Введение к работе
Актуальность темы.
Многие задачи динамики разреженного газа приводят к необходимости решения кинетических уравнений. Часто они формулируются как соответствующие начально-краевые задачи для нелинейного кинетического уравнения Больцмана или коагуляции. В случае задач, связанных с рассмотрением процессов коагуляции, сталкиваются с необходимостью решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского. Оба этих уравнения имеют одинаковый тип нелинейности, поэтому ,в дальнейшем, будем называть эти уравнения нелинейными уравнениями больцмановского типа.
Сложная нелинейная структура этих уравнений делает, в подавляющем большинстве случаев, невозможным их аналитическое решение, поэтому численные методы, практически, являются единственным способом нахождения решения таких задач. Отсюда следует, что построение численных алгоритмов для решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа является важной и актуальной задачей.
Хорошо известно, что физическая интерпретация нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа носит вероятностный характер. Основываясь на этом, с начала 60-х годов прошлого века к численному решению задач для уравнений этого типа началось применение статистического моделирования на эвристическом уровне с использованием, так называемой N-частичной модели газа. Наибольшую известность, например, в динамике разреженного газа для проведения практических расчетов получила эвристическая схема 'счетчик времени' , которую предложил Г.Берд (G. Bird).
Целью диссертационной работы является построение и обоснование алгоритмов статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа, основанных на использовании N-частичной модели газа, эволюция которой описывается уравнением Колмогорова. Применение разработанных алгоритмов к решению некоторых задач динамики разреженного газа.
Методы исследования базируются на уравнениях Колмогорова, описыва-
ющих эволюцию ансамбля взаимодействующих частиц, теории интегральных уравнений второго рода и теории весовых методов Монте-Карло.
Научная новизна.
Построен и обоснован новый алгоритм статистического моделирования решения задачи Коши для уравнения Смолуховского. Этот алгоритм основан на предложенном автором методе дополнительной переменной, что дает возможность имитировать процесс коагуляции при фиксированном числе модельных частиц.
Построен и обоснован новый алгоритм статистического моделирования решения задачи Коши для уравнения коагуляции с источником, причем в качестве вспомогательных уравнений использовалась система уравнений Колмогорова.
Предложен и обоснован метод мажорантной частоты, на основе которого построена эффективная схема моделирования решения задачи Коши для основного кинетического уравнения Каца. Этот метод сочетает в себе идеи метода максимального сечения и метод дополнительной рандомизации.
Теоретически обоснована схема Берда для случая пространственно однородной релаксации химически нейтрального газа, т.е. получено интегральное уравнение на плотность взаимодействий, которое описывает эволюцию TV-частичной модели газа. Доказано, что при определенных условиях и при N —> оо одночастинная плотность распределения удовлетворяет обобщенной задаче Коши для уравнения Больцмана.
Построены и обоснованы алгоритмы статистического моделирования однородной по пространству релаксации газа и смеси химически нейтральных газов. Эти алгоритмы основаны на предложенном автором методе дополнительной переменной.
Разработаны новые алгоритмы весового моделирования эволюции ансамблей взаимодействующих частиц для оценки функционалов от решения пространственно-однородных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского.
Предложены и апробированы алгоритмы для частичного ценностного моделирования элементарных переходов при решении кинетических уравне-
ний. Для моделирования длины свободного пробега TV-частичной системы использовано несколько приближений к известной функции ценности, которые могут быть использованы в реальных задачах.
Разработанные весовые методы, в сочетании с методом коррелированной выборки, применены для исследования важной параметрической зависимости приближенного решения уравнения Больцмана от числа модельных частиц. Для модельных TV-частичных кинетических уравнений с помощью высокоточных тестовых расчётов впервые получен порядок относительной погрешности 1/N.
Практическая значимость работы. Разработанные алгоритмы могут применяться при решении практических задач коагуляции и динамики разреженного газа: для моделирования обтекания выпуклых тел потоками разреженного газа, моделирование течения газа в соплах различной геометрии. Личный вклад соискателя заключается в построении и обосновании алгоритмов статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа, основанных на использовании N-частичной модели газа, эволюция которой описывается уравнением Колмогорова. А также применение разработанных алгоритмов к решению некоторых задач динамики разреженного газа.
Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно или при его непосредственном участии.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН(1985-2010г.г.), а также на ряде всероссийских и международных конференций, в том числе:
Всесоюзных конференциях по динамике разреженного газа (1985, 1987, 1989, 1991 г.г.);
Всесоюзных школах-семинарах по методам механики сплошной среды (1985, 1987, 1989 г.г.);
Всесоюзной конференции по методам Монте-Карло (1985);
Всесоюзных конференциях по прикладной аэродинамике (Днепропетровск 1986, 1988 г.г.);
- Советско-Японских симпозиумах по вычислительной аэродинамике
(Хабаровск, 1988 и Цукуба, 1990);
III Аэрокосмическом симпозиуме (Брауашвайг, Германия, 1991 г.);
XVI, XVII, XVIII, XXIV, XXV Международных симпозиумах по динамике разреженного газа ( Цукуба, Япония, 1984; Стэнфорд, США, 1988; Аахен, Германия, 1990; Ванкувер, Канада, 1992, Бари, Италия 2006, С.Петербург, Госсия 2008 );
- Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ
(г. Новосибирск 2007, 2009);
Публикации. По теме диссертации опубликовано 53 печатные работы, в том числе одна монография. Основные результаты содержатся в журналах из списка ВАК [1-16].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем работы 231 страница, включая 23 рисунка и 5 таблиц. Список литературы содержит 264 наименования.
