 неравенство интегрируя которое по ъ , приходим к соотношению \\UtCXft)\\l4\\UK(Xp)f} І[0/К];К = 1/Г.. . (2.13) В силу (2.6), последовательность /// (%р)ц \ ограничена, поэтому из (2.13) заключаем, что для приближенного решения Ык ІУ-ji) справедливо неравенство $UK(X,-i)U 4 С1} K = L,l}..., (2.14) с константой U ± , не зависящей от К Докажем теперь, что решение системы (2.7),(2.8) имеет единственное решение на всем отрезке СО,Г] . Пусть К фиксировано. В силу (2.14) Г-і / } = 1 функции Я г (t) t L=l,.. .; К , ограничены константой 1 , не зависящей от К Следовательно, выполняется условие (2.9) и решение системы (2.7),(2.8) может быть продолжено на больший отрезок W,TK + tt , lx 0 [I7J . Это означает, что неравенство (2.14) выполнено для всех с той же - 37 постоянной (у х . Повторяя эти рассуждения, за конечное число шагов докажем, что решение существует и единственно в промежут-ке[0,Т] . полу Интегрируя равенство (2.12) по Z от 0 до 7 , чим неравенство ? 2/ \Ш\рг di \\Ut,(Xp)\\? к=і;2; ... из которого, в силу ограниченности последовательности 7 \\ к( Р)\\ ] ВЫВАИМ оценку \ШЧ\рі(й) и і,г;... . (2.15) Из (2.14) и (2.15) следует, что множество функций \У-К\ ограничено в LjofiLft)) в L +i (а) . (2.16) Пользуясь соотношением (2.3), перепишем (2.5) в виде (2.17) -J (\UK\%llK)AuJj) = 0; к = 1,Я;...; 1=1,..., К. всем Умножая І- -ое равенство (2.17) на jj, (z) и суммируя по I от I до К , получим ІГ ; к) -ilUuK II -1JL (\UKI?UKf Л UK) - (2Л8} -/(WK\ ЬиК;ЛЫк) = 0; к 1,2,.... - 38 Выделяя вещественную часть от обеих частей (2.18) и интегрируя по частям нелинейные члены, въюодим соотношение di c = i&
Умножая I -oe равенство (2.5) на jj , суммируя по всем і и выделяя вещественную часть от обеих частей, получим 01 01 е (2.29) +/ fa j Aff - K = i,i,.... II т Применяя неравенство Коши-Буняковского, сокращая на /( yj. и полагая t О ,из (2.29) выводим оценку \\ %\\дМхр)\Ы\Ш Учитывая (2.6), из (2.30) заключаем, что множество функций f p j ограничено в L (&) . (2.31) Далее продифференцируем I -ое равенство (2.5) по t в ГССУЯАГСТЗЕКіие і БІЕГІМТЕКА j СССР і Г". 3. . Я! »"".; - 42 смысле обобщённых функций из Пользуясь формулой (1.5), перепишем последнее равенство в виде W); ) = l(h ); ) (2.32) U (іі\ик\?ик); ufj) -j (J-(іиЛ ), uJ} ). В левой части этого соотношения внутренняя производная по t понимается как классическая, а внешняя - как обобщённая. Умножим J- -ое равенство (2.32) на d i/at и просуммируем по всем І от I до К , в результате получим tn-i Ji -и&«фк)&МШЧЩ Беря вещественную часть от последнего уравнения и пользуясь формулой (1.6), мы приходим к соотношению - 43 — (2.33) & Слева в (2.33) стоит обобщённая производная в смысле щт), и она совпадает с правой частью, которая является непрерывной функцией по L . Поэтому производную в левой части (2.33) можно считать классической. Вводя обозначение J & и пользуясь леммой I.10 , из (2.33) получаем соотношение ьШЩыр- ьц (2.34) ; которое аналогично неравенству (2.21). Постоянная L р , входящая в правую часть (2.34), определена в (2.20). Рассуждая так же, как и при оценке сверху неравенства (2.21), из (2.34) выводим, что при условии I) теоремы 2.1 справедливо неравенство - 44 а при условии 2) - неравенство ; К-1,2, ..-; с постоянной , не зависящей от К Учитьшая (2.31), из (2.35) и (2.36) заключаем, что справедливо утверждение (2.28). Запишем равенство (2.12) в виде / Ы1п= - & \Ук г dx =hh- о Применяя неравенство Коши-Буняковского, из последнего равенства выводим
Отсюда, учитывая (2.16) и (2.28), получаем, что множество функций J 2//с [ ограничено в и (0 Tl и о . (b)j . (2.37) Теперь можно перейти к пределу при К— со и доказать, что предельная для приближенных решений функция является обобщённым решением задачи (1.1),(1.2),(1.3). Согласно теореме Данфорда-Петтиса 22 J , пространство оо ( ; Т? 2 ( является сопряженным к пространству . Следовательно, применяя лемму 1.5 и учитьгоая (2.26), заключаем, что существует такая функция - 45 о uMjtLoofofiwtm и такая подпоследовательность из \U ] , которую снова обозначаем через \ U. к\ » что Чк- и - слабо в LoolOffU/zfG)) оа. (2.38) Далее, в силу (2.28), из подпоследовательности [ к І выделим подпоследовательность 1UK{ такую, что fir- (Г - слабо в L fO/T L ) К- ОО. Из (2.38) следует, что UK- U - слабо в LaD(0;T;L:l( ));K oow Так как пространство 3) (0;Т) L fG)) плотно в L/ff T/и2 {&)) » то для любой функции Т Є d) ( OjT L i (6)) имеем (%f)-iw), « Беря в качестве / : = Ц JS)(0;T;L2 (0 . получим -( И /Ьад=-$ 4 — (2-39) Соотношение (2.39) означает, что Э&_ Ц . олабо в 2) (0,Т;іг (6)) В силу того, что пространство плотно в - 46 L, (o,T;Lt (&)) заключаем, что W lt " СЛаб B оо(0;Г ;іі( ); К-оо. (2.40) Поскольку, в силу (2.37), Шк\ ограничены в / \UKI иV ( ограничены в LQQ (0 l}L%±2 (G))% і Шк\ Мц\ ограничены в UQO (0;T)LВії (Q) РН Следовательно, \ UK І \ - i(xjL) - слабо в і (o,T;L№„f (б)), К- », (2.41) ш/к - fty) - слабо в Докажем, что У(Х,{) - Ш І %U f f(X,l) = IU \fU (2.42) Из (2.28) следует, что множество / or j ограничено в /_,л (и) , Учитывая (2.26), выводим, что множество і U ( ограничено в w% ( fl/ . В силу теоремы вложения Соболева, вложение WK&) в L2(a) компактно. Таким образом, мы можем считать, что попоследовательность /Кк і сходится к 1А сильно в Ь (и) , и из неё можно выделить подпоследовательг-ность, сходящуюся к К(хЛ п.в. в & . Воспользовавшись леммой 1.6 в случае j/ /%/ % » % = , а затем для \к = /»J? , = - 47 заключаем, что справедливо (2.42). Таким образом, учитывая (2.38), (2.40), (2.41), (2.42), можно перейти к пределу в уравнении (2.5). Обозначим через -мерное подпрост ранство VW?(/ , состоящее из элементов вида " _, 0І!Ш}(Ю с произвольными Glj f х В силу (2.5), У-кіХ ) удовлетворяет тождеству М -1(VUK;V U(IU/UK; (IUA )= (2.43) где U/y (/г К) - произвольно. Фиксируя А/ О и / V/i/ (№4 К) , в (2.43) перейдем к пределу при К- оо . Принимая во внимание (2.38), (2.40), (2.41), (2.42), получим Щ, )-ЦУи,У ) + 1Л(1и\Ги}11)+ (Ш1\11)= 0? (2.44) в смысле обобщённых функций на ( ОХ) . Так как пространство U Оу плотно в Vo+2 \b) , то, сделав в (2.44) замыкание по / , получим, что справедливо (2.44) для любой функции h Є \/ fcti (&) .
Теоремы единственности
В настоящем параграфе будут доказаны две теоремы единственности обобщенного решения задачи (I.I), (1.2), (1.3) при различных предположениях о его гладкости. Эти теоремы, в совокупности с теоремами 2.1 - 2.3, позволяют сделать вывод об однозначной разрешимости задачи (I.I), (1.2), (1.3) при различных значениях величин О , #- и VI . ТЕОРЕМА 3.1. Пусть в уравнении (1.1) В & О , Qj z Р ? О % di - действительное число. Обобщённое решение К(Х;) задачи (I.I), (1.2), (1.3) такое, что weLoofo/r V /ILoofa), feLootofiW GXBLmW) единственно.
Доказательство Предположим, что существуют два решения UL(%,±) и Щ(Х,і) задачи (І.І), (1.2), (1.3). Тогда их раз ность является обобщённым реше нием задачи - 61 и (З.І) ії\ - 0; (3.2) S(X,o) - 0/ (з.з) где if (X) - любая функция из пространства Vp f (Cr) Каждый член в уравнении (3.1) принадлежит пространству u tOJ?) и, следовательно, уравнение (3.1) выполнено для п.в. t из отрезка . Поскольку функция fefl) при п.в. t является функцией из пространства Vo+z (0-} , то в качестве пробной функции U Cx) в уравнении (3.1) возьмем о(х 6) + (3.4) В силу выше сказанного, уравнение (3.4) также будет выполнено при п.в. Беря вещественную часть от обеих частей (3.4), получим ljiUt= л Im (іи/и.-іи/и /) - (3.5) fi Ні (ш/и, - IUtl\ J1) = О. - 62 Учитывая, что [29J, и пользуясь неравенством (2.10), из (3.5) получим соотношение щг и\(2р+в)(ш/тг\р) \fiUx. (з.б) G Пользуясь неравенством Гёльдера с і-[у + і і)ь из (З.б) имеем Решая последнее дифференциальное неравенство с начальным условием (3.3), получим 0 ЫА) О . Теорема доказана. Замечание. Аналогичная теорема была доказана в [42 J для случая Yl- L , /2 - О , Ь = і . Обозначим через urg(&)« с р/ О совокупность ком-плекснозначных измеримых функций, заданных на & , для которых конечен интеграл
Будем говорить, что функция У.(рс) принадлежит классу 3.2. Пусть в уравнении (І.І) Л О , скъР О , oL - вещественное число. Тогда обобщенное решение U(X}) задачи (I.I), (1.2), (1.3) такое, что Щ іоо(о,Т;W2- (G) Lm(Й) единственно. Доказательство Предположим, что существуют два решения, и обозначим из разность о (х,) і (%;) х ( )-Аналогичными с теоремой 3.1 рассуждениями выводим, что справедливо неравенство (З.б). Фиксируем .(0,1] и применим к (3.6) неравенство Гёльдера с Ъ - F ( + z -) Перенося влево II $\\ " и интегрируя по t от 0 до С о последнее неравенство, получим / р с - 64 it Л Ш [if І3) е uVsup JZ ШФх)ЧІМ e ft -[0;lolc=l;2L & l Из того, что функции К І (У-,4 и и CKjt) принадлежат пространству 1-і со в частности, следует suPUL C. Учитывая это, продолжим неравенства P J x- p Воспользуемся элементарным неравенством X 4 p Є , которое справедливо при Х„р О Выбрав to так, чтобы XM(lp + i)io а?-е - 65 и устремив — + О , убеждаемся, что правая часть (3.7) стремится к нулю. Тем самьм единственность доказана на отрезке . Поскольку величина to конечна, то повторяя этот процесс конечное число раз, получим единственность на всем отрезке to,ті .
В такой постановке задачи область (j , вообще говоря, совпадает со всем пространством К , и на функцию ( накладывается дополнительное условие
На практике нас интересуют световые пучки в ограниченной области (У с амплитудой, близкой к нулю вне этой области. Поэтому при численных расчётах мы будем требовать, чтобы для решения г\(У-&%) задачи (4.1),(4.2) при всех 2 # выполнялось приблизительное, с точностью до величины погрешности, равенство - 70 А( Э \и= Z - (4.3)
Если функция /\о(У-Л) из (4.2) близка к нулю вне (z , то и решение А(%М,уи) при не очень больших Z будет обладать этим свойством. Однако, в силу того, что световые пучки обладают свойством расходимости, решение исходной задачи при достаточно больших Z перестает удовлетворять условию малости вне Ь . В этих случаях при расчётах часто появляются паразитические осцилляции, распространяющиеся от периферии пучка к его центру. Расширяя область Ь , можно добиться того, что условие (4.3) будет выполнено для интересующих нас значений Е. 0 том, какая величина диаметра пучка будет достаточной для того, чтобы не нарушалось условие малости амплитуды вне G , можно судить как на основе априорной информации о расходимости пучка, так и на основе пробных расчётов.
Распространение волновых пучков в нелинейных слабопоглощагащих средах
В каждый фокус "втекает" ( см. L301 ) энергия,приближенно равная г к р . Прохождение пучка через фокус сопровождается падением мощности на некоторую величину. Это падение мощности обусловлено поглощением существенной доли электромагнитной энергии, втекающей в фокальную область. Ясно, что поглощенная мощность г ч составляет лишь некоторую долю величины РКр . Согласно [ 16.] , на основе численных расчетов был сделан вывод, что в диапазоне 1 4 Р0/Р р 2т и для всех фокальных областей величина г имеет одно и то же значение Y — /Ъ Ркі .
На Рис. I приведен график мощности пучка и его интенсивности на оси, имеющего следующие характеристики К Ь -10 ; d = Ю 3/3, Р0/Ркр=ІО, fi= &. Значительное увеличение параметра А ведет к сильному влиянию поглощения и качественному изменению характеристик пучка. В результате уменьшается количество фокусов и изменяется их местоположение. Картина становится более "размазанной", и появление фокусов становится нерегулярным. На Рис. 2 изображен пучок с теми же характеристиками, что и на Рис. I, но с коэффициентом по-глощения В — 100d. .
При А — О » то есть в среде без поглощения, численное решение задачи возможно только до точки первого фокуса. Это обу-словлено тем, что при н - 5/ интенсивность пучка 1 на оси неограниченно возрастает, и происходит переполнение арифметического устройства ЭВМ.
Отметим, что при 0 , в силу (4.7), в области существования решения для него выполняется соотношение из которого следует, что мощность пучка в процессе распространения остается неизменной и равной начальной мощности. В связи с этим возникает вопрос - каким образом ведет себя мощность в окрестности фокуса при & - О Эта задача была исследована для случая, когда {(-№ , что соответствует lo/P b —Ю. Величина В изменялась в пределах от U до Лг/Єі .
Для численного решения была использована разностная схема, предложенная в [23, 24J для задачи о трёхчастотном взаимодействии электромагнитных волн в нелинейных средах, реализованная на равномерной сетке. Поскольку известно, что решение задачи (4.1), (4.2), (4.3) наиболее сильно изменяется в области фокуса, в окрестности точки = О , численное решение проводилось на неравномерных сетках, сгущающихся к центру. Для этого в уравнении (4.1) была сделана замена переменных Ч, — Р
Из системы разностных уравнений последовательно находятся Ы. для О /Yl А{-1 . При каждом система нелинейных уравнений решается методом простой итерации, для чего в нелинейный член вместо U подставляется значение преды-душей итерации. В качестве нулевого приближения берется Ып . Для решения полученных систем линейных уравнений применяется метод прогонки.
Если ввести скалярное произведение и норму К —О то оператор Л. является самосопряженным и отрицательным. В случае, когда в представлении (4.4) /3 = О , для решения разностной задачи выполняется аналог закона сохранения (4.9): \\и\\к = \\(\Лк.
На основе приведенной выше разностной схемы была написана стандартная программа для решения задачи (4.10), (4.II), (4.12), по которой и проводились расчеты. Описание этой стандартной программы приведено в [38] .
Для получения правильных результатов счета, каждое следующее уменьшение параметра Л сопровождалось как уменьшением шага по 2 » так и увеличением числа узлов сетки по радиусу % , что в свою очередь приводило к значительному возрастанию времени счета. Поэтому численные расчеты были проведены только для области первого фокуса.
Распространение платообразных пучков в нелинейных средах
Величины 2.S /v 3.S соответствуют переходной области, характеризуемой тем, что наблюдается заметная трансформация многофокусной структуры. Характер этой трансформации заключается в том, что расстояние между фокусами уменьшается, фокусы как бы приближаются к месту расположения первого фокуса, наблюдается частичное их перекрытие. Общее число фокусов постепенно уменьшается с соответствующим увеличением мощности, втекающей в каждый фокус. При А/-Ц на оси наблюдается уже только один фокус, в который при входной мощности Ро — 10 Ркр втекает около о Рцэ . На Рис. 9 а) и б) представлены поперечные распределения интенсивности для Р0 -10РКи и А/ 16 для восьми различных значений 2" . Характерной особенностью этих распределений является заметная кольцевая структура, обусловленная линейной дифракцией. Эти дифракционные кольца появляются перед образованием фокуса ( или фокусов). Возникающая кольцевая структура при распространении пучка в среде постепенно трансфорілируется в одно кольцо. Интенсивность в центре кольца нарастает, и кольцо постепенно стягивается к центру. Эта картина наблюдается при А/ Ч . Фактически различие между случаями А/-2 и /V 4 состоит в том, что при /\/-% пучок при распространении разбивается на кольцевые зоны, в каждой из которых локализована мощность порядка rkp , а при А/ Ч формируется одна кольцевая зона, в которой локализована значительная доля полной мощности пучка. Максимальная интенсивность на оси примерно одинакова как в случае многофокусной структуры, так и в случае одного фокуса. Полная мощность, втекающая в каждый фокус, существенно меняется: при /V-2 эта мощность примерно равна \ кр , а при /V- 1 б она составляет Pkp . Отметим, что при А/- 16 в самом начале имелась центральная зона с повышенной интенсивностью на оси. Однако, полная мощность, заключенная в этой зоне, была меньше Ркр , и фокуса не возникло. При повышении входной мощности возникающий в самом начале центральный максимум может иметь энергию, достаточную для образования первого фокуса. На Рис. 8 приведены зависимости от И интенсивности на оси и мощности пучка для
Из этого рисунка видно, что на оси наблюдаются два фокуса. На Рис. 10 а) - в) приведены соответствующие поперечные распределения интенсивности для для различных значений И . Характер кольцевой структуры, возникающей при распространении пучков с этими параметрами, похож на структуры, представленные на Рис. 9.
Таким образом, результаты расчетов распространения плато-образных пучков в нелинейной среде керровского типа выявили три характерных отличия этих пучков от гауссовых.
Во-первых, линейная дифракция не искажает профиля поперечного распределения гауссова пучка. В то же время линейная дифракция приводит к заметной трансформации профиля платообразных пучков с образованием кольцевых зон.
Во-вторых, возникающие кольцевые зоны оказывают сильное влияние на характер распространения пучков в нелинейной среде.
Кроме того, нелинейная среда также оказывает влияние на характер кольцевых зон. В отличие от линейного случая, когда число кольцевых зон оказывается весьма значительным по мере распространения пучка, в нелинейном случае все кольцевые зоны стягиваются, как правило, в одну, иногда в две.
В-третьих, образовавшаяся кольцевая зона ( или зоны ) стягиваются к центру с образованием одного фокуса из каждой зоны, через который протекает мощность, значительно превосходящая критическую. Положение фокуса по оси 2 примерно совпадает с положением первого фокуса многофокусной структуры в случае гауссовых пучков. В области 2 /!/ Ч наблюдается постепенный переход от многофокусной структуры к структуре с образованием одного-двух фокусов. При этом происходит постепенное подтягивание фокусов многофокусной структуры к первому фокусу и их слияние.
