Введение к работе
Актуальность. Самосопряженные краевые задачи, в частности, задачи на собственные значения (со.) для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (о. д. у.) возникают при изучении широкого круга вопросов физики и механики. Отыскание тех значений входящего в систему о.д.у. спектрального параметра, при которых система имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям, и вычисление соответствующих им собственных функций (с.ф.) — основные этапы решения многих встречающихся в практике динамических задач. Разработка и исследование устойчивых методов решения самосопряженных спектральных задач, в том числе нелинейных по спектральному параметру, — важное направление, развития вычислительной математики.
Численное определение с.з. и с.ф. самосопряженной задачи в ряде случаев представляет определенную трудность. Так, спектр задачи о свободных колебаниях тонкой упругой оболочки вращения образует неоднородное множество со сложной структурой, при этом с уменьшением толщины оболочки плотность распределения частот возрастает, что делает расчет собственных частот п форм колебаний достаточно трудной вычислительной задачей.
Особенно сложными для изучения являются сингулярные краевые задачи, которым соответствуют системы о.д.у. с особенностями. Вопрос о постановке граничных условий, возникающий в связи с такими задачами, наиболее полно был рассмотрен в работах А. А. Абрамова, Н. Б. Конюховой, Е. С. Биргера, К. Балла. Тем не менее, разумная постановка краевых условий для многих сингулярных задач по-прежнему представляет определенную трудность и требует дальнейшего подробного изучения.
Отметим, что спектральные задачи, близкие по свой-
ствам к задачам теории оболочек, часто встречаются в математической физике. Поэтому желательно разрабатывать численные методы, применимые к возможно более широким классам подобных проблем.
Цели диссертации; разработка и исследование методов решения самосопряженных двухточечных краевых задач для линейных гамильтоновых систем о.д.у. и связанное с этим теоретическое изучение некоторых спектральных свойств таких задач; их численная реализация, создание комплекса программ для отыскания с.з. и с.ф. упомянутых задач; исследование вопроса о постановке граничных условий для систем, рассматриваемых на неограниченном интервале; применение разработанных методов к численному исследованию свободных колебаний тонких упругих оболочек вращения.
Методы исследования. В диссертации использованы методы математического и функционального анализа, теории возмущений самосопряженных операторов и вычислительной математики.
Научная новизна. В диссертации исследован эффективный метод отыскания с.з. и с.ф. самосопряженной задачи для гамильтоновых линейных систем, основанный на применении варианта дифференциальной прогонки. Этот метод был предложен А.А.Абрамовым в 1991 году; он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими известными способами решения таких задач. Ранее применение этого метода было обосновано его автором лишь при выполнении определенных предположений, не охватывавших ряда задач, возникающих в приложениях. С этим обстоятельством была связана проблема — обобщить упомянутый метод на более широкий класс задач. Одним из новых результатов, излагаемых в диссертации, является такое обобщение. Этот результат дает возможность применять метод к ряду прикладных задач,
в том числе из теории оболочек.
Понятие сопряженной точки является важным при исследовании осцилляционных свойств решений системы дифференциальных уравнений и при изучении спектральных задач. В диссертации проведено исследование поведения сопряженных точек линейной гамильтоновой системы. Выяснен основной для возможности применения исследуемого метода факт: при каких условиях, налагаемых на задачу, сопряженные точки задачи не заполняют собой никакой интервал. Это позволило сформулировать условия, при выполнении которых данный метод может быть реализован на практике применительно к гамильтоновой системе для любых самосопряженных граничных условий.
Известно, что наличие в задаче на с.з. больших значений спектрального параметра вызывает дополнительные трудности при реализации различных численных методов, в том числе рассматриваемого в данной работе. В диссертации для ряда ситуаций предлагается преобразование, позволяющее модифицировать предложенный ранее метод, и избежать сложностей, связанных с присутствием в задаче большого спектрального параметра. Доказано утверждение о связи решения модифицированного прогоночного уравнения с исходным; на этом утверждении и основано усовершенствование метода.
В работе также рассмотрены задачи на бесконечном интервале. Здесь, в частности, обсуждается вопрос о постановке граничных условий на бесконечности. Один из подходов к решению таких задач состоит в выделении линейного многообразия ограниченных решений системы уравнений и переносе условия ограниченности из бесконечности в конечную точку. Работы А. А. Абрамова, Н. Б. Конюховой и других авторов по данному вопросу оказали большое влияние на содержание настоящей дис-
сертаціш. В диссертации изучаются свойства переноса условий из бесконечности для гамильтоновых систем о.д.у. и рассматриваются возможности дальнейшего решения задачи на с.з.
Результаты исследований и методы решения, изложенные в диссертации, применяются к решению задачи о свободных колебаниях тонкостенных упругих оболочек вращения. Собственные частоты колебаний таких оболочек и соответствующие им формы колебаний вычисляются с помощью исследованного и развитого в работе метода решения самосопряженной граничной задачи. Численное определение собственных частот и форм свободных колебаний тонкой оболочки является непростой задачей, особенно при малых значениях толщины оболочки. В работе проведено численное исследование локализации спектра при разных числах волн вдоль параллели и для различных видов граничных условий.
Практическая ценность работы. Метод вычисления с.з. и с.ф. гамильтоновой системы, исследованный и развитый в диссертации, реализован в виде комплекса программ. Эти программы достаточно универсальны. Раз работанный комплекс программ может быть применен к решению практических задач, в частности, к расчетам собственных частот и форм свободных колебаний оболочек вращения. Разработка этих программ и решение задач теории оболочек осуществлялись в рамках сотрудничества с Акустическим институтом им. Н.Н.Андреева.
Следует отметить, что задачи на расчет свободных колебаний упругих оболочек представляют большой практический интерес, связанный с рядом важных технических приложений в теории упругости.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: на научных конференциях МФТИ 1992 и 1994
г.г., на IV Международной конференции по численному анализу (г.Москва, 1995 г.), на VI Крымской осенней математической школе по спектральным и эволюционным задачам (Крым, 1995 г.), на семинаре "Методы решения задач математической физики" в Вычислительном центре РАН, на семинаре "Теория несамосопряженных операторов" в МГУ, на семинаре "Математические задачи теорфизики и механики" в МФТИ, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений МАИ, на семинаре отдела вычислительных методов ВЦ РАН.
По теме диссертации опубликовано шесть работ, перечень которых приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, списка использованной литературы, 7 таблиц и 34 графиков.
