Введение к работе
Актуальность темы. В работе рассматриваются вопросы решения системы уравнений Максвелла для геофизических приложений. В общем случае данная система уравнений связывает пять векторных функций. Для уменьшения числа неизвестных используется переход к системе уравнений второго порядка. Разнообразные варианты таких постановок приводят к системам вида
rot a rot X + cfiX = F,
div PX = 0. ( '
Здесь параметры a, /3 зависят от электромагнитных свойств среды. В качестве неизвестной функции X могут выступать напряженности электрического или магнитного поля, а также векторный магнитный потенциал. Константа с > 0 зависит от гармонической частоты или от величины временного шага.
Традиционные схемы численного решения задачи (1) строятся на использовании регуляризирующего свойства слагаемого с/ЗХ. Можно решать только первое уравнение системы (1), а второе уравнение является простым следствием соленоидальности правой части div F = 0. Поскольку правая часть F зачастую определяется численными методами, то в реальных ситуациях дивергентные ограничения решения могут нарушаться в результате накопления погрешностей вычислений. Для устанавливающихся полей на поздних временах такие эффекты разрушают численное решение [3, 4]. Другой аспект проблемы связан с наличием нетривиального ядра у оператора rot, куда входят градиенты скалярных функций. При стремлении константы с к нулю, левая часть первого уравнения системы (1) становится вырожденной. В связи с вышесказанным задачу (1) будем рассматривать в предельном, стационарном варианте с = 0.
Для преодоления описанных проблем применяются различные методы регуляризации. В работах М. Costabel, М. Dauge (2002), J. Bramble, Т. Kolev, J. Pasciak (2004) развивается "grad — div" регуляризация, когда к оператору rot rot добавляется слагаемое — V(div /ЗХ). Близким по идеологии является разрывный метод Галеркина (DG). В работах I. Peragia, D. Schotzau, P. Monk (2001), F. Kikuchi (1987) DG применяется для решения уравнений Максвелла
в частотной области. Наиболее естественным функциональным пространством для искомых решений является H(rot; Q.). Элементы данного векторного пространства обладают свойством непрерывности касательных компонент и допускают разрыв нормальных компонент. В работах J.C. Nedelec (1980, 1986) предлагаются векторные "edge" элементы для аппроксимации H(rot; Сї). В методах "grad — div" регуляризации данное пространство не используется, поскольку на функциях X Є H(rot; Q.) дивергенция div /ЗХ Є Н~г(0.) является распределением, и возникают сложности интерпретации слагаемого — 4(div (ЗХ). Авторами G. Haase, М. Kuhn, U. Langer (2001) при некоторых ограничениях получена регуляризированная дискретная постановка для стационарной магнитной задачи основанная на "edge" элементах. Аналогичные конструкции использовались С. Greif, D. Schotzau (2007), Q. Ни, J. Zou (2004) для численного решения задач с седловой точкой с вырожденными диагональными блоками. За рамками данных работ остались вопросы обоснования полученных регуляризированных постановок и сходимость численных решений к точным. В работах V. Girault, P.-A. Raviart (1986) исследуется способ регуляризации абстрактных задач с седловой точкой.
Диссертационная работа посвящена получению и исследованию регуля-ризированной постановки стационарной задачи в пространстве H(rot; Q.), которая гарантирует выполнение дивергентного ограничения на решение вне зависимости от соленоидальности правой части и может быть решена методом векторных конечных элементов.
Цели диссертационной работы. Сформулировать обобщенную регуля-ризированную постановку стационарной магнитной задачи в неоднородных по физическим свойствам средах и решить ее методом векторных конечных элементов Неделека.
Научная новизна работы. Основные результаты диссертации являются новыми. Сформулирована и исследована обобщенная регуляризированная постановка стационарной задачи для векторного потенциала, которая гарантирует выполнение калибровочного условия вне зависимости от соленоидальности правой части. Установлена эквивалентность регуляризированной задачи и задачи с множителем Лагранжа для всех положительных значений параметра регуляризации. Сформулирована и исследована дискретная регуляризированная задача. Установлен факт сходимости приближенного реше-
ния к точному и получена оценка скорости сходимости. Установлено, что предложенная регуляризированная постановка приводит к СЛАУ с симметричной и положительно определенной матрицей. Сформулирован и обоснован оптимальный итерационный метод решения дискретной регуляризиро-ванной задачи. Установлена возможность использовать параметр регуляризации для оптимизации итерационного метода. Оптимальность итерационного метода проверена на решении модельной задачи. Решена практическая задача со сложной геометрией и большими контрастами по проводимости.
Прикладная ценность работы. Результаты исследований реализованы в виде численных модулей и включены в программу «MODEM 3D» [5], предназначенную для интерпретации данных 3D нестационарных зондирований.
Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались на объединенном семинаре кафедры вьгаислительной математики НГУ и ИВМ и МГ СО РАН (г. Новосибирск, рук. д.ф.-м.н. профессор Ильин В.П., 2009, 2010), в Baker Atlas (г. Новосибирск, рук. д.т.н. Табаровский Л.А., 2007). Также на Российских и международных семинарах и конференциях. 6-й Международный геофизический научно-практический семинар Применение современных электроразведочных технологий при поисках месторождений полезных ископаемых (г. Санкт - Петербург, 2008). 5-ая Международная конференция и выставка «Недра - 2008» (г. Москва, 2008). Научно -практическая конференция Комплексирование геолого - геофизических методов при обосновании нефтегазопоисковых объектов на Сибирской платформе (г. Новосибирск, 2008). Международная конференция «Математические Методы в Геофизике - 2008» (г. Новосибирск, 2008). 2-ая Всероссийская конференция «Актуальные проблемы строительной отрасли» (г. Новосибирск, 2009). Международная конференция по вьгаислительной математике ICCM - 2009 (г. Новосибирск, 2009). 1-ая международная конференция «Актуальные проблемы электромагнитных зондирующих систем» (г. Киев, 2009).
Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах, в том числе 5 работ в журналах из перечня ВАК [1, 2, 5, 6, 7] и две работы [3, 4] - тезисы международных конференций. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из четырех глав, содержащих 9 параграфов, заключения, списка литературы из 67 наименований. Объем работы составляет 83 страницы.
Личный вклад автора. Основные результаты работы получены автором. Достаточные условия теоремы 2.3. установлены совместно с М.В. Уревым. Постановку практической задачи, приведенной в параграфе 3 четвертой главы, сделал М.И. Эпов. Программная реализация «MODEM 3D» выполнена совместно с М.И. Ивановым. Представленные и выносимые на защиту результаты, полученные в совместных исследованиях, согласованы с соавторами.
