Введение к работе
В вычислительной математике одной из актуальных и важных является проблема разработки вычислительных методов решения
систем сеточных уравнений, которые обычно возникают в приложениях и, в частности, при применении различных разностных методов для решения как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений. Такие системы сеточных уравнений в большом числе случаев обладают целым рядом специальных свойств: они имеют очень большой порядок, равный числу узлов сетки; системы, как правило, плохо обусловлены (в случае систем линейных сеточных уравнений) или их матрицы Якоби (в случае систем нелинейных сеточных уравнений) являются разреженными и ленточными. По этим и ряду других причин этой проблеме уделяется особое внимание в большом числе монографий известных советских и зарубежных математиков: Марчука Г.И., Самарского
А.А., Андреева В.Б., Николаева Е.С., Яненко Н.Н., Лебедева
* В.И., Воеводина В.В., Ильина В.П., Кузнецова Ю.А., ХеЙгемана
Л., Янга Д. и других.
Дія решения систем линейных сеточных уравнений построен и иссподован ряд прямых методов, в том числе метод матричной прогонки и различные его варианты, экономичные прямые методы: метод полной редукции, метод разделения переменных,, комбинация метода полкой редукции с быстрыми преобразованиями Фурье и некоторые их модификации. Эти методы обладают достаточно . удобной реализацией, высоким быстродействием и точностью, однако надо отметить, чтя они предназначены в основном для решения систем сеточных уравнений невысокого порядка и специального вида, их применение требует большого объема памяти . ЭВМ и всегда сопряжено с необходимостью выполнения множества
специфических ограничений, налагаемых на свойства элементов матрицы решаемой системы, на их размерность и других условий, обеспечивающих сходимость и устойчивость названных методов. Вычислительная практика показывает, что в ряде случаев такие требования не выполняются и применение этих методов становится затруднительным или невозможным.
Итерационные методы применяются главным образом для решения сложных задач большой размерности, для которых в силу ограничений, налагаемых на объем памяти ЭВМ и число арифметических операций, использование прямых методов оказывается весьма затруднительным или недостаточно эффективным. К итерационным методам можно отнести различные двухслойные,.трех-. слойные методы (метод с чебышевским набором параметров, .метод скорейшего спуска, метод минимальных невязок, метод сопряженных градиентов и др.), метод переменных направлений (метод Зейдєляї метод верхней релаксации), попеременно-треугольный метод и др. Теории таких методов посвящено большое число работ Самарского А.А., Яненко Н.Н., Николаева Е.С., Хей-гемана Л., Янга Д., Марчука Г.И., Лебедева В.И., Фадеева Д.К., Кузнецова Ю.А., Ильина В.П., Капорина И.Е., Воеводина В.В., Асельсона 0., Банка Я.^ Даниела Дж., Бузби В., Голуба ., Яо-вела Дж., Конноса П. и др.
Решение систем нелинейных сеточных уравнений занимает особое место в вычислительной математике, специализированным численным методам решения этой проблемы, по нашему мнению, не уделялось должного внимания,'а в ряде случаев они просто не рассматривались. Для решения таких систем часто используется
_ 4 -
метод Ньютона или различные его модификации, в вычислительных схемах которых из-за высокого порядка системы вычисление матрицы Якоби и решение соответствующих систем ЛАУ являются довольно трудоемкими процедурами, снижающими эффективность методов в целом.
Поэтому актуальной является разработка таких вычисли
тельных алгоритмов, которые сокращали бы размерность решаемых
систем, ослабляли бы вышеупомянутые труднооти, присущие тра
диционным итерационным методам, и при атом в ряде важных слу
чаев сохраняли бы основные конструктивные свойства решаемых
систем. Эти проблемы и сопутствующие им вопросы занимают
центральное место v диссертации.
Цель работы. Построить и обосновать вычислительные алгоритмы, основанные на процедуре множественной разностной пристрелки для решения систем как линейных, так и нелинейных трехточечных векторных уравнений, а также их обобщение на случай систем сеточных уравнений общего вида и произвольного порядка.Выполнить.ряд испытательных и прикладных вычислительных экспериментов.
Научная новизна. Предложены новые вычислительные алгог ритмы для решения сеточных граничных задач, с помощью которых удается существенно понижать размерность решаемых систем и в большой мере с выгодой использовать другие свойства, сопутствующие успешным вычислениям. Предложены и исследованы на ус- ' тойчивость и сходимость вычислительные схемы метода множественной разностной пристрелки для решения систем линейных.и . нелинейных сеточных уравнений общего вида и произвольного порядка. Проведено изучение спектральных свойств матриц замыка-
ющих'систем, полученных при применении метода множественной разностной пристрелки. Установлены возможности регулировки их свойств, улучшения и определения оптимального выбора точек пристрелки. Показано, что во многих случаях наряду с уменьшением размерности решаемых систем наблюдается и важное улучшение спектральных характеристик (например, число обусловленности), что может быть использовано при ускорении сходимости соответствующих итерационных процессов. Для решения систем нелинейных сеточных уравнений дэно исследование и применение метода множественной разностной пристрелки. Изучены свойства итерационного процесса для решения замыкающих систем и исследован ряд важных вычислительных характеристик, определяющих качественную сторону вычислений.
Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при решении широкого класса систем как линейных, так и нелинейных, сеточных уравнений специального и общего вида, а также, при.изучении вопросов сходимости и устойчивости итерационных процессов для их решения. Они позволяют проводить оптимизацию вычислительных алгоритмов в смысле выбора параметров пристрелки, числа и длин подинтервалов пристрелки, регулировки свойств матриц Якоби для замыкающих систем, улучшения сходимости и лучшего использования памяти ЭВМ.
Апробация работы> Результаты диссертации докладывались на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники.для гниения народнохозяйственных задач (1988 ^Республиканских чтениях по дифференциальным уравнениям (Минск, 1990), на семинарах по
-'6-
вычислительной математике в БГУ и ИМ АН Беларуси.
Публикация. По теме диссертации опубликовано 5 работ М-
Структура и объем диссертации. Диссертация соотоит из введения, четырех глав, заключения, содержит 30 таблиц и'10 ' рисунков, список литературы включает 94 наименования. Общий объем работы странице»,
