Введение к работе
Актуальность тема. Исследование численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является одной из важнейших задач в численном анализе. Частным случаем СЛАУ являются системы с трехдиагональными матрицам!, возникающие, например, при разностной аппроксимации основных уравнений математической физики. Кроме того, решение таких систем входит как составная часть во многие другие задачи.
Хотя теория решения СЛАУ достаточно проста, практическая реализация численных методов, из-за их чувствительности к влиянию ошибок округления, вызывает немало трудностей. Возросшая сложность задач приводит к необходимости проведения трудоемких расчетов. Большие задачи, чаке всего обладающие свойством накапливать ошибки округления, требуют их тщательного анализа, поэтому изучение численной устойчивости методов является весьма вакной и актуальной задачей.
Целью диссертационной работы является:
построение априорных и реализуекых на ЗВИ апостериорных оценок точности решения трехдиагоналышх СЛАУ;
сравнительный анализ численной устойчивости прямых методов решения трехдиагоналышх СЛАУ;
матричная интерпретация прямых методов линейной алгебры.
Методика исследования. Априорные и апостериорные оценки точности решения построены на основе прямого анализа ошибок округления, первые - аналитическим преобразованием формул вычисления погрешностей, вторые - частично-пооперационным функциональным методом.
Научная новизна изложенных в работе результатов заключается в следующем:
построены априорные и апостериорные оценки точности решения на ЭВМ методов: прогонки и его модификаций, ортогональной прогонки, циклической редукции, двух способов "распараллеливания'' прогонки;
предложены матричные- интерпретации: общей схемы редукции, методов А.Ф.Воеводина и Д.Ивенса решения систем с постоянными коэффициентами, алгоритма "распараллеливания" прогонки с использованием техники сопровождающих функций;
осуществлен сравнительный анализ численной устойчивости прямых методов решения трехдиагоналышх СЛАУ, выработаны рекомендации по
организации вычислений для повышения численной устойчивости.
Достоверность содержащихся в диссертации результатов подтверждена теоретическим обоснованием выводимых в работе оценок, тестовыми расчетами, сравнением с точным решением, сопоставлением с результатами других направлений исследования ошибок округления.
Научная и практическая ценность. Рассмотренные в диссертации метода и полученные оценки ошибок округления реализованы в виде комплекса программ, с помощью которого помимо решения задачи одним из предложенных методов можно найти и оценку точности вычисленного решения. Комплекс программ сдан в ГосФАП (Алгоритмы и программы. Информационный бюллетень. -М.: ВИНИТИ, 1990. -J6I2. -С.5. Инв. JK0900000903).
Априорные оценки зависят от а) точности выполнения арифметических операций на конкретной ЭВМ, б) соотношений между коэффициентами системы, в) порядка системы (иногда зависимость от порядка отсутствует); при их вычислении не требуется знания числа обусловленности.
Предлагаемый в диссертации аппарат построения апостериорных оценок точности решения позволяет находить погрешность решения без чрезмерных временных затрат и дополнительного расхода оперативной памяти.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались
на конференциях: Всесоюзная конференция по однородным средам и систолическим структурам (г.Львов, 1988г., 1990г.), 5-я Сибирская школа по вычислительной математике (г.Новосибирск, 1988г.),Всесоюзная конференция "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (г.Дрогобич, 1989г.), Ш региональная школа-конференция (г.Свердловск, 1990г.);
на семинарах: "Метода вычислительной и прикладной математики" ВЦ СО АН СССР (г.Новосибирск), "Численное решение дифференциальных уравнений" ИТІШ (г.Львов),семинары Крас.ВЦ СО АН СССР (г.Красноярск), кафедры вычислительной математики Краен.ГУ (г.Красноярск), ИГ СО АН СССР (г.Новосибирск).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [І-ІІ].
Структура и объем работы, диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы. Объем содержательной части диссертации - 138 страниц, прило-
жений - 56 страниц, списка литературы - 28 страниц. Работа включает 17 таблиц и 10 рисунков, список литературы из 283 наименований.
